高等数学教学课件-09空间解析几何

a b a ( b )
a bb c
a
b
abab
b
abab
a(b) B
a1a2… an (a1a2… an1)an A
a
b
ab
C
向量的数乘
设 a 为 向 量 , 为 实 数 , a 为 新 向 ; 0 时 ,与 a反 向 .称 之 为 数 与 向 量 a 的 乘 积 .
对 角 线 作 长 方 体 ,与 坐 标 轴 重 合 的 棱 为 O P, O Q ,
O R ,则
r O P O Q O R
zz
R
又 O P x i , O Q y j , O R z k
M
r
所 以 r x i y j z k
O
y
Qy
x
M r ( x ,y ,z )
xP
称 ( x ,y ,z ) 为 空 间 点 M 或 矢 径 r o M ( 或 向 量 r ) 的 坐 标 ,记 作 :M ( x ,y ,z ) 或 r ( x ,y ,z )
量 (记 i,j,k), 就 构 成 三 个 相 互 垂 直 交 于 O ( 称 为 原 点 ) 的 数 轴 ( 分 别 称 x 轴 ,y 轴 , z 轴 ) 称 之 为 直 角 坐 标 系 . 记 为 ： Oxyz.
按x,y,z轴顺序,坐标系符合
右手定则,称为右手系.
z
任意两坐标轴确定一个平
面称坐标面. x,y 轴确定坐标 面称xOy面(或xy面); x,z 轴
向 量 垂 直 a b 0 . b c
向 量 平 行 a b 0 .
三 向 量 共 面 a(bc)0a
abc,(b0,c0)
c
b
c
c a
设i,j,k为相 b 互垂 b 直且依顺序
k
构成右手系的三单位向量,则 i
j
ijk,jki,ki j.
二、空间直角坐标系
在 空 间 取 定 一 点 O 和 三 个 相 互 垂 直 的 单 位 向
空间点坐标的位置特征
1 . Ⅰ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅱ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅲ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅳ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅴ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅵ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅶ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅷ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ;
向量数乘性质 0a 0, 1a a, (1)a a,
(a) (a) ()a
( )a a a
(a b) a b.
定理：(向量平行条件)
向 量 a 与 b 平 行 存 在 唯 一 实 数 ,使 b a .
其 中 a 0 .
证 充 分 性 由 向 量 数 乘 定 义 可 得 ； ( 必 要 性 ) a 0 , 则 a 0 . 当 b 0 时 , 有 b 0 a ; 当 b 0 时 , 因 a 与 b 平 行 , 所 以 a 、 b 或 者 同 向 , 或 者 反 向 ;
k
i
Oj
y
确定坐标面称xOz面; y,z 轴
x
确定坐标面称yOz面.
三个坐标面把空间 分为八个部分，每 个部分叫一个卦限. 如图:
在xy坐标平面的上 部, 依次称为Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ卦限.
在xy面下部与第一 卦限相对应的称为 第Ⅴ卦限;以后依次 称为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 卦限.
任 给 向 量 r , 空 间 对 应 有 点 M , 使 O M r . 以 O M 为
高等数学
微积分
西南财经大学经济数学系 孙疆明
精
空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
数量积、向量积、混合积
曲面及其方程
平面
空间曲线及其方程
一、向量及其线性运算
向量概念 有大小、有方向的量称为向量. 用 符 号 a 、 b 、 v 、 F 、 … 等 标 记 . 如 果 强 调 起 点 A 、 终 点 B ,也 记 A B . 向 量 的 大 小 叫 做 向 量 的 模 .记 为A B、 a… 等 . 模 为 1的 向 量 叫 做 单 位 向 量 . 模 为 0的 向 量 叫 零 向 量 .记 为 0.
b
b
又 a=b,故当a、b同向有= ,使ba;
a
a
b
当a、b反向时,有= ,使ba.
a
证完
注意:a0时,aa a,ba(a)a,且a 1,
a
aa
故选长度1的向量(记ea),就可用数表示各平行向量
向量的乘法(积) 向量的夹角 两 非 零 向 量 a ,b 把 起 点 放 在 一 起 , 构 成 的 不
两向量大小相等、方向相同叫做两向量相等； 两向量方向相同或相反,叫做两向量平行(共线);
起点放在一起，向量在一个平面内，叫做共面;
向量的线性运算(加减、数乘) 记 为 设 a A B ,b B C ,连 接 A 、 C 得 向 量 A C c
叫 做 向 量 a 、 b 的 和 a b ; 记 为 设aAB,bAC,连 接 B、 C得 向 量 CBc
性 质: 1. abba;
(a ,b )
b
a
2. a(bc)abab;
3. a(b)(a)b(ab).4.
aaa2.
2.向量的向量积(叉积)
a,b为 两 向 量 .以 数absin(a,b)为 模 ,以 从 a到 b
右 手 定 则 为 方 向 的 向 量 叫 作 向 量 a与 b的 向 量 积 .
记 为 : ab.
ab
性质: 1. abba;
b
b
2. a(bc)abab;
a
3. a(b)(a)kb(ab).
4. ab a,b为邻边面积. b a
b
b sin(a,b)
3.向量的混合积
a
a ( b c ) 叫 作 a , b , c 的 混 合 积 .
混 合 积 性 质 ：
a (b c) 以 a ,b ,c 为 棱 的 平 行 六 面 体 体 积 .
超 过 的 角 叫 向 量 a ,b 的 夹 角 .记 为 :( a ,b ) , ( a ,b ) .
1.向量的数量积(点积)——投影向量长度乘积
a ,b 为 两 向 量 ,称 数 ab c o s (a ,b ) 为 向 量 a ,b 的
数 量 积 .记 为 :a b .
即 ababco s(a,b)
记 为
叫 做 向 量 a与 b的 差 ab;BCc叫 做 向 量 b与 a的
差 ba;
A
B
a
b
ab C
B a
ab Ab
C
原向与量一的向负量向量a .大记小为相：等、a 方. 向a 相反B 的b 向量叫做
向量加法性质
a b b a
A
ab C
( a b ) c a ( b c )
abc c