高等数学教学课件-09空间解析几何

第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。

模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。

向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。

向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。

向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。

（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。

向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。

利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。

第九章 空间解析几何一、本章提要1．基本概念空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函数的积分．2．基本公式两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公 式，平面与直线间的夹角公式．3．方程直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的一般式方程．二、要点解析问题1 自由向量的基本特征为何?如何描述其基本特征?解析 向量含有两个基本特征，一个是大小，另一个是方向．所谓自由向量是只考虑大小和方向，而不考虑它的始点和终点位置，即一个向量可以在空间自由地平行移动．不论位置如何，只要其大小相等、方向相同即认为是相等或同一向量．本书讨论的向量均为自由向量．向量特征的描述，从几何上是用有向线段的方向代表向量的方向，有向线段的长度代表向量的大小．从坐标表示上，以),,(1111z y x M 为始点，),,(2222z y x M 为终点的向量为},,{12121221z z y y x x M M ---=，其大小(模)212212212)()()(z z y y x x -+-+-=，其方向由其与坐标轴正向的夹角γβα,,的余弦确定，即2112cos x x M M α-=，cos =β，cos z z -=γ 问题 2 向量的点积与叉积有何物理意义？如何计算？如何利用它们判别向量的位置关系？解析 设向量a 与b 的夹角为θ，则θcos b a b a =⋅， n b a b a ⋅=⨯θsin ，其中n 为与a ，b 同时垂直，方向由右手螺旋法则确定的单位向量．点积为数量，叉积为向量．点积在物理上可以表示功，若物体在力F 的作用下作直线运动，其位移向量为s ，则其功W 为s F s F ⋅=θ=cos W ．叉积在物理上可以表示力矩、磁力等．当单位电荷以速度v 在磁场B 中运动时，它所受的磁力F 为B v F ⨯=，其大小为θsin B v ，方向由右手螺旋法则确定．若{=a },,z y x a a a ，b },,{z y x b b b =，则b a ⋅z z y y x x b a b a b a ++=， y z y zxxa a ab b b ⨯=i j k a b ． 向量之间的位置关系：(1)b a b a ⋅⇔⊥0=++=z z y y x x b a b a b a ； (2)a ∥b 0=⨯⇔b a 或zzy y x x b a b a b a ==； (3)a 与b 的夹角θ由ba ba ⋅=θcos 222222zy x zyxz z y y x x bb b aa ab a b a b a ++++++=确定．例1 设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯． 解 51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a ．}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i kj ib a ． 问题3 说明确定平面的条件及典型的平面方程． 解析 满足下列条件之一者可确定一个平面： (1) 过空间中不共线的三个点； (2) 过直线和直线外一点； (3) 过两条平行或相交的直线．我们用向量的方法可将条件归结为：过一已知点且与一已知向量垂直便可确定一个平面．由此条件建立的平面方程就是平面的点法式方程．平面的主要方程形式：(1) 点法式：过点),,(000z y x ，法向量为}{C B,A,=n 的平面方程为-+-y B x x A ()(00)()00=-+z z C y ；(2) 一般式：0=+++D Cz By Ax ，其中},,{C B A =n ； (3) 截距式：1=++czb y a x ，其中平面与坐标轴交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(c b a ；(4) 三点式：0020202010101000=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x ，其中),,(000z y x ，),,(111z y x ，),,(222z y x 为平面上不在一条直线上的三点．例2 求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程．解 因为z 轴的单位向量}1,0,0{=k 和1,4}{2,0-=OM 均在所求平面内，故可取该平面的一个法向量为}0,2,1{0=⨯=OM k n ，于是所求方程为0)4(0)1(2)2(1=-⨯+++-⨯z y x ，即 02=+y x ．问题4 说明确定直线的基本条件及典型的直线方程．解析 确定一条直线的条件有：过不重合的两点，或者二平面的交线等．我们用向量的方法可将这些条件归结为：过一已知点且与一已知向量平行可以确定一条直线，由此条件建立起来的直线方程为直线的点向式方程． 直线的主要方程形式： (1) 点向式：pz z n y y m x x 000-=-=-，其中),,(000z y x 为直线上定点，},,{p n m =s 为直线的方向向量；(2) 参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=；pt z z nt y y mt x x 000,,(3) 两点式：121121121z z z z y y y y x x x x --=--=--，其中),,(111z y x ，),,(222z y x 为直线上不重合的两点； (4)一般式：⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111D z C y B x A D z C y B x A 其中此二平面不平行．例3 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程．解 因所求直线的方向向量s 与已知平面的法向量同向，所以可取}0,1,3{-=s ，故所求方程为113z y x =--=． 注意：上式右端一项分母为零是一种记法，它只表示该直线与z 轴垂直． 问题5 列举常见的曲面方程，指明曲面及其方程特征．三、例题精解例4 已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模； (3)向量21P P 的方向余弦；(4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解 (1) }2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ； 74926)3(222==++-=；(3) 21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P．例5 求与}3,2,1{-=a 共线，且28=⋅b a 的向量b ． 解 由于b 与a 共线，所以可设}3,2,{λλλλ-==a b ，由28=⋅b a ，得28}3,2,{}3,2,1{=-⋅-λλλ，即2894=++λλλ，所以2=λ，从而}6,4,2{-=b ．例6 已知}0,1,1{},2,0,1{=-=b a ，求c ，使b c a c ⊥⊥,且6=c ．解一 待定系数法．设},,{z y x =c ，则由题设知0,0=⋅=⋅b c a c 及6=c ，所以有①20②③6x z ⎧-=⎪= 由①得2xz =， ④ 由②得x y -=， ⑤将④和⑤代入③得62)(222=⎪⎭⎫⎝⎛+-+x x x ，解得 2,4,4±==±=z y x ， 于是 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．解二 利用向量的垂直平行条件，因为b c a c ⊥⊥,，所以c ∥b a ⨯． 设λ是不为零的常数，则k j i k j i b a c λλλλλ+-=-=⨯=22011201)(，因为6=c ，所以6]1)2(2[2222=+-+λ，解得2±=λ，所以 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{-=c ．解三 先求出与向量b a ⨯方向一致的单位向量，然后乘以6±．k j i k j i b a +-=-=⨯22011201，31)2(2222=+-+=⨯b a ，故与b a ⨯方向一致的单位向量为}1,2,2{31-．于是}1,2,2{36-±=c ，即 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．例7 求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ； (2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解一 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ， 即 01345=+--z y x ．解二 }1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即 01345=+--z y x ．用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为 3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以 {0,320,A B C A B C +-=-+=解得 A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos32=≠=，所以0≠B），令CBC'=，则有0='+zCy，由题设得22222212)5(112153cos++'++⨯'+⨯+⨯=πCC，解得3='C或13C'=-，于是所求平面方程为03=+zy或03=-zy．例8已知平面在x轴上的截距为2，且过点)0,1,0(-和)3,1,2(，求此平面方程．解析此题容易想到用三点式求平面方程，其实不然，因为用三点式需要解三阶行列式，比较麻烦．注意到所求平面与三条坐标轴都相交，它在x轴上的截距已知是2，易知它在y 轴上的截距是-1，在z轴上的截距也容易求得．故用截距式求该平面方程方便些．解设所求平面方程为1=++czbyax，由题设知1,2-==ba，平面过点)3,1,2(，所以131122=+-+c，得3=c．于是，所求平面方程为1312=+-+zyx，即06263=-+-zyx．例9求过点)1,1,2(，平行于直线122132--=+=-zyx且垂直于平面0532=+-+zyx的平面方程．解一用点法式．所给直线的方向向量}1,2,3{-=s，所给平面的法向量}3,2,1{1-=n．1321484123⨯=-=-++-i j ks n i j k，由题设知，所求平面的法向量sn⊥且1⊥n n，取11()24=-⨯=--n s n i j k，于是所求平面方程为)1()1(2)2(=-----zyx，即012=+--zyx．解二所求平面方程为0=+++D Cz By Ax ，由平面过点)1,1,2(得02=+++D C B A ， ① 有所求平面垂直于平面0532=+-+z y x ，知 }3,2,1{},,{-⊥C B A ，所以 032=-+C B A ， ② 又由所求平面平行于直线122132--=+=-z y x ，知 }1,2,3{},,{-⊥C B A ，所以 023=-+C B A ， ③解①，②，③联立方程组得D C D B D A -=-==,2,， 所求平面方程为 012=+--z y x ．例10 求过点)1,0,3(-A 且平行于平面1π：3450x y z --+=，又与直线1:2xL = 1111y z -+=-相交的直线L 的方程． 解一 用点向式方程。