二项式定理和多项式定理

二项式定理是代数中一个非常重要的定理，它可以用来展开任意次数的多项式。

在二项式定理中，当展开次数小于等于1时，我们可以通过简单的代数运算来得到展开式。

本文将会针对展开次数小于1的多项式进行讨论，并给出相应的例子和证明。

1. 二项式定理的基本形式我们先来回顾一下二项式定理的基本形式。

对于任意实数a和b以及自然数n，二项式定理的公式如下：\[ (a+b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + C_n^2a^{n-2}b^2 + ... + C_n^{n-1}a^1b^{n-1} + C_n^na^0b^n \]其中C表示组合数，其值为\( C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} \)。

这个公式可以用来展开任意幂次的二项式。

2. 展开次数小于1的多项式当我们试图展开一个多项式时，如果其展开次数小于1，那么实际上就是一个常数项，即展开式为多项式中的常数项。

举个简单的例子，如果我们要展开多项式\( (2+3)^0 \)，根据二项式定理，展开式就是1，因为\( (2+3)^0 = 1 \)。

3. 证明为了证明展开次数小于1的多项式的展开式为1，我们可以使用归纳法进行证明。

对于任意的自然数n，我们假设展开次数小于等于\( n-1 \)的多项式的展开式为1，即\( (a+b)^{n-1} = 1 \)。

那么当展开次数为n时，根据二项式定理，展开式为：\[ (a+b)^n = C_n^0a^n b^0 = 1 \]我们证明了展开次数小于1的多项式的展开式为1。

4. 例子以下我们来举几个具体的例子来验证我们的结论。

首先是\( (2+3)^0 \)，根据前面的讨论，展开式为1。

接下来是\( (4+5)^{-1} \)，同样根据前面的讨论，展开式也为1。

再来是\( (1+2)^{-2} \)，同样展开式为1。

我们可以通过这些例子来验证我们的结论。

5. 总结通过以上的讨论，我们可以得出结论：展开次数小于1的多项式的展开式为1。

利用二项式定理解决多项式问题多项式问题一直是数学中的重要内容，而二项式定理则是解决这类问题的重要工具之一。

通过利用二项式定理，我们可以简化多项式的展开和计算过程，使得解决多项式问题变得更加高效和方便。

本文将介绍二项式定理的基本概念和应用，并通过具体例子来展示如何利用二项式定理解决多项式问题。

一、二项式定理的基本概念二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的幂在展开后的形式。

该定理可以表示为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n + C(n,1) * a^(n-1)b + C(n,2) * a^(n-2)b^2 + ...+ C(n,n-1) * ab^(n-1) + C(n,n) * b^n其中，a和b是任意实数或复数，n是非负整数，C(n,k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的方案数。

二、二项式定理的应用1. 多项式展开利用二项式定理，我们可以将一个多项式展开成一系列项的形式。

例如，对于一个三次多项式(x + y)^3，通过应用二项式定理，我们可以得到展开式：(x + y)^3 = C(3,0) * x^3 + C(3,1) * x^2y + C(3,2) * xy^2 + C(3,3) * y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3通过展开多项式，我们可以更好地理解多项式的结构和性质，进而解决与多项式相关的问题。

2. 计算组合数在二项式定理中，组合数C(n,k)表示了从n个不同元素中取出k个元素的方案数。

通过计算组合数，我们可以解决一些实际问题。

例如，假设有10个人参加一场比赛，需要从中选出3个人组成一支队伍，那么选取不同人数的方案数可以通过组合数来计算。

具体地，方案数可以表示为C(10,3) = 120。

3. 确定多项式系数当我们知道一个多项式在展开后的形式，并且已知其中的某些项的系数时，可以通过二项式定理来确定其他项的系数。

例如，假设我们有一个五次多项式(x + 2y)^5，在展开后的形式中，已知其中的一项为120x^3y^2，我们可以利用二项式定理来确定其他项的系数，进而还原整个多项式的表达式。

2 =2
50
2+3×16
16 16 r 16 16 = 4 ⋅ 8 = 4(1 + 7) = 41 + ∑ r 7 r =1
显然再过 10 是星期二.
100
2.4 牛顿二项式定理
定理 令 α 是一个实数。则对于所有满足 0 ≤ x < y 的x和y 其中
n
再令 x = 1, 即得结论.
2.2 若干等式及其组合意义
n k = n(n + 1)2n−2. 10 设 n为自然数,则有 ∑ k k=1 n n k−1 n−1 证明: 在n(1 + x) = ∑k x 两端乘 x ,得 k=1 k
n 2
(x
1
+ x2 + L+ xt ) = ∑
n
t i i =1
n n n x1 x2 Lxtn n n Ln t ∑n =n 1 2
1 2
t
定理: 定理 ( x1 + x2 + L+ xt )n 展开式的项数等于
n + t −1 ,而这些项系数之和为 t n . n
即(x+y)n=
∑
n n -k k x y k k=0
n
其组合意义是：将n个相异的球放入两个不同的盒子中， 其中要求x盒放入n-k个求，y盒放入k个球，且同盒的球 不分次序，其方案数为：
n! k!(n − k)!
2.1 二项式定理
二项式定理的几个其它形式: 二项式定理的几个其它形式 (1) (x+y)n=
∞
2.4 牛顿二项式定理
设

如何利用二项式定理处理多项式问题二项式定理是一个适用于处理多项式问题的重要数学工具。

它描述了如何将一个二元多项式的n次方展开成一个和式，可用于求解各种复杂的数学问题，如求多项式的系数、计算多项式的值、证明恒等式等。

本文将详细介绍如何利用二项式定理处理多项式问题。

一、二项式定理的表述二项式定理又称为牛顿-莱布尼兹公式，表述为：$$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n C_n^ix^i y^{n-i}$$其中，$C_n^i$表示从n个不同元素中选取i个元素的组合数，也即是二项式系数，它满足以下等式：$$C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}$$二、求解多项式系数二项式定理最广泛的应用之一就是用于求解多项式的系数。

多项式系数是指多项式中每一项的系数，如4x^3+3x^2-2x+1中的系数分别为4、3、-2和1。

通过利用二项式定理展开多项式，可以轻松地求得多项式中每一项的系数。

假设我们要展开的多项式为：$$(x+y)^4$$那么，我们可以使用二项式定理展开它：$$(x+y)^4=C_4^0x^4y^0+C_4^1x^3y^1+C_4^2x^2y^2+C_4^3x^1y^3+ C_4^4x^0y^4$$然后，我们就可以直接提取出多项式每一项的系数：$$C_4^0=1$$$$C_4^1=4$$$$C_4^2=6$$$$C_4^3=4$$$$C_4^4=1$$因此，我们可以将展开后的多项式写成：$$(x+y)^4=1x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+1y^4$$这样，我们就成功地求出了多项式中每一项的系数。

三、利用二项式定理计算多项式的值除了可以求解多项式的系数之外，二项式定理还可以用于计算多项式在某个特定点的值，这在数学分析和离散数学中都是非常常见的问题。

计算多项式的值需要我们将多项式的每一项均按照指数次幂排序，然后用目标点代入每一项中的变量并相加，即可得到多项式在目标点的值。

二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理是数学中非常重要的概念，它们被用于解决
各种数学问题，如有解和无解等等。

二元齐次对称多项式是一种可以用来区分开学术问题的多项式，它由两个变量
组成，一个是可变的完全多项式，另一个是不变的实因式。

它的形式为ax^2+bx+c，其中，a、b、c分别是常数项、二阶项和一阶项。

由此可见，二元齐次对称多项式
可以用来表示学术问题中的复杂变化，以及计算多项式值的结果。

二项式定理是以莱布尼茨多项式（莱布尼茨级数）为基础的定理，指的是在满
足条件的情况下，将多项式的幂改写成递推形式，从而解决多项式分解式或其它问题。

它通常以二元齐次多项式的形式表示，写作ax^2+bx+c，其中的a、b、c分别
是常数项、二阶项和一阶项。

二项式定理提供了一种快速有效的分解式，能够使用该定理快速地求出高次多项式求解的结果，使得高次多项式在数学研究中显得更加便利。

综上所述，二元齐次对称多项式与二项式定理是数学中重要的概念，在了解和
解决学术问题方面都有着重要作用。

二元齐次对称多项式和二项式定理用于表示复杂变化以及计算多项式值的结果，以及更快地求出高次多项式求解的结果，从而使得学术问题得以更快有效地解决。

二项展开式的特点 (1)项数：共有 n＋1 项； (2)(a＋b)n 的展开式中各项均为 a 与 b 的 n 次齐次式，其中
a 的指数由 n 逐项减少到 0，b 的指数由 0 逐项增加到 n， 简称“一降二升”；
(3)注意区分“项”、“项数”、“系数”、“二项式系数”等概念 的区别．
2．二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一
性质直接由公式 Ckn＝Cnn－k 得到．
(2)增减性 ∵Ckn＝n－kk＋1Ckn－1，
n＋1 ∴当 k＜ 2 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知
后半部分是逐渐减小的．
(3)最大值
当 n 为偶数时，中间一项(第 n2＋1 n
项)的二项式系数最
大，最大值为
C
2 n
.
当 n 为奇数时，中间两项(第
n－2 1＋1
【点评】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设 第 r＋1 项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列 出不等式组并解此不等式组求得．
变式题
[2009·全国卷Ⅰ]
x－y
10
的展开式中，x7y3
的系数与 x3y7 的系数之和等于________．
【思路】根据二项展开式的通项公式分别找到所求 两项的系数即可．
例 3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1) a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)a0＋a1＋a2＋…＋a7.
【思路】利用赋值法可求得．
【解答】令 x＝1 则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1，①
【解答】 B 对于 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－1xr ＝(－1)rC5rx10－3r，对于 10－3r＝4， ∴r＝2，则 x4 的项的系数是 C25(－1)2＝10.

二项式定理与多项式展开二项式定理和多项式展开是高中数学中的重要概念，它们在代数学习中扮演着极为重要的角色。

二项式定理是指将一个二项式的幂展开成一系列项的和的规律，而多项式展开则是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。

本文将详细介绍二项式定理和多项式展开的概念、公式及应用。

一、二项式定理的概念与公式二项式是指由两个项构成的代数式，常写成(a+b)^n的形式，其中a和b为实数，n为非负整数。

二项式定理是指将(a+b)^n展开成一系列项的和的规律。

根据二项式定理，当n为非负整数时，展开的式子将由多个组合而成的项组成，而每个组合项的系数则和展开式中的位置有关。

二项式定理可以表示为以下公式：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ … + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)在展开式中，每一项的次数和系数满足以下规律：- 当k为偶数时，系数为正整数。

- 当k为奇数时，系数为负整数。

二项式定理可以用于求解二项式的幂及其性质，例如二次方、三次方等。

二、多项式展开的概念与公式多项式是指由多个项构成的代数式，其中每个项包含变量的幂和系数。

多项式展开是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。

多项式展开涉及到各种计算方法，比如乘法法则、分配率等。

下面以一个简单的示例来说明多项式展开。

假设我们有一个多项式表达式为(a+b)^3，按照展开的规则，我们可以将其展开为：(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3在展开的过程中，我们需要运用乘法法则和分配率，逐步计算得到每个项的系数。

多项式展开不仅可以用于简化多项式的形式，还能帮助我们解决实际问题。

利用二项式定理展开多项式的方法和技巧在数学中，二项式定理是一种非常有用的工具。

它可以用于展开任意次数的多项式，从而简化复杂的计算过程。

本文将介绍利用二项式定理展开多项式的方法和技巧。

一、二项式定理的表达式和理解二项式定理的一般表达式如下：$$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + ... + C_n^r a^{n-r} b^r + ... + C_n^n a^0 b^n$$其中，$$C_n^r$$是组合数，表示从n个元素中选取r个元素的组合数。

理解二项式定理的关键是明确其中的模式。

在定理的展开式中，每一项都有两个分量：一个是$$a^{n-r}$$，另一个是$$b^r$$。

这两个分量的幂次之和一定为n，且随着r的增大而交替变化，从而产生类似于二项式的形式。

二、利用二项式定理展开多项式的方法和技巧1. 确定多项式的次数要利用二项式定理展开一个多项式，首先需要确定该多项式的次数n。

这个次数决定了展开式中的项数。

2. 确定各项的系数展开后的每一项都有一个系数，这个系数可以通过组合数$$C_n^r$$来确定。

3. 识别多项式中的各项分解给定的多项式，并识别每一项的形式。

例如，对于$$ (2x +3)^3$$，可以识别出三项为$$2x^3$$，$$3^3$$和$$3 * 2x^2$$。

4. 利用二项式定理展开多项式根据二项式定理展开式的形式，将识别出的各项分别展开，并相加得到最终的展开式。

例如，上述的$$ (2x + 3)^3$$可以展开为：$$C_3^0 (2x)^3 3^0 + C_3^1 (2x)^2 3^1 + C_3^2 (2x)^1 3^2 + C_3^3 (2x)^0 3^3$$以上就是利用二项式定理展开多项式的方法和技巧。

通过理解二项式定理的表达式和模式，并运用展开式中各项的系数和形式，我们可以简化多项式的计算过程，从而更高效地进行数学运算。

组合数学知识点总结组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合、排列和组合等离散的数学结构。

在现代科学和工程中，组合数学经常被应用于计算机科学、密码学和操作研究等领域。

本文将对组合数学的一些重要知识点进行总结。

一、集合论基础在组合数学中，集合是一个基本概念。

集合由元素组成，元素可以是具体的对象或者抽象的个体。

在集合论中，常用的符号有∈表示“属于”，∉表示“不属于”，∪表示“并集”，∩表示“交集”，∖表示“差集”，等等。

二、排列与组合1. 排列排列是从集合中选择一部分元素按照一定的顺序排列，其重要性质有：- 有序性：排列的元素是有顺序的。

- 可重复性：元素可以重复使用。

2. 组合组合是从集合中选择一部分元素不考虑顺序的组成一个组合，其重要性质有：- 无序性：组合的元素无顺序要求。

- 不可重复性：元素不可重复使用。

三、二项式定理与多项式定理1. 二项式定理二项式定理是组合数学中一个基本且重要的定理，它用于展开二次幂或高次幂的多项式。

二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n * b^0 + C(n, 1)a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n)a^0 *b^n其中，C(n, k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

2. 多项式定理多项式定理是二项式定理的推广，用于展开更高次幂的多项式。

多项式定理的公式为：(a1 + a2 + ... + ak)^n = Σ C(n, k1, k2, ..., km)a1^k1 * a2^k2 * ... *ak^km其中，Σ表示对所有组合进行求和，C(n, k1, k2, ..., km)为多重组合数，表示从n个元素中选择k1个元素作为第一项，k2个元素作为第二项，以此类推。

四、图论基础图论是组合数学的一个重要分支，研究的是图及其性质。

图是由节点和边组成的一种数学结构，用于描述事物之间的关系。

图论中的一些基本概念和算法包括：- 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。

初中数学知识归纳二项式定理与多项式的因式分解初中数学知识归纳：二项式定理与多项式的因式分解一、二项式定理的定义与应用二项式定理是数学中重要的定理之一，它描述了任意非负整数指数的两个数相加的多项式的展开结果。

公式形式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ...+ C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数。

二项式定理的展开结果中每一项的系数恰好是组合数。

二项式定理的应用非常广泛，特别是在代数、概率、统计等课程中。

它可以用来求解数学问题，简化计算，展开多项式等。

二、多项式的因式分解多项式的因式分解是将多项式写成几个多项式的乘积形式的过程。

这在解方程、求根、化简表达式等问题中起到重要作用，可以简化计算和理解。

下面介绍两种常见的因式分解方法。

1. 提公因式法提公因式法是将多项式中的公因式提取出来的方法。

具体步骤如下：（1）将给定多项式进行整理，按照降幂排列，即从高次项到低次项；（2）观察各项的系数和变量部分，判断是否存在公因式；（3）将公因式提取出来，写在括号外，并用除法将原多项式除以公因式；（4）将原多项式除以公因式后得到的商即为因式分解的结果。

例如，对于多项式3x^2 + 6x，可以发现公因式为3x，因此可以将公因式提取出来，得到3x(x + 2)。

2. 平方法平方法是将多项式写成两个平方和的形式的方法，适用于形如a^2 + 2ab + b^2和a^2 - 2ab + b^2的情况。

具体步骤如下：（1）将多项式按照降幂排列；（2）观察各项的系数和变量部分，判断是否适用平方法；（3）将多项式写成两个平方和的形式，并组合成完全平方；（4）将多项式写成完全平方后进行因式分解，得到因式分解的结果。

例如，对于多项式x^2 + 4x + 4，可以将其写成(x + 2)^2的形式，进而得到因式分解的结果为(x + 2)^2。

2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)一、二项式定理的概念二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它描述了二项式展开式的规律。

二项式定理的公式如下：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{nk}b^k$其中，$C_n^k$ 表示组合数，表示从n个不同元素中选取k个元素的组合方式的总数。

组合数的计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(nk)!}$其中，$n!$ 表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。

二、二项式定理的应用1. 求解二项式展开式的系数：二项式定理可以帮助我们求解二项式展开式的系数。

例如，求解 $(x+2)^3$ 的展开式，可以使用二项式定理来计算各项的系数。

2. 求解二项式展开式的项数：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的项数。

例如，求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项，可以使用二项式定理来计算。

3. 求解二项式展开式的通项公式：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的通项公式。

例如，求解 $(x+y)^4$ 的展开式的通项公式，可以使用二项式定理来推导。

三、二项式定理的例题解析为了更好地理解二项式定理的应用，下面我们将通过几个例题来进行解析。

例题1：求解 $(x+3)^4$ 的展开式。

解析：根据二项式定理，$(x+3)^4$ 的展开式可以表示为：$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k x^{4k}3^k$计算各项的系数，得到展开式为：$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$例题2：求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项。

解析：根据二项式定理，$(x+1)^5$ 的展开式的项数等于 $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$。

计算各项的系数，得到展开式的项数为：$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$因此，$(x+1)^5$ 的展开式共有32项。

二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。

具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。

+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。

右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。

二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。

2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。

3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。

通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。

例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。

+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。

二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。

具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。

通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。

它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。

三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。

二项式定理与多项式1．二项工定理∑=-∈=+nk kk n k n nn b a C b a 0*)()(N2．二项展开式的通项 )0(1n r b aC T r rn rn r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项.3．二项式系数 ).0(n r C rn ≤≤ 4．二项式系数的性质 （1）).0(n k C C kn nkn ≤≤=-（2）).10(111-≤≤+=---n k C C C k n kn k n （3）若n 是偶数，有nn n nn nnn CCCC C >>><<<-1210，即中间一项的二项式系数2nnC最大.若n 是奇数，有nnn n n nn nnn C C CCC C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n n nn CC 和相等且最大.（4）.221nnn n n n C C C C =++++（5）.2153142-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C（6）.1111----==k n kn k n k n C kn C nC kC 或 （7）).(n k m C C C C C C m m k n mk nmk m n mn mk kn ≤≤=⋅=⋅+----（8）.1121++++++=+++++n k n nk n nn nn nn C C C C C以上组合恒等式（是指组合数mn C 满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基 本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出.5．证明组合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. （3）利用数学归纳法.（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.例题讲解1．求7)11(xx ++的展开式中的常数项.2．求62)321(x x -+的展开式里x 5的系数.3．已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足 ),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，nn n n n n n n n n n n n n xC a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(111222211100 是x 的一次多项式或零次多项式.4．已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，A n 均为整数.5．已知y x ,为整数，P 为素数，求证：)(mod )(P y x y x P P P +≡+6．若)10*,,()25(12<<∈+=++ααN m r m r ，求证：.1)(=+ααm 7．数列}{n a 中，)2(3,311≥==-n a a an n ，求2001a 的末位数字是多少？ 8．求N=1988－1的所有形如b a d ba,(,32⋅=为自然数）的因子d 之和. 9．设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.10．已知),2,1(8,1,01110 =-===-+n a a a a a n n n 试问：在数列}{n a 中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.课后练习1．已知实数βα,均不为0，多项ββαα++-=x x x x f 23)(的三根为321,,x x x ，求 )111)((321321x x x x x x ++++的值.2．设d cx bx ax x x f ++++=234)(，其中dc b a ,,,为常数，如果,3)3(,2)2(,1)1(===f f f 求)]0()4([41f f +的值.3．定义在实数集上的函数)(x f 满足：).(,1)1()(x f x x xf x f 求+=-+4．证明：当n=6m 时，.033325531=-⋅+⋅+⋅- n n n n C C C C5．设n x x )1(2++展开式为n n x a x a x a a 222210++++ ，求证：.31630-=+++n a a a6．求最小的正整数n ，使得n y x xy )2173(-+-的展开式经同类项合并后至少有1996项.7．设493)12()1()(+-+=x x x x f ，试求： （1）)(x f 的展开式中所有项的系数和. （2）)(x f 的展开式中奇次项的系数和.8．证明：对任意的正整数n ，不等式nnnn n n )12()2()12(-+≥+成立.例题答案：1.解：由二项式定理得77)]1(1[)11(xx x x ++=++77772271707)1()1()1()1(xx C x x C x x C x x C C r r ++++++++++= ①其中第)70(1≤≤+r r 项为r rr xx C T )1(71+=+ ②在rxx )1(+的展开式中，设第k+1项为常数项，记为,1+k T则)0(,)1(2,1r k x C xx C T kr k r k k r k r k ≤≤==--+ ③由③得r －2k=0，即r=2k ，r 为偶数，再根据①、②知所求常数项为.39336672747172707=+++C C C C C C C评述：求某一项时用二项展开式的通项. 2. 解：因为6662)1()31()321(x x x x -+=-+].1][)3()3()3(31[6665564463362261666633622616x C x C x C x C x C x C x C x C x C x C +-+-+-⋅++⋅+⋅+⋅+= 所以62)321(x x -+的展开式里x 5的系数为26363362624616563)(33)(1C C C C C C C ⋅+-+⋅+- .16813)(356516464-=⋅+-⋅+C C C 评述：本题也可将62)321(x x --化为62)]32(1[x x -+用例1的作法可求得.3. 分析：由}{211n i i i a a a a 知=++-是等差数列，则),,2,1(01 =+=+=-i id a d a a i i 从而可将)(x p 表示成d a 和0的表达式，再化简即可.解：因为),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 所以数列}{n a 为等差数列，设其公差为d 有),3,2,1(0 =+=i id a a i 从而n n n n n n n n n xC nd a x x C d a x x C d a x C a x P )()1()2()1()()1()(022*******+++-++-++-=-- ],)1(2)1(1[])1()1([222111100n n n n n n n n n n n n n n x nC x x C x x C d x C x x C x C a ++-+-⋅+++-+-=--- 由二项定理，知,1])1[()1()1()1(222110=+-=++-+-+---n nn n n n n n n n x x x C x x C x x C x C 又因为,)]!1()1[()!1()!1()!(!!11--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 从而nn n n n n n x nC x x C x x C ++-+--- 22211)1(2)1(])1()1[(12111----++-+-=n n n n x x x C x nx .])1[(1nx x x nx n =+-=- 所以.)(0ndx a x P +=当x x P d 为时)(,0≠的一次多项式，当为时)(,0x P d =零次多项式.4. 分析：由θn sin 联想到复数棣莫佛定理，复数需要θcos ，然后分析A n 与复数的关系.证明：因为.sin 1cos ,,20,2sin 2222222ba b a b a b a ab +-=-=><<+=θθπθθ所以且 显然n i n )sin (cos sin θθθ+为的虚部，由于ni )sin (cos θθ+.)()(1)2()(1)2(2222222222222nnn n bi a b a abi b a b a i b a ab b a b a ++=+-+=+++-=所以.)()s in (c o s )(222n n bi a n i n b a +=++θθ从而n n n bi a n b a A 222)(sin )(++=为θ的虚部.因为a 、b 为整数，根据二项式定理，nbi a 2)(+的虚部当然也为整数，所以对一切*N ∈n ，A n 为整数.评述：把A n 为与复数ni )sin (cos θθ+联系在一起是本题的关键.5. 证明：P P p P P P P P P P y xy C y x C y x C x y x +++++=+----1122211)( 由于)1,,2,1(!)1()1(-=+--=P r r r p p p C r P 为整数，可从分子中约去r ！，又因为P 为素数，且p r <，所以分子中的P 不会红去，因此有).1,,2,1(|-=P r C P rP 所以 ).(mod )(P y x y x P P P +≡+评述：将P y x )(+展开就与PP y x +有联系，只要证明其余的数能被P 整除是本题的关键. 6. 分析：由已知1)()25(12=++=++αααm m r 和 猜想12)25(+-=r α，因此需要求出α，即只需要证明1212)25()25(++--+r r 为正整数即可.证明：首先证明，对固定为r ，满足条件的α,m 是惟一的.否则，设1112)25(α+=++m r],),1,0(,*,,[2121212122ααααα≠≠∈∈+=m m m m m N则)1,0()0,1(,,021212121⋃-∈-∈-≠-=-ααααZ m m m m 而矛盾.所以满足条件的m 和α是惟一的. 下面求α及m .因为12212212211212012121222)5(2)5()5()25()25(+-++++++++⋅+⋅+=--+r r r r r r r r r C C C ]22)5(2)5()5([12212212211212012+-++++-+⋅+⋅--r r r r r r r C C C*]252525[2]22)5(2)5([21212121231312112123223122112N ∈+++⋅⋅+⋅=++⋅+⋅=+--+-+++-++r r r r r r rr r r r r r CCCC C又因为)1,0()25(),1,0(2512∈-∈-+r 从而所以)2252525(21212121231312112+--+-+++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=r r r r r r r r r C C C m 12)25(+-=r α 故.)25()(12+-=+r m αα .1)45()25(1212=-=+++r r评述：猜想121212)25()25(,)25(+++-+-=r r r 与α进行运算是关键.7. 分析：利用n 取1，2，3，…猜想n n a a 及的末位数字. 解：当n=1时，a 1=3，3642733321+⨯====a a27)81(3)81(3)3(3336363643642732⨯=⋅=⋅====+⨯a a ，因此32,a a 的末位数字都是7，猜想，.*,34N ∈+=m m a n 现假设n=k 时，.*,34N ∈+=m m a k 当n=k+1时， 34341)14(33+++-===m m a k ka34034342412434124134034034)1(4)1(4)1(4)1(4++++++++++-⋅⋅+-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅=m m m m m m m m m m C C C C ,3)1(414+-=-=T T 从而*)(34N ∈+=m m a n 于是.27)81(33341⨯===++m m a n na 故2001a 的末位数字是7.评述：猜想34+=m a n 是关键.8. 分析：寻求N 中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开.解：因为N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1=－888888888787878833388222881885454545454⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯C C C C C)552(22552565-=⨯+⨯-=M M 其中M 是整数.上式表明，N 的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)88－18888888822288188929292⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯=C C C=32×2×88+34·P=32×（2×88+9P ）其中P 为整数.上式表明，N 的素因数中3的最高次幂是2.综上所述，可知Q N ⋅⋅=2532，其中Q 是正整数，不含因数2和3. 因此，N 中所有形如ba32⋅的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.9. 分析：直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 解：令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x +y 是个位数字为零的整数.再对y 估值，因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.评述：转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.10. 分析：先求出n a ，再将n a 表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除.证明：在数列}{n a 中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之.数列}{n a 的特征方程为,0182=+-x x 它的两个根为154,15421-=+=x x ， 所以n n n B A a )154()154(-++= （n=0，1，2，…） 由,1521,15211,010-====B A a a 得 则],)154()154[(1521n n n a --+=取),2,1,0(2 ==k k n ，由二项式定理得])15(42)15(421542[15211133311----⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=n n n n n n n n C C C a),(1542)1544(154154154415415441221223232121212232321212223311为整数其中T T k C C C C C C C C C k k k kk k k k k k k k k k k n n nn nn n+⋅=⋅⋅++⋅+⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅=-----------由上式知当15|k ，即30|n 时，15|a n ，因此数列}{n a 中有无穷多个能被15整除的项. 评述：在二项式定理中，nnb a b a )()(-+与经常在一起结合使用.。

性
二项式定理展开的实例
展开式：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n 实例1：(2+3)^3 = 8^3 = 512 实例2：(2-3)^3 = (-1)^3 = -1 实例3：(2+3)^4 = 8^4 = 4096
04
多项式的概念
06
多项式与二项式定理的关系
二项式定理在多项式中的应用
二项式定理的定 义和性质
二项式定理在多 项式中的展开式
二项式定理在多 项式乘法中的应 用
二项式定理在多 项式除法中的应 用
多项式中的二项式定理实例
二项式定理的定义：一个多项式与另一个多项式的乘积，其中每个多项式 的次数不超过2
二项式定理的应用：在多项式中寻找规律，简化计算
多项式的次数和项数
多项式的次数：多项式中最高次 项的次数
例如：多项式x^3+2x^2-3x+1 的次数为3，项数为4
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多项式的项数：多项式中单项式 的个数
多项式的次数和项数是判断多项 式类型的重要依据
05
多项式的运算
多项式的加减法
定义：多项式相加或相减，合并同类项 法则：合并同类项，系数相加，字母和指数不变 例子：(x^2+2x-3) + (x^2-x+1) = 2x^2+x-2 注意事项：合并同类项时，要注意系数的符号，以及字母和指数的匹配
C(3,3)*b^3
整理展开后的多 项式：将计算得 到的各项按照一 定的顺序排列， 如按指数从大到
小的顺序排列
二项式定理展开的注意事项

二项式定理和多项式定理1．固定分组问题例1 将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种：（1）4位学生每人3本；（2）甲、乙各得4本，丙、丁各得2本；（3）甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本．解 （1）先从12本书中选取3本分给甲，有312C 种方法；当甲分得3本书后，从剩下的9本书中选取3本分给乙，有39C 种方法；类似可得,丙、丁的分法分别有36C 、33C 种,由乘法原理得所求分法共有312C 39C 36C 33C =4)!3(!12=369600种； （2）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为48412C C 2224C C =!2!2!4!4!12⋅⋅⋅=207900；（3）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为47512C C 1123C C =!1!2!4!5!12⋅⋅⋅=83160．在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的本数，我们称之为固定分组问题．我们将这个问题总结成如下一般定理：定理1 将n 个不同的元素分成带有编号从1，2，…，r 的r 个组：1A ，，， 2A r A ，使得1A 有n 1个元素，2A 有2n 个元素，…，r A 有r n 个元素，n n n n r =+++ 21，则不同的分组方法共有!!!!21r n n n n ⋅⋅⋅ 种．证明 先从n 个不同的元素中选取n 1个分给1A ，这一步有1n n C 种方法；再从剩下的1n n -个元素中选取2n 个分给2A ，这一步有21n n n C -种方法；如此继续下去，最后剩下的r n 个元素分给r A ，有r rn n C 种方法，由乘法原理得这样的固定分组方法共有1n n C 21n n n C -…r r n n C =!!!!21r n n n n 种．证毕．我们将定理1的分配问题简称为（r n n n n ，，，； 21）固定分组问题．2．不尽相异元素的全排列 多项式定理固定分组数!!!!21r n n n n ⋅⋅⋅ 有多种组合学意义，除了表示固定分组的方法数外，它还有以下两种表示意义：（1）不尽相异元素的全排列种数!!!!21r n n n n ⋅⋅⋅有r 类元素，其中第k 类元素有k n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，不同类元素互不相同，n n n n r =+++ 21。

二项式定理1、二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，它一共有n ＋1项，其中C r n an －r b r叫做二项展开式的第r ＋1项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n an －r b r. C r n (r ＝0,1，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数． 2、二项式系数的性质(1)C mn ＝C n －mn；(2)C mn ＋C m －1n＝C m n ＋1；(3)当r <n －12时，C r n <C r ＋1n ；当r >n －12时，C r ＋1n <C r n ；(4)C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n. 3．二项式系数的最大值(1)当n 是偶数时，展开式中间一项T n 2＋1的二项式系数C n2n 最大；(2)当n 是奇数时，展开式中间两项T 21+n 与T 121++n 的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n相等且最大．探究点一 二项展开式 例 1、求(3x ＋1x )4的展开式探究点二 二项展开式的通项例 2、(1)求(1＋2x )7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数； (2)求⎝⎛⎭⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．例3 已知⎝⎛⎭⎪⎫x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)展开式中含x 的一次项；(2)求展开式中所有的有理项．（3）证明：展开式中没有常数项；（4）展开式中的第4项的二项式系数与项的系数跟踪训练3 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项跟踪训练4 （1）(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A.10B.20C.30D.60(2)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答).探究点三 求二项式系数、项的系数的最值例4 在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．探究点四 二项式系数的和例5、在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和；(2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和．跟踪训练5 (1)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________.（3）(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则，123456782345678a a a a a a a a +++++++=探究点五 整除问题例6求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；练习、1．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．2．若(1＋2)4＝a ＋b 2(a 、b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 3．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.4．已知在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．5．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 6．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于________．7．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n的展开式中第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数． 8．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为________． 9．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 例1、81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.例2解 (1).所以展开式的第4项的二项式系数是35，系数是280. (2)x 3的系数是(－1)3C 39＝－84.例3(1)证明 ∴展开式中没有常数项．(2)解 T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.跟3解 (1)即n ＝10.(2)∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.跟4，C ，-20例4、解 (1)二项式系数最大的项是第11项．T 11＝C 1020·310·(－2)10x 10y 10＝C 1020·610x 10y 10. (2)所以r ＝8，即T 9＝C 820·312·28x 12y 8是系数绝对值最大的项． (3) 解之得r ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大．T 9＝C 820·312·28x 12y 8. 例5解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3) 两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，(4)方法一 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59.跟5 答案 (1)364 (2)－1（3）-8练习1、5 2、 29 3、 0 4、展开式中的常数项为C21022＝180.、5、答案 －16、答案 x 37、其一次项系数为C 91729 8、 2n ＋1－2 9、20。

《二项式定理》知识清单一、二项式定理的定义对于任意正整数 n，有\（（a ＋ b)＾n ＝ C_{n}＾｛0}a^n ＋ C_{n}＾｛1}a^｛n 1}b ＋ C_{n}＾｛2}a^｛n 2}b^2 ＋＼cdots ＋ C_{n}＾｛r}a^｛n r}b^r ＋＼cdots ＋ C_{n}＾｛n}b^n\）其中，各项的系数\（C_{n}＾｛r}＼）（＼（r ＝ 0, 1, 2, ＼cdots,n\））称为二项式系数，通项公式为\（T_{r ＋ 1} ＝ C_{n}＾｛r}a^｛n r}b^r\）二、二项式系数的性质1、对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即\（C_{n}＾｛r} ＝C_{n}＾｛n r}＼）2、增减性与最大值当\（n\）是偶数时，中间一项\（C_{n}＾｛＼frac{n}｛2}｝＼）取得最大值；当\（n\）是奇数时，中间两项\（C_{n}＾｛＼frac{n 1}｛2}｝＼）和\（C_{n}＾｛＼frac{n ＋ 1}｛2}｝＼）相等且同时取得最大值。

3、各二项式系数的和＼（C_{n}＾｛0} ＋ C_{n}＾｛1} ＋ C_{n}＾｛2} ＋＼cdots ＋C_{n}＾｛n} ＝ 2^n\）＼（C_{n}＾｛0} ＋ C_{n}＾｛2} ＋ C_{n}＾｛4} ＋＼cdots ＝C_{n}＾｛1} ＋ C_{n}＾｛3} ＋ C_{n}＾｛5} ＋＼cdots ＝ 2^｛n 1}＼）三、二项展开式的通项公式通项公式\（T_{r ＋ 1} ＝ C_{n}＾｛r}a^｛n r}b^r\）（＼（r ＝ 0, 1, 2, ＼cdots, n\））是展开式的第\（r ＋ 1\）项。

在使用通项公式时，要注意以下几点：1、通项公式表示的是展开式中的任意一项，只要将通项中的\（r\）确定，就能得到相应的项。

2、通项公式中涉及到\（a\）、＼（b\）、＼（n\）、＼（r\）四个量，在解题时，需要根据已知条件，灵活运用这四个量之间的关系。