实验---层次分析法
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实验二利用层次分析法进行生活垃圾分类方案的比选一、实验目的
通过应用层次分析法解决一个实际问题，学习层次分析法的基本原理与方法；掌握用层次分析法建立数学模型的基本步骤；学会用Excel解决层次分析法中的数学问题。
二、实验设备与器材
1. PC机一台；
2. Office2003软件。
三、实验内容
某市区日产生活垃圾165.5t，年产6.04万t（2008年），预计到2015年，垃圾产量会达到8.27万t。
目前，生活垃圾采用一次性填埋处理，填埋场使用到2020年封场。
因此，研究和选择更加合理的生活垃圾处理方案有着重要的意义。
通过为期一年的现场采样和理化分析的方法获得有关该市区生活垃圾特性的基础数据为:可腐有机物含量：31.38%，无机物含量：50.98%，含水率：32.69%，湿基低位热值：4260.41KJ/kg。
根据生活垃圾的特点，拟采用三个方案对生活垃圾进行处理。
即A：全部填埋；B：分选，可焚烧物焚烧，对不能焚烧的物质和焚烧残渣进行填埋。
C：分选，有机质堆肥，对不可堆肥物填埋。
表1为根据某市区生活垃圾的特点对生活垃圾三种处理方案的比较。
请利用层次分析法优选出最佳垃圾处理方案。
表1 根据某市区生活垃圾的特点对生活垃圾三种处理方案的比较
因素填埋焚烧+填埋堆肥+填埋
占用土地量/万m215.4 8.72 13.8 减量化程度0 87.5 65
投资费用/万元4500 6560 5000
处理成本/(元/t) 35 50 42.5
当地经济承受能力易于承受较难承受介于前两者之间收益/万元160 142.9 227.5
温室气体排放量
（kg/t）
0.58 0.30 0.29
对水体的污染程度需严格采用防渗
工程，否则污染
严重
灰渣中无有机污
染，仅需在填埋
时采取固化措
施，污染轻微
对于填埋区采用
防渗工程，有机
污染程度低于填
埋
人员培训要求较高高较高
政策鼓励方向不鼓励鼓励鼓励
四、实验步骤
1. 建立层次结构
首先对所面临的问题要掌握足够的信息，搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互关系，及所要解决问题的目标，把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次，层次结构一般分三层：
第一层为最高层，它是分析问题的预定目标和结果，也称目标层； 第二层为中间层，它是为了实现目标所涉及的中间环节，如：准则、子准则，也称准则层；
第三层为最底层，它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，也称方案层。
图2-1
决策目标
准则1准则2准则n
方案1方案2方案m
……
……
图1 层次分析结构模型
2. 构造判断矩阵
根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。
构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。
重要的是填写判断矩阵。
填写判断矩阵的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见表2）。
表2 重要性标度含义表
设填写后的判断矩阵为A=(a ij)n×n，判断矩阵具有如下性质：
(1) a ij＞0
(2) a ji=1/ a ji
(3) a ii=1
根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写a ii=1部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以。
在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：a ij*a jk=a ik
当上式对判断矩阵所有元素都成立时，我们称该判断矩阵为一致性矩阵。
3. 计算层次单排序权重并做一致性检验
单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重。
计算权重有和法、根法、幂法等，这里简要介绍和积法。
和积法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。
对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n
个列向量求取算术平均值作为最后的权重。
具体的公式是：
∑∑===n
j n k kl
ij i a
a n W 1
1
1
需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。
前面提到，在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。
一般情况下，并不要求判断矩阵具有这一性质。
但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A 比B 重要，B 又比C 重要，则从逻辑上讲，A 应该比C 重要，若两两比较时出现A 比C 重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。
因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。
只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。
一致性检验的步骤如下：
（1）计算一致性指标C.I.（consistency index ）
1
..m ax --=
n n
I C λ
第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（random index ） 据判断矩阵不同阶数查表3，得到平均随机一致性指标R.I.。
例如，对于5阶的判断矩阵，查表得到R.I.=1.12
表3 平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反矩阵计算结果）
（3）计算一致性比例C.R.（consistency ratio ）并进行判断
.
..
...I R I C R C
当C.R.<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，C.R.>0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。
4. 计算层次总排序权重并做一致性检验
层次总排序即计算同一层次所有元素对于最高层相对重要性的排序权值，称为层次总排序。
这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。
若上一层次A 包含m 个因素,,,21m A A A 其层次总排序权值分别为,,,21m a a a 下一层次B 包含n 个元素，它们对于因素j A 的层次单排序的权值分别为
,,,21nj j j b b
b (当k B 与j A 无关系时，kj b =0)此时层次总排序权值由表4给出：
表4 层次总排序权值
这一排序也是从高到低依次进行的。
如果B 层次的某些元素对于i A 单排序的一致性指标为j CI ，相应的平均一致性指标为j RI ，则B 层的随机一致性
比率为： 1
1
m
j
j
j m
j j
j a CI
CR a RI
===
∑∑。
类似的，当C.R.<0.10时，认为层次总排序的结
果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。
五、实验报告与总结
1. 写出层次结构模型和判断矩阵，进行层次单排序和层次总排序及其一致性检验；
2. 总结实验中应注意的问题。
