2017届高考数学三轮复习考点归纳：三角函数与平面向量

1.(2015 江苏)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)， 若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为 __-_3___.
【解析】根据向量相等，先求 m，n，再求 m－n. ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8，∴mn＝＝52，，∴m－n＝2－5＝－3.
a＝
2b，则mλ 的取值范围是( A )
A.[－6，1]
B.[4，8]
C.[－1，1]
D.[－1，6]
【解析】由 a＝2b
知λλ＋2－2c＝os22αm，＝m＋①2sin α ② ∴λλ＝2－2mm－＝2c，os2α＋2sin α. 又 cos2 α ＋ 2sin α ＝ － sin2 α ＋ 2sin α ＋ 1 ＝－(sin α－1)2＋2， ∴－2≤cos2α＋2sin α≤2，
∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
∴14≤m≤2. ∴mλ ＝2mm－2＝2－m2 ∈[－6，1].
1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定 理，平面向量 ―对―应→ 实数对(x，y)，任何一个平面向量 都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量 却不一定唯一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是 一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应
【点评】知识：向量数量积的运算律，向量减法 的几何意义.能力：题中根据向量O→Q，O→P表示点 Q，P 的曲线，考查运算求解能力，根据数形结合思想求出 1<r<R<3，考查抽象概括能力.
〔备选题〕例 5 设两个向量 a＝(λ＋2，λ2－cos2α)
和
b＝m，m2 ＋sin
α，其中
λ、m、α
为实数，若
b＝(x2，y2)，则 a＋

2017届高考数学三轮复习考点归纳—解析几何1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．判断两直线平行或垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．2．求圆的方程有两类方法：（1）（2）（1）d与半径r的关系判断，点在圆外；点在圆上；点在圆内；②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与（或0）作比较，大于（或0）时，点在圆外；等于（或0）时，点在圆上；小于（或0）时，点在圆内．（2）直线：与圆的位置关系，比较的大小，直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离；②代数法：消元得一元二次方程，根据判别式的符号直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．圆与圆的位置关系：①几何法：利用两圆圆心距与两圆半径的关系判断，两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；内含；②代数法：根据两圆方程联立组成的方程组的解的情况无解一组实数解两组不同实数解相交（1）(小)值问题，点在圆外时，最大值，最小值（是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值，最小值；（2），直线与圆相离，则最大值，最小值；直线与圆相交，则最大值，最小值0；（3）为⊙O上一动点，求的表达式(如等)的取值范围，一般利用表达式的几何意义转化．求圆锥曲线方程的方法（1）定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法（2）待定系数法：的值．如：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义中心原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为，双曲线方程可设为．，双曲线中的区别．8．求曲线方程的常见方法：（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程；（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求；（3）相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程；（4）参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标联系起来，得到用参数表示的方程．如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．注意：（1）求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线．（2）求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．9．注意焦点在轴上与轴上的双曲线的渐近线方程的区别．10．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的关系，然后根据离心率的定义式求解；(2)根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数，另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系．(或准线)距离的问题，可优先考虑抛物线的定义．（1）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：．②当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．（2）有关弦的中点问题，应灵活运用点差法设而不求法来简化运算．．解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；（2）利用三角函数，尤其是正余弦函数的有界性求最值；（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值；（4）利用判别式求最值；（5）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值．解决问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，．15．当作常数看待（以常驭变），把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．16．的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不存在，即已知是的中点；（2）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数，即已知三点共线；（3）给出，即已知，即是直角；给出，即已知是钝角，给出，即已知是锐角；（3）给出，即已知是的平分线；（4）在平行四边形中，给出，即已知是菱形；（5）在平行四边形中，给出，即已知是矩形；（6）在中，给出，即已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（7）在中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（8）在中，给出，即已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（9）在中，给出，即已知通过的内心；（10）在中，给出，即已知是中边的中线．1．已知点，，，若线段和有相同的中垂线，则点的坐标是A B． C． D．【答案】D【解析】两条线段有相同的中垂线，则两线段AB，CD平行，可利用斜率相等选择排除A，C，由于线段和有相同的中垂线所以【要点回扣】直线的斜率和两点间的距离公式的应用．2．直线与直线平行，则（）A．B．C．或D．或直线与直线平行，，-3平行的条件代入，均满足两直线，．【要点回扣】两直线平行的条件．3．【2017广西南宁、梧州摸底联考被圆得的弦长为则直线的倾斜角为（或B．或 C.或D．【答案】A【要点回扣】判断直线和圆的位置关系．4.【2017广东湛江期考试，8】已知是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）A．B． C.2 D．3【答案】A【解析】由题意可知，，所以，即，，，所以，故选A.【要点回扣】双曲线的定义、标准方程与几何性质.5．【2017广东郴州第二次监测,10】已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个顶点，过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（）A．B． C. D．【答案】A【要点回扣】1.双曲线的几何性质；2.向量的坐标运算.6．已知双曲线的离心率为，右焦点到其渐进线的距离为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C 在直线上，则△ABC的边长是( )A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】因为双曲线的离心率，所以，，因为双曲线右焦点到其渐进线的距离为，所以，，即双曲线的右焦点也即抛物线的焦点为F(1，0)，所以抛物线的方程为，设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA1、BB1、MN垂直于直线于A1、B1、N，设∠AFx=，由抛物线定义知：|MN|，∵|MC|，∴|MN||MC|，∵∠CMN=，∴，即，又由抛物线定义知|AF|，|BF|，∴|AB|，即正三角形ABC的边长为12．故选C．【要点回扣】1．双曲线的标准方程与简单几何性质；2．直线与抛物线的位置关系．7．【2017河北唐山期末，11】已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，的左、右顶点，为上一点，且的直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，则的离心率为（）A．B． C. D．【答案】A【要点回扣】双曲线定义及几何性质．8．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（）【答案】D【解析】过抛物线的焦点为，设直线的斜率为，且，设直线的斜率为，且，所以直线的方程为：，直线的方程为：，其中．由直线方程和抛物线方程联立方程组消去得：．因为是上述方程的两根，所以，所以，，所以，，同理：，所以，+== =，故选D．【要点回扣】1．抛物线的定义与标准方程；2．直线与抛物线的位置关系．9．已知双曲线的左、右焦点分别，，双曲线上存在点P使，则该曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，） B． C． D．【答案】【解析】不妨设点在双曲线的右支上，在中，由正弦定理得，即．由双曲线的第二定义知，又，所以，结合解得，选．【要点回扣】1．双曲线的几何性质；2．双曲线的第二定义；3．正弦定理10．【2017广西南宁、梧州摸底联考知椭圆左、右焦点分别为，过与垂直的直线交椭圆于两点，直线椭圆的另一个交点为若则椭圆的离心率为（B． C. D．【答案】A【要点回扣】椭圆的离心率11．【2017山东枣庄期末，8】过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（）A．B． C. D．【答案】D【解析】由题意，知，则直线的方程为．因为双曲线的渐近线为，所以直线与渐近线的交点横坐标分为，又，即，整理，得，所以，故选D．【要点回扣】1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．12．已知抛物线（）与椭圆（）有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【要点回扣】1．抛物线的几何性质；2．椭圆的几何性质13．【2017湖南五市十校教研教改共同体高三12月联考，13】已知直线与圆相交，弦长为2，则____________．【答案】【解析】圆心到直线距离为，所以由垂径定理得【要点回扣】直线与圆的位置关系14．在直角坐标平面xoy中，F是抛物线C：（p>0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为，则抛物线C的方程为__________________．【答案】【解析】依题意知F，圆心Q在线段OF的垂直平分线上．因为抛物线C的准线方程为，所以，即．因此抛物线C的方程为．【要点回扣】抛物线的标准方程．为椭圆的左、的直线交椭圆于两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为．【答案】【要点回扣】椭圆的几何性质16.【2017河南省广东省佛山市高三教学质量检测（一），16】已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，则双曲线离心率的取值范围是．【答案】【解析】设，直线的方程为，联立双曲线方程，消去，得＋，所以①，②．因为＝，即，代入①②整理，得－，．由，得，即，，解得；由，得，即，，所以．综上所述，．【要点回扣】双曲线的几何性质17.【2017广东湛江市高三上学期期中调研考试，20】设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）动直线过点，与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.因直线与椭圆有相异交点，，解得或，，，，令，则.当时所求面积的最大值是.【要点回扣】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.18. 【2017河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛，20】已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2) ；(3) 直线总经过定点.【解析】（1）设，则，，∴，化简，得，∴椭圆的方程为.（2），，∴，又∵，∴，.代入解，得（舍）∴，，∴.即直线方程为.（3）∵，∴.设，，直线方程为.代直线方程入，得.∴，，∴=，∴，∴直线方程为，∴直线总经过定点.【要点回扣】1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【2017河北唐山市高三年级期末，20】已知抛物线，圆.（1）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值．【答案】（1）；（2）的最小值为，此时．【解析】（1）由题意得F(1，0)，从而有C：x2＝4y．解方程组，得yA＝－2，所以|AF|＝－1．【要点回扣】1、抛物线的定义及几何性质；3、直线与抛物线的位置关系；3、直线与圆的位置关系．。

第二页，编辑于星期六：一点 十分。
【基础检测】
1.在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，且A→C·B→D＝0，
则四边形 ABCD 是( B )
A.矩形
B.菱形
C.直角梯形
D.等腰梯形
【解析】由A→B＝D→C知四边形 ABCD 为平行四边 形，
又因为A→C·B→D＝0，即▱ABCD 的两条对角线垂 直，
∴cos B＝12，B＝π3 ，∴0＜A＜2π3 .
∴π6 ＜A2＋π6 ＜π2 ，12＜sinA2＋π6 ＜1. 又∵f(x)＝m·n＝sinx2＋π6 ＋12， ∴f(A)＝sinA2＋π6 ＋12.
故函数 f(A)的取值范围是1，32.
第二十二页，编辑于星期六：一点 十分。
1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意 义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算
函数 f(A)的取值范围. 【解析】(1)∵m·n＝1，即 3sinx4cosx4＋cos2x4＝1，
即 23sinx2＋12cosx2＋12＝1， ∴sinx2＋π6 ＝12. ∴cos2π3 －x＝cosx－2π3 ＝－cosx＋π3 ＝－1－2sin2x2＋π6 ＝2·122－1＝－12.
第二十一页，编辑于星期六：一点 十分。
b 在 a 方向上的投影|b|cos θ的乘积.
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向
量 a，b 的夹角.
第九页，编辑于星期六：一点 十分。
结论 模
数量积
几何表示
坐标表示
|a|＝ a·a
|a|＝ x12＋y12
a·b＝|a|·|b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2

3.设向量
a＝1，cos
θ
与
b＝－1，2cos
θ
垂
直，则 cos 2θ等于( C )
A.
2 2
B.12 C.0
D.－1
【解析】因为 a＝1，cos
θ与 b＝－1，2cos
θ
垂直，所以
a·b ＝ 1，cos
θ
·
－1，2cos
θ
＝
1×
－1
＋
2cos2θ＝0，cos 2θ＝0.
第五页，编辑于星期六：一点 十分。
【解析】(1)∵p∥q，
∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－ cos A)＝0，∴sin2A＝34，sin A＝ 23，
∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝60°.
第十二页，编辑于星期六：一点 十分。
(2)y＝2sin2B＋cosC－23B
＝2sin2B＋cos180°－B2－A－3B ＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos 2B＋cos(2B－
【解析】(1)因为P→A＋P→B＋P→C＝0，所以(O→A－O→P) ＋(O→B－O→P)＋(O→C－O→P)＝0，
即得O→P＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝(2，2)，最后求得|O→P| ＝2 2.
第十四页，编辑于星期六：一点 十分。
(2)因为O→P＝mA→B＋nA→C， 所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，即xy＝＝2mm＋＋2nn， 两式相减得：m－n＝y－x，令 y－x＝t， 点 P(x，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)内， 当直线 y＝x＋t 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1， 故 m－n 的最大值为 1.