高等数学第六版同济大学 下册 空间解析几何与向量代数

四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。

同济第六版《高等数学》优秀教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数第七章空间解读几何与向量代数教案目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教案重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。

教案难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§7. 1 向量及其线性运算一、向量概念向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,这一类量叫做向量.在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号:以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB . 向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F .自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a 和b 的大小相等,且方向相同,则说向量a 和b 是相等的,记为a =b .相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a 与b 平行,记作a // b .零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.类似还有共面的概念.设有k (k ≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k 个终点和公共起点在一个平面上,就称这k 个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法:设有两个向量a 与b ,平移向量使b 的起点与a 的终点重合,此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和,记作a +b ,即c =a +b . 三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则. 平行四边形法则:当向量a 与b 不平行时,平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b .向量的加法的运算规律: (1)交换律a +b =b +a ;(2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).由于向量的加法符合交换律与结合律,故n 个向量a 1,a 2,,a n (n ≥3)相加可写成bacABCABCa 1+a 2++a n ,并按向量相加的三角形法则,可得n 个向量相加的法则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a 1,a 2,,a n ,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和. 负向量:设a 为一向量,与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量,记为-a . 向量的减法:我们规定两个向量b 与a 的差为b -a =b +(-a ).即把向量-a 加到向量b 上,便得b 与a 的差b -a . 特别地,当b =a 时,有 a -a =a +(-a )=0.显然,任给向量→AB 及点O ,有→→→→→A O OB OB O A AB -=+=,因此,若把向量a 与b 移到同一起点O ,则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB 便是向量b 与a 的差b -a . 三角不等式:由三角形两边之和大于第三边的原理,有|a +b |≤|a |+|b |及|a -b |≤|a |+|b |,其中等号在b 与a 同向或反向时成立. 2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a 与实数λ的乘积记作λa ,规定λa 是一个向量,它的模|λa |=|λ||a |,它的方向当λ>0时与a 相同,当λ<0时与a 相反.当λ=0时,|λa |=0,即λa 为零向量,这时它的方向可以是任意的. 特别地,当λ=±1时,有1a =a ,(-1)a =-a .运算规律:(1)结合律λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律(λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb .b-a b -abab -a例1.在平行四边形ABCD 中,设?→?AB =a ,?→AD =b .试用a 和b 表示向量?→?MA 、?→?MB 、?→?MC 、?→MD ,其中M 是平行四边形对角线的交点. 解由于平行四边形的对角线互相平分,所以a +b ?→→==AM AC 2,即-(a +b )?→=MA 2, 于是21-=?→MA (a +b ).因为?→→-=MA MC ,所以21=?→MC (a +b ).又因-a +b ?→→==MD BD 2,所以21=?→MD (b -a ).由于?→→?-=MD MB ,所以21=?→MB (a -b ).例1在平行四边形ABCD 中,设→a =AB ,→b =AD .试用a 和b 表示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD ,其中M 是平行四边形对角线的交点.解由于平行四边形的对角线互相平分,所以→→→MA AM AC 22-===+b a ,于是→)(21b a +-=MA ;→→)(21b a +=-=MA MC . 因为→→MD BD 2==+-b a , 所以→)(21a b -=MD ;→21-=MB 向量的单位化:设a ≠0,则向量||a a 是与a 同方向的单位向量,记为e a . 于是a =|a |e a . 向量的单位化:设a ≠0,则向量||a a 是与a 同方向的单位向量,记为e a .于是a = | a | e a .定理1 设向量a ≠0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ,使b =λa .证明: 条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性.设b //a .取||a b ||||=λ,当b 与a 同向时λ取正值,当b 与a 反向时λ取负值,即b =λa .这是因为此时b 与λaBCD BCD同向,且|λa |=|λ||a ||b ||a a b ==|||||. 再证明数λ的唯一性.设b =λa ,又设b =μa ,两式相减,便得(λ-μ)a =0,即|λ-μ||a |=0. 因|a |≠0,故|λ-μ|=0,即λ=μ.给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ,对于轴上任一点P , 对应一个向量→OP , 由→OP //i , 根据定理1, 必有唯一的实数x , 使→OP =x i (实数x 叫做轴上有向线段→OP 的值), 并知→OP 与实数x 一一对应. 于是点P ?向量→OP = x i ?实数x ,从而轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系. 据此, 定义实数x 为轴上点P 的坐标. 由此可知, 轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是→OP = x i .三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴,依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面:在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面,另两个坐标面是yOz 面和zOx 面. 卦限:三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限,它位于xOy 面的上方.在xOy 面的上方,按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy 面的下方,与第一卦限对应的是第五卦限,按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式:任给向量r ,对应有点M ,使→r =OM .以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体,有→→→→→→→OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r ,设→i x OP =,→j y OQ =,→k z OR =,则→k j i r z y x OM ++==.上式称为向量r 的坐标分解式,x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量.显然,给定向量r ,就确定了点M 及→i x OP =,→j y OQ =,→k z OR =三个分向量,进而确定了x 、y 、z 三个有序数。

高等数学下册复习提纲 (向量代数—>无穷级数)第一次课1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法3．向量与数的乘法设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r点A 与点B 间的距离为 →212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==向量的方向：向量a 与b 的夹角 当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b .同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即 c = a ⨯b . 坐标表示:zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα向量的投影向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面.(3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面由方程1222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.由方程z b y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 椭圆柱面12222=+b y a x ,双曲柱面122=-by a x , 抛物柱面ay x =2, .直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组 ⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .空间直线的对称式方程与参数方程方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么(x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有pz z n y y m x x 000-=-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 直线L 1和L 2的夹角ϕ可由 |) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=直线与平面的夹角设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为ϕ , 那么|) , (2|^n s -=πϕ, 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:D =0, 平面过原点.n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.截距式；平面夹角和距离两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^1n n =θ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ.来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于212121C C B B A A == 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F空间曲线的参数方程（33）空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线： 切线与法平面；设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(t z t y t x ωφϕ=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为)(00t x x ϕ'-=.)()(0000t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφϕ=就是曲线Г在点M 处的一个切向量 法平面的方程为0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ切平面与法线隐式给出曲面方程((,,)0F x y z =)法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x = 切平面的方程是))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-法线方程是.),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-),(y x z =在点),(00y x如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 ,1cos 22yxx ff f ++-=α ,1c o s 22yxy ff f ++-=β.11cos 22yxff ++=γ2、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解 偏微分全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du =x u ∂∂dx +y u ∂∂dy ＋zu ∂∂dz 第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题。

习题8-11. 设u =a -b +2c , v =-a +3b -c . 试用a 、b 、c 表示2u -3v . 解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c=5a -11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形.证 →→→-=OA OB AB ; →→→-=OD OC DC ,而 →→-=OA OC , →→-=OB OD ,所以 →→→→→→-=-=+-=AB OA OB OB OA DC .这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形.3. 把∆ABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把各分点与点A 连接. 试以c =→AB 、a =→BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→A D 3、→A D 4.解 a c 5111--=-=→→→BD BA A D , a c 5222--=-=→→→BD BA A D , a c 5333--=-=→→→BD BA A D , a c 5444--=-=→→→BD BA A D .4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→-212M M .解 )2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=→M M ,)4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-→M M .5. 求平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量.解 11)6(76||222=-++=a ,平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量为)116 ,117 ,116(||1-=a a 或)116 ,117 ,116(||1--=-a a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出以下各点在哪个卦限？ A (1, -2, 3); B (2, 3, -4); C (2, -3, -4); D (-2, -3, 1).解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出以下各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0, -1, 0).解 在xOy 面上, 点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 点的坐标为(x , 0, z ).在x 轴上, 点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 点的坐标为(0, 0, z ).A 在xOy 面上,B 在yOz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , -c ), 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(-a , b , c ), 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , -b , c ).(2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , -b , -c ), 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(-a , b , -c ), 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(-a , -b , c ).(3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(-a , -b , -c ). 9. 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0, 0)、(0, y 0, z 0)和(x 0, 0, z 0).在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y 0, 0)和(0, 0, z 0).10. 过点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解 在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y 0, z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0).11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为)0 ,0 ,22(a -, )0 ,0 ,22(a , )0 ,22 ,0(a -, )0 ,22 ,0(a , ) ,0 ,22(a a -, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a -, ) ,22 ,0(a a . 12. 求点M (4, -3, 5)到各坐标轴的距离.解 点M 到x 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+-=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距 离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=-+=z d .13. 在yOz 面上, 求与三点A (3, 1, 2)、B (4, -2, -2)和C (0, 5,1)等距离的点.解 设所求的点为P (0, y , z )与A 、B 、C 等距离, 则 2222)2()1(3||-+-+=→z y PA ,2222)2()2(4||++++=→z y PB ,222)1()5(||-+-=→z y PC .由题意, 有222||||||→→→==PC PB PA , 即 ⎩⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y =1, z =-2, 故所求点为(0, 1, -2).14. 试证明以三点A (4, 1, 9)、B (10, -1, 6)、C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解 因为7)96()11()410(||222=-+--+-=→AB ,7)93()14()42(||222=-+-+-=→AC ,27)63()14()102(||222=-+++-=→BC ,所以222||||||→→→+=AC AB BC , ||||→→=AC AB . 因此∆ABC 是等腰直角三角形.15. 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(3, 0, 2). 计算向量→21M M 的模、方向余弦和方向角.解 )1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21-=---=→M M ;21)2()1(||22221=++-=→M M ;21cos -=α, 22cos =β, 21cos =γ; 32πα=, 43 πβ=, 3πγ=. 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0; (2)cos β=1;(3)cos α=cos β=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解 (1)当cos α=0时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos β=1时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos α=cos β=0时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.17. 设向量r 的模是4, 它与轴u 的夹角是60︒, 求r 在轴 u 上的投影.解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u . 18. 一向量的终点在点B (2, -1, 7), 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4, -4, 7. 求这向量的起点A 的坐标.解 设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-774142z y x ,解得x =-2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (-2, 3, 0).19. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n -p=4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k ,所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .习题8-21. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i k j i b a 75121 213++=---=⨯. (2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . 3. 已知M 1(1, -1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3). 求与→21M M 、→32M M 同时垂直的单位向量.解 →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21-=-+-=M M , →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32-=---=M M .→→k j i k j i n 446 220 142 3221--=--=⨯=M M M M , 172161636||=++=n ,)223(171)446(1721k j i k j i e --±=--±=为所求向量. 4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).解F =(0, 0, -100⨯9. 8)=(0, 0, -980), →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21--=---==M M S . W =F ⋅S =(0, 0, -980)⋅(-2, 3, -6)=5880(焦耳).5. 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与→1OP 成角θ1的力F 1作用着; 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与→2OP 成角θ1的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|⋅sin θ1-x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6. 求向量a =(4, -3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影.解2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=⨯+⨯-⨯=⋅-++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b . 7. 设a =(3, 5, -2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直? 解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, -2λ+4μ),λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, -2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,即-2λ+4μ=0, 所以λ=2μ. 当λ=2μ时, λa +μb 与z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证明 设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则→→OA OB -=, →→||||OA OC =.因为→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC ,所以→→BC AC ⊥, ∠C =90︒.9. 设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c );(3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8,(a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,k j k j i c b b a --=--=+⨯+332443)()(. (3)k j i k j i b a +--=--=⨯58311132, (a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.10. 已知→j i 3+=OA , →k j 3+=OB , 求∆OAB 的面积.解 根据向量积的几何意义, →→||OB OA ⨯表示以→OA 和→OB 为邻边的平行四边形的面积, 于是∆OAB 的面积为→→||21OB OA S ⨯=. 因为→→k j i k j i +--==⨯33310301OB OA , →→191)3()3(||223=+-+-=⨯OB OA , 所以三角形∆OAB 的面积为→→1921||21=⨯=OB OA S . 12. 试用向量证明不等式:||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数, 并指出等号成立的条件.解 设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则有||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅,于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中当) ,cos(^b a =1时, 即a 与b 平行是等号成立.习题8-31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有(x -2)2+(y -3)2+(z -1)2=(x -4)2+(y -5)2+(z -6)2,即 4x +4y +10z -63=0.2. 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程.解 球的半径14)2(31222=-++=R ,球面方程为(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14,即 x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0.3. 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0表示什么曲面?解 由已知方程得(x 2-2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,即 2222)6()1()2()1(=++++-z y x ,所以此方程表示以(1, -2, -1)为球心, 以6为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？解 设点(x , y , z )满足题意, 依题意有21)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x , 化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34 ,1 ,32(---为球心, 以2932为半径的球面. 5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x .6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2-9y 2-9z 2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2+4z 2-9y 2=36.8. 画出以下方程所表示的曲面:(1)222)2()2(a y a x =+-; (2)19422=+-y x ;(3)14922=+z x ;(4)y2-z=0;(5)z=2-x2.9.指出以下方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:(1)x=2;解在平面解析几何中,x=2表示平行于y轴的一条直线;在空间解析几何中,x=2表示一张平行于yOz面的平面.(2)y=x+1;解在平面解析几何中,y=x+1表示一条斜率是1,在y轴上的截距也是1的直线;在空间解析几何中，y=x+1表示一张平行于z轴的平面.(3)x2+y2=4;解在平面解析几何中,x2+y2=4表示中心在原点,半径是4的圆;在空间解析几何中, x2+y2=4表示母线平行于z轴,准线为x2+y2=4的圆柱面.(4)x2-y2=1.解在平面解析几何中,x2-y2=1表示双曲线;在空间解析几何中,x2-y2=1表示母线平行于z轴的双曲面.10.说明以下旋转曲面是怎样形成的:(1)1994222=++z y x ;解 这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的.(2)14222=+-z y x ;解 这是xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而形成的. (3)x 2-y 2-z 2=1;解 这是xOy 面上的双曲线x 2-y 2=1绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的双曲线x 2-z 2=1绕x 轴旋转一周而形成的.(4)(z -a )2=x 2+y 2 .解 这是zOx 面上的曲线(z -a )2=x 2绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线(z -a )2=y 2绕z 轴旋转一周而形成的. 11. 画出以下方程所表示的曲面: (1)4x 2+y 2-z 2=4;(2)x 2-y 2-4z 2=4;(3)94322y x z +=.习题8-41. 画出以下曲线在第一卦限内的图形:(1)⎩⎨⎧==21y x ;(2)⎩⎨⎧=---=0422y x y x z ;(3) ⎩⎨⎧=+=+222222az x a y x .2. 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形: (1)⎩⎨⎧-=+=3215x y x y ;解 在平面解析几何中, ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示直线y =5x +1与y =2x -3的交点)317 ,34(--; 在空间解析几何中, ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示平面y =5x +1与y =2x -3的交线, 它表示过点)0 ,317 ,34(--, 并且行于z 轴. (2)⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x .解 在平面解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y =3的交线. 3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解 把方程组中的x 消去得方程3y 2-z 2=16, 这就是母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于y 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.解 由x +z =1得z =1-x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2-2x +y 2=8, 这是母线平行于z 轴, 准线为球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为 ⎩⎨⎧==+-082222z y x x .5. 将以下曲线的一般方程化为参数方程:(1)⎩⎨⎧==++xy z y x 9222 ;解 将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2=9, 即13)23(2222=+z x .令t x cos 23=, 则z =3sin t .故所求参数方程为t x cos 23=, t y cos 23=, z =3sin t .(2)⎩⎨⎧==+++-04)1()1(222z z y x .解 将z =0代入(x -1)2+y 2+(z +1)2=4得(x -1)2+y 2=3. 令t x cos 31+=, 则t y sin 3=, 于是所求参数方程为t x cos 31+=, t y sin 3=, z =0.6. 求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解 由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎩⎨⎧==+0222z a y x .由第三个方程得bz=θ代入第一个方程得b z a x cos =, 即ax b z arccos =,于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y a xb z .由第三个方程得b z =θ代入第二个方程得b z a y sin =, 即ay b z arcsin =, 于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==a y b z x arcsin 0.7. 求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解 圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax , 它含在半球2220y x a z --≤≤在xOy 面上的投影x 2+y 2≤a 2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax .为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影, 由圆柱面方程x 2+y 2=ax 得y 2=ax -x 2, 代入半球面方程222y x a z --=, 得ax a z -=2(0≤x ≤a ), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为ax a z -≤≤20(0≤x ≤a ), 即z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a , z ≥0.8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解 令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4. 令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.习题8-51. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0.2. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为 2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0. 3. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n 1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为k j i kj i n n n 69301332021++-=-=⨯=,所求平面的方程为-3(x -1)+9(y -1)+6(z +1)=0, 即x -3y -2z =0. 4. 指出以下各平面的特殊位置, 并画出各平面: (1)x =0;解 x =0是yOz 平面. (2)3y -1=0;解 3y -1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,31 ,0(. (3)2x -3y -6=0;解 2x -3y -6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和-2.(4)03=-y x ;解 03=-y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为33.(5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.(6)x -2z =0;解 x -2z =0是通过y 轴的平面. (7)6x +5-z =0.解 6x +5-z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为n =(2, -2, 1). 此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==i n i n i n α;此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==k n k n k n γ.6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解 所求平面的法线向量可取为k j i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=,所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.7. 求三平面x +3y +z =1, 2x -y -z =0, -x +2y +2z =3的交点. 解 解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=++3220213z y x z y x z y x得x =1, y =-1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, -1, 3). 8. 分别按以下条件求平面方程: (1)平行于zOx 面且经过点(2, -5, 3);解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为 0⋅(x -2)-5(y +5)+0⋅(z -3)=0, 即y =-5. (2)通过z 轴和点(-3, 1, -2); 解 所求平面可设为Ax +By =0. 因为点(-3, 1, -2)在此平面上, 所以 -3A +B =0, 将B =3A 代入所设方程得 Ax +3Ay =0, 所以所求的平面的方程为 x +3y =0,(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7).解 所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n 1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即 b +9c =0, b =-9c , 于是 n =(0, -9c , c )=-c (0, 9, -1). 所求平面的方程为9(y -0)-(z +2)=0, 即9y -z -2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离. 解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为 1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d .习题8-61. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程.解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为531124-=+=-z y x .2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为112243-=+=--x y x .3. 用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=.在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3,z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z yx ;参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .4. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量, 即k j i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=.所平面的方程为-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0, 即 16x -14y -11z -65=0.5. 求直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的夹角的余弦.解 两直线的方向向量分别为k j i kj i s -+=--=431233351,k j i kj i s 105101831222+-=-=.两直线之间的夹角的余弦为 ||||) ,cos(2121^21s s s s s s ⋅⨯= 010)5(10)1(4310)1()5(4103222222=+-+-++⨯-+-⨯+⨯=. 6. 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行.解 两直线的方向向量分别为k j i kj i s 531121211++=--=,k j i kj i s 153********---=---=.因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, -3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即k j i kj i s ++-=-=32310201.所求直线的方程为14322-=-=-z y x .8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线12354zy x =+=-的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为k j i kj i s s n 229824112521--=-=⨯=.所求平面的方程为8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0, 即 8x -9y -22z -59=0.9. 求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角.解 已知直线的方向向量为)2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i kj i s -+=-+=--=--⨯=,已知平面的法线向量为n =(1, -1, -1). 因为s ⋅n =2⨯1+4⨯(-1)+(-2)⨯(-1)=0,所以s ⊥n , 从而直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角为0.10. 试确定以下各组中的直线和平面间的关系:(1)37423zy x =-+=-+和4x -2y -2z =3; 解 所给直线的方向向量为s =(-2, -7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, -2, -2).因为s ⋅n =(-2)⨯4+(-7)⨯(-2)+3⨯(-2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不满足平面方程4x -2y -2z =3, 所以所给直线不在所给平面上.(2)723zy x =-=和3x -2y +7z =8;解 所给直线的方向向量为s =(3, -2, 7), 所给平面的法线向量为n =(3, -2, 7).因为s =n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.(3)431232--=+=-z y x 和x +y +z =3.解 所给直线的方向向量为s =(3, 1, -4), 所给平面的法线向量为n =(1, 1, 1).因为s ⋅n =3⨯1+1⨯1+(-4)⨯1=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, -2, 3)满足平面方程x +y +z =3, 所以所给直线在所给平面上.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x平行的平面的方程.解 已知直线的方向向量分别为k j i kj i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=,k j kj i s --=--=-⨯-=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1.所求平面的法线向量可取为k j i kj i s s n -+-=----=⨯=11032121,所求平面的方程为-(x -1)+(y -2)-(z -1)=0, 即x -y +z =0. 12. 求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.解 平面的法线向量为n =(1, 2, -1). 过点(-1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211-=-=+zy x .将此方程化为参数方程x =-1+t , y =2+2t , z =-t , 代入平面方程x +2y -z +1=0中, 得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0,解得32-=t . 再将32-=t 代入直线的参数方程, 得35-=x , 32=y ,32=z . 于是点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影为点)32 ,32 ,25(-.13. 求点P (3, -1, 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.解 已知直线的方向向量为k j kj i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=.过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为 -3(y +1)-3(z -2)=0, 即y +z -1=0. 解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x ,得x =1, 21-=y , 23=z .点P (3, -1, 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点P (3, -1, 2)与点)23 ,21 ,1(-间的距离, 即223)232()211()13(22=-++-+-=d .14. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离 →||||0s s ⨯=M M d . 解 设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量→=MN s , 根据向量积的几何意义, 以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为||||00s ⨯=⨯→→→M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为||||s ⋅=⋅→d MN d . 因此||||0s s ⨯=⋅→M M d , ||||0s s ⨯=→M M d . 15. 求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程.解 过已知直线的平面束方程为 (2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0. 为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令 (4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即 4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0. 解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得17x +31y -37z -117=0. 故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x .16. 画出以下各曲面所围成的立体图形: (1)x =0, y =0, z =0, x =2, y =1, 3x +4y +2z -12=0;(2)x =0, z =0, x =1, y =2, 4yz =;(3)z =0, z =3, x -y =0, 03=-y x , x 2+y 2=1(在第一卦限内);(4)x =0, y =0, z =0, x 2+y 2=R 2, y 2+z 2=R 2(在第一卦限内).总习题八 1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ] 坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量→OM 的坐标为___________. 解 M (x -x 0, y -y 0, z -z 0), →) , ,(z y x OM =.提示: 自由向量与起点无关, 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变. (2)设数λ1、λ2、λ3不全为0, 使λ1a +λ2b +λ3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解 共面.(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, -1, 10), c =b -λa , 且a ⊥c , 则λ=____________. 解3.提示: 因为a ⊥c , 所以a ⋅c =0.又因为由a ⋅c =a ⋅b -λa ⋅a =2⨯4+1⨯(-1)+2⨯10-λ(22+12+22)=27-9λ, 所以λ=3.(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =____________. 解 23-.提示: 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .(5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a |=____________.解36.提示: c =-(a +b ),a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a =a ⨯b -b ⨯(a +b )-(a +b )⨯a =a ⨯b -b ⨯a -b ⨯a =3a ⨯b , |a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a |=3|a ⨯b |=3|a |⋅|b |=3⋅3⋅4=36.2. 在y 轴上求与点A (1, -3, 7)和点B (5, 7, -5)等距离的点. 解 设所求点为M (0, y , 0), 则有12+(y +3)2+72=52+(y -7)2+(-5)2, 即 (y +3)2=(y -7)2,解得y =2, 所求的点为M (0, 2, 0).3. 已知∆ABC 的顶点为A (3,2,-1)、B (5,-4,7)和C (-1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度.解 线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(-=+--+. 所求中线的长度为30)23()11()14(222=-+--++=d .4. 设∆ABC 的三边→a =BC 、→b =CA 、→c =AB , 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、b 、c 表示→AD 、→BE 、→CF , 并证明 →→→0=++CF BE AD . 解 →→→a c 21+=+=BD AB AD ,→→→b a 21+=+=CE BC BE ,→→→c b 21+=+=AF CA CF .→→→0=+-=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明 设D , E 分别为AB , AC 的中点, 则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE -=-=, →→→→→AB AC AC BA BC -=+=,所以 →→BC DE 21=, 从而DE //BC , 且||21||BC DE =.6. 设|a +b |=|a -b |, a =(3, -5, 8), b =(-1, 1, z ), 求z .解a +b =(2, -4, 8+z ), a -b =(4, -6, 8-z ). 因为|a +b |=|a -b |, 所以 222222)8()6(4)8()4(2z z -+-+=++-+,解得z =1.7. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π. 设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ. 8. 设a +3b ⊥7a -5b , a -4b ⊥7a -2b , 求) ,(^b a .解 因为a +3b ⊥7a -5b , a -4b ⊥7a -2b ,所以 (a +3b )⋅(7a -5b )=0, (a -4b )⋅(7a -2b )=0,即 7|a |2+16a ⋅b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ⋅b +8|b |2 =0,又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a . 9. 设a =(2, -1, -2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时) ,(^b a 最小？并求出此最小值.解 2^2321||||) ,cos(z z +-=⋅⋅=b a b a b a . 因为当2) ,(0^π<<b a 时, ) ,cos(^b a 为单调减函数. 求) ,(^b a 的最小值也就是求22321)(z z z f +-=的最大值.令0)2(431)(2/32=+--⋅='z z z f , 得z =-4. 当z =-4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10. 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )⨯(a -3b )=-3a ⨯b +2b ⨯a =5b ⨯a .以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a . 11. 设a =(2, -3, 1), b =(1, -2, 3), c =(2, 1, 2), 向量r 满足r ⊥a , r ⊥b , Prj c r =14, 求r . 解 设r =(x , y , z ).因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r ⋅a =0, r ⋅b =0, 即2x -3y +z =0, x -2y +3z =0.又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , 即 2x +y +2z =42.解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+-4222032032z y x z y x z y x ,得x =14, y =10, z =2, 所以r =(14, 10, 2).另解 因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r 与k j i k j i b a ---=--=⨯57321132平行, 故可设r =λ(7, 5, 1). 又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , r ⋅c =42, 即 λ(7⨯2+5⨯1+1⨯2)=42, λ=2,所以r =(14, 10, 2).12. 设a =(-1, 3, 2), b =(2, -3, -4), c =(-3, 12, 6), 证明三向量a 、b 、c 共面, 并用a 和b 表示c .证明 向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ⨯b )⋅c =0. 因为k i k j i b a 36432231--=---=⨯, (a ⨯b )⋅c =(-6)⨯(-3)+0⨯12+(-3)⨯6=0,所以向量a 、b 、c 共面.设c =λa +μb , 则有(-λ+2μ, 3λ-3μ, 2λ-4μ)=(-3, 12, 6),即有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=+-642123332μλμλμλ,解之得λ=5, μ=1, 所以c =5a +b .13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解 根据题意, 有222)2()1()1(||-+++-=z y x z ,或 z 2=(x -1)2+(y +1)2+(z -2)2,化简得(x -1)2+(y +1)2=4(z -1),这就是点M 的轨迹方程.14. 指出以下旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z =2x 2, 旋转轴为z 轴.(2)136936222=++z y x ; 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x , 旋转轴为y 轴. (3)z 2=3(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3=, 旋转轴为z 轴.(4)144222=--z y x . 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=-y x , 旋转轴为x 轴. 15. 求通过点A (3, 0, 0)和B (0, 0, 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程. 解 设所求平面的法线向量为n =(a , b , c ).→)1 ,0 ,3(-=BA , xOy 面的法线向量为k =(0, 0, 1).按要求有→0=⋅BA n , 3cos ||||π=⋅⋅k n k n , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-2103222c b a c c a ,解之得c =3a , a b 26±=. 于是所求的平面的方程为0326)3(=+±-z y x ,即 3326=++z y x , 或3326=+-z y x .16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线, 求此平面方程.解 直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的方向向量为s =(0, 1, -1)⨯(1, 0, 0)=(0, -1, -1). 设点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线交于点(x 0, y 0, z 0). 因为点(x 0, y 0, z 0)在直线⎩⎨⎧==+-001x z y 上, 所以(x 0, y 0, z 0)=(0, y 0, y 0+1). 于是, 垂线的方向向量为 s 1=(-1, y 0+1, y 0).显然有s ⋅s 1=0, 即-y 0-1-y 0=0, 210-=y . 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001--=+-=y y s . 所求平面的法线向量可取为j i k j i k s k n --=-+-⨯=⨯=21)2121(1, 所求平面的方程为0)1()1(21=+---y x , 即x +2y +1=017. 求过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0, 又与直线21311z y x =-=+相交的直线的方程.解 过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0的平面的方程为3(x +1)-4(y -0)+(z -4)=0, 即3x -4y +z -1=0.将直线21311z y x =-=+化为参数方程x =-1+t , y =3+t , z =2t , 代入平面方程3x -4y +z -1=0, 得3(-1+t )-4(3+t )+2t -1=0,解得t =16. 于是平面3x -4y +z -1=0与直线21311z y x =-=+的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标.所求直线的方向向量为s =(15, 19, 32)-(-1, 0, 4)=(16, 19, 28),所求直线的方程为28419161-==+z y x . 18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使∆ABC 的面积最小.解 设所求的点为C (0, 0, z ), 则→) ,0 ,1(z AC -=, →)1 ,2 ,0(--=z BC .因为 →→k j i k j i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC , 所以∆ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 19. 求曲线⎩⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程. 解 在xOy 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=--=-+-02)1()1(2222z y x y x , 即⎩⎨⎧=+=+022z y x y x . 在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=---±+-=0)12()1(222y z x x z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222y z x z xz x . 在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=-+---±=0)1()12(222x y z y z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222x z y z yz y . 20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影.解 锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=+=0222z y x x , 即⎩⎨⎧==+-01)1(22z y x , 所以, 立体在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=≤+-01)1(22z y x . 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+-01)22(222x y z ,所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-01)22(222x y z . 锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为⎩⎨⎧==0||y x z 和⎩⎨⎧==02y x z , 所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x . 21. 画出以下各曲面所围立体的图形:(1)抛物柱面2y 2=x , 平面z =0及1224===z y x ;(2)抛物柱面x 2=1-z , 平面y =0, z =0及x +y =1;(3)圆锥面22y x z +=及旋转抛物面z =2-x 2-y 2;(4)旋转抛物面x 2+y 2=z , 柱面y 2=x , 平面z =0及x =1.习题9-11. 判定以下平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2,边界为 {(x , y )|x =0或y =0}.(2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集,导集为 {(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界为 {(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.(3){(x , y )|y >x 2};解 开集, 区域, 无界集,导集为 {(x , y )| y ≥x 2},边界为 {(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y -1)2≥1}⋂{(x , y )|x 2+(y -2)2≤4}. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 {(x , y )|x 2+(y -1)2=1}⋃{(x , y )|x 2+(y -2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22-+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22tytx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅-+= ),()tan (2222y x f t yx xy y x t =-+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v =F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ). 4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x -y , xy ). 解 f (x +y , x -y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x -y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求以下各函数的定义域:(1)z =ln(y 2-2x +1);解 要使函数有意义, 必须y 2-2x +1>0,故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2-2x +1>0}.(2)yx y x z -++=11; 解 要使函数有意义, 必须x +y >0, x -y >0,故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x -y >0}.(3)y x z -=;解 要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥-y x 即y x ≥,于是有 x ≥0且x 2≥y ,故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.(4)221)ln(yx x x y z --+-=; 解 要使函数有意义, 必须y -x >0, x ≥0, 1-x 2-y 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y )| y -x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221rz y x z y x R u -+++---=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2-x 2-y 2-z 2≥0且x 2+y 2+z 2-r 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}.(6)22arccos yx z u +=. 解 要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求以下各极限:(1)22)1,0(),(1limy x xy y x +-→; 解 110011lim22)1,0(),(=+-=+-→y x xy y x . (2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→; 解 xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++-=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim )0,0(),(-=++-=→xy y x .(4)11lim)0,0(),(-+→xy xyy x ;解11lim)0,0(),(-+→xy xyy x )11)(11()11(lim)0,0(),(-+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xyxy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )0,2(),(→;解 y xy y x )sin(lim)0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xy xyy x .(6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 解 2222)()(21lim )()cos(1lim 22222)0,0(),(2222)0,0(),(yx y x y x y x e y x y x e y x y x ++=++-→→ 0lim 212222)0,0(),(=+=→y x y x e y x (用等价无穷小代换). 7. 证明以下极限不存在: (1)yx yx y x -+→)0,0(),(lim ; 证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0), 则。

高数同济版下高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：高数同济版下二阶微分方程的解法小结：非齐次方程的特解的形式为：高数同济版下主要一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法设，，，则，几种特殊情况： 1），，，则2），，则 3），则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况由方程组 . 两边同时对求导解出即可二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为高数同济版下若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记， 1）若时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组高数同济版下求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：高数同济版下高数同济版下*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕的立体体积）（所围图形绕体体积）（所围图形绕轴的立体体积）。

第八章 空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2. 向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 AB 或a .3. 向量的模：称向量的大小为向量的模，记为||a .4. 自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5. 单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作e .6. 零向量：称模为0的向量为零向量，记作0.7. 两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作=.(即两个向量平移后重合.)8. 两向量的夹角：],0[),(πϕ∈=∧b a ，≠,.9. 两向量平行：若非零向量a 与b 所成的角•b a 0),(=∧或π，则称的a 与b 平行，记作b //a . 规定: 零向量与任何向量平行.10. 两向量垂直：若非零向量a 与b 所成的角•2/),(π=∧，则称的a 与b 垂直，记作⊥.注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直.11. 向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线.12. 向量共面：将)3(≥k k 个向量的起点放到同一点时，若k 个终点与公共起点在一个平面上，则称这k 个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加减法 (1). 向量的加法①．运算法则：设有向量a 与b ，求a 与b 的和.I. 三角形法则：c AC BC AB b a ==+=+.II. 平行四边形法则：==+=+=+.②.运算规律：1°. 交换律：a b b a +=+.2°. 结合律：)()(c b a c b a ++=++.注:)3(≥n 个向量相加的法则：用前一个向量的终点作为后一个向量的起点，依次作向量n a a a ,,,21 ，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即n a a a s +++= 21. (2). 向量的减法①．负向量：称与向量a 同模反向的向量为它的负向量，记作a -.②. 两向量的差：称向量b 与向量a 的负向量a -的和为b 与a 的差向量，记作)(-+=-. 注：特别地，当a b =时，0)(=-+=-a a a a . ③．运算法则：设有向量a 与b ，求a 与b 的差.I.平行四边形法则：AB OC OA OB a b ==-=-. II.三角形法则：AB OA OB a b =-=-. (3). 运算定理：||||||+≤±. 2．向量与数的乘法(1). 定义：称向量与实数λ的乘积λ为向量的数乘. 注：1°. 规定a λ是一个向量.2°. ||||||a a ⋅=λλ3°. 若0>λ，则a λ与a 同向；若0<λ，则a λ与a 反向；若0=λ，则0=a λ. (2). 运算规律：①． 结合律：a a a )()()(λμλμμλ==. ②． 分配律：b a b a λλλ+=+)(. (3). 性质①．向量a 的同向单位向量：||a ae a =，a e a a ⋅=||. ②．向量平行的充要条件(定理)：若向量0≠a ，则向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使a b λ=.③．数轴上的点P 的坐标为x 的充要条件为：i x OP =，其中向量i 为数轴的单位向量，实数x称为有向线段OP 的值.例1. 如图，用a 、b 表示MA 、MB 、MC 以及MD .解：由于MC AC b a 2==+，故()b a MC +=21，进而()b a MA +-=21. 又MD BD a b 2==-，故()-=21，进而()()-=--=2121.三、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：oxyz 坐标系或],,;[O 坐标系.2. 坐标面：xoy 面；yoz 面；zox 面.3. 卦限：),,(+++→z y x I ；),,(++-→z y x II ；),,(+--→z y x III ；),,(+-+→z y x IV ； ),,(-++→z y x V ；),,(-+-→z y x VI ； ),,(---→z y x VII ；),,(--+→z y x VIII .4. 空间点的坐标：),,(z y x M .OM r =(向径)OR OQ OP ++=k z j y i x ++=. (1). 向量r 的坐标分解式：k z j y i x r ++=. (2). 向量的分向量：z y x ,,. (3). 向量的坐标：),,(z y x =. (4). 点M 的坐标：),,(z y x M .注：1°. xoy 面上点M 的坐标：)0,,(y x M ； 2°. x 轴上点M 的坐标：)0,0,(x M ；yoz 面上点M 的坐标：),,0(z y M ； y 轴上点M 的坐标：)0,,0(y M ；zox 面上点M 的坐标：),0,(z x M . z 轴上点M 的坐标：),0,0(z M .四、利用坐标作向量的线性运算：设),,(z y x a a a =，),,(z y x b b b =. 1. 向量线性运算的坐标表示：(1). 加减法：),,(z z y y x x b a b a b a ±±±=±. (2). 数乘：),,(z y x a a a λλλλ=.(3). 两向量平行：)0,,(,),,(),,(≠==⇔=⇔z y x zzy y x x z y x z y x a a a a b a b a b a a a b b b b //a λ.注：1°. 若0,,0≠=z y x a a a ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔z z yy x ab a b b b //a 0.2°. 若0,0≠==z y x a a a ，则⎩⎨⎧==⇔00yx b b //.例2. 已知)2,1,2(=，)2,1,1(--=，求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-by x ay x 2335的解向量.解：方程①乘2减去方程②乘3得：b a x 32-=)2,1,1(3)2,1,2(2---=)10,1,7(-=，方程①乘3减去方程②乘5得：b a y 53-=)2,1,1(5)2,1,2(3---=)16,2,11(-=.例3. 已知两点),,(111z y x A 、),,(222z y x B 及实数1-≠λ，在直线AB 上求一点M ，使λ=. 解：因为OA OM AM -=，OM OB MB -=，因此有)(-=-λ，整理得)(11OM λλ++=， 代入坐标得)],,(),,[(11222111z y x z y x OM λλ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ， 从而得到点M 的坐标⎪⎭⎫⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x M .注：线段AB 中点坐标公式⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x M .五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式：(1). 向量的模：k z j y i x z y x OM r ++===),,(，222||z y x ++=. (2). 两点间距离公式：点),,(111z y x A 与),,(222z y x B 之间的距离：212212212)()()(|z z y y x x AB -+-+-=.推导：因为()121212,,z z y y x x OA OB AB ---=-=，所以|)()()(||||212212212z z y y x x AB AB -+-+-==.例4. 求证以三点)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点间距离公式，有 14)12()31()47(||22221=-+-+-=M M ；6)23()12()75(||22232=-+-+-=M M ； 6)31()23()54(||22213=-+-+-=M M ，由于||||1322M M M M =，故321M M M ∆为等腰三角形. 例5. 在z 轴上求与两点)7,1,4(-A 、)2,5,3(-B 等距离的点. 解：由题可设所求点为),0,0(z M ，有||||MB MA =，即222222)2()05()03()7()10()40(z z --+-+-=-+-++，整理得914=z ，故所求点为⎪⎭⎫ ⎝⎛914,0,0M . 例6. 已知两点)5,0,4(A 、)3,1,7(B ，求与AB 同向的单位向量e .解：因为)2,1,3()53,01,47(-=---=，所以14)2(13||222=-++=，于是)2,1,3(141||-==AB .2. 方向角与方向余弦(1). 向量的方向角：称非零向量r 与三条坐标轴的夹角γβα,,为向量r 的方向角，],0[,,πγβα∈.(2). 向量的方向余弦：方向角的余弦γβαcos ,cos ,cos .222||cos zy x x r ++==α,222||cos zy x y r ++==β,222||cos zy x z r ++==γ.注：1°. 1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα.2°. )cos ,cos ,(cos ),,||||γβα===z y x r r r e . 例7. 已知两点)2,2,2(1M 、)0,3,1(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：由于)2,1,1()20,23,21(21--=---=M M ，从而有2)2(1)1(||22221=-++-=M M于是，21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，由此可得43,3,32πγπβπα===.例8．设点A 位于第I 卦限，向径与x 轴、y 轴的夹角依次为3π、4π，且6||=OA ，求点A 的坐标.解：由于3πα=，4πβ=，并且1cos cos cos 222=++γβα，有4122211cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=γ，由题可知0cos >γ，故21cos =γ，于是)3,23,3(21,22,216||=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==e ，故点A 的坐标为)3,23,3(. 3. 向量在轴上的投影(1). 向量在轴上的投影：设向量与u 轴正向的夹角为ϕ，称数ϕcos ||为向量在u 轴上的投影，记作j u Pr 或u )(.注：向量),,(z y x a a a a =在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即x x a j =Pr ，y y a j =Pr ，z z a j =Pr .(2). 投影的性质：①．j j j u u u Pr Pr )(Pr +=+. ②．j j u u Pr )(Pr λλ=.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|= a ，求OA 在OM 方向上的投影OA j OM Pr .解：记ϕ=∠MOA ，有31||||cos ==OM OA ϕ， 于是3cos ||Pr a OA OA j OM ==ϕ.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：θcos ||||S F W ⋅= 2. 两向量的数量积(1). 定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积),cos(||||∧⋅⋅b a b a 为与的数量积，也称为内积或点积，记作b a ⋅.注：1°. a j b b j a b a Pr ||Pr ||==⋅.2°. 2||=⋅. 3°. 0=⋅⇔⊥b a b a . (2). 运算规律①．交换律：a b b a ⋅=⋅.(由定义可知) ②．分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(c b c a b j c a j c b a j c c b a ⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅+Pr ||Pr ||)(Pr ||)(③．结合律：)()(⋅=⋅λλ；)()()(⋅=⋅λμμλ.3. 两向量数量积的坐标表示式：若),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b =，则z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅.4. 两非零向量夹角余弦的坐标公式：222222||||),cos(||||zy x zyxz z y y x x bb b aa ab a b a b a b a ba b a b a ++++++=⋅=⋅⋅∧.例1. 试用向量证明三角形的余弦定理： θcos 2222ab b a c -+=. 解：在ABC ∆中，记a BC =||，b CA =||，c AB =||，a CB =，b CA =，c AB =，有b a c -=，从而⋅+⋅-⋅=-⋅-=⋅=2)()(||22||cos ||||2||+⋅-=θ，即θcos 2222ab b a c -+=.例2. 已知三点)1,1,1(M 、)1,2,2(A 和)2,1,2(B ，求AMB ∠.解：由题可得)0,1,1()11,12,12(=---=MA ，)1,0,1()12,11,12(=---=MB ，于是21221||||cos =⋅=⋅=∠MB MA AMB ，故3π=∠AMB .例3. 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v . 设为垂直于S 的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m (液体的密度为ρ).解：单位时间内经过该区域的液体的体积为n v A v A V ⋅==θcos ||， 所求质量为n v A V m ⋅==ρρ. 二、两向量的向量积1. 力对支点的力矩：M .模：||||||OQ =θsin ||||=； 方向：与及的方向成右手规则. 2. 两向量的向量积(1).定义：设有向量a 与b ，夹角为θ，称c 为a 与b 的向量积(叉积、外积)，其中c 的模θsin ||||||b a c =，方向与a 和b 的方向符合右手规则，记作b a c ⨯=. 注：1°. 0=⨯a a .2°. 0//=⨯⇔b a b a .3°. ||⨯的几何意义：以a 与b 为邻边的平行四边形的面积. (2).运算规律①．反交换律：⨯-=⨯. ②．分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(. ③．结合律：)()()(b a b a b a ⨯=⨯=⨯λλλ.(3). 两向量的向量积的坐标表示式：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则b b a a b b a a b b a a b a xx xzz zyy ++=⨯zyxz y x b b b a a a =⨯.例4. 试用两向量的向量积证明三角形正弦定理：CcB b A a sin sin sin ==. 证明：在三角形ABC ∆中，记a BC =||，b CA =||，c AB =||，由于||21||21||21CB CA BA BC AC AB S ABC ⨯=⨯=⨯=∆，即c b a B c a A c b sin sin sin ⋅=⋅=⋅， 整理得 C cB b A a sin sin sin ==. 例5. 设)1,1,2(-=，)2,1,1(-=，计算b a ⨯.解：k j i kj b a 352111--=--=⨯. 例6. 已知三角形ABC 的顶点分别是)3,2,1(A 、)5,4,3(B 和)7,4,2(C ，求三角形ABC 的面积.解：由于)2,2,2(=AB ，)4,2,1(=AC ，有26422+-==⨯，于是142)6(421|264|21||21222=+-+=+-=⨯=S ABC ∆. 例7. 设刚体一角速度ω绕l 轴旋转，计算刚体上一点M 的线速度v . 解：在轴l 上引进一个角速度向量ω，使ωω=||，其方向与旋转方向 符合右手法则，在l 上任取一点O ，作向径=，它与ω的夹角为θ， 则点M 离开转轴的距离θsin ||a =，由物理学中线速度和角速度的关系可知，θωωsin ||||||||r a v ==，且ω、r 、v 符合右手规则，于是r v ⨯=ω.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S 上任一点的坐标都满足方程(*)0),,(=z y x F ，且不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S 的方程，而称曲面S 为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1). 已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2). 已知关于点),,(z y x M 的坐标x 、y 、z 之间的一个方程0),,(=z y x F ，研究该方程所表示曲面的形状.例1. 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程.解：设),,(z y x M 为所求球面上任一点，有R M M =||0，即R z z y y x x =-+-+-202020)()()(， 整理得 2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-.例2. 设有点)3,2,1(A 和)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 为所求平面上任一点，由题意，有||||BM AM =，即222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x ，整理得 07262=-+-z y x .例3. 方程042222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？解：原方程变形为5)2()1(222=+++-z y x ，表示以)0,2,1(0-M 为球心，以5为半径的球面. 二、旋转曲面1. 定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2. 旋转曲面的方程：曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±z y x f .(绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±x z y f .)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁.)推导：在曲线C 上任取一点),,0(111z y M ，有0),(11=z y f ，且点1M 到z 轴的距离||1y d =.当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 绕z 轴旋转到点),,(z y x M ，其中1z z =，点M 到z 轴的距离221y x d +=，由于1d d =，有221||y x y +=， 即221y x y +±=，代入曲线方程有0),(22=+±z y x f .注：1°. 曲线C ：0),(=y x f 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±z y x f ；绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±y x z f .2°. 曲线C ：0),(=x z f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±y x z f ；绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±x z y f .3. 常见旋转曲面及其方程(1). 圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L 绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角)2/,0(πα∈为圆锥面的半顶角.②．圆锥面的方程：以坐标原点o 为顶点，以α为半顶角，以z 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222y x a z +=，其中αcot =a .推导：在yoz 坐标面上，过原点且与z 轴夹角为α的直线方程为y z ⋅=αcot ，于是，直线L 绕z 轴旋转而成的圆锥面的方程为)(cot 22y x z +±⋅=α，整理得)()(cot 2222222y x a y x z +⋅=+⋅=α.注：1°. 以坐标原点O 为顶点，以α为半顶角，以x 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222z y a x +=，其中αcot =a .2°. 以坐标原点O 为顶点，以α为半顶角，以y 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222x z a y +=，其中αcot =a .(2). 旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面.②．旋转双曲面的方程：(双曲线：12222=-cz a x ) 旋转单叶双曲面的方程：(绕z 轴旋转) 122222=-+cz a y x . 旋转双叶双曲面的方程：(绕x 轴旋转) 122222=+-cz y a x .三、柱面1. 柱面的定义： 称由直线L 沿定曲线C 平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C 为柱面的准线，动直线L 为柱面的母线.2. 几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁)(1). 圆柱面：222R y x =+. (准线为xoy 坐标面上的圆：222R y x =+，母线平行z 轴.)222R z y =+. (准线为yoz 坐标面上的圆：222R z y =+，母线平行x 轴.)222R x z =+. (准线为zox 坐标面上的圆：222R x z =+，母线平行y 轴.)(2). 过坐标轴的平面：0=-y x ，过z 轴，准线为xoy 坐标面上的直线0=-y x .0=-z y ，过x 轴，准线为yoz 坐标面上的直线0=-z y .0=-x z ，过y 轴，准线为zox 坐标面上的直线0=-x z .四、二次曲面1. 椭球面：1222222=++c z b y a x .2. 椭圆锥面：22222z by a x =+. 3. 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x . 4. 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x . 5. 椭圆抛物面：z b y a x =+2222. 6. 双曲抛物面：z by a x =-2222. 7. 椭圆柱面：12222=+b y a x . 8. 双曲柱面：12222=-by a x 9. 抛物柱面：ay x =2.§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C .二、空间曲线的方程1. 一般式(面交式)方程：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 例如：⎩⎨⎧=+=+632122y x y x 表示圆柱面122=+y x 与平面632=+y x 的交线. 又如：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22222222a y a x y x a z 表示上半球面222y x a z --=与圆柱面22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x 的交线.2. 参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，其中点),,(z y x M 随着参数t 的变化遍历曲线C .例1. 称由点),,(z y x M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转，又同时以线速度v 沿平行z 轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程.解：取时间t 为参数，0=t 对应点)0,0,(a A ，t 对应点),,(z y x M ，作M 在xoy 面上的投影'M ，有)0,,('y x M ，且t AOM ω=∠'，于是t a AOM OM x ωcos 'cos |'|=∠=，t a AOM OM y ωsin 'sin |'|=∠=，又vt MM z =='，于是，螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vt z t a y t a x ωωsin cos ， 令ωωθv b t ==,，则螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos . 三、空间曲线在坐标面上的投影1．投影柱面：称以空间曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面为曲线C 关于xoy 坐标面的投影柱面.2. 空间曲线的投影：称空间曲线C 关于xoy 坐标面的投影柱面与xoy 坐标面的交线为空间曲线C 在xoy 坐标面上的投影曲线，也称为投影.3. 空间曲线的投影方程：空间曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在xoy 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(z y x H ，其中0),(=y x H 为方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去z 所得的投影柱面方程. 注：1°. 空间曲线曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在yoz 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(x z y R . 2°. 空间曲线曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在zox 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(y x z T .例2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 在xoy 坐标面上的投影方程. 解：现求曲线C 在关于xoy 坐标面上的投影方程，将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 消去z 得投影柱面方程：02222=-+y y x ，于是所求投影方程为⎩⎨⎧==-+002222z y y x .例3. 求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成的立体在xoy 坐标面上的投影. 解：先求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 关于xoy 坐标面的投影方程，消去z 得投影柱面方程：122=+y x ，故曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 在xoy 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0122z y x ，从而所求投影为圆域：122≤+y x .§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量.2.平面的点法式方程：过点),,(0000z y x M ，以向量),,(C B A =为一法向量的平面∏的方程为：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .推导：在平面∏上任取一点),,(z y x M ，有向量),,(0000z z y y x x M M ---=，由于M M n 0⊥，有00=⋅M M n ，即有0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A (1)，即平面∏上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点),,(z y x M 不在平面∏上，则向量M M 0不垂直法向量n ，从而00≠⋅M M n ，即不在平面∏上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面∏的点法式方程0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .例1. 求过点)0,3,2(-且以)3,2,1(-=为法向量的平面的方程.解：由平面的点法式方程得 0)0(3)3(2)2(=-++--z y x ，整理得 0832=-+-z y x . 例2. 求过三点)4,1,2(1-M 、)2,3,1(2--M 和)3,2,0(3M 的平面的方程. 解：先求所求平面的一个法向量n ，由题可得向量)6,4,3(21--=M M ，)1,3,2(31--=M M ，可取 k j i kj i M M M M n -+=----=⨯=9141326433121，于是所求平面的方程为0)4()1(9)2(14=--++-z y x ，整理得015914=--+z y x .二、平面的一般方程1. 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax (*)推导：若点),,(0000z y x M 满足方程(*)，则有0000=+++D Cz By Ax ， (**)两方程相减得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ， (***)方程(***)为过点),,(0000z y x M ，以向量),,(C B A n =为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)的图形总是一个平面，称0=+++D Cz By Ax 为平面的一般方程，其一法线向量为),,(C B A n =.2. 几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁)(1). 过原点的平面方程：0=++Cz By Ax ，法向量为),,(C B A =.(2). 平行x 轴的平面方程：0=++D Cz By ，法向量为),,0(C B n =.(3). 垂直于x 轴 (平行yoz 坐标面) 的平面方程：0=+D Ax ，法向量为)0,0,(A n =. 例3．求通过x 轴和点)1,3,4(--的平面的方程.解：由题意，可设所求平面的方程为：0=+Cz By ，(*)又点)1,3,4(--在该平面上，有03=--C B ，得B C 3-=，代入方程(*)得03=-z y . 例4. 设一平面与x 、y 、z 轴的交点依次为)0,0,(a P 、)0,,0(b Q ，),0,0(c R ，求该平面的方程.解：设所求平面的方程为0=+++D Cz By Ax ，(*) 将P 、Q 、R 三点坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000D cC D bB D aA ，得a D A -=，b D B -=，cD C -=，代入方程(*)， 从而有所求平面方程为1=++cz b y a x ，称之为平面的截距式方程. 三、两平面的夹角及点到平面的距离 1. 两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角.2. 两平面夹角的余弦：设平面1∏的法线向量为),,(1111C B A n =，平面2∏的法线向量为),,(2222C B A n =，两平面的夹角为θ，则22222221212121212121|||),cos(|cos C B A C B A C C B B A A n n ++⋅++++==∧θ.注：1°. 212121212121////D D C C B B A A n n ≠==⇔⇔∏∏. 2°. 021********=++⇔⊥⇔⊥C C B B A A n n ∏∏.3. 点到平面的距离：平面0:=+++D Cz By Ax ∏外一点),,(0000z y x P 到平面∏的距离为222000||C B A D Cz By Ax d +++++=.推导：在平面∏上任取一点),,(1111z y x P ，过点0P 作平面∏的一法向量n ， 有|||Pr |001NP P P j d ==，由于01010101010101||||||||cos ||Pr P P e P P n P P n P P n P P P P P P j n ⋅=⋅=⋅== θ， 由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=222222222,,C B A C C B A B CB A A e n ，),,(01010101z z y y x x P P ---=， 于是))()()((Pr 10101022201z zC y y B x x A C B A AP P j n -+-+-++=，又点),,(1111z y x P 在平面∏上，故有0111=+++D Cz By Ax ，从而222000||C B A D Cz By Ax d +++++=.例5. 求两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角. 解：由两平面夹角余弦公式211122)1(1|121)1(21|cos 222222=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=θ，故所求夹角为3πθ=. 例6. 一平面通过两点)1,1,1(1M 和)1,1,0(2-M 且垂直于平面0=++z y x ，求它的方程. 解：设所求平面∏的一个法线向量为),,(C B A n =，由题可知向量)2,0,1(21--=M M 在平面∏上，已知平面0:1=++z y x ∏的一个法线向量为)1,1,1(1=n ，由题意有21M M ⊥，有02=--C A ；1n n ⊥，有0=++C B A ；由以上两方程可得C A 2-=，C B =，故所求平面∏的法线向量为),,2(C C C n -=，于是所求平面∏的方程为0)1()1()1(2=-+-+--z C y C x C ，整理得02=--z y x . 另解：由题可知所求平面上一向量)2,0,1(21--=M M ，又已知平面0=++z y x 的一个法线向量为)1,1,1(1=n ，易知1n 不平行于21M M ，故可取所求平面的一个法线向量为M M ++-=--=⨯=2201111211，于是所求平面方程为：0)1()1()1(2=-+-+--z y x ，整理得02=--z y x .第六节 空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1∏、2∏的交线为空间直线.二、空间直线的方程1. 一般(面交式) 方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A . 2. 对称式(点向式)方程(1). 直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量.(2). 直线的点向式方程：过点),,(0000z y x M 以向量),,(p n m S =为方向向量的直线L 的方程为：pz z n y y m x x 000-=-=-. 推导：在直线L 上任取一点),,(z y x M ，有向量),,(0000z z y y x x M M ---=，由于S M M //0，故有 pz z n y y m x x 000-=-=-， (*) 即直线L 上点的坐标都满足方程(*).反之，若点),,(z y x M 不在直线L 上，则由于M M 0不平行S ，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程. 注：1°. m 、n 、p 不同时为零.2°. 若0,,0≠=p n m ，则直线L 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-p z z n y y x x 0000，即平面00=-x x 上的直线.3°. 若0,0≠==p n m ，则直线L 的方程为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x ，即平面00=-x x 与00=-y y 上的交线，过点),,(000z y x 且平行z 轴.3. 参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y m t x x 000.注：一般式⇒对称式⇔参数式.例1. 用对称式方程以及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x .解：先找出该直线上一点),,(000z y x ：不妨取10=x ，代入原方程组得⎩⎨⎧=--=+632z y y x ，解得00=y ，20-=z ，即)2,0,1(-为该直线上一点. 再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为)1,1,1(1=n ，)3,1,2(1-=n，故可取k j i kj n n S 341121--=-=⨯=，故所给直线的对称式方程为：32141-+=-=-z y x . 令t z y x =-+=-=-32141，得到所给直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241. 三、两直线的夹角1. 两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角.2. 两直线夹角的余弦：直线1L 的方向向量为),,(1111p n m S =，直线2L 的方向向量为),,(2222p n m S =,两直线的夹角为ϕ，则22222221212121212121|||),cos(|cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++==∧ϕ. 注：1°. 021********=++⇔⊥⇔⊥p p n n m m S S L L .2°. 2121212121////p p n n m m S S L L ==⇔⇔. 例2. 求直线13411:1+=-=-z y x L 和1222:2-=-+=z y x L 的夹角. 解：由题可知直线1L 的方向向量为)1,4,1(1-=S ，直线2L 的方向向量为)1,2,2(2--=S ，设1L 与2L 的夹角为ϕ，则由两直线夹角余弦公式得21)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222=-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ, 故4πϕ=. 四、直线与平面的夹角 1. 直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影 直线的夹角)2/0(πϕϕ<≤为直线与平面的夹角. 规定：直线与平面垂直时夹角为2π. 2. 直线与平面夹角的正弦：若直线L 的方向向量为),,(p n m S =，平面∏的而一个法线向量为),,(C B A n =.L 与∏的夹角为ϕ，则222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ. 注：1°. p C n B m A n S L ==⇔⇔⊥//∏. 2°. 0//2121=++⇔⊥⇔Cp Bn Am L L .例3. 求过点)4,2,1(-且与平面0432=-+-z y x 垂直的直线的方程. 解：由题意，可取)1,3,2(-=S 为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为143221-=-+=-z y x . 五、平面束及其方程1. 平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束.2. 平面束的方程：设有直线⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111D z C y B x A D z C y B x A L ，其中111,,C B A 与222,,C B A 不成比例,则通过直线L 的平面束的方程为：0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ. 注：该平面束不包含平面02222=+++D z C y B x A .例4. 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程. 解：过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为0)1(1=++-+--+z y x z y x λ，即 01)1()1()1(=-+-+-++λλλλz y x ，其中λ为待定常数.由题可知，该平面与已知平面0=++z y x 垂直，故有01)1(1)1(1)1(=⋅-+⋅-+⋅+λλλ，即01=+λ，解得1-=λ.由此可得所给直线关于所给平面 的投影平面的方程为0222=--z y ，整理得01=--z y ,故所求投影直线的方程为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y . 六、点到直线的距离：直线pz z n y y m x x L 111:-=-=-外一点),,(0000z y x M 到直线L 的距离为： ||0S S MM d =),,(z y x M 为直线L 上的一点.推导：在直线L 上任取一点),,(z y x M ，有向量0，设点0M 到直线L 的距离为d ，由于||||0S MM S d ⨯=⋅，故||0S S MM d =. 例5. 求点)3,2,1(到直线412111-=-=-z y x 的距离. 解：由题可知，所给直线的方向向量为)4,2,1(=S ，点)1,1,1(是该直线上一点，从而有向量)2,1,0(--=a ，由平面外一点到直线的距离公式得：2154214221222=++--==d . 七、杂例： 例6. 求与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行且过点)5,2,3(-的直线的方程. 解法一 (点向式) 由题可知两已知平面的法向量分别为)4,0,1(1-=和)5,1,2(2--=，故可取21n n ⨯为所求直线的一个方向向量，即)34(514021++-=---=⨯=，于是所求直线方程为153243-=-=+z y x . 解法二 (一般式)过点)5,2,3(-且与平面34=-z x 平行的平面方程为234-=-z x ，过点)5,2,3(-且与平面152=--z y x 平行的平面方程为3352-=--z y x ，易知所求直线为上述两个平面的交线，所以所求直线方程为⎩⎨⎧-=---=-3352234z y x z x .例7.求直线241312-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点. 解：易知所给直线的参数方程为t x +=2，t y +=3，t z 24+=，代入平面方程中，得06)24()3()2(2=-+++++t t t ，解得1-=t ，代入直线的参数方程得所求交点的坐标2,2,1===z y x .例8.求过点)3,1,2(且与直线12131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程.解：先求过点)3,1,2(且垂直于已知直线12131-=-=+z y x 的平面： 由题可知该平面的方程为 0)3()1(2)2(3=---+-z y x .再求该平面与已知直线的交点：已知直线的参数方程为t x 31+-=，t y 21+=，t z -=，代入上述平面方程解得73=t ，于是得到交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛-73,713,72. 以点)3,1,2(为起点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-73,713,72为终点的向量为)4,1,2(76373,1713,272--=⎪⎭⎫ ⎝⎛----，于是所求直线方程为431122-=--=-z y x .。

高等数学a同济第六版下册教材高等数学是大学数学的重要基础课程，对于理工科专业学生来说尤为重要。

而同济大学的教材《高等数学A》第六版下册则是数学爱好者和相关专业学生的必备参考书之一。

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第一章：多元函数微分学本章主要介绍了多元函数的偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则等内容。

教材通过详细的讲解和例题，使读者能够掌握多元函数微分学的基本概念和求导方法。

同时，该章还提供了大量的习题和解答，方便学生进行巩固和练习。

第二章：多元函数的微分学应用该章节将多元函数微分学的知识应用于实际问题的求解中。

通过对曲线、曲面、多元函数的最值问题等进行讲解，帮助读者理解和掌握多元函数微分学在实际应用中的意义和方法。

第三章：重积分重积分作为高等数学中的重要概念，该章节对其进行了深入浅出的讲解。

教材详细介绍了二重积分和三重积分的定义、性质以及求解方法，并通过大量实例来加深学生对重积分的理解和掌握。

第四章：曲线积分与曲面积分这一章主要介绍了曲线积分和曲面积分的概念和计算方法。

通过引入曲线的参数方程和向量积分的知识，帮助读者理解和计算曲线积分。

同时，通过引入曲面的参数方程和向量积分的知识，帮助读者理解和计算曲面积分。

第五章：无穷级数无穷级数是数学中一项重要的研究内容，该章节对无穷级数的收敛性、敛散性进行了详细的讲解。

通过引入幂级数和泰勒级数的知识，帮助读者理解和计算无穷级数，并通过实例让读者加深对无穷级数的理解和掌握。

第六章：函数级数该章节介绍了函数级数的概念、性质和判敛法则。

通过讲解四则运算、复合运算和逐项求导等性质，帮助读者理解函数级数的运算方法并掌握判敛法则。

第七章：常微分方程常微分方程在科学和工程中都有着广泛的应用，该章节对其进行了详细的讲解和求解方法的介绍。

通过多个实例的讲解，读者可以更好地理解和掌握常微分方程的求解过程。

结语通过学习《高等数学A》同济第六版下册教材，读者可以系统地学习和掌握高等数学的基础知识和方法。