平面的基本性质
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A
C
B
R
P
Q
α
平面的基本性质
要点:
(1)3个公理及公理3的3个推论. (2)3个公理的应用.
例题讲解:
例1:如图,已知ABC ∆的各顶点在平面α外,直线,,AB BC AC 分别交平面α于,,P Q R ,求证:,,P Q R 三点共线.
证明:
,P AB AB ∈⊂平面ABC ,P ∴∈平面ABC , ,R AC AC ∈⊂平面ABC ,R ∴∈平面ABC , 又,P R αα∈∈
由公理2得,平面ABC PR α=,
,Q BC BC ∈⊂平面ABC ,Q ∴∈平面ABC ,
又Q α∈,∴点Q 在平面ABC 与平面α的交线上,即Q PR ∈,
,,P Q R ∴三点共线.
例2:三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:这三条直线交于一点. 已知:平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3,且l 1、l 2、l 3不平行. 求证:l 1、l 2、l 3相交于一点
证明:如图,α∩β=l 1,β∩γ=l 2,α∩γ=l 3,
∵l 1⊂β,l 2⊂β,且l 1、l 2不平行 ∴l 1与l 2必相交,设l 1∩l 2=P , ① 则P ∈l 1⊂α,P ∈l 2⊂γ ∴P ∈α∩γ= l 3 ② ∴l 1、l 2、l 3相交于一点P .
例3:已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面. 已知:直线a ∥b ∥c ,直线l ∩a =A ,l ∩b =B ,l ∩c =C. 求证:l 与a 、b 、c 共面. 证明:∵a ∥b
∴a 、b 确定一个平面,设为α
又l ∩a =A ,l ∩b =B ∴A ∈α,B ∈α 又A ∈l ,B ∈l ∴AB ⊂α,即l ⊂α 同理b 、c 确定一个平面β,l ⊂β. ∴平面α与β都过两相交直线b 与l . 由推论2,两条相交直线确定一个平面. ∴α与β重合.
故l 与a 、b 、c 共面.
平面的基本性质练习题
一、基础训练:
1、给出出下列命题,正确的个数是( )
○
1梯形的四个顶点在同一平面内。○2三条平行直线必共面。○3 有三个公共点的两个平面必重合。○4每两条都相交且交点各不相同和四条直线一定共面。
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 解析:○2错,如三棱镜的三条侧棱。○3错,如三点共线时两平面相交。 答案:B 2、平面,,,,,,l A B l C AC l R α
βαβα=∈∈∉∈=平面点点且B 点又过A 、B 、C 三
点确定的平面为γ,则βγ=( )
A 、直线A
B B 、直线B
C C 、直线BR
D 、直线CR 解析:
,,,,B B R R BR γβγββγ∈∈∈∈∴=且又
答案:C 3、“直线a 和b 相交于平面α内的一点M ”,用符号可表示为( ) A 、,,a b M a b αα=⊂⊂ B 、,a M b M αα== C 、,a
b M M α=∈ D 、,a M M b α=∈
答案:C
4、在空间四点中,无三点共线是无四点共面的( )
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 答案:B
5(选)、如图,在长方体ABC D —A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,直线1A C 交平面1AB D 于点M ,则下列结论错误的是( )
A 、A 、M 、O 三点共线
B 、A 、M 、O 、A 1四点共面
C 、A 、O 、C 、M 四点共面
D 、B 、B 1、O 、M 四点共面 解析:设平面BB 1D 1D 与直线A 1C 交点为M ,则OM 1//BB 1
1,,,B B O M ∴共面,显然M 1BB O ∉平面
答案:D
6、空间首尾相连的四条线段,它们可确定 个平面。 答案:1或4
7、平面α与平面β相交于直线l ,直线,a b 分别在平面,αβ内,且a b 与相交于点D ,上
述语句用数学符号语言表示为 。 答案:,,,l a b a b O α
βαβ=⊂⊂=
8(选)、若空间三个平面两两相交,则交线条数为 。 答案:1条或3条
9、如图,在正方体ABC D —1111A B C D 中,E 、F 分别为1CC 和1AA 上的中点,画出平面1BED F 与平面ABCD 的交线。
画法:在平面11AA D D 内,延长D 1F
11,D F DA D F DA 与不平行因此与必相交于
一点,设为P ,则1,P D F P DA ∈∈
又
11,D F BED F AD ABCD
⊂⊂平面平面
P ABCD ∴∈平面
又B 为ABCD 平面和1BED F 平面的公共点
∴连接PB ,PB 即为1BED F 平面与ABCD 平面的交线。
10、三个平面α、β、γ两两相交于三条直线,即,,c a b αββγγα===,若直
线a 和b 不平行。
求证:,,a b c 三条直线必过同一点。
证明:,b a αββγ==
,a b γγ∴⊂⊂
由于直线a b 与不平行,
,.a b ∴必相交
设,,a
b P P a P b =∈∈则
,a b βα⊂⊂
A
B
C
D
A 1
B 1
1
D 1
F
E A
B C
D
A 1
B 1
1
D 1
F
E P