第04讲 多项式定理及组合恒等式

多项式恒等定理多项式恒等定理是代数学中的一个重要定理，它关于多项式的等价与相等的性质进行了精确的描述。

本文将介绍多项式恒等定理的基本概念、证明过程和应用，并深入探讨其在数学领域的重要性和实际应用。

一、多项式恒等定理的基本概念多项式是由若干项组成的代数表达式，每一项由系数与幂的乘积组成。

多项式的恒等定理是指当两个多项式在所有取值下都相等时，它们可以视为同一个多项式。

换句话说，恒等定理描述了当多项式的各项系数相等时，这两个多项式是完全相同的。

根据多项式的恒等定理，我们可以通过比较各项系数的值来判断两个多项式是否相等或等价。

这为解决方程、求解代数问题提供了有力的工具和方法。

二、多项式恒等定理的证明过程证明多项式的恒等定理通常基于代数的基本运算法则和等价变形的原理。

下面以一个简单的例子来说明证明多项式恒等定理的一般过程：假设有两个多项式P(x) = x^2 + 2x + 1和Q(x) = (x + 1)^2。

首先，我们可以对多项式Q(x)进行展开，得到Q(x) = x^2 + 2x + 1。

观察到这两个多项式的各项系数完全相同，即P(x)与Q(x)在所有取值下都相等。

据此，我们可以得出结论：P(x) ≡ Q(x)，即P(x)恒等于Q(x)。

三、多项式恒等定理的应用多项式恒等定理在数学领域有着广泛的应用。

以下列举了其中几个重要的应用领域：1. 代数方程求解：多项式恒等定理可用于解决多项式方程的根的问题。

通过比较各项系数，我们可以判断两个多项式是否相等，从而得到方程的解。

2. 多项式拟合：多项式恒等定理可用于拟合实际数据。

通过将已知数据点带入多项式方程，可以得到拟合曲线，从而对未知数据进行预测和估计。

3. 几何推理：多项式恒等定理可用于几何证明和推理。

通过建立几何模型，并运用多项式的恒等定理得出结论，可以推导出几何问题的解答。

四、多项式恒等定理的重要性和实际应用多项式恒等定理在代数学和数学分析中扮演着重要的角色。

组合恒等式㈠、二项式定理定理1： (x +y )n =∑C n k n 0y k x n−k ,特别的 (1+x)n =∑C n k n 0x k ,其中n 为正整数, C n k =n (n−1)…(n−k+1)k!(1≤k ≤n ),C n 0=1.（二）、基本组合恒等式（1）C m n =C m m−n（2）C m+1n =C m n +C m n−1（3）kC n k =nC n−1k−1=（n −k +1）C n k−1（4）C n k C k m =C n m C n−m k−m =C n k−m C n−k+m m（5）1+C n 1+⋯C n n =2n（6）1−C n 1+C n 2−⋯+（−1）n C n n =0（7）C n 1+C n 3+⋯+C n 2[n 2]+1=1+C n 2+⋯+C n 2[n 2]=2n−1（8）C n 0+C n+11+⋯+C n+k k =C n+k+1k（9）C n n +C n+1n +⋯+C n+m n =C n+m+1n+1（10）（范德蒙恒等式）C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯+C m k C n 0=C m+n k（11）（C n 0）2+（C n 1）2+⋯+（C n n ）2=C 2n n（12） ∑kC n k n k=0=n ∙2n−1 （13） ∑k 2C n k =n k=0n （n +1）2n−2 （14） ∑C n k C k m =2n−m C n m n k=m （15）C 2n n =2C n 2+n 2（16）C −n k =（−1）k [n ]k k ！ （17） ∑C m i C n j =C m+n r i+j=r（18） ∑C m i i−j=r C n j =C m+n n+r（19） ∑（−1）km k=0C n k =(−1)m C n−1m（20） ∑C 2n k n k=0=22n−1+12C 2n n （21） ∑C n k C k m k =C n m 2n−m （22） ∑（−1）k k≥0C n 2k =2n 2cosn π4 （23） ∑（−1）k k≥0C n 2k+1=2n 2sin n π4（24） ∑C m−k r k≥0C k s =C m+1r+s+1（25）（李善兰恒等式） ∑C x k C y k n k=0C x+y+n−k n−k =C x+n n C y+n n命题1：若P （x ）是次数＜n 的多项式,则 ∑(−1)k C n k n k=0p (k )=0，∑(−1)k C n k n k=0k n =（−1）nn ！（三）、组合恒等式基本证明方法恒等变形、求和换序、数学归纳法、微积分方法、母函数方法、应用递归关系、运用组合解释、复数法、差分法、网络路径数、WZ 方法、算子方法、利用组合互逆公式等1.母函数方法应用母函数方法证明组合恒等式时，常常是适当选择一个母函数，用两种不同的方法将它展开成两个幂级数，则由同次幂的系数相等便得到要证明的组合恒等式.2.算子方法设p [x ]表示如下形状的形式幂级数组成的集合：f (x )=∑a n x n ∞n=0.特别，如果a 0，a 1，……，a n ，……中只有有限个数不等于0，那么f (x )为多项.对任意f (x )=∑a n x n ∞n=0，g （x ）∑b n x n ∞n=0，我们定义：（1）k f (x )=∑（ka n ）x n ∞n=0（k 为常数）（2）f (x )±g (x )= ∑（a n ±b n ）x n ∞n=0（3）f (x )g (x )=∑C n x n ∞n=0，其中C n =∑a k b n−k ∞k=0.对任意f (x )∈p [x ]，我们定义算子：C k 〈f (x )〉=a ，即C k 〈f (x )〉为f (x )展开式中x k 的系数.由此定义我们易知算子C k 〈f (x )〉有下列性质成立：（1）对任意f (x )∈p [x ]及常数a ，C k 〈af (x )〉=aC k 〈f (x )〉.（2）对任意f （x ），g （x ）∈p [x ]，C k 〈f (x )±g （x ）〉=C k 〈f (x )〉±C k 〈g (x )〉；C k 〈f (x )g （x ）〉=∑C i 〈f (x )〉k i=0C k−i 〈g (x )〉.（3）对任意正整数n,k 及f （x ），g （x ）∈p [x ]，当n ＞k 时，C k 〈f (x )〉=C n 〈x n−k f (x )〉，C k 〈f (x )〉=C k 〈f (x )+x n g （x ）〉.公式I:当n,k 为正整数，a,b 为常数时，C k 〈（a +bx ）n 〉=C n k a n−k b k （当n ＜k 时，约定C n k =0）.公式II:设m,k 为正整数时，a 为常数，则C k 〈(1−ax )−m 〉=C k+m−1m−1a k =C k+m−1k a k (|x |＜).公式III ：设m,n 为非负整数，a,b 为常数，则C k 〈（1+ax ）m （1+bx ）n+1〉=C k 〈（1−bx ）n−m+k （1+（a −b ）x ）m 〉.3.差分方法 设f （x ）为任意函数，Δ为差分算子，其定义为Δf (x )=f (x +1)−f (x )，Δk f (x )=Δ[Δk−1f (x )](k =2，3，…)，以算子Δ作成的差分多项式P （Δ）=。

多项式恒等定理多项式恒等定理是代数学中的重要定理之一，它描述了多项式的恒等关系。

首先，什么是多项式？多项式是一个基本数学概念，它是由系数和幂指数的和组成的表达式。

一般来说，一个n次多项式可以写成以下形式：P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ其中，a₀, a₁, a₂, ... , aₙ为任意实数或复数，x为未知数，n为非负整数。

在这个表达式中，a₀, a₁, a₂, ... , aₙ为多项式的系数，x为多项式的变量，n为多项式的次数。

而多项式恒等定理正是研究多项式之间恒等关系的定理。

多项式恒等定理可以分为两个方向：多项式相等和多项式不等式。

首先，我们来看多项式相等的情况。

在多项式相等的情况下，两个不同的多项式在某些条件下可以证明它们是相等的。

常见的多项式相等定理有：1. 多项式的表示唯一性定理：对于给定的一元多项式P(x)，它的表示形式是唯一的，即不存在两个不同的多项式Q(x)和R(x)，使得P(x) = Q(x) = R(x)成立。

2. 多项式根与系数关系定理：对于给定的一个n次多项式P(x)，它的根与系数之间存在一种确定的关系。

例如，对于二次多项式ax² + bx + c，它的根x₁和x₂满足x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ =c/a。

这个定理可以通过将多项式P(x)进行因式分解来证明。

接下来，我们来看多项式不等式的情况。

在多项式不等式的情况下，多项式之间的关系是不等关系，即存在一个条件，使得某个多项式大于或小于另一个多项式。

常见的多项式不等定理有：1. 多项式的增减性定理：对于给定的一个n次多项式P(x)，当x在一个区间内递增或递减时，多项式的值也随之递增或递减。

这个定理可以通过多项式的导数和导函数的性质来证明。

2. 多项式不等性定理：对于给定的两个不同的多项式P(x)和Q(x)，可以通过比较它们的系数和次数的关系来确定它们的不等关系。

① ⑤ ②③ ④ ⑥ 数学奥赛辅导 第九讲组合恒等式、组合不等式知识、方法、技能Ⅰ．组合恒等式竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础，加以推广、补充而形成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如)1(2321021011111=-++-+-=++++⋅==+==----+++-n nn n n n n nn n n n n mr mn m n m n r n r n r n rnr n r n r n nrn C C C C C C C C C C C C C C rn C C C C C C组合恒等式的证明方法有： ①恒等变形，变换求和指标； ②建立递推关系； ③数学归纳法； ④考虑组合意义； ⑤母函数. Ⅱ．组合不等式组事不等式以前我们见的不多，在其他一些书籍中组合不等式的著述也很少，但是近年来组合不等式的证明却出现在国内、国际大赛上.例如1993年中国高中数学联赛二试第二大题为：设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集A 1，A 2…，A m 两两互不包含，试证：（1）∑=≤mi A nI C1||;11（2）∑=≥mi A n m C I12||其中|A i |表示A i 所含元素的个数，||IA n C 表示n 个不同元素取|A i |的组合数.再如1998年第39届国际数学奥林匹克竞赛中第二大试题为：在某一次竞赛中，共有a 个参赛选手与b 个裁判，其中b ≥3，且为奇数.每个裁判对每个选手的评分中只有“通过”或“不及格”两个等级，设k 是满足条件的整数；任何两个裁判至多可对k 个选手有完全相同的评分. 证明：.21bb a k -≥因此我们有必要研究组合不等式的证明方法.组合不等式的证明方法有： 1．在集合间建立单射，利用集合阶的不等关系定理，设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射， （1）若f 为单射，则|X|≤|Y|； （2）若f 为满射，则|X|≥|Y|. 2．利用容斥原理例如：设元素a 属于集族{A 1，A 2，…，A n }的k 个不同集合ki i i A A A ,,,21，则在∑=ni i A 1||中a 被计算了k 次，当k ≥2时，集合ki i i A A A ,,,21两两的交集共有2k C 个.由于||,12)1(12j nj i ik A Aa k k k C ∑≤≤≤-≥-=在故中至少少被计算了k －1次，这样我们得到下面的不等式：||||||111j nj i iini i ni A AAA ∑∑≤≤≤==-≥组合不等式（*）可由容斥公式：||)1(||||||1)1(111i ni n j nj i iini i ni A A AAA =-≤≤≤==-++-=∑∑ 删去右边第三个和式起的所有和式得到.采用这种办法，我们可以从容斥公式得到另外一些组合不等式，只是要注意这些不等式的方向的变化.3．利用抽屉原则由于抽世原则的结论本身就是组合不等式关系，所以我们利用抽屉原则，巧妙构造抽屉的方法证明组合不等式.4．利用组合分析在复杂的组合计数问题、离散极值问题等问题中，会出现一些组合不等式，这时可运用组合分析方法证明之.赛题精讲例1 证明：∑=-⋅+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2【分析】 把∑∑∑∑+=+===-nn k k nn n k k nnk k nnk k nCCCC 21221220202,而对于变形为，变换求和指标.【证明】k n j CCCCCnn k k nnn k k nnnn k k nnk k nnk k n-=-=-=∑∑∑∑∑+=+=+===2,,2212212221220202令对于和式，则.202022102212nn nk k n nj n nj nn j j nn n k k nC C CCCC-=-==∑∑∑∑==-=+=所以.2202202nn nk k nnnk k nC CC+-=∑∑==即 n n n nk k n C C 220222+=∑=，从而有∑=-⋅+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2.例2 求证：.,)1(111)1(31211121N n Cn m C n m C m C m C m n nm nn nn n n ∈++=++-+-+++-++其中证明 设nn nn n n n C n m C m C m C m a 11)1(31211121++-+-+++-+=，则由基本恒等式rn r n r n r n r n C nr C C C C =+=----1111及得.1)1()()1()(31)(211111122111112101110------------++-+++-+-+++++-+=n n n n n n n n n n n n nn C n m CCnm CCm CCm Cm a.)1(1)1)(2())(1(!,)1)(2(12111,)3())(1(!))(1()1(1.1,1112111n nm n n n n n n n n n n Cn m m m n m n m n a m m m m a a m n m n m n a n m n m n n a n m na a a nm a a n m a a +----++=+++++=++=+-+=++++==+++-=++==+++-=从而有而所以即故【说明】注意到a n 中各项的系数均与n 无关，且符号正负相同，由此想到a n 与a n －1之间必定存在着某些联系，且是递推关系.例3 求证：∑=+--+=⋅-nk k k n k n k n C 01222.12)1(【分析】考虑到恒等式12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，仿例2解决.【证明】令∑=+--⋅⋅-=nk kk n kn kn C a 01222,2)1(因为，12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，.2)1(2)1(2)1(,1.2)1(2)1()(2)1(22)1(211)1(2102)1(21)1(212)1(21121221212202221212222112222-+---=--+---=--+--=---=-=----=--=+---=--=⋅-=⋅--=⋅-+⋅-=+⋅-+=⋅-+=∑∑∑∑∑∑∑n rr n n r rn rrr n n r rn r k kn nk kn kk k n nk kn k nk k kn kn kk k n nk kk n kn knnk kk n kn knn a C C Ck r C CC C C a 则令所以令∑=---+==⋅-nk n n n n k k n k n k a a b b C 01222,2)1(则 ①.42)1(4)1()(2)1(2)1(2)1(21110)1(22)1(211121112222112222---=---------=----=---=⋅--=-++⋅-+=-+⋅-+=∑∑∑n n n j jjn jn jn nk k n n k kk n kn k nn k nk k n kn knn b a C a C C C b 又于是由①式得1221112112,4,---------=+--=++=n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 即从而推知. 这说明{a n }为等差数列，而a 0=1,a 1=2，故公差d=1，且a n =n+1 .【说明】此题运用变换求和指标的方法，找出了a n ，a n －1，a n －2之间的线性关系式，再由 初始条件求得a n .这种利用递推关系求组合数的方法，在解决较复杂的计算或证明组事恒等式时经常用到.例11：设},,,{},,,,{212211n n B B B D A A A D ==是集合M 的两个划分，又对任何两个不变的子集),1(,n j i B A j i ≤≤有,||n B A j i ≥⋃求证：221||n M ≥并说明等号能否成立？【证明】令},1|,||,min{|n j i B A k j i ≤≤=，不妨设,||k A i =因n B B B ,,,21 两两不交，故n B B B ,,,21 中至多有k 个,j B 使=⋂j B A 1 .设≠⋂j B A 1 .,,,2,1,k n m j ≤=由k 的选取知),,2,1(||m j k B j =≥从而.||1mk B mj j ≥=又因 =⋂j B A 1 .,,1,n m i +=故 ,||||||11n B A B A i i ≥⋃=+ 即 .||k n B i -≥ 所以))((||||||||111k n m n mk BB B M nm j jmj j nj j --+≥+==+===).2()(k n m k n n ---= 若,2n k <因,k m ≤故.2)2(2)2(2)2()()2()(||222nk n nk n k k n n k n m k n n M ≥-+=---≥---≥若,2n k ≥则),,,2,1(2||n i n A i =≥从而 .2||||||211nAA M ni ini i ≥==∑==下面说明2||2nM =是可以取到的.显然这时n 为偶数，取,4=n 则8||=M ，令},8,7,6,5,4,3,2,1{=M 易验证M 的两个划分.D 1={{1,2}{3,4}{5,6}{7,8}}, D 2={{1,2}{3,5}{4,6}{7,8}}, 满足题目条件.例12：设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有性质P ，是指在{1，2，…，2n －1}当中至少有一个i ，使得.||1n x x i i =-+求证，对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.（1989，第30届IMO 试题6）【证明】设A 为不具有性质P 的排列的集合，B 为具有性质P 的排列的集合，显然)!.2(||||n B A =+为了证明||||B A <，只要得到)!2(21||n B >就够了.使作容斥原理.设(n x x x 221,,, )中,k 与n k +相邻的排列的集合为.,,2,1,n k A k =则,)!12(2||-=n x A k ,1,)!22(2||2n j k n x A A j k ≤<≤-=⋂由容斥原理得)!22(4)!12(2||||||211-⋅⋅--⋅⋅=⋂-=∑∑≤<≤=n C n n A AAB n nj k j knk k=)!22(2)!22()1(2)!2(-⋅⋅=-⋅--n n n n n n n )!2(21)!22(2122n n n n =-⋅-⋅>例13：平面上给定n 个点，其中任何三点不共线，任意地用线段连接某些点（这些线段称为边），则确保图形中出现以给定点为顶点的)(n m m <阶完全图的条件是图形中的边的条数.1)1(222--+-≥m n m mn CC C x【证明】构造抽屉：每个抽屉里有m 个相异点，共可得m n C 个抽屉，又由于同一条边会在22--m n C 个抽屉里出现，根据抽屉原则知，当1)1(222+-≥⋅--m m n m n C C C x 时，才能确保有一个抽屉里有2m C 条边，而这2m C 条边恰好与其中不共线的相异m 点构成一个m 阶完全图.这就是说，确保图形中出现m 阶完全图的条件是其中边的条数.1)1(222--+-≥m n m m n CC C x【评述】“完全图”，是图论中的基本概念.（此处从略）例14：设n x x x ,,,21 为实数，满足,12232221=++++n x x x x 求证：对于每一整数2≥k ，存在不全为零的整数,,,,21n a a a 使得),,,3,2,1(1||n i k a i =-≤并且（1987年第28届IMO 试题3）.1)1(||2211--≤+++nn n kn k x a x a x a【证】由柯西不等式得).)(111(|)||||(|2232221222221n n x x x x x x x +++++++≤+++即.||||||21n x x x n ≤+++所以，当10-≤≤k a i 时，有.)1(|)||||)(|1(||||||212211n k x x x k x a x a x a n n n -≤+++-≤+++把区间[0，n k )1(-]等分成1-nk 个小区间，每个小区间的长度1)1(2--kn k ，由于每个i a 能取k 个整数，因此||||||2211n n x a x a x a +++共有nk 个正数，由抽屉原则知必有二数会落在同一小区间内，设它们分别是∑='ni i i x a 1||与,||1∑=''ni i i x a 因此有.1)1(||)(21--≤''-'∑=kn k x a a ni i i i ①很明显，我们有 .,,2,1,1||n i k a a ii =-≤''-' 现在取⎩⎨⎧<'-''≥''-'=.0,,0,i i i i i i x a a x a a a 如果如果这里,,,2,1n i =于是①可表示为.1)1(||1--≤∑=nni i i kn k x a 这里i a 为整数，适合.,,2,1,1||n i k a i =-≤例15：设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集m A A A ,,,21 两两互不包含，试证：（1）;111||≤∑=mi A ni C （2）.21||m C mi A n i ≥∑=其中||i A 表示i A 所含元素的个数，||i A n C 表示n 个不同元素取||i A 个的组合数.（1993年，全国高中数学联赛二试第二大题）【分析】若（1）式已证，由柯西不等式立即可得（2）式，因此，关键是证（1）式，又据组合公式知，（1）式等价于!.|)!|(|!|1n A n Ai ni i≤-∑= ① 所以我们用组合的方法来证明不等式①.【证明】（1）对于A 的子集},,,,{||21iA i x x x A =我们取补集},,,,{||21i A n i y y y A -= 并取i A 的元素在前，i A 元素在后，作排列||21,,,i A x x x ，||21,,,i A n y y y - . ② 这样的排列共有|)!|(||i i A n A -个.显然,②中每一个排列,也是A 中的一个排列,若i j ≠时，j A 对应的排列与i A 对庆的排列互不相同，则m A A A ,,,21 所对应的排列总数便不会超过A 中排列的总数,!n 现假设j A 中对应的某一排列'''||21,,,jA x x x ，'''-||21,,,jA n y y y . ③与i A （i j ≠）中对应的某一排列②相同（指出现的元素及元素位置都相同），则当||||i j A A ≤时，i j A A ⊆；当||||i j A A >时，i j A A ⊇，这都与m A A A ,,,21 两两互不包含，矛盾.由于m A A A ,,,21 对应的排列对②互不相同，而A 中n 个元素的全排列有n ！个，故得!.|)!|(|!|1n A n A i ni i ≤-∑= 即.111||≤∑=ni A ni C（2）由上证及柯西不等式，有.)1()1)((2112||1||1||m C CCmi mi A nmi A nm i A nii i ∑∑∑∑=====≥≥ 【评述】本题取自著名的Sperner 定理：设Z 为n 元素，m A A A ,,,21 为Z 的子集，互不包含，则m 的最大值为]2[n n C .例16：设S ={0，1，2，…，N 2－1}，A 是S 的一个N 元子集.证明存在S 的一个N 元子集B ,使得集合A +B={},|B b A a b a ∈∈+中的元素模N 2的余数的数目不少于S 中元素的一半. （第40届IMO 预选题）【证明】设|X |为子集S X ⊂中元素的个数；又为X S -，是X 的补集；i C 是i a +对k个参赛选手有相同的判决，证明.21bb a k -≥（1998年第39届IMO 试题二）【解】设裁判),,2,1(b i B i =对参赛选手),,2,1(b j A j =的判决为ij d ，其中⎩⎨⎧=".",1,"",0不通过若通过若ij d则（ai i i d d d ,,,21）中i B 对a 个参赛选手判决的记录),,2,1(b i =，它是一个长度为a 的（0—1）序列.我们来考虑这b 个序列中每两个序列的相同的项的总数M . 一方面,由已知条件每两个序列的相同的项不超过k 个,故.)1(212k b b k C M b -=⋅≤ ①另一方面，设j A 得到0b 个0（通过），1b 个1（不通过），即（ai i i d d d ,,,21）的第i 个分量中0b 个0，1b 个1，则0b +1b =.b 由这个分量产生的序列的相同的项有)1(21)1(2111002210-+-=+b b b b C C b b])[(21)]()[(212120102120b b b b b b b -+=+-+= ).2(21)]2)[(2110210210b b b b b b b b b --=--+=但b b b =+10且b 为奇数)3(≥b ，因此).1()1(4110-⋅+≤b b b b故)]1)(1(21)1([21221-+--≥+b b b b C C b b=.)1(41)1(21)1(212-=-⋅-b b b从而.)1(412-⋅≥b a M ③综合①、②得,)1(21)1(412k b b b a -≤-⋅ 即.21bb ak -≥。

§4.2 多项式的恒等变形教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是 解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。

教学重点与难点：解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。

课时安排：2课时。

教学容如下：一、 多项式的基本概念多项式是由数与字母进行+、—、⨯运算而构成。

定义 设n 是一非负整数，形如1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 的多项式，当0n a ≠时，叫做一元n 次多项式。

所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。

零多项式是唯一不定义次数的多项式。

二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理）定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 的值都等于零，那么这个多项式的所有系数都等于零。

证明 用数学归纳法（1）当n=1时，10()f x a x a =+。

因为对于x 的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得00a =。

由此得1()0f x a x =≡，再令x=1，则有10a =。

因此，命题对于一次多项式成立。

（2）假定命题对于次数低于n 的多项式成立，现在来证明对于n 次多项式也成立。

如果对于x 的任意值，都有1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 0≡ ①在等式①中，以2x 代x ，得11110(2)2220n n n n n n f x a x a x a x a ---=++++≡L ②①2n ⨯—②，得112221202(21)2(21)(21)0n n n n n n n a x a x a -------+-++-≡L ③ 这是一个次数低于n 次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即122122(21)0,2(21)0,,n n n n a a -----=-=L02(21)0,,(21)0n k k n n ka a ---=-=L 因为20,210(1,2,,)n k k k n -≠-≠=L 所以 12100,0,,0,0n n a a a a --====L代入①得，0n na x ≡，令x=1,得0n a = 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。

2.4.3 组合恒等式有关二项式系数的恒等式至今已发现的就有上千个，而且还在不断地发展。

这些组合恒等式在许多算法分析中起着重要的作用，这里给大家介绍常用的几个。

等式1201n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明 方法1 其组合意义的证明见定理2.2.4 方法2 在二项式定理中令1x y ==即可。

等式2：024135n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2.4.9）证明 方法1 在二项式定理中令1,1x y =-=，得：0(1)0nk k n k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ （2.4.10）将（2.4.10）式整理一下即得（2.4.9）式。

方法2 等式（2.4.9）的组合意义是：在n 个元素的集合中取r 组合，r 为奇数的组合数目等于r 为偶数的组合数目（包含0组合在内）。

下面我们来建立r 为偶数的组合与r 为奇数的组合之间的一一对应，从而证明（2.4.9）式。

以4个元素,,,a b c d 构成的集合的一切组合为例，r 为奇数的组合有：,,,,,,,;a b c d abc abd acd bcdr 为偶数的组合有：,,,,,,,ab ac ad bc bd cd abcd φ其中，φ表示取零个元素的组合。

从n 个元素的集合中取r 组合，r 可以有不同的值，但就元素a 而言，只有含有元素a 和不含有元素a 两类。

若r 为奇数的组合中含有a ，去掉a 便得一个r 为偶数的组合。

例如，abc 去掉a 得bc 。

若r 为奇数的组合中不含有a ，加上元素a 便构成一个r 为偶数的组合。

例如，bcd 加上a 得abcd 。

见表2.4.1表2.4.1等式3112212n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明 对等式：0(1)nni i n x x i =⎛⎫+=⎪⎝⎭∑两边在1x =处求导数，得()()()1111112nn n x x x n x n --=='+=+=111011n n nj j x x i i i n n n x xi i i -====='⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑从而：112212n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭等式4：0111n n k k k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明，用数学归纳法很容易证明此结论，下面通过其组合意义来分析其正确性。

初中数学多项式的四则运算公式定理什么事单项式？什么又是多项式？多项式的运算公式又有哪些？为了帮助同学们更好的对初中数学多项式的运算进行复习，我们就整理的初中数学公式定理，跟大家分享一下。

以下就是数学公式定理的内容。

什么事单项式？什么又是多项式？多项式的运算公式又有哪些？为了帮助同学们更好的对初中数学多项式的运算进行复习，我们就整理的初中数学公式定理，跟大家分享一下。

以下就是数学公式定理的内容：1 单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法（包括乘方）运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式（或字母因数）的数字系数，简称系数当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项12 多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数，就称为这个多项式的次数13 多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子14 多项式的恒等对于两个一元多项式f（x）、g（x）来说，当未知数x同取任一个数值a时，如果它们所得的值都是相等的，即f（a）=g（a），那么，这两个多项式就称为是恒等的记为f（x）==g（x），或简记为f（x）=g（x）性质1 如果f（x）==g（x），那么，对于任一个数值a，都有f（a）=g（a）性质2 如果f（x）==g（x），那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等15 一元多项式的根一般地，能够使多项式f（x）的值等于0的未知数x的值，叫做多项式f（x）的根2 多项式的加、减法，乘法21 多项式的加、减法22 多项式的乘法单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式3 多项式的乘法多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加23 常用乘法公式公式I 平方差公式（a+b）（a-b）=a^2-b^2两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差公式II 完全平方公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2（a-b）^2=a^2-2ab+b^2两数（或两式）和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍3 单项式的除法两个单项式相除，就是它们的系数、同底数的幂分别相除，而对于那些只在被除式里出现的字母，连同它们的指数一起作为商的因式，对于只在除式里出现的字母，连同它们的指数的相反数一起作为商的因式一个多项式处以一个单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

第二章 多项式第一节 定义及基本定理一、整式的相关概念（1）代数式：由数和字母经过有限次的加、减、乘、除、乘方、开方等代数运算得到的式子，称为代数式。

单个数字或字母也是代数式。

（2）单项式：有限个数字与字母的乘积称作单项式。

（3）多项式：有限个单项式相加减称作多项式。

（4）整式：单项式和多项式统称为整式。

（5）同类项：若两个单项式所含字母相同且相同字母的幂次也相同，则称这两个单项式为同类项。

（6）多项式相等：若两个多项式的对应项系数均相等，则称这两个多项式相等。

二、一元n 次多项式的定义设n 是一个非负整数，01,,,n a a a 都是实数，0n a ≠，多项式1110n n n n a x a x a x a ++++++被称为系数在实数域中的一元n 次多项式。

所有系数均为0的多项式称为零多项式，记为0。

一般用()f x ，()g x ，()h x ，…表示多项式。

例如：()5221f x x x =-+是一个一元五次多项式；()3221g x x x =-+是一个一元三次多项式； ()1h x x =-是一个一元一次多项式。

两个多项式()1110nn n n f x a x a xa x a ++=++++，()1110n n n n g x b x b x b x b ++=++++，则()f x 与()g x 的和、差、积仍然是一个多项式，但这两个多项式的商不一定是一个多项式。

三、整除及带余除法（1）整除的定义：对任意两个实系数多项式()f x 与()g x ，其中()g x 不是零多项式，如果存在()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅成立，那么称()g x 整除()f x ，记为()()g x f x ，此时()g x 就称为()f x 的因式，()f x 称为()g x 的倍式。

（2）整除的性质：①若()()h x g x ，且()()g x f x ，则()()h x f x 。

多项式恒等式的证明与项式定理的应用多项式是代数学中的重要概念之一，它在数学运算、方程求解和函数拟合等方面有着广泛的应用。

本文将讨论多项式的恒等式的证明以及项式定理在实际问题中的应用。

一、多项式恒等式的证明多项式的恒等式是指两个多项式在某个条件下恒相等的关系。

常见的多项式恒等式包括等差数列求和公式、等比数列求和公式等。

以等差数列求和公式为例，设已知等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，则它的求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)现在我们来证明这一等差数列求和公式。

证明：首先，我们可以将等差数列的前n项分别写出来，得到：S1 = aS2 = a + (a + d)S3 = a + (a + d) + (a + 2d)...Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n-1)d]如果我们把Sn反过来写，再将每两项相加，可以得到：Sn = [a + (n-1)d] + [a + (n-2)d] + ... + (a + d) + a这样，我们可以发现，Sn的所有项之和等于两个Sn的和减去n个a，即：2Sn = [2a + (n-1)d] + [2a + (n-1)d] + ... + [2a + (n-1)d]将上式两边都除以2，可以得到：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)综上所述，我们证明了等差数列求和公式的正确性。

类似地，其他多项式恒等式的证明也可以通过类似的方法进行推导和证明。

关键是要通过对多项式进行展开、合并和化简等操作，找到适当的等式变换和推理路径。

二、项式定理的应用项式定理是一个重要的代数定理，它可以用来展开多项式的幂。

项式定理的一般形式如下：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。