[探索研究]
在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边得等式关系。如图1.1-2,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数得定义,有,,又,
则 b c
从而在直角三角形ABC中, C a B
(图1.1-2) 思考:那么对于任意得三角形,以上关系式就是否仍然成立？
(由学生讨论、分析)
可分为锐角三角形与钝角三角形两种情况:
如图1.1-3,当ABC就是锐角三角形时,设边AB上得高就是CD,根据任意角三角函数得定义,有CD=,则, C
同理可得, b a
从而 A c B
(图1.1-3) 正弦定理:在一个三角形中,各边与它所对角得正弦得比相等,即
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角得正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使,,;
(2)等价于,,
从而知正弦定理得基本作用为:
①已知三角形得任意两角及其一边可以求其她边,如;
②已知三角形得任意两边与其中一边得对角可以求其她角得正弦值,如。
一般地,已知三角形得某些边与角,求其她得边与角得过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1.在中,已知,,cm,解三角形。
解:根据三角形内角与定理,
;
根据正弦定理,
;
根据正弦定理,
评述:对于解三角形中得复杂运算可使用计算器。
例2.在中,已知cm,cm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。
解:根据正弦定理,
因为＜＜,所以,或
⑴当时,
,
⑵当时,
,
[补充练习]已知ABC中,,求
(答案:1:2:3)
(2)正弦定理得应用范围:
①已知两角与任一边,求其它两边及一角;
②已知两边与其中一边对角,求另一边得对角。
联系已经学过得知识与方法,可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求,发现因A、B均未知,所以较难求边c。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1.1-5,设,,,那么,则
C B
从而 (图1.1-5)
同理可证
于就是得到以下定理
余弦定理:三角形中任何一边得平方等于其她两边得平方得与减去这两边与它们得夹角得余弦得积得两倍。即
思考:这个式子中有几个量？从方程得角度瞧已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角？
(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论得基本作用为:
①已知三角形得任意两边及它们得夹角就可以求出第三边;
②已知三角形得三条边就可以求出其它角。
思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间得关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间得关系,如何瞧这两个定理之间得关系？
(由学生总结)若ABC中,C=,则,这时
由此可知余弦定理就是勾股定理得推广,勾股定理就是余弦定理得特例。
[例题分析]
例1.在ABC中,已知,,,求b及A
⑴解:∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
⑵解法一:∵cos
∴
例2.在ABC中,已知,,,解三角形
解:由余弦定理得推论得:
cos
;
cos
;
[补充练习]在ABC中,若,求角A(答案:A=120)
Ⅳ、课时小结
(1)余弦定理就是任何三角形边角之间存在得共同规律,勾股定理就是余弦定理得特例;
(2)余弦定理得应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们得夹角,求第三边。[随堂练习1]
(1)在ABC中,已知,,,试判断此三角形得解得情况。
(2)在ABC中,若,,,则符合题意得b得值有_____个。
(3)在ABC中,,,,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x得取值范围。
(答案:(1)有两解;(2)0;(3))
2.在ABC中,已知,,,判断ABC得类型。
分析:由余弦定理可知
(注意:)
解:,即,
∴。
[随堂练习2]
(1)在ABC中,已知,判断ABC得类型。
(2)已知ABC满足条件,判断ABC得类型。
(答案:(1);(2)ABC就是等腰或直角三角形)
2、在ABC中,,,面积为,求得值
分析:可利用三角形面积定理以及正弦定理
解:由得,
则=3,即,
从而
Ⅲ、课堂练习
(1)在ABC中,若,,且此三角形得面积,求角C
(2)在ABC中,其三边分别为a、b、c,且三角形得面积,求角C
(答案:(1)或;(2))
Ⅳ、课时小结
(1)在已知三角形得两边及其中一边得对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;
(2)三角形各种类型得判定方法;
(3)三角形面积定理得应用。
Ⅴ、课后作业
(1)在ABC中,已知,,,试判断此三角形得解得情况。
(2)设x、x+1、x+2就是钝角三角形得三边长,求实数x得取值范围。
(3)在ABC中,,,,判断ABC得形状。
(4)三角形得两边分别为3cm,5cm,它们所夹得角得余弦为方程得根,
求这个三角形得面积。
例1、如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75得方向航行67、5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32得方向航行54、0 n mile后达到海岛C、如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样得方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0、1,距离精确到0、01n mile)
解:在ABC中,ABC=180- 75+ 32=137,根据余弦定理,
AC=
=
≈113、15
根据正弦定理,
=
sinCAB =
=
≈0、3255,
所以 CAB =19、0,
75- CAB =56、0
答:此船应该沿北偏东56、1得方向航行,需要航行113、15n mile
补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里得C处有一艘走私船,正沿南偏东75得方向以10海里/小时得速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/小时得速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0,即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sinBAC ===
BAC =38,或BAC =141(钝角不合题意,舍去),
38+=83
答:巡逻艇应该沿北偏东83方向去追,经过1、4小时才追赶上该走私船、
评注:在求解三角形中,我们可以根据正弦函数得定义得到两个解,但作为有关现实生活得应用题,必须检验上述所求得解就是否符合实际意义,从而得出实际问题得解
Ⅳ、课时小结
解三角形得应用题时,通常会遇到两种情况:(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之。(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够得三角形优先研究,再逐步在其余得三角形中求出问题得解。
例7、在ABC中,根据下列条件,求三角形得面积S(精确到0、1cm)
(1)已知a=14、8cm,c=23、5cm,B=148、5;
