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第35卷第2期2022年6月Vol.35No.2Jun.2022闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University （Natural Science ）求解RLW 方程的能量守恒有限差分格式刘佳垚,王晓峰,钟瑞华（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）摘要：对正则长波（RLW ）方程建立一个三层外推型线性差分格式,所建差分格式满足能量守恒,并且在时间和空间上均达到二阶精度.用离散能量法证明了所建格式的收敛性以及解的存在唯一性,且通过数值实验验证了格式的有效性和精度.关键词：正则长波方程；差分格式；守恒性；收敛性中图分类号：O241.82文献标志码：A文章编号：2095-7122（2022）02-0008-06Energy-conserving finite difference scheme for the RLW equationLIU Jiayao,WANG Xiaofeng *,ZHONG Ruihua(School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China)Abstract:A three-level extrapolated linear difference scheme is established for the Regular Long Wave (RLW)equation.The scheme is energy conserving and has the second-order accuracy in time and space.The convergence,the existence and uniqueness of the solution are proved by the discrete energy method.Numerical experiment is given to confirm the effectiveness of the scheme.Key words:RLW equation;difference scheme;conservation;convergence在1966年，Peregrine [1]首次提出了一类非线性演化方程即正则长波（RLW ）方程,在非线性色散介质的长波研究中,该方程可描述大量的物理现象,且它所描述的运动可以与KdV 方程有相同的逼近阶,能够很好地模拟KdV 方程的几乎所有应用,因此对RLW 方程的研究无论在理论上还是在应用上都有非常重要的价值.有许多求解RLW 方程常用的数值方法,如有限差分法[2]、重心插值配点法[3]、拟谱法[4]和有限元方法[5]等.余跃玉等[6]通过对RLW 方程的非线性项的线性化处理给出了一种新的线性有限差分格式.孙建安等[7]利用紧致有限差分和龙格库塔方法对RLW 方程在空间和时间进行离散,从而解决了对空间与时间混合导数的离散问题.陈佳欣等[8]对广义的RLW 方程初边值问题提出了两层线性守恒差分格式和三层非线性守恒差分格式.考虑如下RLW 方程的初边值问题u t -u x +μu xxt +γuu x =0 x L <x <x R 0<t ≤T ，（1）u (x 0)=φ(x ) 0≤x ≤L ，（2）u (0 t )=0u (L t )=0 0<t ≤T ，（3）其中μ γ为正常数,φ(0)=φ(L )=0.由能量方法可得得到式(1~3)满足如下守恒律收稿日期：2022-04-08基金项目：福建省自然科学基金(2020J01796).作者简介：刘佳垚(1999-),女,河南南阳人,硕士生.*通信作者.E-mail:***************刘佳垚，等：求解RLW 方程的能量守恒有限差分格式第2期E (t )=∫0L u 2(x t )d x +μ∫0L u 2x(x t )d x =E (0).本文对式(1~3)构造线性Crank-Nicolson 外推型格式,在时间和空间上均达到二阶精度,构造的差分格式的系数矩阵是三对角矩阵,同时利用离散能量法证明了格式的收敛性、解的唯一可解性和守恒性,同时用数值实验的结果验证了理论分析的可靠性和有效性.1差分格式的构造将区域[x L x R ]´[0 T ]作网格剖分,令空间步长h =(x R -x L )/J ,时间步长τ=T /N ,其中J N 为正整数,记x j =x L +jh (0≤j ≤J )t n =n τ(0≤n ≤N ).设u n j »u (x j t n )为数值解,记Z 0h ={u =u (u j )|u 0=u J =0 0≤j ≤J }.对任意的u n v n ÎZ 0h ,定义如下符号：u n +12j=u n +1j +u n j2(u n j)x =u n j +1-u njh(u nj)x ˉ=u n j -u nj -1h(u n +12j )t =u n +1j -u n j τ(u nj )x =u n j +1-u nj -12hu nvn=h ∑j =1J -1u n j v nj |u n|1=h ∑j =1J -1()u n j2x||u n ||2=u n u n ||u n ||¥=max 1≤j ≤J -1|u n j |.对式(1~3)考虑如下差分格式：(u n +12j)t-μ(u n +12j)xxˉt +γψ(32u n j -12u n -1ju n +12j )+(u n +12j)x =0，（4）u 0j =φ(x j ) 0≤j ≤J -1，（5）u n 0=0 u n J =0 0≤n ≤N ，（6）其中ψ(v j ωj )=13éëêv j (ωj )x +(v j ωj)x ùûú 1≤j ≤J -1.由于式(4)是一个三层差分格式,采用如下两层格式来计算u 1(u 12j)t -μ(u 12j)xxˉt +γψ(u 0j u 1j)+(u 12j )x =0 1≤j ≤J -1（7）其中u 12=12(u 0+u 1).2差分格式的守恒性引理1[9]对任意的u n v n ÎZ 0h ,则有u n x ˉ v n=-u n v n xu n x v n=-u n v n x u n xx ˉ v n =-u n x v nx .当u n =v n 时，有u n x un=0 u n xx ˉ u n=-|u n |21.引理2[9]对任意的u n ÎZ 0h ,则有-h ∑j =1J -1(u n j)xxˉu n j =|u n |21 ||u n||¥≤u n|1 ||u n ||≤L 6|u n |1 |u n |21≤4h 2||u n ||2.引理3[9]对任意的u n v n ÎZ 0h ,则有ψ()u n v n v n =0.92022年闽南师范大学学报（自然科学版）定理1设u0ÎH2[xLxR],u(x t)ÎC4 3x t[x L x R],则式(4~6)是满足能量守恒的,即E n=||u n||2+μ|u n|21=E n-1= =E0.证明将式(4)与2u n+12作内积得u n+12 t 2u n+12-μu n+12xxˉt2u n+12=0 （8）由引理1和引理3得u n+12 t 2u n+12=hτ∑j=1J-1[](u n+1j)2-(u nj)2=hτ(||u n+1||2-||u n||2)u n+12xxˉt2u n+12=hτ∑j=1J-1(u n+1j-u n j)xxˉ()u n+1j+u nj=hτ(∑j=1J-1u n+1j(u n+1j)xxˉ-∑j=1J-1u n j()u n j xxˉ)=-hτ(|u n+1|21-|u n|21).整理式(8)可得(||u n+1||2-||u n||2)+μ(|u n+1|21-|u n|21)=0 即||u n+1||2+μ|u n+1|21=||u n||2+μ|u n|21.（9）由E n的定义,由式(9)的n递推可得E n=E n-1= =E0.3差分格式的唯一可解性定理2式(4~6)是唯一可解的.证明用数学归纳法来证明,因u0由式(5)确定,由式(7)可计算u1,则u0和u1是唯一确定的.设u0 u1 u n(n≤N-1)是唯一可解,考虑关于u n+1的齐次线性方程组1τu n+1-μτu n+1xxˉ+16(32u n-12u n-1)u n+1x+16éëêê(32u n-12u n-1)u n+1ùûúúx=0 （10）将式(10)与u n+1作内积,又由引理1和引理3可得1τ||u n+1||2+μτ|u n+1|21=0.又由引理2得0≤1τ||u n+1||2+6μτL2||u n+1||2≤1τ||u n+1||2+μτ|u n+1|21=0因而||u n+1||=0,故差分格式(4~6)是唯一可解的.4差分格式解的收敛性引理4[9]（离散的Gronwall等式）假设{G n/n³0}是非负数列,且满足G0≤A G n≤A+Bk∑i=1n-1G i n=1 2 .其中A和B均为非负数,则G n=Ae Bnk n=0 1 2 .引理5[9]对任意的u nÎZ0h,有如下关系成立||u||2¥≤||u||×|u|1，对任意的ε>0,有||u||2¥≤ε|u|21+14ε||u||2.10刘佳垚，等：求解RLW 方程的能量守恒有限差分格式第2期定理3设{u n j |0≤j ≤J -1 0≤n ≤N }是差分格式(4~6)的解,{U nj |0≤j ≤J -1 0≤n ≤N }是问题(1~3)的解,令e n j =U n j -u nj 则存在常数C ,使得||e n ||¥≤C (τ2+h 2)其中正常数C 不依赖于τ和h ,且在不同位置有不同的取值.证明式(4~6)的截断误差为r nj=(en +12j)t-μ(e n +12j)xxˉt +(e n +12j)x +γéëêêψ(32U n j -12U n -1j U n +12j )-ψ(32u n j -12u n -1j u n +12j )ùûúú （11）1≤j ≤J -1 1≤n ≤N -1e 0j =0 1≤j ≤J e n 0=0 e nJ =0 0≤n ≤N将式(11)与2e n +12作内积得r n 2e n +12=1τ(||e n +1||2-||e n ||2)+μτ(|e n +1|21-|e n |21)+γéëêêùûúúψ()32U n -12U n -1 Un +12-ψ()32u n -12u n -1 u n +122e n +12（12）r n 2e n +12≤||r n ||2+||e n +12||2（13）同时有éëêêùûúúψ()32U n -12U n -1 Un +12-ψ()32u n -12u n -1 u n +122e n +12=-h 2∑j =1J -1e n j e n +12j (U n +12j )x +h 6∑j =1J -1e n -1j e n +12j (U n +12j )x +h 2∑j =1J -1e n j U n +12j(e n +12j )x -h 6∑j =1J -1e n -1jU n +12j (e n +12j )x ≤C (||e n ||2+||e n -1||2+|e n +12|21).（14）将式(13~14)代入(12)中,可得1τ(||e n +1||2-||e n ||2)+μτ(|e n +1|21-|e n |21)≤||r n ||2+||e n +12||2+C (||e n ||2+||e n -1||2+|e n +12|21)≤C (||e n +1||2+||e n ||2+||e n -1||2+μ|e n |21+μ|en +1|21)+||r n ||2.（15）令G n =||e n ||2+μ|e n |21,则式(15)可写成G n +1-G n ≤C τ(G n +1+G n +G n -1)+τ||r n ||2，（16）将式(16)中的n 替换为l ,并将式l =1到l =n 求和可得Gn +1-G 1≤C τ∑l =0n +1G l+τ∑l =1n||r l ||2.对于τ足够小,即1-3C τ>23有Gn +1≤92C τ∑l =1nG l+32τ∑l =1n ||r l ||2+C (τ2+h 2)2 其中τ∑l =1n ||r l ||2≤τn max 1£l £n||r l ||2≤CT (τ2+h 2)2G 0=||e 0||2+μ|e 0|21=0 G 1=||e 1||2+μ|e 1|21≤C (τ2+h 2)2.由离散Gronwall 不等式得G n +1≤C (τ2+h 2)2,从而||e n ||≤C (τ2+h 2),|e n |1≤C (τ2+h 2).最后由引理5可得||e n ||¥≤C (τ2+h 2).112022年闽南师范大学学报（自然科学版）5数值实验为验证三层外推型结构式(4~6)的稳定性和守恒性,选取以下模型问题：u t -ux+uxxt+uux=0，（17）初始条件为u0(x )=A sech2(kx+δ)，已知方程的精确解[6]为u(x)=A sech2(kx-ωt+δ)，其中A=3a21-a2k=a2ω=a2(1-a2).设||e||¥=||U n-u n||¥=max1≤j≤J-1|U nj-u nj|.其中U nj =u(xjtn)为精确解,u nj为式(4~6)的解.定义空间和时间的收敛阶为Order=log2(||e(τ h)||¥/||e(τ2 h2)||¥).取xL =-30,xR=40,T=10,h=0.5,τ=h对式(4~6)进行计算,不同时刻的数值解和数值解的3D图像见图1.分别取τ=h=0.5,h=τ=0.25,h=τ=0.125和h=τ=0.0625在同一时刻里不同步长下的误差和格式精度的计算结果见表1,从表1中可以看到所建格式收敛阶为二阶.分别取τ=h=0.5,h=τ=0.25和h=τ= 0.125时能量守恒量的数值模拟见表2.图1不同时刻的数值解(左)和数值解的3D图像(右)Fig.13D image of exact solution and numerical solution(left)and numerical solution(right).表1在T=10下不同步长下的误差和格式精度Tab.1Error and convergence at T=10with different step sizes.步长h=τ=0.5 h=τ=0.25 h=τ=0.125 h=τ=0.0625误差2.4615×10-26.1594×10-31.5443×10-33.8685×10-4收敛阶Order—1.99871.99591.9971xxtU12刘佳垚，等：求解RLW 方程的能量守恒有限差分格式第2期从表2可以看出，所建立差分格式保持了很好的能量守恒性.参考文献：[1]PEREGRINE D H.Calculations of the development of an undular bore[J].Journal of Fluid Mechanics,1966,25(2):321-330.[2]何育宇,王晓峰,陆东,等.Korteweg-de Vries 方程的守恒紧致有限差分格式[J].闽南师范大学学报(自然科学版),2020,33(2):17-21.[3]谢晓波,庞晶.重心插值配点法求解一类正则长波方程[J].内蒙古工业大学学报(自然科学版),2019,8(6):401-406.[4]DJIDJELI K,PRICE W G,TWIZELL E H,et al.A linearized implicit pseudo‐spectral method for some model equations :the regularized long wave equations[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,2003,19(11):847-863.[5]OMRANI K.The convergence of fully discrete Galerkin approximations for the Benjamin –Bona –Mahony (BBM)equation [J].Applied Mathematics and 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一类(2+1)维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的有理解及怪波李倩;舒级;汪春江;王云肖;杨袁【摘要】利用painleve分析,判别非线性微分方程的可积性,根据双线性导数,借扩展同宿呼吸检验法检验方程变换后的形式,讨论了非线性波动方程的有理解.在同宿呼吸子孤波中,当孤波的周期趋于无穷时得到了怪波解.%This paper discusses a class of classical (2+1)-dimensional KP equation, which has found wide applications in hydrodynamics, plasma physics, gas dynamics.By use of the Painleve analysis, the integrability of nonlinear differential equation is determined.Double linear method of Hirota is a transformation in nature.By testing the form with expanded homoclinic breather limit method, the form of the transformed equation is tested and the rational solution of the nonlinear wave equation is put under examination.Among homoclinic breather solitary waves, the cusp wave solution is worked out when the period of the solitary wave tends to be infinite.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2017(032)002【总页数】5页(P68-71,81)【关键词】KP方程;精确解;同宿呼吸子极限法;有理解;怪波【作者】李倩;舒级;汪春江;王云肖;杨袁【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O17.27非线性科学问题的研究可用非线性偏微分方程来简练而准确地描述，求解非线性偏微分方程的精确解具有非常重要的理论和应用价值，尤其是孤立子解，其中KP方程是一类具有代表性的方程.1970年,Kadomtsev等[1]提出了一种二维波色散方程[1]，即一类KdV方程的孤子解在弱横向扰动影响下的稳定性，这个方程被称为KP方程,并认为其原型是二维上的可积的非线性色散波方程.KP方程是一个完全可积系统且有非常丰富的数学结构.数学结构包括N-soliton解的存在性、逆散射变换的Lax形式、无限维对称性的存在.1981年,佐藤提出了佐藤通用格拉斯曼流,给出KP方程是一个Plucker Grassmannian关系.近年来已出现了许多研究方法，如反散射法[6]，Backlund变换[7]，Darboux变换法[8]，Hirota方法[9]，tanh 函数方法[10]等.耦合的KdV方程组和扩散长水波方程组也进行了探讨并获得了一些孤子解[11].KP方程的解用图像模拟出来就形成怪波现象，也就是“畸形波”(freak wave)的概念[12]. Draper首次提出[12]，此后越来越多的学者开始关注这一现象，有的把它叫做怪波，杀人波，极端风浪等[13].从直观上看，怪波具有超常的波高，因此大多数学者和研究人员只能从波高角度对其进行定义[14]，即认为波高大于有效波高2倍(或2.2倍)的单波可以称为怪波[15-18](H>2Hs，或H>2.2Hs).怪波产生的原因包括外在影响因素和内在作用机理两种.调制不稳定性(Benjamin-Feir不稳定性)是生成怪波的一个重要机理[19-20].目前对此类方程研究主要有达布变换、反散射方法、代数几何极限方法等.已有的研究结果有: 常系数的非线性Schrodinger方程[21]、非线性导数Schrodinger方程[22]、耦合的NLS-MB方程[23]、两分量的非线性Schrodinger方程[24-25]、变系数的非均质的非线性Schrodinger方程[26]、非自治的非线性Schrodinger方程[27]、变系数非线性导数Schrodinger方程[28]、Hirota方程[29]、高阶方程[30]、KP方程[31]等.本文结合painleve分析、双线性导数和扩展同宿呼吸检验法得到uxt+6(+uuxx)+uxxxx+λuyy=0的有理解和怪波解.其中，u是关于x，y，t的函数，λ=1.该方程在流体动力学、等离子物理、气体动力学等方面有广泛应用. 下面给出一般的非线性偏微分方程形式:P(u,ut,ux,uy，…)=0,其中，P是一个多项式，u(t，x，y): Rx×Ry×Rt→R.下面求解u(t，x，y).步骤1 借助于Painleve分析，作代换u=T(f),f是一个未知函数.步骤2 由步骤1，将原始方程转变为Hirota双线性形式 G(Dt，Dy；f)=0, D有如下定义步骤3 采用扩展同宿呼吸检验法求出以上方程的同宿呼吸子孤波解.步骤4 在同宿呼吸子孤波解中，令周期趋于无穷，可以得到同宿波的有理解，即怪波解.定理2.1 在参数p1=p条件下，(2+1)维KP方程的有理解为证明由行波变换ξ=x+ct(c为常数)，得容易看到方程(6)有平衡解u0,其中u0为任意常数.假定其中，f(ξ，y)是实函数，将方程(7)代入(6)，得到下面双线性形式其中，·f=2(ff4ξ-4fξ)·f=2().对于方程(8)，可以通过下面的形式运用同宿检验法求解其中，p1，p，a，b，δ1，δ2是常实数.将方程(4)代入方程(3)，得到关于ep1(ξ-ay)的代数方程，即令ejp(ξ-ay)(j=-1,0,1)前的系数全为0，得令p1=p,方程组(5)化简如下求解方程组(6)其中，a，b，u0，δ2是任意实常数.令u0≠且δ2>0，有或将(7)代入(4)，有其中，，p=±，a，b为实数.将(8)代入(4)，可得有理解其中u1(ξ，y)，u2(ξ，y)体现了一种新的族波即双波.其振幅随时间的演变呈周期性振荡，向后向的周期波发生弹性碰撞，一列波以速度b传播，另一列波以向相反方向传播.定理2.2 在参数δ2=1,周期趋于,m1趋于1时，(2+1)维KP方程的怪波解为证明令δ2=1,即(δ2)=0,将其代入u2(ξ，y),可化简为其中考虑(ξ，y)的呼吸子极限，当周期趋于,即p趋于0.经计算，得其中，,并假定m1趋于，p趋于0时有a=b.包含两种不同方向和速度的波.易验证Urouguewave为(6)的有理解，同时Urouguewave也是呼吸子类型解.实际上，对于固定的，当y→±时，有U→0.所以，U不仅是呼吸子的有理解，也是怪波解，它比周围一般的波振幅高2～3倍，而且通常在短时间内形成.这就说明怪波可以来自实方程中的呼吸子孤波解.因此，可以认为在一定时间内的能量聚集或叠加是产生怪波的原因之一.令ξ=x+ct,代入(9)，得到(2+1)维KP方程的怪波解其中，,并假定m1趋于，p趋于0时有a=b.文中运用同宿呼吸子极限法求解(2+1)维KP方程，得到同宿呼吸解和同宿有理解，其中同宿有理解包含怪波解.下一步将应用其它方法得出更多可积和不可积系统的怪波解.对于满足Lax可积的方程或方程组可改写为其他等价形式，借助达布变换得到其平凡解和非平凡解.【相关文献】[1] Kadomtsev B B, Petviashvili V I. 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一类非线性色散波方程的奇异行波解的开题报告
该开题报告将探讨一类非线性色散波方程的奇异行波解问题。
该问题是波动现象中的重要问题之一，其对于理解自然现象和应用领域非常关键。
具体而言，本文将围绕以下三个方面展开讨论：
1. 非线性色散波方程的基本特征和数学模型
非线性色散波方程是一个广泛存在于物理学和工程学中的波动方程。
该方程具有高度的非线性性和色散性，并且存在奇异解。
本文将首先介绍非线性色散波方程的基
本特征和数学模型，以便更好地理解奇异行波解的形成机制。
2. 奇异行波解的数学性质和物理本质
奇异行波解是指一种特殊的解析解，其形式是可被求解的，但存在某些奇异现象。
在非线性色散波方程中，奇异行波解的产生是由于其非线性和离散性的相互作用而引
起的。
本文将讨论奇异行波解的数学性质和物理本质，重点关注其在非线性波传播中
的应用和意义。
3. 奇异行波解的计算方法和应用领域
在实际应用中，奇异行波解的计算方法和应用领域也是非常重要的。
本文将介绍常用的计算方法，包括数值计算、解析计算和手工计算等方法，并总结奇异行波解在
声学、电磁学、流体力学等领域的应用案例。
最后，本文将总结前述内容，对非线性色散波方程的奇异行波解问题做出深入的研究和探讨。
本文的研究成果旨在为相关领域的学者和研究者提供有益的参考和指导。
一类非线性色散 BBM 方程的尖角子解马强;江波【期刊名称】《江苏技术师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)004【摘要】The existence of cuspon solutions for the B(2,2)is proved by employing the bifurcation method of dynamical systems combined with asymptotic analysis of ordinary differential equations.The analytic expres-sions of the cuspon solutions are given and numerical simulations showthe correctness of our results.%利用动力系统分岔方法结合常微分方程的渐近分析证明了 B（2，2）方程尖角子解的存在性，并给出了这些解的解析表达式。
数值模拟进一步验证了所得结果的正确性。
【总页数】6页(P53-58)【作者】马强;江波【作者单位】江苏理工学院数理学院，江苏常州213001;江苏理工学院数理学院，江苏常州 213001【正文语种】中文【中图分类】O175.29【相关文献】1.一类带2-3次非线性项的双色散方程行波解分支 [J], 范振伟;谢永安2.一类非线性BBM方程整体解的渐近稳定性 [J], 王建平;张香伟3.一类非线性色散BBM方程的尖角子解 [J], 马强;江波;4.非线性色散Boussinesq方程的一类新的非光滑孤立波解 [J], 张芸芝5.非线性色散Boussinesq方程的一类新的非光滑孤立波解 [J], 张芸芝;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类非局部非线性色散波方程的Fourier谱方法的开题报
告
题目：一类非局部非线性色散波方程的Fourier谱方法研究
一、研究背景
色散波方程是物理学中重要的一类非线性偏微分方程，广泛应用于波动理论、量子力学等领域。
近年来，一类非局部非线性色散波方程引起了研究人员的广泛关注。
这类方程具有非局部非线性项，其解不仅受到局部的耗散和色散的影响，还受到远离
源点处的非局部项的影响，因此其解的性质更为复杂。
Fourier谱方法是计算非线性偏微分方程的有效工具。
由于其高效、准确、精度
高等特点，得到了研究人员的广泛关注和应用。
二、研究目的
本研究旨在运用Fourier谱方法对一类非局部非线性色散波方程的求解方法进行
研究，探究其解的存在性、唯一性、稳定性以及收敛性等性质，并将结果与已有方法
相比较，从而为数值计算提供更加准确的数学工具。
三、研究内容
1.熟悉非线性偏微分方程、Fourier谱方法等基础知识，了解有关文献，理论基础逐步夯实。
2.基于研究对象的特点，构建求解该方程的Fourier谱方法，探究其解的存在性、唯一性、稳定性以及收敛性等特性。
3.利用MATLAB等工具编写程序，求解该方程，进行数值模拟和误差分析，验证方法的可行性和准确性。
4.将结果与已有方法进行比较，从而进一步验证该方法的优越性。
四、研究意义
本研究将探究一类非局部非线性色散波方程的Fourier谱方法，并验证其在数值
计算中的准确性和可行性。
研究结果有助于深入理解非局部非线性色散波方程的特点
和解的性质，为相关领域的数学建模和仿真提供更加准确的数学工具。
一种求解 RLW 方程的紧致差分格式孙建安;吴广智;贾伟【摘要】利用紧致有限差分方法进行空间离散，龙格库塔方法进行时间离散，建立了一种求解RLW方程的数值格式，较好地解决了对空间与时间混合导数项的离散问题，并在空间和时间上都保持了高阶精度。
所得数值结果证实了该数值格式具有较高的精度。
%A compact difference scheme is established for solving the regularized long wave equation by using the compact difference method in space discretion and the Runge‐Kutta method in time discretion , the mixed derivative is skillfully treated and the higher order accuracy is maintained both in space and time . It is confirmed that the numerical solutions obtained from the scheme are with extremely high accurate .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】4页(P38-41)【关键词】紧致有限差分方法;龙格库塔方法;RLW方程;数值解【作者】孙建安;吴广智;贾伟【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O411.11992年,Lele[1]总结格式,得到了任意高阶精度对称紧致有限差分格式的推导方法,与普通差分方法相比,紧致差分方法可以在相同数量的节点上获得更高的精度,例如使用五节点即可达到六阶精度.该方法的应用十分广泛,曾经被用来研究弹性波方程[2]、泊松方程[3]、N-S方程[4]等.RLW方程是由Peregrine[5]提出的一类非线性演化方程,是描述许多物理现象(如浅水波、等离子体声波等)的一种非常好的模型,尤其是在研究非线性色散波方面起了非常重要的作用[5,6],尽管该方程某些形式的解析解可以得到(如孤波解)，但很多形式的解析解目前无法获得，因此对其数值解法的研究十分重要，提高其数值求解的精度也很有意义.众多数值方法都曾经用于求解RLW方程,例如五次和二次B样条Petrov-Galerkin有限元法[7]、伽辽金线性有限元法[8]、二次B样条集中伽辽金有限元法[9]、三次B样条配置法[10]、微分求积方法[11]、J分裂法和三次样条函数相结合的方法[12,13]、有限差分法[14]等.本文使用紧致差分方法进行空间离散,使用四阶龙格库塔方法[15]进行时间离散,提出了一种新的求解RLW方程的高精度数值格式,并通过数值计算，对新的数值格式的计算精度进行了研究.紧致有限差分方法是使用函数值的某种线性组合来表示该函数导数值的线性组合的一类差分方法,该方法增加了差分格式的精度与稳定性.对于函数u(x),x∈[a,b],将自变量区间n等分,插入n+1个节点x1(a),x2,…x,xn+1(b),相邻节点间距为h,则在内节点处,五点六阶精度的对称紧致差分格式为[4]其中，分别为节点xi处函数u以及u对x的一阶、二阶导数值.边界点与近边界点处的差分格式可参考文献[4].若节点处函数值已知,求解由内点、近边界点及边界点处的差分格式构成的线性方程组,即可求得各节点处的一阶和二阶导数值.RLW方程[5]的具体形式为数值求解该方程的主要困难在于其含有时间与空间的混合导数项,为此,本文构造了一种使用紧致差分方法与龙格库塔方法求解该方程的新的数值算法.引入变量将方程(3)改写为对方程(5)使用四阶龙格库塔方法其中,zn表示z在第n时间层的值;k1=g(tn,zn)=-(ux)n-ε(uux)n.由于un已知,由(1)式和(2)式可解得(ux)n,(uxx)n的值,进而可得到zn及k1的值.接下来给出k2,k3,k4的计算方法.以k2为例,记,由z与u的关系(4)式可得,利用(2)式可得由于已知,求解线性方程组(7)式即可得到,再利用(1)式求得ux,即可得到采用类似的方式可求出k3和k4的值,进而可用(6)式计算出zn+1.然后利用关系(7)式将其中替换为替换为un+1,可得到求解线性方程组(9),得到u在第n+1时间层的值un+1.考虑如下初始条件的RLW方程其对应的方程的精确解为其中,v=1+εd；.计算时取ε=1,μ=1,xc=0.由于算例为孤波解,边界处满足因此,为了简化边界点与近边界点的处理方式,计算时在求解区间左右端点的外侧分别外插了x-1=-80-2h,x0=-80-h,xn+2=120+h,xn+3=120+2h四个节点,并取u(x-1,t)=u(x0,t)=u(xn+1,t)=u(xn+2,t)=0,则近边界点与边界点即可按照内点处理. 为方便对比数值结果的误差,引入误差范数L2与L∞及守恒量I,它们分别定义为[16] 表1给出了在d=0.1,h=0.25,τ=10-3,x∈[-80,120]时本文算法与几种其他算法求解RLW方程孤波解所得到的数值结果在时间t=20时的误差范数与守恒量对比.表2给出了在与表1相同条件下本文算法所得的数值结果与文献[4,11,15]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.表3给出了在d=0.03,h=0.25,τ=10-3,x∈[-80,120]时本文算法所得的数值结果与文献[13]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.表4给出了在d=0.01,h=3/16,τ=10-3,x∈[-130,170]时本文算法所得的数值结果与文献[11]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.可以看出，本文建立的数值格式在计算精度方面更高于其他数值方法；在长时间计算的过程中，本文格式一直保持了高计算精度，具有很好的稳定性；同时，通过表3和表4还可以看出，在方程参数变换过程中，本文格式同样保持了高计算精度.用紧致差分格式与龙格库塔方法构造了一种新的求解RLW方程的数值格式,较好地解决了对空间与时间的混合导数项的离散问题,并在空间和时间上都保持了高阶精度.使用新数值格式计算得到的RLW方程的数值解与其他数值格式获得的数值解进行了比较,结果显示本文构造的新数值格式具有更高的数值计算精度，因此该数值格式在RLW方程数值解法的研究中很有实用价值与参考意义.【相关文献】[1] LELE S pact finite difference schemes with spectral-like resolution[J].Journal of Computational Physics,1992,103:16-42.[2] 王书强,杨顶辉，杨宽德.弹性波方程的紧致差分方法[J].清华大学学报:自然科学版,2002,42(8):1128-1131.[3] 田振夫.求解泊松方程的高精度紧致差分方法[J].黄淮学刊:自然科学版,1998,14(4):25-28.[4] 沈露予.不可压缩Navier-Stokes方程高精度算法研究[D].南京：南京信息工程大学,2005:8-10.[5] PEREGRINE D H.Calculations of the development of an undular bore[J].Journal of FluidMechanics,1966,25:321-330.[6] BONA J L,PRITCHARD W G,SCOTT L R.Numerical schemes for a model of nonlinear dispersive waves[J].Computer Physics Communications,1985,60:167-196.[7] DOGAN A.Numerical solution of regularized long wave equation using Petrov-Galerkin method[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,2001,17:485-494. [8] DOGAN A.Numerical solution of RLW equation using linear finite elements within Galerkin’s method[J].Applied Mathematical Modelling,2002,26:771-783.[9] ESEN A,KUTLUAY S.Application of a lumped Galerkin method to the regularized long wave equation[J].Applied Mathematical and Computation,2006,174:833-845.[10] RASLAN K R.A computational method for the regularized long waveequation[J].Applied Mathematical and Computation,2005,167:1101-1118.[11] 孙建安,陶娜，张涛锋，等.用余弦微分求积法数值求解RLW方程[J].西北师范大学学报:自然科学版,2011,47(5):30-34.[12] JAIN P C,SHANKAR R,SINGH T V.Numerical solutions of regularized long wave equation[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,1993,9:579-586. [13] ZAKI S I.Solitary waves of the splitted RLW equation[J].Computer Physics Communications,2001,138:80-91.[14] 罗明英,舒国皓，王殿志.RLW方程的有限差分逼近[J].四川师范大学学报:自然科学版,2001,24(2):138-143.[15] 王能超著.数值分析简明教程[M].北京:高等教育出版社,2002:105-106.[16] DOGAN A.Numerical solution of RLW equation using linear finite elements within Galerkin’s method[J].Applied Mathematica l Modeling,2002,26:771-783.。
一类非线性色散波方程的低正则解
许多实际的非线性问题最终都可归结为非线性系统来描述。
最近几年来，物理、力学、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域中诞生了许多非线性偏微分方程，但是由于方程的非线性以及本身的复杂性，使得对这些方程的研究具有很大的挑战性。
本文研究了一类有着深刻物理背景的非线性色散偏微分方程，即Fornberg-Whithajn方程和一般DegasperisProeesi方程低正则解的存在性、唯一性及局部适定性。
同时，我们在最后通过方程的行波解构造出了周期解，证明此周期解满足方程分布解的条件，由此验证结论。
关键字：非线性现象；非线性色散偏微分方程；非线性模型
一、非线性现象历史发展背景利用现代数学手段描述与刻画流体运动现象，是揭示流体运动规律与内在联系，实现代数学以及应用数学的重要内容。
非线性偏微分方程是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域中的非线性问题之间的一座重要的桥梁，它直接联系着众多复杂自然现象和实际问题，其涉及的领域越来越广，研究的问题也越来越深入，不断地提出需要解决的新课题，不断产生解决问题的新方法，不断地促进着许多相关数学分支的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。
正因为非线性偏微分方程反应的自然现象的复杂性，其应用的广泛性和重要性，决定了这个研究领域具有旺盛的生命力。
时
至今日，以实际问题为背景的非线性偏微分方程的研究已成为传统应用数学中的一个最主要研究领域，与非线性偏微分方程相关的一系列问题已成为国内外无数学者研究的热点问题。
二、水波的孤立波现象的非线性模型物理中的水波研究一直是一个吸引人的课题，因为这种现象人们很熟悉而且其中蕴含的数学问题也是多种多样。
但是一直到20世纪后半叶，水波的研究差不多还是紧紧局限于使用线性理论。
线性化理论只适用于处理初始静态的水的表面的小扰动，而不能处理水的表面有较大扰动的情形。
例如线性水波理论忽略了诸如波的破碎，孤立波等实际非线性行为所表现的现象。
于是诞生了许多描述水波的孤立波现象的非线性模型。
三、非线性科学的迅速发展1984年，英国科学家Soott-Russell在爱丁堡道格拉斯哥的狭长运河中，站在匀速行驶的船头对河中的水波运动进行了考察，并且随后在文中，作了关于水波的报告，在这个报告中，他虽然没有应用纯粹的线性模型来模拟水波，但这却推动了非线性偏微分方程在流体、等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理、弹性杆、金融等领域的发展。
非线性科学是继量子力学、相对论后20世纪自然科学的重要发现。
物理学大师爱因斯坦曾预言:“由于物理学的基本系统都是非线性的，因此所有的数学物理都必须从头研究”。
非线性科学的迅速发展使它成为众多科学的前沿课题之一。
近年来，关于孤立波研究的工作在理论及应用方面均取得突破性成果。
无论是可积系统，还是耗散系统及其时空动力学复杂行为规律，因它们在拟序结构、高速光纤通讯、化学反应斑图、生物中斑图、纳米的量子效应等方面的巨大潜在应用背景，使对它们的研究成为众多科技关注的热点之一。
另一方面，关于浅水波方程相关性质的研究由于在超弹性材料力学及浅水波运动规律研究中有广泛的应用前景而成为目前国内外数学物理学界关注的热点问题之一。
讨论浅水波方程解的相关性质(特别是水波方程的局部适定性理论、稳定性理论、散射理论、解的整体存在性及blow一叩理论(爆破现象))并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象，确定物理材料属性等方面均具有极大的应用价值。
C alnassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程已经吸引了无数国内外学者对它们进行研究，研究的方面包罗万象，主要有:可积性问题强解的局部适定性和整体适定性、各种弱解的存在性、初边值问题、求精确解(包括了行波解中的重要的孤立子解)、讨论解的各种性质、数值计算等等。
这些理论和数值方面的研究，帮助人们更好地认识了客观自然现象和过程，推动了偏微分方程理论自身的完善，也促进了相关学科的发展。
但是，关于Fornberg一whithaln方程现有的研究成果还比较少。
