式分解最全方法归纳
水散人整理于2015.09
一、因式分解的概念与原则
1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。
2、原则：
（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；
（2）结果最后只留下小括号；
（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；
（）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；
（）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；
（）相同因式的乘积写成幂的形式；
（）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。
3、因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；
（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。
也可以用一句话来概括：“看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”
二、因式分解的方法
1、提取公因式
公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。
确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。
提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。
意事项：
（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；
（）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不可丢掉；
（）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。
例1、分解因式： –9a c+3
解：原式=-3c+1)
2、分解因式：–12+4
解：原式=–4–y)
结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
2、公式法
分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。
平方2b2b)b
平方b)22b22a b+b+c)22b2+2a b+2c+2ca
方3b3b)2b2b
方和3b3b)2b2b)
项立方和3b333a bc b+)2b22b–bc)
方b)3a b²+3a²b b³b)3a b²-3a²b-b³
次方和–b–b)[–1)+a–2)+…+b–2)+b–1)
次方差+b+b)[–1)-a–2)+…-b–2)+b–1)为奇数)
部分公式的推导：
+a+a)+b)+b)+b)+b))
b b-b+b b)b b)b)b b)b)
b)b b)b)b+b)
b b+b-b b)b b)b)b b)b)
b)b b)b)b+b)
、分解因式：-6
解一：原式=))+8))
+2)+4))+2+4)
解二：-6)–)–4)+8+16–4)
+2)–2)[+4)–)
+2)–2)+2+4)–2+4)
意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先用平方差公式，可简化步骤。
、分组分解法
多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。
、分解因式： a+bm bn
解：原式=)bm+bn)b b
、分解因式：+b–c–2
解：原式=–2+b)–c–b)–c–b+c)–b–c)
、十字相乘法
（1）形如+b+c的二次三项式，如果有，q=c，且q+n则可把该式分解为+b+c=+p)+q)。
意：凡是能十字相乘法分解的二次三项式ax2+bx+c，都要求判别式Δ=b24ac，能在有理数范围内分解的，还必须是一个完全平方数。
、分解因式：–11x+10
解：原式1)+[1×-5)+3-2)+–2)–5)
-2)-5)
、分解因式：–x–15
解：原式+[–5)+3+3–5)
+3)-5)
、已知为正整数，+3+k能够在整数范围内分解因式，求。
解：–49–8，9，且为正整数
1
9、（州）要是二次三项式+p在整数范围内能进行因式分解，那么整
数的取值可以有（）。
、个、个、个、无数个
解：（–5）–4–4，即
只要能分解为和为的两个数，这样的数有无数组，故选
（）二次项系数为1时，是相对上面标准二次三项式的简化。
++q)+p q=+p)+q)
10、分解因式：x+6
解：原式+[–2)+–3)+–2)–3)–2)–3)
11、分解因式：–3
解：原式+[+–7)+5–7)+5)–7)
（）对齐次多项式+b+cy，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行分解。
12、分解因式：15+7-4
解：原式+4))
13、分解因式：–6+8
解：原式))
（）对次多项式形如+b+c或+b+cy的，参照上面方法进行，分解后的多项式由于次数较高，如果有能继续分解的要继续分解，直至分解彻底。
14、分解因式：–5+3
解：原式–1)–3)+1)–1)–3)
15、分解因式：12–19m–18
解：原式–9n)+2)+3)–3)+2)
、拆项法（包含添项法）
把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为的两项或多项（也称添项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错。
16、分解因式：–3+4
解一：原式+1–3+3+1)–x+1)–3+1)–1)
+1)–x+1–3+3)+1)–4+4)+1)–2)
解二：原式–3–4)+4+4-3)+4+1)
+1)–4)+4+1)+1)–4+4)+1)–2)
17、分解因式：c+c)+ca c)+b)
解：原式c c-a+a+b)+ca c)+b)
c c)+ca c)+b c+b)+b)
c c)+a)+b+b)c)c+b)c)+b)
18、分解因式：9+x+x
解：原式9–1+x–1+x–1
–1)+x+1)+–1)+1)+–1)
–1)+x+1+x+1+1)-1)+x+1)+2+3)
