第一章 平面任意力系
第一节 平面任意力系向作用面内一点简化
教学时数：2学时
教学目标：
1、 掌握平面任意力系向一点简化的方法
2、 会应用解析法求主矢和主矩
3、 熟知平面任意力系简化的结果
教学重点：
1、平面任意力系向作用面内任一点的简化
2、力系的简化结果
教学难点：
主矢和主矩的概念
教学方法：板书＋PowerPoint
教学步骤：
一、概述
各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先，平面力系是工程中常见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。下面介绍的方法是力系向一点简化的方法。这种方法不但简便，易于分析简化结果，而且可以扩展到空间力系中去，力的平移定理是力系向一点简化的理论基础。 1、力的平移定理
' F ⇔
⇔
'
（3） (2) (1)
定理：可以把作用在刚体上点O ′的力平移到任一点O ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点O 的力矩.
证明：设一个力F ' 作用于刚体上的O ′点，如图（1）所示在刚体上任取一点O ，此点到力F '
作用线的距离为d ，在O 点加上大小相等、方向相反而且与力F ' 平行的两力F F ''
,，并使F F F ''-='= ，根据加减平衡力系公理，显然力系),,()(F F F F '''≡
。但在力系
)
,,(F F F '''
中力F ' 与F '' 构成了力偶，于是原作用在O ′点的力F ' ，被一个作用在O 点的力F 和一个力偶),(F F '''
所代替。而且F 的大小和方向与原力F ' 相同，因此可以把作用于
O ′的力平移到O 点，但必须同时附加一个力偶。因此力F '
对O 点的力矩d F F M o '=' )(。
所以附加力偶的力偶矩d F F M M o '='=
)(，又注意到O 点的任意性，于是定理得证。 2.平面力系向平面内一点简化
2
n
n
设在刚体上作用一平面力系),,(21n F F F
，各力的作用点如图所示。O 称简化中心()
i O i F M M
=
主矢∑=i F F
()()
2
2∑∑+=
iy
ix
F F F F
F
ix
∑=
αcos F
F
iy
∑=
βcos
主矩()
i O O F M M ∑=
结论：平面力系向作用面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向与简化中心无关；该力偶的力偶矩等于力系对简化中心的主矩，主矩的大小和转向与简化中心相关。 3．固定端约束（插入端约束）
概念；物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。
实例：电线杆。
(b)
(c)
(d)
A
M
当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系，一般比较复杂，
但可向点简化为一力和一力偶，力的大小和方向都是未知的，用如图d 所示表示。 4．平面力系简化的最后结果 1）简化结果
（1）0,0==O M F
平面力系平衡
（2）0,0≠=O M F
平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化
中心无关。
（3）0,0=≠O M F
平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。
（4）0,0≠≠O M F 平面力系简化为一合力，合力F ' 的作用线在点O 的哪一侧，应使得F '
对O 之矩与主矩O M 的转向相同。图中F
M d O =
'
F ⇔
⇔
'
2）合力矩定理
()()
i O O O F M M Fd d F F M
∑==='='
即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力系的合力矩定理。 3）合力作用线方程
y
M '
由平面内力对点之矩的解析表达式可知()
O x y O M y F x F F M =-='
其中是()y x ,合力作用
线上任一点。
例4.1 求如图()a ，()b 所示的作用在AB 梁上的分布载荷的合力的大小和作用线位置。 1）梁上作用一均布载荷，载荷集度为()m N
q
2）梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为()m N
q 0
解：1）“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为ql F =，作用在AB 梁的中心，如图()a
3）当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。在梁上离A 端
x 处取微元dx ，由于载荷线性分布，在x 处的集度l x q q 01=，于是在dx 上作用力的
大小为：l
dx x q dx q dF 01==
∴合力的大小为2
0000
l q dx l x q dF F l
l
===⎰
⎰ 利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力F
的作用线离A 端的距离为c x ，有
⎰
-=-L
c xdF Fx 0
3
2
1
020==
⎰dx l x q F
x l
c 例2． 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图()a 所示。其中
KN F 21=,KN F 32=,KN F 43=,KN F 24=力偶矩m KM M ⋅=10，转向如图所示，
图中长度单位为m 。试分别求:1)力系向点B 简化结果2)力系向点C 简化结果3)力系简化的
最后结果
45
F y
解：1 计算力系的主矢F
：KN F F F F ix x 245cos 24-=-︒==∑
KN F F F F F iy y 145sin 431-=︒+-==∑
所以 KN F F F y x 52
2=+=
55252cos -=-==F F x α 55
5
1c o s -
=-==F F y β F 的解析式 j i F
12--=
2 向B 点简化的主矩
m KN F M F F M B ⋅=⨯-+⨯︒+⨯︒-=32245sin 145cos 344
即平面力系向点B 简化得到一力和一力偶，该力过点B ，其大小和方向与力系的主矢F
相
