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平面向量的直角坐标及其运算PPT课件

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平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)

平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,

0035数学课件：平面向量坐标运算

0035数学课件：平面向量坐标运算
从而为用数的方法解决形的问题提供了一种有效的手段，同 时把抽象的推理过程转化为代数运算，使思路更简洁明了.
2、利用向量的坐标运算可顺利地解决有关平行、垂直等问题．
五、作业布置：
苏大《自我测试》B册 P179 §32 作业部分及例题2
△ABC为钝角三角形，求k的范围？
AB AC ＜0且 AB AC不共线； 、
(ma2 nb2 ,2ma2 2nb2 ma1 nb1 )
f (ma nb) mf (a) nf (b).
让我们共同来提高！ 问题2已知向量 u ( x, y) 与 v ( y,2 y x) 的对应关系用 v f (u) 表示． （1）设a (1,1),b (1,0) ，求向量 f (a)及 f (b) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有： f (ma nb) mf (a) nf (b) 成立；
２、平面向量的坐标运算：
a b x1 x2 , y1 y2 特殊:若 Ax1，y1 ，Bx2，y2 ，则AB x2 x1 , y2 y1 . ⑶ 若 a =(x，y)，则 a = (λx，λy) .
， (4) 若 a x1，y1 b x2，y2 ，则 a b
（3）求使 f (c) ( p, q) （p，q为常数）的向量 c 的坐标． 证明：⑵ 设 a (a1, a2 ),b (b1, b2 ), 则： ma nb (ma nb , ma2 nb2 ), 1 1
故f (ma nb) (ma2 nb2 ,2ma2 2nb2 ma nb ), 1 1 又mf (a) nf (b) m(a2 ,2a2 a1 ) n(b2 ,2b2 b1 ),

课件6：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算

课件6：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
归纳点评 求向量的坐标就是求向量在坐标上的分量．
题型 2 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且 C→M＝ 3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 的坐标和M→N.
解：C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)， →CM＝3C→A＝(3,24)， C→N＝2C→B＝(12,6)． 设 M(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)， ∴xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0. ∴M(0,20)． 同理可得 N(9,2)．∴M→N＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
典例精析 题型 1 向量的坐标表示 例 1 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝ 4 3，∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
解：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3×12＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3·23＝6，即 A(2 3，6)． ∴O→A＝(2 3，6)．
B．x>0，y<0
C．x<0，y＞0
D．x<0，y<0
【答案】C 4．已知m＝(2,7)，n＝(x＋2,7)，若m＝n，则x＝ ________. 【答案】0
规律总结
1．向量的坐标表示 在直角坐标系中，点 A 的位置被点 A 的位置向量O→A
所唯一确定，向量O→A的坐标(x，y)也就是点 A 的坐标； 反之，点 A 的坐标就是点 A 相对于坐标原点的位置向量 O→A的坐标．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都 可以用一个有序实数对唯一表示．
归纳点评 本题是从纯向量运算的角度来思考的，通过点 P 对应向量坐标的讨论来考查 t 的可能取值，而对于是否构成 平行四边形则可从构成平行四边形的条件来进行思考．实际 上，如果换个角度，就会发现，点 A，P，B 三点共线，

8.平面向量的坐标运算ppt

8.平面向量的坐标运算ppt

∴顶点D的坐标为（2,2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1),
B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构
成平行四边形四个顶点。
y
D2
解由：uAuBur当 uD平uuCr得行D四1边=(2形, 为2)ADCB时，B
C
当平行四边形为ACDB时， A
D1
得D2=(4, 6)
x=1+3t ∴
,∴
1+3t＜0
y=2+3t
2+3t＞0,
∴ 2 t 1.
3
3
（2）因为 OA =（1，2），PB OB OP （3-3t，3-
3t），
若四边形OABP为平行四边形，则OA PB.
∴ 3-3t=1 3-3t=2,无解，
∴四边形OABP不可能为平行四边形.
总结提高： （1）要加强对向量的坐标与该向量起
解：设Bx,y,
uuur
Q AB 1,2 x, y 2,1,
即12xy21

x3 y 1
即B3,-1.
练习：（2009·辽宁文，13）在平面直角坐标系xOy中，四 边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A（-2，0）, B （6，8），C（8，6），则D点的坐标为(0,-2). 解析 设D点的坐标为（x,y）,由题意知BC AD , 即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
探究 ： 若已知 点A、B的坐标分别为 （（1，x1，3）y1，）

平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件

平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件

设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则C→M＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20； C→N＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2， 所以 M(0，20)，N(9，2)， M→N＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
方法二：设点 O 为坐标原点，则由C→M＝3C→A，C→N＝2C→B， 可得O→M－O→C＝3(O→A－O→C)，O→N－O→C＝2(O→B－O→C)， 从而O→M＝3O→A－2O→C，O→N＝2O→B－O→C， 所以O→M＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， O→N＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)， 即点 M(0，20)，N(9，2)， 故M→N＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
即(－1，2)＝(x＋y，x－y)， ∴－ 2＝1＝ x－x＋ y，y， 解得xy＝＝－12，32. ∴c＝12a－32b.
(3)方法一：由 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得C→A＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， C→B＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)， 所以C→M＝3C→A＝3(1，8)＝(3，24)， C→N＝2C→B＝2(6，3)＝(12，6)．
(2)(2014·济南高一检测)若向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则 c ＝________(用 a，b 表示)；
(3)已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 及M→N的坐标．
解析： (1)A→B＝(3－1，2－2)＝(2，0)， ∵a＝A→B， ∴xx＋ 2－33＝x－2，4＝0，解得 x＝－1. (2)设 c＝xa＋yb， ∴(－1，2)＝x(1，1)＋y(1，－1)，

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课件(人教版)

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课件(人教版)

答案：A
3.应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一
对应.
其中正确说法的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个
相等的向量，故③错误. 答案：C
3.每个向量都有唯一的坐标，相等的向量有相等的坐标.
若a (x1, y1),b (x2, y2),且a b，
则(x1
,
y 1
)
(x
2
,
y 2
),
即x 1
x 2
,
y 1
y 2
.
小 结： 1. 任一向量 的坐标表示：
Y
y
a
2.特殊向量 OA 的坐标表示： y
A(x,y)
A(x,y)
j
x
Oi x
X
X
此时向量i与j 的系数就是向量 a 的坐标。
2.把向量 a 移到坐标原点，则向量 a 终点的坐标就是向量 a 的坐标。
思考：已知a =(x1,y1)，b=(x2,y2)，求a+b，a-b 的坐标
解：a-+b=( x1 i+ y1j )+-( x2i+ y2 j) =（ x1-+ x2)i+（ y1-+ y2 )j
解法１：设点D的坐标为（x，y）
AB (1, 3) (2,1) (1, 2)
y
C
B
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
由AB DC (1, 2) (3 x, 4 y) A
1 3 x
解得：x=2，y=2

2.3.3 平面向量的坐标运算(必修四 数学 优秀课件)


解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4) + (2, 5) + (x, y) = (0, 0)
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 = (5,1)
x 5 ∴ y 1
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. y 解：设顶点 D 的坐标为（ 分析：由于 ABCD 为平 x, y) C B 行四边形，那么有 AB (1 (2),3 1) (1,2) D AB=DC A DC (3 x,4 y ) x O 有 AB DC得：（ 1，）（ 2 3-x, 4 y )


b x2 i y 2 j




则 a b ( x1 x2 , y1 y 2 )

( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) j





两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .
2.3.3 平面向量的坐标运算
在平面直角坐标中，向量如何用坐标 来表示？

a x i y j



a ( x, y )
1.已知a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) , 求a+b的坐标．

a x1 i y1 j





a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______

课件6：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算


例 3.已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，求点 C、 D 和C→D的坐标．
解:设 C、D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由题意可得 A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)， D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)， ∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， ∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)， (－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)，
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
学习目标 1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加减法及数乘运算.
知识梳理 1.向量的正交分解 (1)两个向量互相垂直： 如果两个向量的 基线 互相垂直，那么称这两个向量互相垂直． (2)正交基底： 如果基底的两个基向量 e1，e2 互相垂直 ，那么称这个基底为正 交基底． (3)正交分解： 在 正交基底 下分解向量，叫做正交分解．
y 轴 上的坐标分量．
3．向量的直角坐标运算
(1)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2) . (2)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a－b＝ (a1－b1，a2－b2) .
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
课堂小结 1.在平面直角坐标系中，以 O 为起点的向量O→A＝a，点 A 的位 置被 a 唯一确定，此时 A 点的坐标与向量O→A的坐标相同． 2．向量用坐标表示，为表示向量 a 提供了另一种方法，使向量 a 与实数对(x，y)建立了一一对应关系．
3．点的坐标与向量的坐标的区别： 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点 在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等． 4．对符号(x，y)的认识：符号(x，y)在平面直角坐标系中具有双 重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量．为加以区分， 常说点 P(x，y)或者向量 a＝(x，y)，注意前者没有等号，后者有 等号.

高中数学课件平面向量的坐标及其运算


2.平面上向量的运算与坐标的关系 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则: (1)a+b=(x1+x2,y1+y2), (2)a-b=(x1-x2,y1-y2), (3)λa=(λx1,λy1).
(4)向量相等的充要条件:a=b⇔x1=x2且y1=y2. (5)模长公式:|a|= x12 y12 .
BC 1=A(C-8,4)- (-101 ,14)
2
2
=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
类型三 向量共线的坐标表示
角度1 向量共线的判定
【典例】已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量 A B 共线
的单位向量是 ( )
A.(3，4) C.(6，8)
B.(3，4) 55
D.( 4， 3) 55
【思维·引】1.利用向量坐标的定义解决. 2.画出图形,用解三角形的方法求点的坐标,进而求向量 的坐标.
【解析】1.选D.由向量坐标的定义可知,向量a的坐标 为(4,-3). 2.设点A(x,y),则x=| O |Acos 150°=6cos 150°= -3 3 ,y=| O|sAin 150°=6sin 150°=3,即A(-3 , 3 3),所以 O =A (-3 ,33 ). 答案:(-3 ,33)
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. ( ) (4)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向. ( )
【提示】(1)×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标 都一样. (2)√.根据向量的坐标表示,当始点在原点时,终点与始 点坐标之差等于终点坐标. (3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量 的顺序有关.
22
22
【加练·固】 如图,已知边长为1的正方形ABCD中,顶点A在坐标原 点,AB与x轴正半轴成30°角.求点B及点D的坐标及 AB与AD的坐标.

2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt


)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
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i 2j
3i
2j
2j
i
1j
4i
精选
由定义可知：设
a=（
a1
，
a
2
），
b
=（
b1
，
b2
）则：
ab a1a2 b1b2
提 问 设 a=（ a1， a2 ），则所有与 a相等的向量的坐标均为（a1， a2 ）
与他们的位置有无关系？ 没有
精选
为深入理解向量坐标的含义，再看这样一个问题：
作向量 OA = a=（ a1 ， a2 ）， 则向量 OA 的终点 A 的坐标是什么？
即 a - b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量。
4．实数与向量的积：
实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λ a
（1）|λ a |=|λ|| a |；（2）λ>0 时λ a 与 a 方向相同；λ<0 时λ a 与 a 方向
5．运算律:
相反；λ=0 时λ a = 0
结合律：λ(μ a )=(λμ) a
（2，3）
i 2j
（-2，1）
（1，1）
（-3，-1）
EF （0，-3）-（-3，-1）=（3，- 2）
GH （-1，-2）-（3，-1）=（- 4，- 1）
（-1，-2） （0，-3）
（3，-1）
精选
2．平面向量的直角坐标运算
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差； 数乘向量的坐标等于用这个实数分别乘以原来向量的对应坐标。
解 ab(4,3)(6,8)(46,38) (2,5)
ab(4,3)(6,8)(4(6) ,38)
(10,11)
2a3b2(4,3)3(6,8)
( 2 4 ,2 ( 3 ) ( ) 3 ( 6 )3 ,8 )
(8,6)(1,2 8)4 (8(1)8 ,62)4 (26,30)
精选
例3
（1）若
a=（
a1
，
a
2
），b
=（
b1
，b
2
）则：
a=
a1
i +a2
j ，b = b1
i +b2
j于
是：
a+
b=
（a1 i +a2
j ）+（ b1 i +b2 j ）
=（ a1+b1） i +（ a2 +b2 ） j
=（ a1+b1， a2 +b2 ）
即
a+
b
=
（
a1
，பைடு நூலகம்
a2
）+（
b1
所以点 M 的坐标为（-1，- 3 ）。 2
精选
三、课堂练习： P62 2、3、4（1）（3）、5
四、课堂小结： 1．平面向量的直角坐标 2．平面向量的直角坐标运算
五、布置作业： P73 4
精选
结束，谢谢！
精选
已知点 A（3，-2），B（-5，-1），且
AM
1 =
AB
，求点 M 的坐标。
2
解：设点 M 的坐标为（x,y），因为
AM = 1 AB
所以
2
（x,y）-（3，-2）= 1 [ （-5，-1）-（3，-2）]
2
=(-4， 1 )
即
2
（x,y）=
(-4， 1 ) 2
+（3，-2）
=（-1，- 3 ） 2
取与x轴、y轴正方向相同的两
则 AB
个单位向量
ij
ABACCB
3i2 j
（3， 2）
精选
22jj
33ii
向量坐标的定义：
如图，平面直角坐标系 xOy 中的任意一个向量a，有且只有一对实数a1，a2
使得
a = a1
i +a2
j
则：（ a1 ， a2 ）叫做向量 a的坐标，
i
记作： a=（ a1，a2 ）
8.3.1 平面向量的直角坐标及其运算 东平县职业中专
精选
一、复习引入：
1.向量的表示方法：
①用有向线段表示；②用字母
a
、
b
等表示；
2.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
3．差向量的意义：
OA = a , OB = b , 则 BA = a - b
i = （1,0）
提问：
j = （0,1）
0 = （0,0）
精选
例1
如图：请用向量 i 、 j
分别表示向量 AB 、 CD 、 EF 、GH ,
并求它们的坐标。
AB
i 2j
=
（1，2）
CD
0i 2j =
（0，2）
EF 3i(2) j =（3，-2）
GH 4i(1)j =（-4，-1）
分配律：(λ+μ) a =λ a +μ a
λ( a + b )=λ a +λ b
精选
思考：在平面直角坐标系中，每一个 点都
有一对有序实数（坐标）来表示；任意一个 向量，它的始点和终点也可用坐标表示；那 么向量能否用坐标表示？怎样表示？
精选
二、讲解新课：
1．平面向量的直角坐标
如图，在直角坐标系内，分别
A（x1,y1）
ABOBOA (x2,y2)(x1,y1) (x2x2,y2y1)
直角坐标系中，向量的坐标等于向量的 终点坐标 减去始点坐标。
精选
例1 求出下列向量的坐标
终点-始点
AB （2，3）-（1，1）
=（2-1，3-1） =（1，2）
CD （-2，3）-（-2，1）=（0，2）
（-2，3）
也是（ a1 ， a2 ）
反之，点 A 的坐标是（ a1 ， a2 ）， 则向量 OA 的坐标也是（ a1 ， a2 ） 总结：起点在原点的向量的坐标
等于这个向量的终点坐标。
精选
向量坐标与点的坐标的联系：
在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A( x1 ， y1)，点 B（ x2 ， y2 ）则：
B （x2,y2） O
，b2
）=（
a1
+
b1
，
a2
+b2
）
a-
b
=
（ a1 ， a2 ）-（b1 ，b2 ）=（ a1 -b1 ， a2 -b2 ）
λ a= λ（ a1 ， a2 ）=（λ a1 ，λ a2 ）
精选
例2：已知 a (4,3) , b (6,8), 求：a b , a - b , 2a-3b .