统计学常用分布及其分位数

统计学常用分布及其分
位数

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
§ 常用的分布及其分位数
1. 卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的
分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分
布。
当X1、X2、
…
、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，

Z=iiX2 的分布称为自由度等于n的2分布，记作Z～

2

(n)，它的分布密度 p(z)=,,00,2212122其他zexnznn

式中的2n=udeuun012，称为Gamma函数，且

1
=1， 21=π。2分布是非对称分布，具有可加性，

即当Y与Z相互独立，且Y～
2(n)，Z～2

(m)，则

Y+Z～2(n+m)。
证明: 先令X1、X2、
…、Xn、Xn+1、Xn+2、…
、Xn+m相互

独立且都服从N(0,1)，再根据
2

分布的定义以及上述随

机变量的相互独立性，令
Y=X21+X22+…+X2n，Z=X21n+X22n+…+X
2

mn
，

Y+Z= X21+X22+…+X2n+ X21n+X22n+…+X
2

mn
，

即可得到Y+Z～2(n+m)。
2. t分布 若X与Y相互独立，且
X～N(0,1)，Y～2(n)，则Z =nYX 的分布称为自由度
等于n的t分布，记作Z ～ t (n)，它的分布密度
P(z)=)()(221nnn2121nnz 。
请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30
时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠
为一。这时， t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数
值表便可以得到。
3. F分布 若X与Y相互独立，且X～2(n)，Y～
2

(m)，

则Z=
mYn

X
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等

于m的F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度

p(z)=•。其他,00,2)(1222222zmnznmnzmnmnmmnn
请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由
度的次序有关，当Z～F (n, m)时，Z1～F (m ,n)。
4. t分布与F分布的关系
若X～t(n)，则Y=X2～F(1,n)。
证：X～t(n)，X的分布密度

p(x)=221nnnπ2121nnx 。
Y=X2的分布函数FY(y) =P{Y 当y0时，FY(y)=0，pY(y)=0；
当y>0时，F
Y
(y) =P{-y

=xdxpyy)(=2
xdxpy)(
0

，

Y=X2的分布密度pY(y)=21)(121221212nynynnnn•，
与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分
布密度相同，因此Y=X2～F(1,n)。
为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以
从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常
是查分位数表。有关分位数的概念如下：
4. 常用分布的分位数
1）分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用
的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数
与双侧α分位数，它们的定义如下：
当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数α满足0 <α<1
时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα，
上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，
双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=α的数λ1、使
P{X>λ2}=1-F(λ2)=α的数λ2。
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α
分位数x 1-α；
F(λ1)=α，1-F(λ2)=α，所以双侧α分位数λ1就是α分位数
x
α，双侧α分位数λ2就是α分位数x α
。
2）标准正态分布的α分位数记作u
α
，α分位数记作u

α，α分位数记作u α
。

当X～N(0,1)时，P{X< u
α}=F 0,1(uα

)=α，

P{XP{X根据标准正态分布密度曲线的对称性，
当α=时，u
α

=0；

当α<时，u
α

<0。

uα=-u
1-α
。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位
数，则先查出 u 1-α，然后得到uα=-u 1-α。
论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< u
α}= F 0,1 (u α

)=α，

P{X< u 1-α}= F 0,1 (u 1-α)=1-α，
P{X> u 1-α}=1- F 0,1 (u 1-α)=α，
故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u 1-α。
例如，u =-u =，
u =-u =，
u =-u =，
u =-u =，
u =-u =。
又因为P{|X|< u α}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位
数分别是u α和-u α。
标准正态分布常用的上侧α分位数有：
α=，u =；
α=，u =；
α=，u =；
α=，u =；
α=，u =。
3）卡平方分布的α分位数记作2α(n)。

2α(n)>0，当X～2(n)时，P{X<2

α
(n)}=α。

例如，
2 (4)=，2

(4)=，

2 (4)=，2

(4)=，

2 (4)=，2

(4)=。

4）t分布的α分位数记作tα(n)。
当X～t (n)时，P{Xα

(n)}=α，且与标准正态分布相类

似，根据t分布密度曲线的对称性，也有
tα(n)=-t 1-α(n)，论述同uα=-u
1-α
。

例如，t
(4)=，t (4)=，
t (4)=，t (4)=，
t (4)=，t (4)=。
另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t
α

(n)，

可用uα作为t
α

(n)的近似值。

5）F分布的α分位数记作Fα(n , m)。
Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X另外，当α较小时，在表中查不出F
α

(n, m)，须先查

F1-α(m, n)，再求Fα(n, m)=
),(11nmF



。论述如下：

当X～F(m, n)时，P{X< F
1-α
(m, n)}=1-α，

P{X1>),(11nmF}=1-α，P{X1<),(11nmF}=α，

又根据F分布的定义，X1～F(n, m)，P{
X

1

因此 Fα(n, m)= ),(11nmF。
例如，F
(3,4)=，F (3,4)=，
F (3,4)=，F (4,3)=，
F (4,3)=，F (4,3)=，

F (3,4)=7.281，F (3,4)=1.151，F (3,4)=
12.9

1
。

【课内练习】
1. 求分位数①2(8)，②2(12)。
2. 求分位数① t (8)，② t (12)。
3. 求分位数①(7,5)，②(10,12)。
4. 由u =写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5. 由t (4)=写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6. 若X～2(4)，P{X<}=，P{X<}=，试写出有关的分位
数。
7. 若X～F(5,3)，P{X<}=，Y～F(3,5)，{Y<}=
，试写出有关的分位数。
8. 设X
1、X2、…、X10
相互独立且都服从N(0,分布,

试求P{
X
i

i

2

>}。

习题答案：1. ①，②。2. ①，②。
3. ①
1
488.
，②。4. 为上侧分位数，与为双侧分位数。5. 为

上侧分位数，与为双侧分位数。6. 为上侧分位数，为上侧
分位数，与为双侧分位数。7. 9.01为上侧分位数，为上侧分
位数，1901.与为双侧分位数，1541.与为双侧分位数。8. 。