北京十中梁继芳

北京十中 梁继芳

§27.2探索数学问题举例（二）

指导思想与理论依据

新课程标准中提出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

以课程标准为指导思想,紧密结合学生的实际,通过恰当的创设问题,让学生经历自主探索,合作交流，主动参与寻找“存在的点”的问题解决过程，加深对探索数学问题方法和策略的认识，增强学生的创新意识。

教学内容分析

1、教材的地位和作用

本章是新教材增加的综合复习内容，突出体现教材的特点。有利于学生对已学过的数学知识加以梳理和应用，加深对探索数学问题方法和策略的认识，提高分析问题和解决问题的能力，增强应用意识，培养创新精神，为培养学生利用有关二次函数与几何综合——存在性问题奠定基础。

二次函数是初中数学的重要内容之一，它不仅是一个重要的数学概念，也是一种重要的数学思想方法。

通过本节课学习可使学生掌握探索等腰三角形存在的基本方法，并使学生熟练掌握二次函数解析式的确定。

2、学生情况分析

学生在前面的复习中，能确定一次、二次函数的图像、性质及解析式，对等腰三角形的概念、性质并不陌生，但等腰三角形的“存在性问题”学生仍感觉困难。

经过近三年的数学学习后，学生虽然具备了一定的实验探究能力，但系统考虑存在性问题的能力尚不完备。

针对我校学生探究能力不足的情况，在本课题的探究过程中依然要注重对学生的启发式、探索式复习。

教学目标、重点、难点的确定

（一）教学目标

1、 知识与技能：

（1）通过本节课的教学，使学生能解决二次函数与几何知识结合的有关问题（存在性问题）。

（2）使学生会根据已知条件确定二次函数的解析式，会画出图像，确定顶点坐标、开口方向和对称轴，能认识二次函数性质。

（3）能根据等腰三角形的概念及有关知识构造等腰三角形。

2、过程与方法：

借助观察、实验、归纳、类比、猜想和推理等,经历探索存在性问题的过程，是综合运用所学知识、技能和方法的过程，掌握基础知识和基本方法，把科学态度和创新精神结合起来，不断提高分析问题和解决问题的能力。

3、 情感态度与价值观：

通过生生、师生互动交流学习的过程，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

培养学生积极思考、体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

（二）教学重点：

掌握解决二次函数与几何综合题存在性问题的一般分析思路、解题方法。

（三）教学难点

代数几何知识的综合分析，会将题目中代数条件和几何条件双向转化，理解数形结合思想、方程思想、转化思想等，正确进行分类讨论。

四、教学方法选择

（一）教学方法和学法指导

主要采用通过“学生参与解决问题，培养能力为主”的教学理念，在教师引导下的启发式、探究式复习。

由于学生有一定的学习方法，参与意识比较强。通过本节课学习知识更加系统化，利用探究的研究手段，让学生学会思维。

（二）教学手段：

本节课使用多媒体投影，计算机辅助教学，有利于启发学生的思维，激发学生的学习兴趣，增强直观性，有利于突破难点。

学习效果评价

评价

方式 评价内容

老

师

评

价 评价项目 评价等级 说明

A B C A B C

课堂探究问题的能力 好 一般 差

学生的质疑问题得到鼓励 好 一般 差

课堂学习的积极性 好 一般 差

课堂练习的正确性 好 一般 差

小

组

互

评 探究解决问题的方法 好 一般 差

小组中发言的次数、质量 多、好 一般 少、差

和同学协作的融洽程度 好 一般 差

学

生

自

评 本节课学习的满意度 好 一般 不满意

合作交流的意识 强 一般 弱

本节课在知识和方法等方面获得的收获程度 强 中等 弱

教学流程示意

设置问题，探究满足等腰三角形存在点的个数？

判断学生能否找全 帮助指导 否

能

判断学生能否解决

帮助指导 否

能

师生共同小结

布置作业 学生动手探究，寻找满足等腰三角形的点

运用找等腰三角形的方法解决问题（例题）

检查变式练习课前完成情况

小组探究完成变式练习

yxOBCA

教学过程

教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

创设情境

提出问题. 【引例】已知A点坐标（0，2），B点坐标（2，0），在坐标轴上是否存在点P，使△APB为等腰三角形，若存在，则符合条件的点P有___7__个.

学生概括

不准确教师再补充，渗透分类讨论的数学思想。

板书课题：

27.2探索数学问题举例（二） 动手实践探究

1.构造满足等腰三角形个数.

2.归纳构造等腰三角形的方法.

已知线段为腰：1、以一个已知点为圆心，以腰长为半径画弧2、以另一个已知点为圆心，以腰长为半径画弧

已知线段为底边：3、作已知两点连结的线段垂直平分线. 从已知两点探究满足等腰三角形条件的坐标轴上的点.起点低，难度小，起到以旧代新的作用.消除学生对探究性问题的畏惧心理.让学生熟悉构造等腰三角形的基本思路,为后面的学习奠定基础.

了解二次函数存在性问题的题目特点.体会其中体现的数学思想方法.

通过例题使学生体会开放题型的分析方法.

通过变式练习巩固开放题型的分析[典型例题]

已知抛物线y=－（x－m）2+1与x轴的交点为A、B（点B在点A的右边），与y轴交于点C.当点B在原点的右边、点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情况？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

[分析]解决存在性问题，通常先假设存在，看看由此是否推出与假设矛盾的结论，若推不出矛盾的结论，则结论存在；否则，结论不存在.

解：令y=0，则 －（x－m）2+1=0，即（x－m）2=1∴x1=m－1,x2=m+1

∵点B在点A的右边，点B在原点的右边、点C在原点的下方，抛物线开口向下

∴A（m－1，0），B（m+1，0）

∴m－1>0，则m>1 ∴OB=m+1

令x=0，则y=－m2+1

C(0,－m2+1) ∴OC=m2－1

若OB=OC，即m2－1=m+1

m2－m－2=0∴m1=2，m2=－1（舍）

∴m=2∴存在△BOC为等腰三角形的情况，此时m=2.

[变式练习]检查课前学案表格中知识点填写情况. 分析解题思路：

把二次函数转化为一元二次方程，首先求出点A、B、C的坐标，确定A、B点的坐标，由点的坐标转化为线段长.假设存在m值，使OB=OC，建立方程进一步求m值。

学生回答学案中表格填写情况

[分析] 引导学生从已知点的坐标到有待定字母点的坐标，从“引例”到“例题”过渡自然.

给学生充分的思考时间和空间，这样可变被动接受为主动学习，提升在探索中思维的参与程度.

从考察的知识点、数学思想方法及中考具体要求等三个方面进行填表.

方法.

本题设计有一定的梯度：让不同层次的学生都有所提高.

1.已知二次函数nmxx21y2的图像经过点A(-3,6)，并与x轴交于B、C两点（点B在点C的左边），顶点P的横坐标为1．

（1）试确定m、n的值；

（2）设点D为线段OC上一点，且满足∠DPC=∠BAC，求直线AD解析式；

（3）在y轴正半轴上是否存在点M，使△PCM为等腰三角形，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵二次函数nmxx21y2的图象经过点A(-3,6)，顶点P的横坐标为1，

∴936,21.122mnm 解得1,3.2mn

（2）该二次函数的解析式为y=21322xx，它与x轴交于

B（-1，0）、C（3，0）两点．顶点P的坐标为（1，-2）

作AE⊥x轴于点E，设对称轴与x轴交于点F（1，0）．∵AE=CE=6，CF=PF=2，∠AEC=∠PFC=90°∠ACE=45°，

∠PCF=45°．

∵∠DPC=∠BAC，∴∠ABE=∠PDF．

∴△ABE∽△PDF．∴BEAEDFPF．

262DF．∴DF=23．∴OD=53．

∴D（53，0）．设直线AD解析式y=kx+b，

则36,50.3kbkb解得9,715.7kb

∴91577yx．

（3）设M（0，y），作PG⊥y轴点G．

在Rt△MOC中，229MCy．

在Rt△PFC中，28PC．

在Rt△MGP中，2212MPy． （1）已知点A的坐标和顶点P的横坐标求m和n值

（2）求直线AD解析式，关键求出点D的坐标，通过线段长来求解，根据已知找到相似的三角形，本题可证△ABE∽△PDF来求线段DF的长，也可证△ABC∽△PDC来求线段CD的长，进而求出点D的坐标和直线AD的解析式。

（3）从已知的点和线段出发，构造等腰三角形,分三种情况讨论.

目的是让学生做到心中有数，有准备的听课，明确出题者考察什么知识点.

做有针对性练习，考察学生对这种方法的掌握情况.

本题在“例题”的基础上，在能力要求上又进一步的提升.

学生在掌握构造等腰三角形基本方法的基础上，以独立完成为主小组合作探究为辅，对于学习困难的学生，教师个别辅导。

642-2-6-8-551021OFABCPED2-2-4510M2M1OCP