高等数学 空间解析几何与向量代数习题课

过直线
y x
z1 2z
0
0
与平面的交点，且与已知直
线垂直 .
十二、判断下列两直线
x1 L1 : 1
y 1
z 1, 2
L2
:
x 1
y 1 3
z 2,是否在同一平面上，在同 4
一
平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距
离.
练习题解答 请记录
一、1、D； 2、C； 3、C； 4、A； 5、B；
a {1,3,1} ;b 2,1,3，求其面积 .
五、已 知 a , b , 为 两 非 零 不 共 线 向 量 ， 求 证 ：
(a b) (a b) 2(a b) .
六、一动点与点 M ( 1 , 0 , 0 )的距离是它到平面x 4 的
距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线
z 10 的交点是（ ）. 7
（A）( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 ,1 ,4 )；
（B）( 1 , 2 , 3 ) ；
（C）( 2 , 3 , 4 )；
（D）( 2 ,1 ,4 ) .
9、已知球面经过( 0 ,3 , 1 ) 且与xoy 面交成圆周
x2
y2
16，则此球面的方程是（
）.
例2
求过直线
:
x x
5 z
y 4
z0 0,
且与平面
x
4
y
8z 12 0 组成 角的平面方程. 4
解 过已知直线的平面束方程为
x 5 )z 4 0,
其法向量
n
{1
,5,1
}.
又已知平面的法向量
n
（C） x 2
y2

2
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

向量代数的基本定理
02
向量分解定理、向量投影定理、向量共线定理、向量平行定理
等。
空间解析几何的应用
03
平面方程、直线方程、二次曲面等。
学习建议与展望
01
熟练掌握基本概念和定理，多做习题，加深理解。
02
学会运用向量代数解决实际问题，提高分析问题和 解决问题的能力。
03
拓展学习线性代数、微积分等其他数学领域，为进 一步学习其他学科打下基础。
总结词
强化计算能力
详细描述
在解析几何与向量代数中，计算能力是非常重要的，需 要多做练习，提高计算速度和准确性。
进阶习题解析
总结词
理解进阶概念
详细描述
进阶概念包括向量的外积、混合积 、空间中的平面和直线等，理解这 些概念有助于解决更复杂的问题。
总结词
掌握进阶公式
详细描述
进阶公式包括向量的外积公式、混合 积公式等，掌握这些公式能够更高效 地解题。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P可以用三维实 数来表示，即(x, y, z)。
3
坐标系的性质
空间直角坐标系具有方向性、正交性和单位性。
向量及其表示
向量定义
向量是一个有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
向量的模
向量的模是指向量的长度或大小，记作|a|，计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
向量的数乘
实数$k$与向量$vec{a}$的数乘满足分配律，即$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$，其中 $m$为实数。
向量的数量积和向量积
向量的数量积
向量$vec{a}$和$vec{b}$的数量积定 义为$vec{a} cdot vec{b} = ||vec{a}|| ||vec{b}|| cos theta$，其中$theta$ 为两向量的夹角。