多项式定理

多项式的魏尔斯特拉斯定理
魏尔斯特拉斯定理是分析数学中的一个重要定理，它描述了任意连续函数可以用多项式逼近的性质。

具体地说，魏尔斯特拉斯定理指出，任意在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)，都可以用多项式函数Pn(x)逼近，即存在一个多项式函数Pn(x)，使得对于任意给定的ε>0，存在一个正整数n，使得当n大于等于某个固定的值N时，对于区间[a, b]上所有的x，都有|f(x) - Pn(x)|<ε成立。

这个定理的意义在于，它保证了连续函数可以用多项式进行逼近。

换句话说，多项式函数在连续函数的逼近中是密集的，即无论给定一个连续函数，在某个足够高阶的多项式范围内，都可以用一个多项式函数来逼近它。

一、定义及基本定理1.1、定义设给定[]x R 的一个多项式()01n n f x a a x a x =+++和一个数c R ∈.那么在()f x 的表示式里，把x 用c 来代替，就得到R 的一个数01n n a a c a c +++这个数叫做当x c =时()f x 的值，并且用()f c 来表示。

这样，对于R 的每一个数c ，就有R 中的唯一确定的数()f c 与它对应，于是就得到R 到R 的一个映射。

这个映射是由多项式()f x 所确定的，叫做R 的一个多项式函数。

定义 令()f x 是[]x R 的一个多项式而c 是R 的一个数。

若是当x c =时()f x 的值()0f c =，那么c 叫作()f x 在数环R 中的一个根。

定义 把形如()010n n f x a a x a x =+++=的方程称为一元多项式方程，满足010n na a c a c +++= 的数c 称为多项式方程的根或零点。

由定义可知多项式方程的根即为使得满足等式()0f c =的数环R 上的常数c 。

1.2、定理定理 1.2.1 设()f x 是[]x R 中的一个0n ≥次多项式。

那么()f x 在R 中至多有n 个不同的根。

证：如果()f x 是零次多项式，那么()f x 是R 中一个不等于零的数，所以没有根。

因此定理对于0n =成立。

于是我们可以对n 作数学归纳来证明这一定理。

设c R ∈是()f x 的一个根。

那么()()()f x x c g x =-这里[]()g x R x ∈是一个1n -次多项式。

如果R d ∈是()f x 另一个根，c d ≠，那么)()()(0d g c d d f -==因为0≠-c d ，所以0)(=d g 。

因为)(x g 的次数是1-n ，由归纳法假设，)(x g 在R 内至多有1-n 个不同的根。

因此()f x 在R 中至多有n 个不同的根定理1.2.2 （代数基本定理）任何(0)n n >次多项式在复数域中至少有一个根i。

数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I 是][x Q 的一个子集，满足如下性质。

,)(),(I x g x f ∈∀有Ix g x f ∈+)()(][)(,)(x Q x c I x f ∈∈∀，有Ix c x f ∈)()(则存在I x p ∈)(使得})()(|)({的因式是x q x p x q I =证明：取I 中次数最低的非零多项式)(x f ，如果有多个，任取其中一个。

若)(x f 为常数，根据第二条性质，显然I =][x Q 满足条件。

若1deg ≥f ，假设存在一个多项式)(x g 不是)(x f 的倍式，设)()()()(x r x f x q x g +=，f r deg deg <，)(x r 非零。

则)(x r I ∈，与)(x f 次数最低矛盾。

所以I 的一切多项式都是)(x f 的倍式，证毕。

定理2：对任意)(x f ∈][x Q ，)(x f 可唯一分解为)()...()(21x p x p x cp n 形式，其中c 为)(x f 首项系数，)(x p k 为次数不低于1的首一不可约多项式。

存在性是显然的，只需证明唯一性，设)(x f 还有一种分解式)()...()(21x q x q x cq m 。

我们先证明一个引理。

引理：设不可约多项式)(x p 是)()(x g x f 的因式，则或者)(|)(x f x p ，或者)(|)(x g x p ，二者至少有一个成立。

证明：令]}[,),()()()()(|][)({2121x Q c c x g x c x p x c x q x Q x q I ∈+=∈=则I 满足定理1中的条件，故I 中存在一个次数最低的多项式是I 中每个多项式的因式。

它是不可约多项式)(x p 的因式，则它或者为常数，或者为c )(x p 。

如果是常数，令)()()()(21x g x c x p x c c +=，两边乘)(x f ，由)(x p |右边，推出)(x p |)(x f 。

多项式定理,多项式定理（Polynomial Theorem）是指对任意实数的多项式，存在一个特定的有限根。

这个定理被称为多项式定理是因为它允许研究者使用可以把多项式的根用有限的方程表示出来。

关于多项式定理这个主题有很多深奥有趣的知识：一、定理描述1、Gauss-Lucas定理：Gauss-Lucas定理指出，如果一个多项式P（x）的根也是多项式P′（x）的根，则多项式P′（x）的所有根也是多项式P （x）的根。

2、Hurwitz定理：Hurwitz定理指出，如果一个多项式P（x）的单根被P′（x）所包含，则多项式P′（x）一定存在着有限根。

3、Bezout定理：Bezout定理指出，当P（x）是一个单调增或单调减的多项式时，它的根与P′（x）的根之和一定等于最高次幂的系数。

二、根的类型1、实根：多项式的实根是指在复数平面上给定多项式的实数根。

2、重根：多项式的重根是指相同的实根的指数比大于等于1的多项式根。

3、复根：多项式的复根是指多项式拥有相同实部和虚部的复数根。

三、多项式定理的应用多项式定理的应用被广泛的应用于数学、物理和工程等多个领域。

其中最常用的是求解多项式的根，以及验证多项式的特性，比如在物理中应用了它来判断某个物体是否具有平衡特性，在工程中也有利用它来判断某个系统是否能够达到稳定运行状态等。

多项式定理也可以用来推导正、负、奇、偶函数和对称函数等函数的性质，从而有助于我们进一步研究这些函数的特性和用途。

此外，多项式定理还被用来分析和解决一些抽象的数学问题，比如研究多项式的组合性质、圆的极坐标表示等。

综上所述，多项式定理是数学领域一个重要的概念，将一定限制下的多项式分解成多项式因子所得结果，帮我们研究和解决各种抽象的数学问题，从而为社会做出贡献。

§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。

关于微分多项式的一个基本定理
在数学和数学建模中，微分多项式是一个重要的概念，也是一个重要的计算模型。

它提供了一种有效的方法来建立多项式函数的近似形式。

在本文中，我们将探讨关于微分多项式的一个基本定理，即微分多项式的拉格朗日展开式的系数的总和为零的定理。

首先，让我们看一下微分多项式的拉格朗日展开式。

它可以用以下表达式表示：
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn
其中，a0，a1，a2，a3…an是系数，x是微分多项式函数的变量。

那么，什么是关于微分多项式的一个基本定理？根据拉格朗日定理，微分多项式的拉格朗日展开式中，系数的总和为零，即：
a0 + a1 + a2 + a3 +… + an = 0
已知这个定理，我们可以求出任意微分多项式的系数，尤其是当x的取值为零的时候，可以用以下方法求解：
a0=-a1-a2-a3-…-an
因此，我们可以得出结论，即：函数f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，其系数符合定理a0 + a1 + a2 + a3 +… + an = 0。

- 1 -。

初中数学多项式的四则运算公式定理1 单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数当一个单项式的系数是1或-1时,〝1〞通常省略不写一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的常数都是同类项12 多项式有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数,就称为这个多项式的次数13 多项式的值任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把数和未知数连接起来的式子14 多项式的恒等对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说,当未知数x同取任一个数值a时,如果它们所得的值都是相等的,即f(a)=g(a),那么,这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)==g(x),或简记为f(x)=g(x) 性质1 如果f(x)==g(x),那么,对于任一个数值a,都有f(a)=g(a) 性质2 如果f(x)==g(x),那么,这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等15 一元多项式的根一般地,能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x的值,叫做多项式f(x)的根2 多项式的加、减法,乘法21 多项式的加、减法22 多项式的乘法单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式,那么连同它的指数作为积的一个因式3 多项式的乘法多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再把所得的积相加23 常用乘法公式公式I 平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差公式II 完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2两数(或两式)和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的2倍3 单项式的除法两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相除,而对于那些只在被除式里出现的字母,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们的指数的相反数一起作为商的因式一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。

多项式定理的新证明及其展开
多项式的n次方展开公式：（a+b）^n=a^n+{c（n，1）}a^（n-1）*b+c（n，2）a^
（n-2）b^2+……+c（n-1，n）ab^（n-1）+b^n通项t（k+1）=c（n，k）a^（n-k）*b^k。

1、二项式定理的意义
牛顿以二项式定理做为基石发明者出来了微积分。

其在初等数学中应用领域主要是一
些粗略的分析和估算以及证明恒等式等。

2、二项式定理的重要性
这个定理在遗传学中也存有其用武之地，具体内容应用领域范围为：推断自花后代群
体的基因型和概率、推断自花后代群体的表现型和概率、推断杂交后代群体的表现型原产
和概率、通过测交分析卤合体自花后代的性状整体表现和概率、推断夫妻所生孩子的性别
原产和概率。

【数学知识点】多项式的定义和运算法则多项式是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算得到的表达式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

在数学中，多项式是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式。

对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。

按这个定义，多项式就是整式。

实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。

0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。

单项式和多项式统称为整式。

1.加法与乘法有限的单项式之和称为多项式。

不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。

多项式的加法，是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。

多项式的乘法，是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。

2.带余除法若 f(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且g(x)不等于0，则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x)，满足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。

此时q(x) 称为g(x)除ƒ(x)的商式，r(x)称为余式。

当g(x)=x-α时，则r(x)=ƒ(α)称为余元，式中的α是F的元素。

此时带余除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)，称为余元定理。

g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要条件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。

如果g(x)是ƒ(x)的因式，那么也称g(x) 能整除ƒ(x)，或ƒ(x)能被g(x)整除。

特别地，x-α是ƒ(x)的因式的充分必要条件是ƒ(α)=0，这时称α是ƒ(x)的一个根。

3.辗转相除法利用辗转相除法的算法，可将ƒ(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的组合，而组合的系数是F上的多项式。

如果ƒ(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式，那么称ƒ(x)与g(x)是互素的。

数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I 是][x Q 的一个子集，满足如下性质。

,)(),(I x g x f ∈∀有I x g x f ∈+)()(][)(,)(x Q x c I x f ∈∈∀，有I x c x f ∈)()(则存在I x p ∈)(使得})()(|)({的因式是x q x p x q I =证明：取I 中次数最低的非零多项式)(x f ，如果有多个，任取其中一个。

若)(x f 为常数，根据第二条性质，显然I =][x Q 满足条件。

若1deg ≥f ，假设存在一个多项式)(x g 不是)(x f 的倍式，设)()()()(x r x f x q x g +=，f r deg deg <，)(x r 非零。

则)(x r I ∈，与)(x f 次数最低矛盾。

所以I 的一切多项式都是)(x f 的倍式，证毕。

定理2：对任意)(x f ∈][x Q ，)(x f 可唯一分解为)()...()(21x p x p x cp n 形式，其中c 为)(x f 首项系数，)(x p k 为次数不低于1的首一不可约多项式。

存在性是显然的，只需证明唯一性，设)(x f 还有一种分解式)()...()(21x q x q x cq m 。

我们先证明一个引理。

引理：设不可约多项式)(x p 是)()(x g x f 的因式，则或者)(|)(x f x p ，或者)(|)(x g x p ，二者至少有一个成立。

证明：令]}[,),()()()()(|][)({2121x Q c c x g x c x p x c x q x Q x q I ∈+=∈=则I 满足定理1中的条件，故I 中存在一个次数最低的多项式是I 中每个多项式的因式。

它是不可约多项式)(x p 的因式，则它或者为常数，或者为c )(x p 。

如果是常数，令)()()()(21x g x c x p x c c +=，两边乘)(x f ，由)(x p |右边，推出)(x p |)(x f 。