丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2018.03 （本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B) (C) (D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1,(B)x <1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6(C) n≥7(D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D) =2cos(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2 (D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4 (B)8(C) 12 (D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1<x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C) (D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.6. 设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1.详解：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8. 设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2，1）C. 当且仅当a<0时，（2，1）D. 当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北大附中2018年高三数学零模试卷试卷Ⅰ一、选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分） () z z z z i z i iz ,,32,3423 1321321==-=-+=则复数、 A ．51Ｂ．５ Ｃ．5 Ｄ．552、已知三个平面α、β、γ，α∩β＝a ，β∩γ＝b ，γ∩α＝c ，若a ∩b ＝M ，则直线a ，b ，c （ ）A ．有一个交点B ．有二个不同交点C ．有三个不同交点D ．不确定3、椭圆1my x 22=+的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是 （ ） A ．41B ．21 C ．2 D ．44、已知正方体八个顶点中，有四个顶点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为 （ ）A ．3:1B ．1:2C ．2:3D ．1:35、已知函数y ＝f （x ）的反函数是()⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈θ⎪⎭⎫ ⎝⎛θ+=θ-2,0,tan x 2003logx f 2cos 112，则方程f （x ）＝2018的解集为 （ ）A ．｛－1｝B ．｛－1，1｝C ．｛1｝D ．φ 6、函数y ＝f （x －1）的图象如下图所示，它在R 上单调递减，现有如下结论：①f （0）>1②121f <⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③()01f 1=- ④021f 1>⎪⎭⎫⎝⎛-，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、如下图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 （ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°8、二次函数f （x ）的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有f （2＋x ）＝f （2－x ），若()()22x x 21f x 21f -+<-，则x 的取值范围是 （ ）A ．x>2B ．x<－2或0<x<2C ．－2<x<0D ．无法确定二、填空题（本大题共6个小题，每个小题5分，共30分）9、圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0切于点（2，－1）的圆的方程是_________．10、5名同学参加演讲比赛，决出了第一到第五的名次，评委告诉甲、乙两名同学：“你们都没有拿到冠军，但乙不是最差的”．由此分析这5名同学的排名顺序共有_______种不同的情况．11、如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n （n ∈N*）行，在这些数中非1的数字之和_______．.___________a b ,158tan 5sinb 5cos a 5cos b 5sina ,b ,a 12=π=π-ππ+π则且是非零实数设、 .__________y 2x z .0y ,0x ,9y 3x ,8y x 2y ,x 13的最大值为则满足若、+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+14、以下命题：①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等；②过点()00y ,x 与圆222r y x =+相切的直线方程是200r y y x x =+；③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；④抛物线上任意一点M 到焦点的距离都等于点M 到其准线的距离，其中正确命题的序号是________．三、解答题（本大题共６小题，共80分）().1,31B tan ,21A tan ,ABC 1215且最长边为已知中在分本小题满分、==∆().43C :1π=∠求证（2）求△ABC 最短边的长．16、（本小题满分14分）已知函数()()R c ,b ,a cbx 1ax x f 2∈++=是奇函数，又f （1）＝2，f （2）＝3．（1）求a ，b ，c 的值；（2）当x>0时，讨论函数f （x ）的单调性，并写出证明过程．().1,111217≠>++a ax ax x 其中的不等式解关于分本小题满分、18、（本小题满分16分）如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．19、（本小题满分12分）某水库年初有水量a （a ≥10000），其中含污染物0p （设水与污染物能很好的混合），当年的降水量与月份x 的关系是f （x ）＝20－|x －7|（1≤x ≤12，x ∈N ），而每月流入水库的污水与蒸发的水量都为r ，且污水含污染物p （p<r ），设当年水库中的水不作它用．（1）求第x 月份水库的含污比g （x ）的表达式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=总库容污染物含污比； （2）当0p ＝0时，求水质最差的月份及此月的含污比．20、（本小题满分14 分）如图，F 为抛物线px 2y 2=的焦点，A （4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，|PA|＋|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程．（2）若O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于B ，C 两点，且∠BOC ＝90°，证明你的结论．参考答案 一、（1）A （2）A （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）C （9）()()22y 1x 22=++- （10）54 （11）n 22n - （12）3 （13）7 （14）④二、15．（1）.31tgB ,21tgA ==().1312113121tgAtgB1tgB tgA B A tg =⋅-+=-+=+∴ .4B A ,B A 0,ABC π=∠+∠π<+<∆中在.43C π=∠∴（2）,43C π=∠∴ ∠C 所对的边最长，∠B 所对的边最短，且为锐角，由31=tgB ，求得1010B sin =，∵ C ＝1，.55b =∴由正弦定理得最短边 ()()().1a 0ax 1a x 1a .16≠>+--- 原不等式等价于即将 （a －1）（x －1）（x ＋a ）>0． （1）若a>1，解集为x>1或x<－a ； （2）若－1<a<1，解集为－a<x<1； （3）若a<－1,此时（x －1）（x ＋a ）<0，解集为1<x<－a ． 17.（1）∵ f （x ）为奇函数， ∴ f （－x ）＝－f （x ）， 得比较分母的系数即, , cbx 1ax c bx 1ax 22--+=+-+c ＝0，又f （1）＝2，f （2）＝3．.23b ,2a .3b21a 4,2b1a ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+ 解得得.0c ,23b ,2a 为所求===∴（2）()324x 3x 24x 32x 4x 231x 2x f 22=≥+=+= ().22x 0x 2x 42=>= 得由()()().x x 321x x x x 4x 32x 4x 32x 4x f x f 21211212122212⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+=- (),0x x ,021x x ,0x x ,22x x 021211221><⎪⎭⎫ ⎝⎛->-≤<<时当 ()()().22,0x f ,x f x f 12上是减函数在⎥⎥⎦⎤⎝⎛<∴.0x x ,021x x ,0x x ,x x 2221211221>>->-<≤时当()()().,22, 12上是增函数在⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞>∴x f x f x f18．（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．∵ △ABC 是等腰直角三角形，(),cm 22DB AD ==∴又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．有时当,cm 4AB ,22DB AD === .90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直． （3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3623r -=，即半径最大的小球半径为3623-． 19．（1）()()()x f 2f 1f a ;px p x 0++++=+ 库容总量月水库含污染物第 (),N x ,6x 1时当∈≤≤f （x ）＝13＋x ，()().2227 21314 131514 2ax x xx a x a ++=⋅+++=+++++= 库容总量此时当7≤x ≤12（x ∈N ）时，f （x ）＝27－x ， 此时，库容总量().284a 2x 53x x 27192099a 2-++-=-+++++=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤-++-+∈≤≤+++=∴N x 12,x 7 8425322N x 6,x 1 22722 2020a x x px p ax x pxx x g （2）时当6x 1,0p 0≤≤=()().,a 2,027x a 2x ,27xa 2x p 2x g 且恒大于零上是减函数在而++++=()()a 2198p12x g ,6x ,x g max +==∴∴时当是增函数()57x84a 2x p2x g ,12x 7+-+-=≤≤ 时当(),,,053x84a 2x 且恒大于零上是减函数在又+∞+-+- ()().a204p12x g ,12x ,x g max +==∴∴时当是增函数.a2198p12a 204p 12,10000a +>+∴≥.a 204p12,12+∴其含污比为月份水质量最差的是20．（1）(),42pPF PA ,min +=+由抛物线性质知.8p ,842p ==+∴ .x 16y 2=∴抛物线方程为（2）设过定点M 的直线方程为y ＝kx ＋b,显然k ≠0，b ≠0，直线交抛物线于点B 、C ．.1k k ,90BOC CO BO -=⋅∴︒=∠ ,0 =+⋅∴C A C B y y x x把直线方程代入抛物线方程得.016162=+-b y ky.kb 16y y x x ,k b 16y y 2222C2B C B C B =⋅==∴,k 16b ,0kb k b 1622-=∴=+ 故∴ 动直线方程为y ＝kx －16k ，即y ＝k （x －16），它必过定点（16，0），当BC k 不存在时，直线x ＝16交抛物线于点B （16，－16），C （16，16）仍有∠BOC ＝90°． ∴ 存在定点M （16，0）满足条件．。
