§1-7 二维线性系统分析
–01 系统及其算符表示
–02 线性系统
–03 脉冲响应函数及叠加积分
–04 线性空不变系统
–05 传递函数
–06 本征函数
01. 系统及其算符表示
输入激励（excitation ）系统（system ）输出响应（response ）11(,)f x y 22(,)g x y { }L 2211(,){(,)}
g x y L f x y L ——表示系统的作用，称为系统算符
系统（system ）f 2g 1g 2——则称此系统为线性系统。111211{(,)(,)}L af x y bf x y +122222(,)(,)ag x y bg x y =+若：
02. 线性系统
111211{(,)}{(,)}aL f x y bL f x y =+a b 、为任意常数判断依据：叠加性和均匀性。1f
1(,)f x y 1(,)g x y 2(,)f x y 2(,)g x y 1122(,)(,)a f x y a f x y +1122(,)(,)
a g x y a g x y +线性系统内：一个线性组合输入的响应可以分解成简单输入响应（注意：同位置有关系）的线性组合。
☺意义：
在线性系统系统中，任意复杂的输入
可以分解为简单输入的线性组合；
通过这种分解，可以使复杂问题简化。
☺许多光学系统都是线性系统
光电倍增管
——实现光强-电压线性转换；
成像系统也是一个线性系统。
输入
11(,)f x y 线性系统03. 脉冲响应函数及叠加积分
单位输入(脉冲输入)：输入从物理上可以表示为物理尺寸无限小的单位输入。如点光源、一个像素等都可称为脉冲。。输入：由所有的脉冲构成的一个时间或空间序列。
输出
22(,)g x y 光学中：散射光场、反射光场、衍射屏光场、图片等
??如何简洁地表示出左边输入与右边输出的关系？例如一幅图像可看成Delta 点阵，各点的取值受图像灰度值的调制，为。(,)f ξ
η1111(,)(,)(,)d d f x y f
x y ξηδξηξη∞-∞=--⎰⎰输入分解:
脉冲函数经过系统的线性变换获得输出函数输入11(,)x y δξη--线性系统输出22(,;,)h x y ξη2211(,;,){(;)}h x y L x y ξηδξη=--——脉冲响应函数(点扩展函数)
单位脉冲(点光源)通过系统后在像平面上的分布。
1111(,)(,)(,)d d f x y f x y ξηδξηξη∞-∞=--⎰⎰输入分解:2211(,){(,)(,)d d }g x y L f x y ξηδξηξη∞-∞=--⎰⎰11(,){(,)}d d f L x y ξηδξηξη∞-∞=--⎰⎰输出:2211(,;,){(;)}h x y L x y ξηδξη=--已知:2222(,)(,)(,;,)d d g x y f
h x y ξηξηξη∞-∞=⎰⎰因而:
根据“叠加积分”原理，只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积分完全确定系统的输出。要得到输入平面上所有可能位置上的脉
冲响应是非常困难的，甚至是不可能的。
若：(){}()δττ-=-L t h t 线性时不变系统：若输入脉冲延迟时间 τ，其响应h 仅仅有相应的时间延迟τ，而函数形式不变。
04、线性空不变系统
(){}()()
,,;,,δξηξηξη--==--L x y h x y h x y 若线性空不变系统(位移不变系统):
——一个空间脉冲在输入平面发
生位移，线性系统的响应函数形式
不变，只是产生了相应位移。
线性系统11(,)f x y 若：22(,)
g x y 1010(,)
f x x y y --若输入函数发生一个平移:输出函数也只是平移，即:
2020(,)g x Mx y My --M-光学系统垂轴放大率。
2222(,)(,)(,)d d g x y f h x M y M ξηξηξη
∞
-∞=
--⎰⎰2222(,)(,)(,)d d g x y f h x y ξηξηξη
∞-∞=
--⎰⎰1M =(,)*(,)
f x y h x y =
2222(,)(,)(,)d d g x y f h x y ξηξηξη
∞
-∞=
--⎰⎰2222(,)*(,)
f x y h x y =☺输入——输出关系可由上式的卷积积分描述，就可以认为这个系统是线性不变系统.
☺物理意义
把输入函数分解为许多脉冲的线性组合，
每个脉冲都按其位置加权，
然后把系统对于各个脉冲的不变响应通过卷积叠加就得出对于的整体响应。
(,)f x y (,)f x y
可见：亮度不同的点源在物平面移动时，点光源的像只相应改变位置，
而不改变它的形状即：函数形式；
这样的成像系统就是空间不变的。
线性
空不变系统：2222(,)(,)(,)d d g x y f h x y ξηξηξη∞-∞=--⎰⎰2222(,)*(,)f x y h x y =05、传递函数空域频率域FT 通过空域向频域的变换，完成卷积运算。
222222{(,)}{(,)*(,)}F g x y F f x y h x y =222222(,)(,)*(,)g x y f x y h x y =(,){}(,)exp[2()]d d H u v F h h x y j ux vy x y π∞-∞==-+⎰⎰(,){}(,)exp[2()]d d F u v F f f x y j ux vy x y π∞-∞==-+⎰⎰频域：空域：2222{(,)}{(,)}F f x y F h x y =⋅输出频谱：(,)(,)(,)G u v F u v H u v =空域输出：-1(,){(,)}
g x y F G u v =
