Caylay-Hamilton定理 极小多项式

ϕ (λ ) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) (λ − λn )
∗⎞ ⎛ λ1 ∗ ⎟ ⎜ 因为 λ2 ⎟ ⎜ −1 P AP = ⎜ ∗⎟ ⎟ ⎜ ⎜ λn ⎟ ⎠ ⎝ −1 −1 −1 于是 ϕ ( P AP ) = ( P AP − λ1 I ) ( P AP − λn )
∗ ⎛0 ⎜ λ2 − λ1 ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟× ∗ ⎟ ⎟ ⎟ λn − λ1 ⎠ ∗
ϕ (λ ) m(λ ) = d (λ )
例 求矩阵
⎞ ⎛1 1 ⎜ ⎟ 的最小多项式. ⎜ 1 ⎟ A=⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1⎠ ⎝
解 因为ϕ(λ)=(λ-1)3(λ-2), 所以A 的最小多项式 可能是(λ-1)(λ-2), (λ-1)2(λ-2), 或ϕ(λ)其中之一， 由于 ( A − E )( A − 2 E ) ≠ 0, ( A − E )2 ( A − 2 E ) = 0 ， 所以A 的最小多项式是m(λ)=(λ-1)2(λ-2)
定义 首项系数为1，次数最小的零化多
项式，称为A 的最小多项式，常用 m(λ) 表示. 最小多项式的性质： 定理 矩阵A 的最小多项式 m(λ) 可整 除A 的任意零化多项式 f (λ) ，且m(λ) 唯一. 证 设 f (λ ) = m(λ ) q (λ ) + r (λ ) 其中 deg(r (λ )) < deg(m(λ )) 来证
总结 凯莱-哈密顿定理
1. 定理 2. 最小多项式的定义与性质 3. 最小多项式的计算
51 101 52 51 100
b1 = 606 − 2 − 2 b2 = −203 + 2
于是 A
100 50
+2
+ 2 A = f ( A) = b0 I + b1 A + b2 A
2
定义 对于n阶非零方阵A，若存在非零多项 式 ϕ (λ ) ，使得 ϕ ( A) = 0 ，则称 ϕ (λ )是A的
则 Ax = λ0 x( x ≠ 0), 所以m( A) x = m(λ0 ) x = 0 因而 m(λ0 ) = 0 反之，由定理2.5， ϕ (λ ) = m(λ )q (λ ) 若 m(λ0 ) = 0 ，则 ϕ (λ0 ) = 0
k1 k2
证毕
此定理告诉我们，如果A的特征多项式写为
(λ − λr ) ϕ (λ ) = (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) 其中λi是A的特征值，1 + k 2 + + k r = n k
xi1 ,
, λm 是矩阵A 的不同特征
是属于 λi 的线性无关的特
, xir
i
征向量 (i = 1,
x11 ,
, m) ，那么向量组 , x1r ,
1
, xm1 ,
, xmr
m
也线性无关. 定理 设T 是Vn 的线性变换，T 在某一基 下的矩阵A 可以对角化 ⇔ T 有n 个线性无关
的特征向量. 定理 n 阶方阵A 与对角矩阵相似 ⇔ A 有n 个线性无关的特征向量.
1 0 ⎛ 3 ⎜ 例 求矩阵 ⎜ − 4 −1 0 项式. A=⎜ 7 1 2 ⎜ ⎜ − 7 − 6 −1 ⎝
4
0⎞ ⎟ 的最小多 0⎟ 1⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
解 因为 ϕ (λ ) = (λ − 1) ，所以A 的最小多 项式可能是 (λ − 1), (λ − 1)2 , (λ − 1)3 , (λ − 1)4四种 情况之一，由于 ( A − E )3 ≠ 0 ，所以A 的最小 多项式是 ϕ (λ ) = (λ − 1)
所以 f (λ ) = ϕ (λ )q (λ ) + b0 + b1λ + b2λ
2
因为
f (1) = b0 + b1 + b2 = 3 f (2) = b0 + 2b1 + 4b2 = 2100 + 251 f ' (1) = b1 + 2b2 = 200
所以
b0 = 2
100
+ 2 − 400
凯莱-哈密顿(Caylay-Hamilton)定理 定理 n阶矩阵A 是其特征多项式的根（零 点），即令
ϕ (λ ) = det(λI − A) = λn + an−1λn−1 +
则
+ a0
ϕ ( A) = A + an−1 A +
n n −1
+ a0 I = O
利用此结论，计算n阶矩阵A的高次幂可以用小 于n的次幂来表示，从而简化矩阵运算。 证 改写 ϕ (λ ) 为
kr
则A的最小多项式就可以表示为
(λ − λ2 ) 其中 1 ≤ mi ≤ ki (i = 1,2, r )
m1
m(λ ) = (λ − λ1 )
m2
(λ − λr )
mr
定理 设n 阶矩阵A 的特征多项式为ϕ(λ) ， 特征阵 λI-A 的伴随矩阵中各元素的最大公因式 为 d(λ) ，则A 的最小多项式为
r (λ ) = 0 ，利用反证法，若 r (λ ) ≠ 0
于是由 f ( A) = m( A)q ( A) + r ( A) 知 r ( A) = O
这与 m(λ ) 是A 的最小多项式相矛盾. 唯一性. 设A 有两个不同的最小多形式 m1 (λ )
m2 (λ ) ，取
g (λ ) = m1 (λ ) − m2 (λ )
，由于
deg( g (λ ) ) < deg(m1 (λ ) ) 且 g ( A) = O ，这与
m1 (λ ) 是最小多项式矛盾. 所以唯一.
定理 矩阵A 的最小多项式 证毕
m(λ与其特 )
征多项式 ϕ (λ ) 的零点（即A的特征值）相同 （不计重数）.
证
设
λ0是 ϕ (λ )
的零点，即A的特征值，
例
求矩阵
1 0⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ A = ⎜ − 4 − 2 0⎟ ⎜ 2 1 0⎟ ⎝ ⎠
3
的最小多项式.
解 因为 ϕ (λ ) = λ ，所以A 的最小多项式可 能是 λ , λ2 , λ3 之一，由于 A2 = 0 ，所以A 的最
m(λ ) = λ2 小多项式是
另解：因为 ϕ (λ ) = λ ，而
一个零化多项式。 由定义可见：1）对任意的方阵A都存在零化 多项式。（特征多项式就是一个） 2）对任意的方阵A，零化多项式不唯一。 例如：
⎛ 2 0 0⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜0 2 0⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎠ ⎝
特征多项式 f (λ ) = (λ − 2)
3 2
是零化多项式，同时 (λ − 2) 和 (λ − 2) 也是零化多项式
⎛ λ1 − λ2 ∗ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ × ( P −1 AP − λ I ) = n ⎟ ∗ ⎟ λn − λ2 ⎟ ⎠ ∗ ∗ ∗ ⎞ ⎛ λ1 − λ3 ∗⎞ ⎜ ⎟ ⎛0 0 ∗ λ2 − λ3 ∗ ∗ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∗⎟ ⎜ ⎜0 0 ∗ ⎟× × 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∗ ⎟ ∗⎠ ⎜ ⎝0 0 ⎟ λn − λ3 ⎠ ⎝ −1 ( P AP − λn I ) = O
3
⎛ λ + 2λ λ 0⎞ ⎜ ⎟ ∗ (λE − A) = ⎜ − 4λ λ2 − 2λ 0 ⎟ ⎜ 2λ 2⎟ λ λ ⎠ ⎝
2
中各元素的最大公因式为 d (λ ) = λ ，所以A
ϕ (λ ) 2 =λ 的最小多项式是 m(λ ) = d (λ )
矩阵的对角化 定理 如果 λ1 , 值，而
∗
即 故 例
ϕ ( P AP) = P ϕ ( A) P = O
−1 −1
ϕ ( A) = O
已知 + 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 1 1 ⎟ ⎜ 0 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠
50
解 令 f (λ ) = λ + 2λ ，因为
ϕ (λ ) = det(λI − A) = (λ − 1) 2 (λ − 2)
4
⎛a ⎜ 例 求矩阵 ⎜1 A=⎜ ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0 a 0 0
n
0 0⎞ ⎟ 0 0 ⎟的最小多项式. ⎟ ⎟ a 0⎟ ⎟ 1 a⎠
∗
解 因为 ϕ (λ ) = (λ − a ) ， 由于 (λE − A) 中各元素的最大公因式为1，所以A 的最小 ϕ (λ ) =(λ − a )n 多项式是 m(λ ) = d (λ )