线性空间2

§2. 线性空间的定义及其性质 复习：n 维向量空间： ①数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体。

②定义在它们上面的加法封闭。

③定义在它们上面的数量乘法封闭。

引例1. 在解析几何中，二维实向量的加法与数乘。

设在平面直角坐标系内有两个坐标α=（1a ,2a ）,β=(1b ,2b ）.
则α+β=（2211,b a b a ++）。

k α=（21,ka ka ），其中k 是一个实数。

k>0，原方向伸长，k<0,反方向伸长。

说明：引例1为实二维向量空间。

引例2. 对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。

比如，全体定义在区间[b a ,]上的连续函数。

构成实数域上的线性空间。

设)(x f 和)(x g 在[b a ,]上是连续函数，则有数学分析知识知道)()(x g x f +是连续函数。

)(x kf 还是连续函数。

R k ∈。

从而全体定义在[b a ,]上的连续函数，也对加法和数乘运算封闭。

从以上两个例子中，我们看到，所考虑的对象虽然完全不同，但是它们有一个共同点，即，它们都有加法和数量乘法这两种运算。

在例1中，k 的取值决定了运算的范围，如果k 取有理数域中的数，则此时的数乘运算只能满足有理数域内部，若k 为实数域中的数，则扩充到实数域内运算，因此，必须先确定数域作为基础。

1.定义：设V 是一个非空集合。

P 是一个数域。

在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法。

即，给出了一个运算法则，对于V 中任意的两个元素α与β，在V 中都有唯一的一个元素r 与它们对应，称r 为α与β的和，记为r=α+β。

在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即，对于数域P 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为k 与α的数量乘积，记为δ=k α。

线性空间定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域。

如果加法和数量乘法运算满足下述规则：
加法： （1）交换律：α+β=β+α；
（2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）；
（3）零元素：在V 中有一个元素0，不只是数域中的0，可能为其他， 对于V 中任一元素α都有0+α=α。

（4）负元素;对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素β，使α+β=0. 数量乘法：（1） 单位元： 1α=α；
（2） 数乘结合律： αα)()(kl l k =; p l k ∈,.
数乘与加法：（1）左分配律：la k l k +=+αα)(。

（2）右分配律：βαβαk k k +=+)(。

那么V 称为数域P 上的线性空间。

v p l k ∈,,∈γβα.,。

例1：验证数域P 上一元多项式环][x p ，按照通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。

证明：0多项式属于][x p ，因此，非空成立，
令],[)(),(),(x p x h x g x f ∈则
)
()())()(()8();()()())(7(.
,).()())(()6();()(1)5(;
0))(()()4();(0)()3());
()(()()())()()(2();()()()()1(x kg x kf x g x f k x lf x kf x f l k p l k x f kl x lf k x f x f x f x f x f x f x h x g x f x h x g x f x f x g x g x f +=++=+∈==⋅=-+=+++=+++=+ 因此，构成线性空间。

例2.n x p ][表示次数小于n 的多项式与零多项式的全体，验证，n x p ][也构成数域P 上的一个线性空间。

例3. 元素属于属于P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m p ⨯表示。

3.定义：线性空间的元素也称为向量，因此，线性空间也称维向量空间。

用γβα,,代表线性空间V 中的元素。

a,b,c 代表数域P 中的数。

4.线性空间的简单性质
性质1.零元素是唯一的。

证明：假设2,100是线性空间V 中的两个零元素，只需证2100=。

由于10是零元素，所以;000221=+又由于20也是零元素，所以
1122100000=+=+（线性空间V 交换律成立）
，即22110000=+=，从而，零元素唯一。

性质2.负元素是唯一的。

即0=+βα的元素β是被元素α唯一决定的。

证明：假设α有两个负元素β与γ，即0=+0,=+γαβα，那么γγγαβγαβββ=+0=++=)+(+=0+=)(。

注：向量α的负元素记为-α。

减法定义为)(-+=-βαβα。

性质3. .-=-=0=⋅ααα)1.(00,0 k
证明：先证,0=⋅ α0因为.=⋅1=⋅)+(=⋅0+⋅1=⋅0+ααααααα01两边加上α-，即得 00 =⋅α。

再证00 =k ，因为0+==0+=+ κααααk k k k )(0两边加上-αk ，得00 =k .
最后证明.-=⋅-αα)1(因为0=⋅0=⋅)-(=⋅)(-+⋅1=)(-+ αααααα1111.两边加
上α-，即得，.-=-αα)1(
性质4.如果,0= αk 那么,0=k 或者.0= α
证明：假设,0≠k 于是，一方面，1-k 存在的且00)(11 =⋅=⋅--k k k α.而另一方
面，.=⋅1=⋅⋅=⋅--αααα)()(1
1k k k k 因此，即得 .0= α
总结：（1）掌握线性空间的定义及其验证方法
（2）理解性质1－4，并会应用。

作业：267p . 3 （1），（3），（5），（7）。

4。