理论力学 第十四章虚位移原理

广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移
xB r cos l 2 r 2 sin 2
18
§14–2 广义坐标和自由度
例1：曲柄连杆机构中, 可取曲柄OA的转角为广义坐标， 则可惟一确定质点系的位置。 广义坐标选定后，质点 系中每一质点的直角坐标都
可表示为广义坐标的函数。

xi xi (q1 , q2 ,, qk ) yi yi (q1 , q2 ,, qk ) zi zi (q1 , q2 ,, qk ) ri ri (q1 , q2 ,, qk )
(i 1,2,, n)
27
§14–3 虚位移
质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，质点 系的任意虚位移可用广义坐标（ q1,q2,……,qk）的k个独
非定常约束(非稳定约束）： 约束方程中显含时间 t。 ,y ,z , t) f (x , y ,z ,x ()0
j i i i i i i
y r
O
A
l
B
x
( xB xA ) ( yB yA ) l
2 2
2
x 2 y 2 l0 vt
非定常约束
2
12
定常约束
30
§14–3 虚位移源自文库
rC a , rA l xC asin , yC acos x A lsin , y A l cos x B 2asin , y B 0
( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) x1 y1 a 2 ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 b 2
2 2
两个自由度 取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
x2 y 2 l 2
x y l
2 2
2
13
图
§14–1 约束和约束方程
双面约束
图
单面约束
图
本章我们主要研究完整的、定常的、双面约束。
约束方程一般形式为：
f ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ) 0
14
§14–2 广义坐标和自由度
一、自由度
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 需用3个坐标表示 一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 需 用 3n个坐标表示，这3n个坐标是独立的。 对一个非自由质点系，受s个完整约束，3n个坐标需满 足s个约束方程。只有（3n-s )个独立坐标。通常，n 与 s 很 大而3n-s 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的3n-s 个相互独立的参数，要比用3n个直角坐标和s个约束方程方 便得多。 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的 数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。
又例如：曲柄连杆机构中，空间A、B两个点3n六
个坐标， 但x A , y A , z A和xB , yB , z B需满足5个方程式，
2 2 xA yA r2,
即有5个约束方程 ( x x )2 ( y y )2 l 2 B A B A
y
A
yB 0 zA 0 zB 0
O
r
l
B
x
6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自
由度
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§14–2 广义坐标和自由度
二、广义坐标
一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便， 可选择任意变量来表示质点系的位置。 用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数， 称为广义坐标。
xA r cos （x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。 y A r sin yB 0
与质点系的受力和初始条件有关，有确定的方向；
虚位移是假想的、实际并未发生位移，并不经历时间
与质点系的受力和初始条件无关，有多种可能的方向， 是无限小量。
2、虚位移与微小实位移的联系 实位移和虚位移都要满足约束。 在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一；
23 而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。
§14–3 虚位移
24
图
§14–3 虚位移
25
图
§14–3 虚位移
三、分析虚位移的方法
由于非自由质点系内各质点之间有约束联系，因 此各质点的虚位移之间有一定的关系。而独立的虚位
移个数就等于质点系自由度数。
1、几何法
在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。
dr vdt
因为虚位移是无限小位移，可选在可能发生的
q1 q2 qk
j 1
q j
k yi yi yi yi yi q1 q2 qk qj q1 q2 qk j 1 q j k zi zi zi z zi q1 q2 qk i q j q1 q2 qk j 1 q j
2 2
2
图
约束方程中显含时间t
9
§14–1 约束和约束方程
x y l
2 2
2
10
§14–1 约束和约束方程
i , y i , z 二、约束的分类 f j ( xi , yi , zi , x i , t ) ()0
1、完整约束和非完整约束
几何约束：约束方程中不包含坐标对时间的导数，约束 f j ( xi , yi , zi , t ) ()0 只限制质点的几何位置，而不限制速度。 运动约束：约束方程中包含坐标对时间的导数，约束除 f ( x , y , z , x , y , z , t ) ( )0 j i i i i i i 了限制质点的几何位移还限制质点的速度。
1
第十四章
虚位移原理
§14–1 约束和约束方程 §14–2 自由度和广义坐标
§14–3 虚位移
§14–4 理想约束
§14–5 虚位移原理
§14–6 以广义坐标表示的质点系的平衡条件
§14–7
质点系在势力场中平衡的稳定性
2
引
言
y F G E B F1 x
已知如图所示结构， AC= CE = BC= CD = DG =GE = l ，各杆自重不计。求系 统平衡时力 F 和力 F 1 之间
k
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§14–3 虚位移
xi xi (q1 , q2 ,, qk ) yi yi (q1 , q2 ,, qk ) zi zi (q1 , q2 ,, qk ) ri ri (q1 , q2 ,, qk )
(i 1,2,, n) k xi xi xi xi xi q1 q2 qk qj
(i 1,2,, n)
21
§14–3 虚位移
一、虚位移
在给定瞬时，质点（或质点系）符合约束的无限小的假 想的位移，称为质点（或质点系）在该瞬时的虚位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
M
22
§14–3 虚位移
二、虚位移与微小实位移的区别和联系
1、虚位移与微小实位移的区别 实位移是在一定的时间内实际发生的位移，
D
C A θ θ
的关系。
3
引
问题的提出
言
静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？ 杠杆 平衡条件：

F1a F2b 0
（a）
s1 atg
——— 微小角度
s2 btg
由于在新的位置系统仍然平衡 杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所 作的功来建立。对于一般的非自由质点系是否能写出类似的 4 （b） F S F S 0 条件（a）和条件（b）是等价的 1 1 2 2 平衡条件呢？答案是肯定的。
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§14–2 广义坐标和自由度
对一个非自由质点系，受s个完整约束，其自由
度为 k=3n-s 。
例如：此球摆需满足一个 约束方程
x2 y 2 l 2
此平面小球是受约束的，如 是自由质点则需2个坐标表示，
有1个作用方程，2-1=1有一
个独立的坐标，所以，此球 摆具有一个自由度
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§14–2 广义坐标和自由度
§14–1 约束和约束方程
3、双面约束和单面约束 （用等式表示） i , y i , z 双面约束：约束在两个方向都能起限制运动的作用。 i , t ) 0 f j ( xi , yi , zi , x
单面约束：约束只在一个方向起作用，另一方向能 i , y i , z i , t ) 0 f j ( xi , yi , zi , x （不等式表示） 松弛或消失。
立的变 q1 , q2 ,......,qk 来表示，求变分的方法与求 微分类似。各质点的虚位移 ri 以及在直角坐标上的投
影可以表示为：
ri ri ri (q1, q2 ,, qk ) ri q j (i 1, 2,, n) j 1 q j
xA r cos , y A r sin , z A 0
xB r cos l 2 r 2 sin 2 , y B 0, z B 0
在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
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§14–2 广义坐标和自由度
例2：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。 约束方程
在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
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§14–2 广义坐标和自由度
一般地，设有由n个质点组成的质点系，受到s个完整、 双面和定常约束，具有k=3n-1个自由度，取k个广义坐标q1、 q2、……、qk确定质点系的位置，质点系内各质点的坐标及 矢径可表为广义坐标的函数。
xi xi (q1 , q2 ,, qk ) yi yi (q1 , q2 ,, qk ) zi zi (q1 , q2 ,, qk ) ri ri (q1 , q2 ,, qk )
速度方向上分析，故可用运动学中求各质点速
度之间的关系来分析各质点虚位移之间的关系。
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§14–3 虚位移
2、解析法
质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，质点系的任意 虚位移可用广义坐标（ q1,q2,……,qk）的k个独立的变分来表示， 各质点的虚位移 ri 以及在直角坐标上的投影可以表示为：
完整约束 可积分的运动约束 几何约束 运动约束 不可积分的运动约束 -非完整约束
几何约束
运动约束
x y l
2 2
2
0 xA r 0 A r x
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§14–1 约束和约束方程
2、定常约束和非定常约束
i , y i , z ti。 定常约束(稳定约束）： f j ( xi , yi , zi , x ) ()0 约束方程中不显含时间
§14–1 约束和约束方程
一、约束
1、约束：事先对质点或质点系的位置或速度所加的限制条件。
图
5
§14–1 约束和约束方程
, t ) ()0 或 f ( x , y , z , x f j (ri , r i , y i , z i , t ) ()0 i j i i i
(i 1, 2, n)
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§14–3 虚位移
例1、分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l ) 看书p321例题1 解：此为一个自由度系统，
取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。 1、几何法
rC a rA l
rC PC a 1 rB PB 2a sin 2 sin
y
A
2、约束方程：将约束的限制条件通过质点或质点 系中各质点的坐标或速度以数学方程来表示。
r
O
l
B
x
平面单摆
x y l
2 2
2
( xB xA ) ( yB yA ) l
2 2
yB 0
2
曲柄连杆机构
2
xA y A r
2
2
6
图
§14–1 约束和约束方程
纯滚动轮
图
yA r vA r 0 0) A r (x
7
§14–1 约束和约束方程
导弹A追击目标B，要求导弹速度方向 总指向目标。
A A x y 0, xB xA yB y A A A x z 0 xB xA zB z A
图
8
§14–1 约束和约束方程
初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子
x y l0 vt