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浅谈植树问题

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浅谈植树问题
作者：黄璐
来源：《儿童大世界·教学研究》2016年第12期

一、源于生活
小学数学的应用当中，有这么一类问题：通常以植树为内容提出问题，主要研究植树的棵
树，每棵树之间的距离，以及需要植树的总长度等之间数量关系的问题，称之为植树问题。看
似充满生活化的植树问题，学生却常常因为实际经验的不足，或者问题的抽象而在解决问题的
过程中出现错误，甚至是无从下手。先将小学阶段植树问题稍微加以归类如下。

二、单线式
1.单线式
单线种植，即不封闭种植。在一条道路上种植，却需要考虑路的两端是否种植。株距和株
数是考虑的重点和难点，学生往往因为没有考虑清楚这点而无法解决问题。

例1：在一条长200米的小路旁种松树，每隔5米种一棵。
（1）如果小路两端不用种，共需要种树多少棵？
分析：要求在一段不封闭的直线上种树，需要知道200中有几个5米。
解：
①80米中包含了多少段？
200÷5=40（段）
②需要种树多少棵？
40-1=39（棵）
答：如果小路两端不用种，共需要种39棵。
（2）如果小路两端都种，共需要种树多少棵？
分析：在前一问题的基础上，需要理解首尾都种。
③需要种树多少棵？
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40+1=41（棵）
答：如果小路两端都种，共需要种41棵。
（3）如果小路的一端种植，共需要种树多少棵？
答：如果小路的一端种植，共需要种40棵。
结合线段图，描出树木种植的位置与数量。与锯木头有相似之处，要锯出n段木头，其实
只需n-1次。第一个问题种植的树木数量即是所需锯的次数，种植39次，可以将小路分成40
小段。

可以简单地讲单线式种植小结三种情况
a.两端都不种：
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×（株数+1）
株距=全长÷（株数+1）
b.两端都种：
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（株数-1）
株距=全长÷（株数-1）
C.一端种植：
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
对于学生而言，如果只是单纯的练习，可能需要反复多次才能将总结的公式加以运用，因
此重要的是将类似的问题统一起来，让学生完成，让学生的答题解题的过程中尝试寻找解题规
律，再下一次就能做到举一反三。
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2.单线多样式
即要求在道路上交叉种植，同样需要考虑两端情况，以及两种或多种混合种植的时候，相
互间的距离，分情况分析清楚最重要。

例2：在一条长320米的公园小路旁种桂花树和樟树，要求每隔8米种一棵樟树，再在相
邻的两棵樟树中间种一棵桂花树，路的两端都种樟树，需种植桂花树和樟树各多少棵？

分析：首先考虑种植樟树，两端都种，则株数=段数+1=全长÷株距+1。然后在樟树中间插
入桂花树，桂花树之间的距离也是8米，株数=段数=全长÷株距。

解：
①320÷8+1=41（棵）
②320÷8=40（棵）
通过画示意图，可以清楚的发现两种树木数量上相差1。樟树是两端都种，桂花树是两端
都不种，但是两者的交叉种植，数量上并不是公式上的相差2。

三、图形式
1.封闭图形式
封闭图形式通常融入圆形、长方形、正方形等图形，不存在两端是否种植的问题。
例3：圆形场地：有一个圆形花坛周长是120米。
（1）如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，可栽丁香花多少株？
分析：圆形场地为封闭式，首尾相连，不存在两端是否需要种植的考虑。株数=全长÷株
距。

解：120÷6=20 （株）
答：可栽丁香花20株。
（2）如果再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽月季花多少株？
2株紧相邻的月季花相距多少米？
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分析：丁香花将花坛分成20段，每段长6米，如果在每段上等距离种植2株月季花，2株
丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，月季花的株距为2米。

解：2×20=40（株）6÷3=2（米）
答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。
小结：株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
无论种植的是圆形还是长方形或者正方形，都可以画出示意图，找到株数、段数、全长三
者之间的关系。

2.花圃式
如果将多种封闭图形种植结合，可以得到更多的美丽图案。
如果将问题延伸，生活中的彩灯点亮，花盆摆放和最初的植树问题本质都一样，关键在于
学生能否理解，植树的位置，以及一个整体的概念。所以很多时候，一些形象的示意图可以更
好的帮助问题明朗。

四、画示意图
1.化抽象为形象
植树问题源于生活，但是学生真正接触的并不多，而想方阵式的种植方式对于小学生而言
存在难度。但是看似繁琐，容易出错的植树问题，只要根据题意画出示意图，更加形象化，也
让问题变得明朗，变得有趣。无论是简单的单线式种植，还是看似较为复杂的方阵式种植，示
意图可以让我们更为直观感受，理解。示意图将帮助还原植树这一实际情况，将抽象的植树问
题化简成形象的数形问题。

2.你来种
更多时候，学生都是根据题目要求来画出示意图完成解答，习惯于跟着题目走。相反的，
可以把指挥权交到学生手中，把种植方式交给学生来决定，根据学生自己的创想来画出各种种
植示意图，同时进行分析，发现株数、株距、全长之间的关系。将示意图的方法变被动为主
动，将能进一步加强学生对问题的理解。

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(完整)三年级植树问题全

(完整)三年级植树问题全

植树问题（一）在一定长度的线路上，等距离地安排若干个点植树，植树的棵数、株距（相邻两棵树之间的距离）与线路的总长之间存在某种数量关系，研究这种数量关系的问题通常被称为植树问题。

植树问题一般分为线段上的植树问题和环形线路上的植树问题。

1．线段上的植树问题分以下三种情形讨论：（1）如果植树线路的两端都要植树，那么，植树的棵数 = 线路和全长÷株距+1线路的全长 = 株距×（植树的棵数-1）株距 = 线路的全长÷（植树的棵数-1）（2）如果植树线路的一端要植树，另一端不要植树，那么，植树的棵数 = 线路和全长÷株距线路的全长 = 株距×植树的棵数株距 = 线路的全长÷植树的棵数（3）植树路线两端都不要种树植树的棵数 = 线路和全长÷株距-1线路的全长 = 株距×（植树的棵数+1）株距 = 线路的全长÷（植树的棵数+1）2．环形线路上的植树问题，线路的全长、植树的棵树、株距之间的数量关系是：植树的棵数 = 线路和全长÷株距线路的全长 = 株距×植树的棵数株距 = 线路的全长÷植树的棵数从以上数量叛乱中容易看出：植树的棵树，株距与线路的全长三个量中，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量。

例1．在一条路的一边种树，从头到尾一共种了45棵，相邻两棵树之间相距5米，这条路长多少米？例2．在一条长42米的街道两边，每隔6米插一面彩旗（两端不插），一共需要插多少面彩旗？例3．在一个湖泊周围筑成周长是3060米的大堤，堤上每隔6米栽柳树1棵，然后在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵，大堤上栽柳树和桃树各多少棵？例4．把一根木头锯成4段需要6分，如果要锯成13段，需要多少分？例5．小平和小亮同住在一幢大楼里，小平住五楼，小亮住四楼，小平每天回家要走80级台阶，小亮回家要走多少级台阶？植树问题2小军家住在5楼，每上1层楼梯要1分钟。

《植树问题》数学广角

《植树问题》数学广角

理论体系的完善
随着人们对自然界的认识越来越深入，植树问题的理论体系也将不断完善和发 展，如引入新的数学工具和方法，解决更复杂的问题等。
应用领域的拓展
随着社会经济的发展和城市化进程的加速，植树问题的应用领域也将不断拓展 ，如与生态修复、环境保护等领域的结合，为解决全球性的环境问题提供新的 思路和方法。
04
CATALOGUE
非线性植树问题
定义与模型建立
定义
非线性植树问题是指树苗之间的间距不完全 相等，需要用非线性数学模型进行描述的问 题。
模型建立
对于非线性植树问题，通常需要建立非线性 方程或方程组来描述树苗之间的距离关系。
求解方法括迭代法、解析法、数值模拟法等。
分类讨论思想
总结词
分类讨论思想是将整体划分为部分，并对每个部分进行 讨论的思想方法。
详细描述
在植树问题中，分类讨论思想是将整个植树问题划分为 不同的部分，例如根据树的排列方式、间隔距离等因素 进行分类。通过对每个部分进行讨论，可以全面地考虑 植树问题的各种情况，从而更全面地解决问题。分类讨 论思想在植树问题中具有非常重要的作用，可以帮助我 们更加清晰地认识问题和解决问题。
公式
若在直线上的特定点上植第一棵树，则该点左边的树的数量为(m-1)，右边的树 的数量为n-(m-1)。
实例解析
实例
在长为100米的直线上等距离种植4棵树，相邻两棵树之间的距离为10米。若在 25米处植第一棵树，求在该点左边和右边的树的数量。
解析
在该点左边的树的数量为(25-1)/10=2，右边的树的数量为4-(25-1)/10=1。因 此，在该点左边有2棵树，右边有1棵树。
06
CATALOGUE
植树问题的拓展与延伸
举例植树问题在生活中的应用

举例植树问题在生活中的应用

举例植树问题在生活中的应用
植树问题在生活中有很多实际应用，其中之一是环境保护和生态平衡的方面。

以下是一些植树问题在生活中的应用示例：
1. 城市绿化：在城市规划和建设中，植树被广泛应用于增加城市绿化率。

通过在城市中种植树木，可以改善空气质量、减轻城市热岛效应，提供阴凉和美化城市环境。

2. 防治土壤侵蚀：在农业和生态恢复中，植树问题可以应用于防治土壤侵蚀。

通过在梯田、河岸和沙漠化地区种植树木，可以有效地保持土壤，减少水土流失。

3. 水源保护：植树也被用于水源保护。

在河流和湖泊周边种植树木，可以减少土壤中的污染物进入水体，保护水源的水质。

4. 风沙固定：沙漠化地区常常面临风沙侵袭的问题。

植树问题可以应用于固定沙丘，减缓或预防沙漠扩张。

例如，中国在应对沙漠化问题中采用了大规模的防风固沙植树工程。

5. 生态恢复：在自然灾害、森林火灾或人为破坏后，通过植树问题可以进行生态恢复。

重新种植树木有助于重建受损的生态系统，保护濒临灭绝的植物和动物物种。

6. 碳汇管理：植树问题还与碳汇管理相关。

树木通过光合作用吸收二氧化碳，释放氧气，并在生长过程中储存碳。

因此，植树可以被看作是一种减缓气候变化的方式。

7. 农业生产：在农业领域，植树问题可以用于建立农田防护林，减轻农田的风害，改善土壤质量，并提供农作物的栖息地。

这些例子表明，植树问题在生活中有着广泛而重要的应用，既涉及到环境保护与生态平衡，也关乎农业、水资源、土地管理等多个领域。

通过有效的植树问题应用，人们可以促进可持续发展，改善生态环境，保护自然资源。

《植树问题》

《植树问题》

实例二
在一个圆形花坛里种植了15棵冬青树，每两棵冬青树之间的距离都是相等的。现 在我们知道整个花坛的面积是78.5平方米，那么每棵冬青树的占地面积是多少？
04
多边形植树问题
定义与描述
定义
多边形植树问题是指在多边形的各个顶点上种植树木的问题。这里的“多边形”是指平面上的一个封闭折线，而 “树木”则表示在每个顶点上种植的植物。
02
直线植树问题
定义与描述
直线植树问题是指在 一条直线上等距离种 植树木的问题。
这类问题在城市绿化 、道路两侧和农田中 都有广泛应用。
直线植树问题通常涉 及如何计算种植的树 木数量以及它们之间 的距离。
直线植树问题的求解方法
根据给定的条件，计算出每棵树之间的距离，以及在起点和终点各需要种植多少棵 树。
描述
多边形植树问题可以描述为在一个给定的多边形内，每个顶点上都种植了一棵树，我们需要确定这些树之间的距 离，以及它们与多边形边界之间的距离。
多边形植树问题的求解方法
01
求解方法一
使用几何方法求解。这种方法主要是基于多边形的几何性质和植树的规
则，通过计算得出每两棵树之间的距离以及它们与多边形边界之间的距
• 植树问题的基本概念包括：树木间距、种植数量、排列方式、 生长条件等。其中，树木间距是指相邻两棵树木之间的距离； 种植数量是指要种植的树木的数量；排列方式是指树木在空间 中的分布情况；生长条件是指影响树木生长的各种因素，如气 候、土壤等。
植树问题的应用场景
• 植树问题在现实生活中具有广泛的应用场景，例如城市绿化、公园建设、道路绿化等。通过解决植树问题，可以优化城市 环境和生态系统，提高人们的生活质量。此外，植树问题在农业生产中也有着重要的应用，例如农田防护林的建设等。