用构造法求数列的通项公式汇总

构造数列

林森

本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。 一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。

1． (为常数)，可构造等比数列求解．

例1 已知数列满足，（），求通项．

解 由，得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，∴． 注：一般地，递推关系式 (p、q为常数，且p≠0，p≠1)可等价地改写成，则{}为等比数列，从而可求．

2．为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如 (为常数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的形式求解．

例2 （1）已知数列{an}中，，，求通项．

（2）已知数列满足，，求通项．

解 （1）由条件，得，令，则，即，又，，∴数列为等比数列，故有 ，即，∴．

（2）由条件，得，即，故数列是以为首项，以为公差的等差数列， ∴， 故．

3．为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解．

例3 已知数列满足，（），求．

解 令，则，∴，代入已知条件， 得，即， 令，，解得=－4，=6，所以，且， ∴是以3为首项、以为公比的等比数列，故，故．

注 此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．

4．为非等差、非等比数列，可构造等差、等比数列求解．

法一、构造等差数列求解：

例4 在数列中，（1）若，其中，求数列的通项公式；（2）若，求通项．

解 （1）由条件可得，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故，∴．

（2）由条件可得：，∴数列是首项为，公差为2的等差数列，∴．

法二、构造等比数列求解：

例5 已知数列满足，，求数列的通项公式．

解 设，将已知条件代入此式，整理后得 ，令，解得，

∴有，又， 且，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，∴，故． 二、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解．

数

学

篇知识导航

求数列的通项公式问题比较常见.对于简单的求

数列的通项公式问题,我们一般根据等差、等比数列的

通项公式便可顺利求得结果.而对于复杂的问题，我们

需要灵活运用一些构造技巧，将数列的递推式构造成

等差、等比数列，再利用等差、等比数列的通项公式求

得数列的通项公式.本文主要探讨了以下三类递推式

的通项公式的求法.类型一：形如an+1=kan+b(k,b为常数，且k、b≠0)

对于形如an+1=kan+b(k,b为常数，且k、b≠0)的

递推式，在求数列的通项公式时，我们通常先引入待

定系数A，使其变形为an+1+A=k（an+A），求出A的

值，便可构造出一个新的等比数列，求得等比数列的

首项及公比，就能利用等比数列的通项公式求得数列

的通项公式.

例1.若数列{}an中，a1=2，an+1=(2-1)(an+2)，

n∈N,求数列{}an的通项公式.

解：令an+1+A=()2-1∙()an+A,可得A=-2，

∴an+1-2=()2-1∙()an-2，

∴数列{}an-2是以2-2为首项，2-1为公

比的等比数列，∴an-2=()2-2()2-1n-1,

即an=2()2-1n-1+2.

在引入待定系数后，我们便将数列转化为等比数

列，运用等比数列的通项公式就能顺利求得数列的通

项公式.类型二：形如an+1=kan+An2+Bn+C型.

在遇到形如an+1=kan+An2+Bn+C(k是常数，且

A,B,C为常数，且不存在A,B,C同时为0的情况)的递

推式时，我们可设an+1+x(n+1)2+y()n+1+z=k(an+

xn2+yn+z）,然后结合已知条件，解出x,y,z的值,并将

其代入所构造的新数列{an+xn2+yn+z}中，通过解方

程便可求出其等比数列的首项a1及公比k的值，继而

得出原数列的通项公式.

例2.已知a1=2，an=32an-1+4n,求数列的通项公

式.

解：∵an=32an-1+4n

，

∴an+xn+y=32[]an-1+x()n-1+y,

文理导航2012/3WENLIDAOHANG【摘要】给出递推关系，求数列的通项公式是数列的一块重要内容。用构造法求递推数列的通项公式是必须掌握的一项技能。本文主要介绍用构造法求递推数列的通项公式的几种常见类型。【关键词】构造法；转化；化归给出递推关系，求数列的通项公式是历年高考的热点。在此类问题中，转化与化归的方法是最重要的数学思想之一，起着不可或缺的作用，贯穿在数列的整个学习过程中。转化是解决递推数列问题的实质所在，所以，培养学生明确的“转化”意识，深刻理解这种思想方法的内涵，并能在解题过程中灵活运用，对于学生来说至关重要，甚至是考察学生数学思维的一项重要内容。等差数列、等比数列是数列中最基础且最重要的两类特征数列，也是高中阶段数列内容中的重点研究对象但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列，这种方法就是求数列通项公式时经常使用的构造法，体现的正是转化与化归的数学思想，将非等差和非等比数列转化为我们熟悉的等差等比数列，进而使问题得到根本解决。此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。构造的方法很多，可根据递推公式的特征而定，现将几种常见类型的问题总结如下：第一类：构造等差数列类型1.an+1=panqan+p类型针对这种递推关系中存在分式的问题，经常需两边取倒数，得到关系式1an+1=1an+qp，构造出等差数列{1an}，通过求{1an}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式。例如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an2an+1，求数列{an}的通项公式。解析：∵an+1=an2an+1，∴1an+1=1an+1，又∵a1≠0，∴an≠0所以数列{1an}是首项为1，公差为1的等差数列。∴1an=1+n-1=n，∴an=1n.∴数列{an}的通项公式为an=1n.类型2.an=pan-1+pn+k类型（其中k为常数）这种类型可以采取等式两边同除以pn，得到关系式anpn=an-1pn-1+1pk，构造出等差数列{anpn}，进而得到数列{an}的通项公式。第二类：构造等比数列在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，可以通过构造等比数列或等差数列求通项公式。类型3.an+1=pan+q类型（其中p、q为常数，且p≠1,q≠0）这类问题可用构造法化归为等比数列{an+x}，运用待定系数法求出x，通过求出等比数列{an+x}的通项公式，求出数列{an}的通项公式。这种类型的递推公式比较常见，也很重要，下面类型4、类型5的问题往往需要变形成这种类型来解决。类型4.an+1=panq+an类型（其中p,q为常数，且p≠0,q≠0）此种类型需先将等式两边同时取倒数，得到1an+1=1p·1an+qp化归为类型3的问题来解决。类型5.an+1=pan+f(n)型（其中p为常数，且p≠1）当f(n)=kn+b时，可设an+1+An+B=k[an+A(n-1)+B],展开之后与给出的递推公式相同求出A、B,化归为等比数列{an+An+B};当f(n)=qn+k时，可等式两边同除以qn，得到an+1qn=pq.anqn-1+1qk，化归为类型3的问题来解决。类型6.an+1=pann型（其中p为常数）此种类型需要两边取同底对数，如取以10为底的对数，得到lgan+1=nlgan+lgp，转化为类型3来解决。【总结】此类问题的主要方法就是根据递推关系，分析结构特征，善于合理变形，最终的目的是构造出一个与之相关的等差数列或者等比数列的形式。这种化归的思想在这类问题中随处可见。化归思想有着它的风趣描述和理论基础，它并不是孤立存在的，与我们其它的各种思想相互联系着。在高中阶段的教学过程我们可以挖掘知识发生过程的化归思想，渗透知识应用过程中的化归思想，加强解题教学，突出化归思想。“授之以鱼，不如传之以渔”，“教是为了不教”，数学思想对提高学生数学能力有着重要的作用。时代在发展，思想在更新，我们教育工作者一定要把学习的主动权化归到学生的身上去。【参考文献】[1]数学教学通讯(高考数学).2008年第3期.《高中数学中转化与化归思想的运用》[2]中学生数学报.张永侠.《升华教材-习题解决一类大问题》[3]中学数学教学参考.姚爱亮.《高考中递推数列求通项例析》2010年第10期（作者单位：浙江省衢州第三中学）用构造法求递推数列的通项公式文/李娜理论研究44

数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案

求数列通项公式的方法有很多种。这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。下面我们逐个讲解这些重要的方法。

递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。这种方法有两种类型。第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。

累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。+f(n)。因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。

累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。*f(n)。

以上是数列通项公式的三种求法。

2.改写每段话：

首先，我们来看等式左右两边的乘积。左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。需要注意的是，右边是相乘而不是相加。当右边是一个等比数列的前n-1项的乘积时，可以利用指数运算公式进行累加。另一种情况是这部分累乘的式子能够互相消掉，类似于等差数列的第三种情况。