2013年深圳市高三年级第一次调研考试参考答案与评分标准(文科数学)

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷答案及评分标准 第1页，共10页

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

B D D A B B C C A

D

二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．

11．63. 12．[26]，. 13．53． 14．455． 15．43.

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，2 sin,1M（ ），2 1,2cosN（ ）（R），且32OMON.

（1）求点,MN的坐标；

（2）若角,的顶点都为坐标原点且始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别经过点,MN，求tan()的值.

解：(1)

3,2OMON

223sin2cos,2 „„„„„„„.2分

223sin2(1sin),2

解得21sin6，25cos6

所以1(,1)6M，5(1,)3N „„„„„„„.6分

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷答案及评分标准 第2页，共10页

（2）由（1）可知1(,1)6M，5(1,)3N

tan6，5tan3 „„„„„„„„„„„„.10分

tantantan()1tantan

563516()3

1333 „„„„„„„„„„„„.12分

【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力．

17．（本小题满分12分）

一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

学生 1A 2A 3A 4A 5A

数学（x分） 89 91 93 95 97

物理（y分） 87 89 89 92 93

（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；

（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆybxa．

解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)AA、41(,)AA、42(,)AA、43(,)AA、51(,)AA、52(,)AA、53(,)AA、12(,)AA、13(,)AA、23(,)AA共种情10况.„„„3分

其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)AA、41(,)AA、42(,)AA、43(,)AA、51(,)AA、52(,)AA、53(,)AA共7种情况，

故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P10. „„„„„„„„„„„„„„„„5分

（2）散点图如右所示. „„„„„„„„„„„„„„„„„6分

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷答案及评分标准 第3页，共10页

可求得：

x=59795939189=93，

y=59392898987=90， „„„„„„„„„„„„„„„„„8分

51()()30iiixxyy

51i2i)xx(=22222420)2()4(=40，

3040b=0.75，

aybx=20.25， „„„„„„„„„„„„„„„„„11分

故y关于x的线性回归方程是：

ˆ0.7520.25yx. „„„„„„„„„„„„„„„„„12分

【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．

18．（本小题满分14分）

如图甲，O⊙的直径2AB，圆上两点CD、在直径AB的两侧，使4CAB，3DAB．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥CBOD的体积； y/物理成绩x/数学成绩O899193959788929490· · · · ·

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷答案及评分标准 第4页，共10页

（2）求证：CBDE；

（3）在BD上是否存在一点G，使得//FG平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

解:（1）C为圆周上一点，且AB为直径，90C

,4CAB,ACBC

∵O为AB中点，COAB，

2,1ABCO.

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，

∴CO平面ABD，CO平面BOD.

∴CO就是点C到平面BOD的距离，

在RtABD中，1113132224BODABDSS，

1133133412CBODBODVSCO. „„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）在AOD中，60,,OADOAOD

AOD为正三角形，

又E为OA的中点，DEAO，

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，

DE平面ABC.

∴CBDE. „„„„„„„„„„„„„„„9分

（3）存在，G为BD的中点.证明如下：

连接,,OGOFFG， A B C

O

D ·

(第18题图甲) A B F

O

D ·

(第18题图乙) · E

G

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷答案及评分标准 第5页，共10页

∴OGBD，

∵AB为⊙O的直径，

∴ADBD

∴//OGAD，

OG平面ACD，AD平面ACD，

∴OG//平面ACD.

在ABC中，,OF分别为,ABBC的中点，

//OFAC，

OF平面ACD，//OF平面ACD，

,OGOFO

∴平面//OFG平面ACD，

又FG平面OFG，//FG平面ACD.„„„„„„„„„„„„„„„14分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．

19．（本题满分14分）

设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且23a是

13a和34a的等差中项．

（1）求数列{}na的通项公式；

（2）设111nnnnabaa()()，数列nb的前n项和为nT，求证：12nT．

解：（1）由已知，得1231327(3)(4)3.2aaaaaa，„„„„„„„„„„„„„„„3分

解得22a．

设数列{}na的公比为q，则

12aq，

∴213122aaaqqq，．

由37S，可知2227qq，

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷答案及评分标准 第6页，共10页

∴22520qq，

解得12122qq，．

由题意，得12qq，． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

∴11a．

故数列{}na的通项为12nna． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

(2)∵1(1)(1)nnnnabaa112(21)(21)nnn1112121nn， „„„„11分

∴nS112231111111111121212121212121nn

111121n11221n12.„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力．

20．（本题满分14分）

已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且点31,2（ ）在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PHx轴，H为垂足，点Q满足PQHP，直线AQ与过点B且垂直于x轴的直线交于点M，4BMBN．求证：OQN为锐角．

A xyMNQ

PHOB

（第20题图）