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高一数学竞赛试题及答案详解

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2006年苍南县高一数学竞赛试题

一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)

1.已知函数f(x)满足f(||2xx)=log2||xx, 则f(x)的解析式是( )

x x C. log2 x 2

2.已知f(x)=1-21x(-1≤x≤0), 函数y=f(x+1)与y=f(3-x)的图象关于直线l 对称,

则直线l的方程为( )

=2 =1 =21 =0

3.设f(x)是R上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f(21)=0, f(log4x)＞0, 那么x的

取值范围是( )

＞2或21＜x＜1 ＞2 C.21＜x＜1 D.21＜x＜2

4.已知定义域为R的函数y=f(x)在(0, 4)上是减函数, 又y=f(x+4)是偶函数, 则( )

A. f(5)＜f(2)＜f(7) B. f(2)＜f(5)＜f(7)

C. f(7)＜f(2)＜f(5) D. f(7)＜f(5)＜f(2)

5.若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈(0,21]成立, 则a的最小值为( )

B. 4 C.5 D. 6

6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)= -f(x+2), 且当x＞1时, f(x)单调递增.

如果x1+x2＜2, 且(x1-1)(x2-1)＜0, 则f(x1)+f(x2)的值( )

A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负

7.若函数f(x)=25|x+5| -4×5|x+5| +m的图象与x轴有交点, 则实数m的取值范围是( )

＞0 ≤4 ＜m≤4 ＜m≤3

8.对定义在区间[a, b]上的函数f(x), 若存在常数c, 对于任意的x1∈[a, b]有唯一的x2∈[a, b],

使得221)()(xfxf=c成立, 则称函数f(x)在区间[a, b]上的“均值”为c. 那么,

函数f(x)=lgx在[10, 100]上的“均值”为( )

A.101 C.43 D.23二、填空题(每小题5分, 共30分)

9.已知集合A={x | 42k＜x＜2k8}, B={x | k＜x＜k},

若A ≠B, 则实数k的取值范围是____________________

10.若函数y=loga(2x2+ax+2)没有最小值, 则a的所有值的集合是_________________

11.集合P={x|x=2n2k, 其中n, k∈N, 且n＞k}, Q={x|1912≤x≤2006, 且x∈N},

那么, 集合P∩Q中所有元素的和等于_________

12.已知方程组164log81log4loglog6481yxyx的解为11yyxx和22yyxx,

则log18(x1 x2 y1 y2)=________

13.若关于x的方程4x+2xm +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内,

则实数m的取值范围是_________________

14.设card(P)表示有限集合P的元素的个数. 设a=card(A), b=card(B), c=card(A∩B),

且满足a≠b, (a+1)(b+1)=2006, 2a+2b=2a+bc+2c, 则max{a, b}的最小值是______

三、解答题(每题10分, 共30分)

15.设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|.

(1)当a=2时, 求f(x)的最小值;

(2)若f(-1)=f(1), f(-a1)=f(a1)(a∈R, 且a≠1), 求a的值

16.设函数f(x)的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x, y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.

已知f(2)=1, 且x＞1时, f(x)＞0.

(1)求f(21)的值; (2)判断y=f(x)在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明;

(3)解不等式f(x2)＞f(8x6) 1.

17.已知函数f(x)=loga (ax2x+21)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a的取值范围.

(洪一平命题, 后附参考答案) 参考答案

9.(0, 4] 10.(0,1)∪[4,+∞)

12. 12 13.]52,421[

15.(1)当a=2时, f(x)=|x+1|+|2x+1|=21,23211,1,23xxxxxx

∴当x≤1时, f(x)递减, 故f(x)≥f(1)=1, 当1＜x＜21时, f(x)递减, 故f(x)＞f(21)=21,

当x≥21时, f(x)递增, 故f(x)≥f(21)=21, 因此, f(x)的最小值为21

(2)由f(1)=f(1)得 2+|a+1|=|1a| (*), 两边平方后整理得|a+1|= (a+1)

∴ a≤1 ①

同理, 由f(-a1)=f(a1)得2+|a1+1|=|1a1|, 对比(*)式可得

a1≤1 ∴ 1≤a＜0 ②

由①②得a= 1

16.(1)令x=y=1, 则可得f(1)=0, 再令x=2, y=21, 得f(1)=f(2)+f(21), 故f(21)= 1

(2)设0＜x1＜x2, 则f(x1) +f(12xx)=f(x2) 即f(x2) f(x1)=f(12xx),

∵12xx＞1, 故f(12xx)＞0, 即f(x2)＞f(x1) 故f(x)在(0, +∞)上为增函数

(3)由f(x2)＞f(8x6) 1得f(x2)＞f(8x6) +f(21)=f [21(8x6)],

故得x2＞4x3且8x6＞0, 解得解集为{x|43＜x＜1或x＞3}

17.题设条件等价于(1) 当a＞1时, ax2x+21＞1对x∈[1, 2]恒成立; (2)当0＜a＜1时,

0＜ax2x+21＜1对x∈[1, 2]恒成立.

由(1)得a＞21)11(2112122xxx对x∈[1, 2]恒成立, 故得a＞23.

由(2)得21)11(2121)11(2122xaxa 对x∈[1, 2]恒成立, 故得21＜a＜85. 因此, a的取值范围是a＞23或21＜a＜85

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高一数学竞赛试题及答案

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一、选择题（每题5分，共20分）

1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？

A. x = 2

B. x = 3

C. x = 1

D. x = 4

答案：B

2. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数是：

A. 6x^2 - 6x + 4

B. 6x^2 - 6x + 5

C. 6x^2 - 3x + 4

D. 6x^2 - 3x + 5

答案：A

3. 以下哪个数列不是等差数列？

A. 2, 5, 8, 11, ...

B. 1, 3, 6, 10, ...

C. 3, 6, 9, 12, ...

D. 5, 10, 15, 20, ...

答案：B

4. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，圆心坐标为：

A. (2, -3) B. (-2, 3)

C. (2, 3)

D. (-2, -3)

答案：A

二、填空题（每题5分，共20分）

5. 如果一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6

6. 函数y = 1 / (x - 2)的渐近线方程为________。

答案：x = 2

7. 等比数列的前三项为2, 6, 18，则该数列的公比为________。

答案：3

8. 一个圆的直径为10cm，那么它的面积为________平方厘米。

答案：78.54

三、解答题（每题15分，共30分）

9. 证明：如果一个数列的前n项和为S_n，且S_n = n^2，则该数列是等差数列。

证明：设数列的第n项为a_n，则S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。由题意知S_n = n^2，因此S_{n-1} = (n-1)^2。两式相减得a_n = S_n

- S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1。由此可知，a_n - a_{n-1} =

高中数学竞赛试题及答案

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1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。

答案：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)，令 \( f'(x)

= 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。计算 \( f(0)

= 0 \)，\( f(1) = 0 \)，\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \)，\( f(3) = 6 \)。因此，最大值为 6，最小值为 0。

2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。

答案：使用洛必达法则，首先求导得到 \( \frac{e^x + \sin

x}{2x} \)，再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。当 \( x

\to 0 \) 时，极限为 \( \frac{1}{2} \)。

3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +

\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \)

成立。

答案：利用调和级数的性质，将不等式左边的和表示为

\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。通过放缩和积分估计，可以证明该不等式成立。

4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +

C = \pi \)，且 \( \sin A + \sin B + \sin C =

\frac{3\sqrt{3}}{2} \)，求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。

高一奥数竞赛试题及答案

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一、选择题（每题4分，共40分）

1. 若x，y是实数，且满足x² + y² = 1，下列哪个选项是正确的？

A. x + y ≤ 1

B. x + y ≥ 1

C. x + y = 1

D. x + y ≤ 2

答案：A

2. 对于函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1，下列哪个是它的极值点？

A. x = 0

B. x = 1

C. x = -1

D. x = 2

答案：B

3. 若a，b，c是正整数，且满足a + b + c = 12，下列哪个是a，b，c的可能值？

A. a = 3, b = 4, c = 5

B. a = 2, b = 5, c = 5

C. a = 1, b = 2, c = 9

D. a = 4, b = 4, c = 4

答案：D

4. 已知数列{an}满足a1 = 1，且an + 1 = 2an + 1，求a5的值。

A. 15

B. 17

C. 19

D. 21

答案：C

5. 若z是复数，且满足|z| = 1，下列哪个是z的可能值？ A. z = i

B. z = -1

C. z = 1 + i

D. z = 2

答案：A

6. 对于函数f(x) = x² - 4x + 3，下列哪个是它的零点？

A. x = 1

B. x = 3

C. x = 5

D. x = 7

答案：B

7. 若a，b，c是实数，且满足a² + b² + c² = 9，下列哪个是a，b，c的可能值？

A. a = 1, b = 2, c = 2

B. a = 2, b = 1, c = 2 C. a = 3, b = 0, c = 0

D. a = 0, b = 3, c = 0

高一数学竞赛试题及答案 2

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一、选择题（每题5分，共20分）

1. 下列哪个数是无理数？

A. √3

B. 0.33333（无限循环）

C. π

D. 1/3

2. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

3. 一个圆的半径为 5，求其面积。

A. 25π

B. 50π

C. 75π

D. 100π

4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca

的值。

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

二、填空题（每题5分，共20分） 5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是

__________。

6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是

__________。

7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1)

的值是 __________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。

三、解答题（每题15分，共60分）

9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +

1/n^2 < 2。

10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3,

4)，求其面积。

答案

一、选择题

1. 正确答案：C（π 是无理数）

2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）