2020-2021学年辽宁省辽阳市高二上学期期末考试数学试题(解析版)

辽宁省鞍山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2] B．[3，5] C．[2，3] D．[3，5）『答案』A『解析』因为集合A＝{x|x＞3}，所以∁R A＝{x|x≤3}，又B＝{x|≤0}＝{x|x≤2或x＞5}，故（∁R A）∩B＝（﹣∞，2]．故选：A．2．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2『答案』B『解析』∵a＜b＜0，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）＝|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）＝x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（）A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0『答案』A『解析』设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则P（B）＝0.5，P（A|B）＝1，P（A|）＝0.25，P（A）＝P（AB）+P（A）＝＝1×0.5+0.25×0.5＝0.625．故选：A．4．在（x﹣）5的二项展开式中，x2的系数是（）A．8 B．﹣8 C．10 D．﹣10『答案』D『解析』∵（x﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣3r，令5﹣3r＝2，求得r＝1，可得展开式中x2的系数是﹣10，故选：D．5．疫情期间以网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间（小时）进行统计，服从正态分布N（9，12），则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（）（四舍五入保留整数）参考数据：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．A．15 B．16 C．31 D．32『答案』B『解析』，故所求人数为100×0.1587≈16．故选：B．6．下列说法错误的是（）A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件D．“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件『答案』C『解析』对于A，“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”，正确；对于B，“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”，正确；对于C，“x2﹣2x﹣3＞0”等价于“x＜﹣1或x＞3”，∴“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，错误；对于D，“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件，正确．故选：C．7．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1＞0，S10＝S20，则不成立是（）A．d＜0 B．a16＜0C．S n的最大值是S15D．当且仅当S n＜0时，n＝32『答案』D『解析』设等差数列{a n}的公差为d，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d ＝0，又a1＞0，所以d＜0，故选项A正确；由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，所以a15＞0；a16＜0，即{a n}是递减数列，且n≤15时，a n＞0；当n≥16时，a n＜0，所以选项C正确．因为S31＝（a1+a31）＝31a16＜0，所以选项D错误．故选：D．8．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a＝f（2），b＝f（3），c＝（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a『答案』A『解析』构造函数g（x）＝，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＝，即函数g（x）单调递增，则a＝f（2）＝＝g（2），b＝f（3）＝＝g（3），c＝（+1）f（）＝＝g（），则g（）＜g（2）＜g（3），即c＜a＜b，故选：A．二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分。

辽阳市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教B 版必修第一册，必修第二册．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．已知集合{02}A x x =<<∣，{}2340B xx x =+-<∣，则A B ⋃=A ．(0,1)B ．(4,2)-C ．{4,2}-D ．(4,0)-2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是 A ．x ∃∈R ，20x ≤ B ．x ∀∉R ，20x ≤C ．x ∃∉R ，20x ≤D ．x ∀∈R ，20x ≤3．已知0.64a =，3log 8b =，ln2c =，则A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．“x ∈Q ”是“x ∈Z ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()ln f x x x =的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是A ．总体中对平台一满意的消费人数约为36B ．样本中对平台二满意的消费人数为300C ．样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为54D ．若样本中对平台三满意的消费人数为120，则50%m = 7．下表为随机数表的一部分： 080151772745318223742111578253 772147740243236002104552164237已知甲班有60位同学，编号为00~59号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是A ．11B ．15C ．25D ．378．已知min{,,}a b c 表示实数a ，b ，c 中的最小值，设函数()min{1,31,()}f x x x g x =+-，若()f x 的最大值为4，则()g x 的解析式可以为 A ．()1g x x =-B ．()48g x x =-C ．2()41g x x x =-++D ．()24xg x =-二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．若向量(,1)a λ=-与(3,1)b =共线，则 A ．3λ=- B ．||2a b -=C ．3λ=D ．||210a b -=10．已知函数()f x 在其定义域内单调递增，且(1)1f =-，若()f x 的反函数为1()f x -，则 A ．1(1)1f --= B ．1()f x -在定义域内单调递增C ．1(1)1f-=D ．1()fx -在定义域内单调递减11．若幂函数()27()11m f x m m x +=+-在(,0)-∞上单调递增，则A ．3m =B ．(1)1f -= C．4m =-D ．(1)1f -=-12．设非零实数a 、b 满足111a b>->，则 A ．a b <B ．120b a++> C ．2211a b+>D ．12b >-第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知1a >，则21a a +-的最小值为________，此时a =________．（本题第一空3分，第二空2分）14．已知(5,7)A -，(3,1)B -，且C 与A 关于点B 对称，则C 的坐标为________． 15．已知一组样本数据1，2，m ，8的极差为8，若0m >，则其方差为________． 16．已知函数1,0,()lg ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有6个不同的实数解，则m 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①2A ∈，3A ∉，②函数1a y x =-的图象经过点52,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，③0a <，22530a a --=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知集合{32}A x x a =∈≤+N ∣，{1216}B x x =<+<∣，且________，求A B ⋂．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 18．（12分）（1）设a ，b 是两个不共线的向量，2AB a b =-，BC a b =+，5CD a b =-，证明：A ，B ，D 三点共线．（2）已知E ，F 分别是ABC 边AB ，AC 上的点，且EF BC ∥，23AE AB =．如果AE a =，AF b =，试用向量a ，b 表示BC ，CE ．19．（12分）已知函数()22()log 4f x x =-． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求不等式()3f x >的解集． 20．（12分）甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成[50,60)，[60,70)，[)70,80，[80,90)[90,100]五组，并整理得到如下频率分布直方图：已知甲测试成绩的中位数为75．（1）求x ，y 的值，并求出甲的测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率． 21．（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且24006,040,()740040000,40.x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩（1）写出年利润W （万美元）关于年产量x （万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润． 22．（12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()e xf x x =．（1）求()f x 的解析式．（2）证明：()f x 在R 上单调递增．（3）若对任意的x ∈R ，不等式()2231(5)(3)40f ax x f ax ax a x --+-+-++>恒成立，求实数a 的取值范围．答案1．B因为{}2340(4,1)B xx x =+-<=-∣，所以(4,2)A B ⋃=-．2．A 全称量词命题的否定为存在量词命题．3．D 因为0.60.5442>=，31log 82<<，ln21<，所以c b a <<．4．B 因为有理数包括整数和分数，所以“x ∈Q ”是“x ∈Z ”的必要不充分条件． 5．A因为()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=--=-=-），所以()f x 是奇函数，排除C ，D ． 当01x <<时，ln ||0x <，()0f x <，排除B ．故选A ．6．C 样本中对平台一满意的人数为20006%30%36⨯⨯=，故A 错误； 总体中对平台二满意的人数约为150020%300⨯=，故B 错误； 样本中对平台一和平台二满意的总人数为20006%30%15006%20%361854⨯⨯+⨯⨯=+=，故C 正确；对平台三的满意率为12080%25006%=⨯，所以80%m =，故D 错误．7．A从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，读取的有效编号为15，17，53，18，22，37，42，11．8．C 如图，在同一坐标系下分别画出对应函数的图象，经检验可得C 正确．9．AD 因为a b ∥，所以113λ⨯=-⨯，即3λ=-．因为(6,2)a b -=--，所以||364210a b -=+=．10．AB 由反函数的性质可知，1(1)1f--=，且1()f x -在定义域内单调递增．11．CD 因为()27()11m f x m m x+=+-是幂函数，所以2111m m +-=，解得4m =-或3m =．又()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以4m =-． 因为3()f x x =，所以(1)1f -=-．12．BC 由111a b >->，可知0a >或1a <-，10b -<<，所以AD 错误． 因为10a >或110a -<<，所以12b a +>-，即120b a++>，所以B 正确． 由0a >或1a <-，10b -<<，可知20a >，201b <<，且211b >， 所以2211a b+>，C 正确．13．11因为1a >，所以22(1)1111a a a a +=-++≥--，当且仅当 14．(1,5)设C 的坐标为(,)x y ，因为C 与A 关于点B 对称，所以AB BC =． 因为(2,6)AB =-，(3,1)BC x y =-+，所以32,16,x y -=-⎧⎨+=⎩解得1,5.x y =⎧⎨=⎩15．12.5因为该组数据的极差为8，所以9m =． 因为128954x +++==，所以该组数据的方差为2222(15)(25)(85)(95)12.54-+-+-+-=．16．331,,22⎡⎫⎛⎫⋃+∞⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭函数()f x 的图象如图所示．令()t f x =，则方程23()(23)()20mf x m f x -++=有6个不等实数解， 等价于关于t 的方程23(23)20mt m t -++=在(0,1]上有两个不等实数根， 令2()3(23)2(1)(32)g t mt m t mt t =-++=--，则101,12,3m m ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得1m ≥且32m ≠．17．解：选择①，因为2A ∈，3A ∉，所以2323a ≤+<．又x ∈N ，所以{0,1,2}A =．因为5{1216}02B xx x x ⎧⎫=<+<=<<⎨⎬⎩⎭∣∣，所以{1,2}A B ⋂=． 选择②，将52,4P ⎛⎫-⎪⎝⎭的坐标代入1a y x =-，解得12a =-， 故{2}{0,1,2}A x x =∈≤=N ∣，因为5{1216}02B xx x x ⎧⎫=<+<=<<⎨⎬⎩⎭∣∣，所以{1,2}A B ⋂=， 选择③，2253(21)(3)0a a a a --=+-=， 解得12a =-或3a =（舍去）， 故{2}{0,1,2}A x x =∈≤=N ∣．因为5{1216}02B xx x x ⎧⎫=<+<=<<⎨⎬⎩⎭∣∣，所以{1,2}A B ⋂=．18．（1）证明：因为()(5)24BD BC CD a b a b a b =+=++-=-，所以2BD AB =．因为AB 与BD 有一个公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． （2）解：因为23AE AB =，EF BC ∥， 所以32AB AE =，32AC AF =， 即32AB a =，32AC b =． 因为BC AC AB =-，所以3322BC b a =-． 因为CE AE AC =-，所以32CE a b =-． 19．解：（1）函数()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃+∞．设24t x =-，则2()log g t t =，函数()g t 是单调递增函数．函数24t x =-的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为 (,0)-∞， 所以根据复合函数的单调性，及()f x 的定义域可得()f x 的单调递增区间为(2,)+∞，单调递减区间为(,2)-∞-．（2）由()3f x >，得()22log 43x ->，即23428x ->=．所以212(0x x x -=-+>，解得x >x <-故所求不等式的解集为{xx x <->∣或．20．解：（1）因为甲测试成绩的中位数为75，所以0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=， 解得0.02y =．所以0.0110100.0410100.005101y x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.025x =． 同学甲的平均分为550.0110650.0210750.0410850.02510950.0051074.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为200.01102⨯⨯=，设为A ，B ．乙测试成绩不足60分的试卷数为200.015103⨯⨯=， 设为a ，b ，c ．从中抽3份的情况有(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)A B c ，(,,)A a b ，(,,)A a c ，(,,)A b c ，(,,)B a b ，(,,)B a c ,(,,)B b c ，(,,)a b c ，共10种情况．满足条件的有(,,)A a b ，(,,)A a c ，(,,)A b c ，(,,)B a b ，（(,,)B a c ,(,,)B b c ，共6种情况，故恰有2份来自乙的概率为63105=． 21．解：（1）当040x <≤时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+， 所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）①当040x <≤时，26(32)6104W x =--+，所以max (32)6104W W ==． ②当40x >时，40000167360W x x=--+．因为40000161600x x +≥=， 当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时取等号， 所以W 的最大值为5760．综上，当年产量为32万部时，W 取得最大值，即最大年利润为6104万美元．22．（1）解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()e x f x x =，所以当0x <，即0x ->时，有22()()e e ()x x f x x x f x ---=-==-．故22e ,0,()e ,0.x x x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩ （2）证明：当0x >时，()0f x >．任取120x x >>，则()()1122221112222e e 1e x x x x f x x x f x x x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭， 所以()()12f x f x >，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 是R 上的增函数．（3）解：原不等式恒成立等价于()223131(5)5f ax x ax x f ax ax --+-->--+- 对任意的x ∈R 恒成立，即()223131(5)5f ax x ax x f ax ax --+-->-+-对任意的x ∈R 恒成立．构造函数()()h x f x x =+，易知()h x 也是R 上的增函数，故原不等式恒成立等价于2315ax x ax -->-对任意的x ∈R 恒成立， 即2(3)40ax a x -++>对任意的x ∈R 恒成立．当0a ≤时，结论显然不成立；当0a >时，则2(3)160a a +-<，解得19a <<．故实数a 的取值范围是(1,9)．。

函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。

2020-2021学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x≥0}，B={x|log2x<1}，则A∩B=()A. {x|0<x<2}B. {x|0≤x<2}C. {x|0<x<1}D. {x|0≤x<1}2.已知复数z=2i2+−2+i1+2i，则z的共轭复数z−=()A. −2+iB. −2−iC. 2+iD. 2−i3.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为43，则双曲线C的离心率是()A. 32B. 54C. 53D. 24.“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼⋅保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是中国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养．已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己的能力，只能为每个孩童择四艺进行培养．若令商贾和两个孩童都满意，其余二艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为()A. 12B. 34C. 59D. 455.“a∈(1,4)”是“直线x+y−a=0与圆C：(x−1)2+(y−2)2=2相交”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB=2，BC=4，CD=3，BD=5，点E在棱AD上，且AE=2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为()A. √64B. 35C. 3√1717D. 3√26267.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+4)是偶函数，f(6)=3，f(x)在(−∞,4]上单调递减，则不等式f(2x−4)<3的解集为()A. (4,6)B. (−∞,4)∪(6,+∞)C. (−∞,3)∪(5,+∞)D. (3,5)8.已知函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的图象在(0,1)处的切线方程为y=2x+1，若f(x)≥mx+x恒成立，则m的取值范围为()A. [−1,2e−1]B. (−∞,2e−1]C. [−1,e−1]D. (−∞,e−1]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知x >1，则x +25x−1的值可以为( )A. 9B. 10C. 11D. 1210. 下列函数中是奇函数，且值域为R 的有( )A. f(x)=x 3B. f(x)=x +1x C. f(x)=x +sinxD. f(x)=x −511. 已知函数f(x)=√3sin2x −2cos 2x −1，则( )A. f(x)图象的一条对称轴为x =2π3B. f(x)图象的一个对称中心是(π12,0)C. 将曲线y =2sin(x −π6)上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移两个单位长度，可以得到y =f(x)的图象D. 将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称12. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|=43，|PF 2|=143.过点M(−2,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，则下列结论正确的有( )A. 椭圆的方程为x 29+y 24=1B. 椭圆的焦距为√5C. 椭圆上存在4个点Q ，使得QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0D. 直线l 的方程为8x −9y +25=0三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知向量a ⃗ =(m,3)，b ⃗ =(1,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m = ______ ． 14. 在(x −2)6的展开式中，含x 4项的系数为______． 15. 函数f(x)=sinx +cos2x 的最大值是______ ． 四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知底面为矩形的四棱锥P −ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥AD ，PA =AB ，PB =√2AB ，且BC =2√2.若球O 的体积为32π3，则AB = ，棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在递增的等比数列{a n }中，a 3=9，a 2+a 4=30．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =log 3a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.在①c(cosA+sinA)=b，②csinB+bcosC=√2b，③sinB+tanCcosB=√2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．，△ABC的面积是56且____，问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB=35求△ABC的周长．19.为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系，农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下表格：(1)估计全国各地猪肉价格在(50,60](元/千克)内的概率；(2)估计这160个城镇的居民人均收人(元/月)的中位数(计算结果保留整数)；(3)根据所给数据完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．猪肉价格(元/千克)(0,50](50,60]合计人均收入(元/月)(0,4000](4000,6000]合计，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.050.0100.005k 3.841 6.6357.87920.如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于O，∠BAD=60°，点E不在平面ABCD内，平面ADEF∩平面BCEF=EF，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．(1)证明：EF//AD；(2)求平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．21. 已知函数f(x)=32ax +12x 2−a 2lnx ，其中a >0．(1)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与直线x −3y +4=0垂直，求函数f(x)的单调区间； (2)设函数f(x)的最小值为g(a)，求函数g(a)的最大值．22. 已知A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是抛物线C ：y 2=4x 上两个不同的点，C 的焦点为F ．(1)若直线AB 过焦点F ，且y 12+y 22=32，求|AB|的值；(2)已知点P(−2,2)，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，且k PA +k PB =−1，当直线AB 过定点，且定点在x 轴上时，点D 在直线AB 上，满足PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求点D 的轨迹方程．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|x ≥0}，B ={x|0<x <2}， ∴A ∩B ={x|0<x <2}． 故选：A ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：z =2i 2+−2+i1+2i =−2+(−2+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)， =−2+5i5，=−2+i ， 则z −=−2−i ． 故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可知：b a =43， 所以e =c a =√1+b 2a 2=53．故选：C ．利用双曲线的渐近线方程，推出a ，b 的关系，然后求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：依题意可知，“礼”“数”为必选，因此两个孩童都不选“御”的概率为C 32C 32C 42C 42=14，故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为1−14=34，先由题设求得两个孩童都不选“御”的概率，再利用对立事件的概率计算公式求得结果即可． 本题主要考查古典概型及对立事件的概率计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：若直线与圆相交，则圆心(1,2)到直线的距离d =√2<√2，即|3−a|<2，得1<a <5， ∵(1,4)⫋(1,5)，∴“a ∈(1,4)”是“直线x +y −a =0与圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2相交”的充分不必要条件． 故选：A ．根据直线与圆相交的等价条件求出a 的取值范围，即可判断逻辑关系．本题主要考查了充要条件的定义，根据直线和圆相交的等价条件求出a 的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵在三棱锥A −BCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =2，BC =4，CD =3，BD =5，∴以B 为原点，在平面BCD 中过B 作BD 的垂线为x 轴，BD 为y 轴，过B 作BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，2)，B(0,0，0)，C(0,4，0)，D(−3,4，0)， ∵点E 在棱AD 上，且AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,83,−43)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,83,23)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，0)， 设异面直线BE 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3×√1049=3√2626．∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为3√2626． 故选：D ．以B 为原点，在平面BCD 中过B 作BD 的垂线为x 轴，BD 为y 轴，过B 作BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．【解析】解：因为f(x +4)是偶函数， 所以f(x)的图象关于x =4对称， 则f(6)=f(2)=3，因为f(x)在(−∞,4]上单调递减， 所以f(x)在[4,+∞)上单调递增， 由f(2x −4)<3可得，2<2x −4<6， 解得，3<x <5． 故选：D ．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．8.【答案】A【解析】解：∵f(x)=a x ，∴f′(x)=a x lna ， 又函数f(x)在(0,1)处的切线方程为y =2x +1， ∴f′(0)=a 0lna =2，即a =e 2，则f(x)=e 2x ， ∵f(x)≥mx +x 恒成立，∴e 2x ≥mx +x 恒成立， 当x =0时，e 0≥0成立． 当x ≠0时，令g(x)=e 2x x−1，则g′(x)=e 2x (2x−1)x 2，当x ∈(−∞,0)∪(0,12)时，g′(x)<0，g(x)在(−∞,0)和(0,12)上 单调递减，当x ∈(12,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x >0时，m ≤e 2x x −1恒成立，∴m ≤(e 2x x−1)min =g(12)=2e −1；当x <0时，m ≥e 2x x −1恒成立，而e 2x x−1<−1，则m ≥−1．综上，−1≤m ≤2e −1． ∴m 的取值范围为[−1,2e −1]． 故选：A ．由题意求得a ，代入函数解析式，把问题转化为e 2x ≥mx +x 恒成立，对x 分类讨论，分离参数m ，再由导数求最值得答案．本题考查利用导数研究故曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查数学转化思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属难题．9.【答案】CD【解析】解：由x>1，得x−1>0，所以x+25x−1=(x−1)+25x−1+1≥2√(x−1)×25x−1+1=11，当且仅当x−1=25x−1时等号成立，故选：CD．由x>1，得x−1>0，所以x+25x−1=(x−1)+25x−1+1，再利用基本不等式的性质即可求得答案．本题考查了基本不等式的性质、考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：根据幂函数性质知，f(x)=x3，f(x)=x+sinx为奇函数，且值域为R，符合题意；f(x)=x+1x的值域(−∞,−2]∪[2,+∞)，不符合题意，f(x)=x−5的值域{y|y≠0}，不符合题意．故选：AC．结合基本初等函数的奇偶性及值域分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及值域的求解，属于基础题．11.【答案】CD【解析】解：函数f(x)=√3sin2x−2cos2x−1=√3sin2x−cos2x−2=2sin(2x−π6)−2，令x=2π3，求得f(x)=−3，不是最值，故不A正确．令x=π12，求得f(x)=−2，故f(x)图象的一个对称中心为(π12,−2)，故B不正确．将曲线y=2sin(x−π6)上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得y=2sin(2x−π6)的图象；再向下平移两个单位长度，可以得到y=2sin(2x−π6)−2=f(x)的图象，故C正确．将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=2sin(2x−π3−π6)−2=−2cos2x−2图象，显然，由于所得函数为偶函数，故它的曲线关于y轴对称，故D正确．故选：CD ．由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由椭圆的定义知2a =|PF 1|+|PF 2|=6，故a =3，因为PF 1⊥F 1F 2，所以|F 1F 2|=√|PF 2|2−|PF 1|2=2√5=2c ，所以c =√5，b =2， 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1，所以椭圆的焦距为2c =2√5，则A 正确，B 错误，由QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0知∠F 1QF 2=90°，故点Q 在以F 1F 2为直径的圆上， 由c >b 知圆与椭圆有4个交点，C 正确，依题意知点M(−2,1)为弦AB 的中点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，两式作差可得(x 1−x 2)(x 1+x 2)9+(y 1−y 2)(y 1+y 2)4=0，因为x 1+x 2=−4，y 1+y 2=2，所以k AB =y 1−y2x 1−x 2=89，故直线l 的方程为：y −1=89(x +2)，即8x −9y +25=0，D 正确， 故选：ACD ．由椭圆的定义求出a 的值，再利用勾股定理求出c 的值，进而可以求出椭圆的方程，即可判断A ，B 是否正确，再由QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0知∠F 1QF 2=90°，故点Q 在以F 1F 2为直径的圆上，即可判断C 是否正确，选项D ，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求出直线AB 的方程，进而可以求解． 本题考查了椭圆的定义，标准方程以及几何性质，涉及到点差法的应用，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(m,3)，b ⃗ =(1,−2)，则a ⃗ +b ⃗ =(m +1,1)． 因为(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，所以(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =m +1−2=0，解得m =1， 故答案为：1．根据题意，求出向量a ⃗ +b ⃗ 的坐标，进而由数量积的计算公式可得(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =m +1−2=0，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量数量积的坐标计算，属于基础题．14.【答案】60【解析】解：(x −2)6展开式的通项为T r+1=(−2)r C 6r x 6−r，令6−r =4，可得r =2，∴含x 4的项的系数是(−2)2C 62=60．故答案为：60．利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为4，即可得含x 4的项的系数． 本题考查二项展开式的通项公式及二项展开式的特定项系数的求法，属于基础题．15.【答案】98【解析】解：f(x)=sinx +cos2x =−2sin 2x +sinx +1， 设t =sinx ∈[−1,1]，则y =−2t 2+t +1=−2(t −14)2+98， 所以当t =14时，函数取得最大值为98． 故答案为：98．利用二倍角公式将函数f(x)化简，利用换元法及二次函数的性质即可求得最大值， 本题主要考查三角函数的最值，考查转化思想的应用，属于基础题．16.【答案】2√63【解析】解：如图，∵PA =AB ，PB =√2AB ，∴PA ⊥AB ， 又PA ⊥AD ，AD ∩AB =A ，∴PA ⊥平面ABCD ， ∵底面ABCD 为矩形，∴侧棱PC 为球O 的直径． 设球O 的半径为R ，则4π3R 3=32π3，即R =2，又R =√AB2+AD 2+AP 22=√8+2AB 22，解得AB =2．过A 作AG ⊥PD 于G ，取棱PA 的中点F ，PB 的中点E ，连接EF ，可得CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AG ，从而AG ⊥平面PCD ， 由等面积法可得，AG =√22√3=2√63，则F 到平面PCD 的距离为12AG =√63．∵EF//AB ，AB//CD ，∴EF//CD ，则E 到平面PCD 的距离等于F 到平面PCD 的距离， 故棱PB 的中点到平面PCD 的距离为√63．故答案为：2；√63．由题意画出图形，可证侧棱PC 为球O 的直径，由球O 的体积求得AC ，再由长方体的对角线长与棱长的关系列式求解AB ；过A 作AG ⊥PD 于G ，取棱PA 的中点F ，PB 的中点E ，连接EF ，把问题转化为求F 到平面PCD 的距离，然后利用等面积法求解．本题考查多面体的外接球，考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则有{a 3=a 1q 2=3a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=30q >1，解可得a 1=1，q =3， 故a n =3n−1，(2)由(1)可得a 2n =32n−1，则b n =log 3a 2n =2n −1， 故S n =1+3+5+⋯+2n −1=(1+2n−1)n2=n 2．【解析】(1)根据题意，由等比数列的通项公式可得{a 3=a 1q 2=3a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=30q >1，解可得a 1与q ，即可得答案，(2)由对数的运算性质可得b n =log 3a 2n =2n −1，由等差数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查等差数列的前n 项和公式以及等比数列的通项公式，关键是求出等比数列的通项公式，属于基础题．18.【答案】解：选择条件①：由正弦定理知，asinA =bsinB =csinC ， ∵c(cosA +sinA)=b ， ∴sinC(cosA +sinA)=sinB ，∵A +B +C =π，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ，∴sinCsinA =sinAcosC ， ∵sinA ≠0，∴tanC =1， ∵C ∈(0,π)，∴C =π4．∵cosB =35，且B ∈(0,π)，∴sinB =45，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =45×√22+35×√22=7√210， 由正弦定理知，asinA =bsinB =csinC ， ∴a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =7√210：45：√22=7：4√2：5，不妨设a =7t ，b =4√2t ，c =5t ，∴△ABC 的面积S =12absinC =12×7t ×4√2t ×√22=56，解得t =2，∴a =14，b =8√2，c =10，故△ABC 的周长为a +b +c =14+8√2+10=24+8√2． 选择条件②：由正弦定理知，asinA =bsinB =csinC ， ∵csinB +bcosC =√2b ，∴sinCsinB +sinBcosC =√2sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinC +cosC =√2，即√2sin(C +π4)=√2， ∵C ∈(0,π)，∴C =π4． 以下步骤同①． 选择条件③：∵sinB +tanCcosB =√2sinA ，∴sinB +sinCcosC ⋅cosB =√2sinA ，即sinBcosC +sinCcosB =√2sinAcosC ， ∴sin(B +C)=√2sinAcosC ，∵A +B +C =π，∴sin(B +C)=sinA =√2sinAcosC ， ∵sinA ≠0，∴cosC =√22，∵C ∈(0,π)，∴C =π4．以下步骤同①．【解析】选择条件①：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、正弦的两角和公式与同角三角函数的商数关系，可得tanC=1，sinA=7√210，然后利用正弦定理可推出a：b：c的值，最后根据三角形的面积公式，求得三条边的长，得解；选择条件②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合辅助角公式，求出角C，接下来同条件①；选择条件③：结合同角三角函数的商数关系、辅助角公式与三角形的内角和定理，可推出cosC=√22，从而得C=π4，接下来同条件①．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练运用正弦定理、三角形面积公式与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为这160个城镇的猪肉价格在(50.60](元/千克)内的频率为5+16+19160=14，所以据此得全国各地猪肉价格在(50.60](元/千克)内的概率约为14，(2)因为居民人均收入(元/月)在(0,4000]的频率为6+15+2+27+5160−1132<12，居民人均收入(元/月)在(0,5000]内的频率为55+9+45+16160=2532>12，所以居民人均收入(元/月)的中位数在(4000,5000]之间，因为4000+12−11322532−1132×1000=305007≈4357．所以中位数约为4357．(3)列联表如下：因为K2=160×(50×35−70×5)255×105×120×40=112099≈11.313>7.879，所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．【解析】(1)根据频率的定义即可求出样本的频率，即可估计全国各地猪肉价格在(50,60](元/千克)内的概率，(2)根据中位数的定义即可求出，(3)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论． 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了中位数和概率的问题，是基础题目．20.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD//BC ，∵AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ， ∴AD//平面BCEF ，∵平面ADEF ∩平面BCEF =EF ，AD ⊂平面ADEF ， ∴EF//AD ．(2)∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵OF ⊥平面ABCD ，∴以O 为坐标原点，直线OA ，OB ，OF 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，取CD 的中点M ，连接EM ，OM ，∵∠BAD =60°，BC =2，∴OA =OC =√3，OB =OD =1， ∵BC =CD =CE =DE =2，∴△CDE 为正三角形，EM =√3， ∵OM//BC ，OM =12BC ，EF//BC ，EF =12BC ， ∴EF//OM ，EF =OM ，∴OF//EM ，OF =EM ，∴A(√3,0，0)，B(0,1，0)，C(−√3,0，0)，D(0,−1,0)，E(−√32,−12,√3)， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,−√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,−√3)， 设平面ADEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x −y =0m⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y −√3z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,1)，设平面BCEF 的一个法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a −b =0n⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a +12b −√3c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=35，∴平面ADEF 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值为35．【解析】(1)推导出AD//BC，从而AD//平面BCEF，由此能证明EF//AD．(2)推导出AC⊥BD，以O为坐标原点，直线OA，OB，OF分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，取CD的中点M，连接EM，OM，利用向量法能求出平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞)，且f′(x)=32a+x−a2x=(2x−a)(x+2a)2x，∵f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与直线x−3y+4=9垂直，故f′(2)=−3=32a+2−a22，即a2−3a−10=0，解得：a=5或a=−2，∵a>0，∴a=5，此时f′(x)=(2x−5)(x+10)2x，令f′(x)>0，解得：x>52，令f′(x)<0，解得：0<x<52，故函数f(x)在(52,+∞)递增，在(0,52)递减；(2)由(1)知f′(x)=(2x−a)(x+2a)2x，令f′(x)>0，解得：x>a2，令f′(x)<0，解得：0<x<a2，故f(x)在(0,a2)单调递减，在(a2,+∞)单调递增，故f(x)min=f(a2)=78a2−a2ln a2，故g(a)=78a2−a2ln a2，又g′(a)=a(34−2ln a2)，令g′(a)=0，解得：a=2e38，故g(a)在(0,2e38)上单调递增，在(2e38,+∞)上单调递减，故当a=2e38时，g(a)max=g(2e38)=2e34．【解析】(1)求出函数的导数，根据f′(2)=−3，得到关于a的方程，解出判断即可；(2)求出函数的单调区间，求出函数的最小值和最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．22.【答案】解：(1)抛物线C：y2=4x的焦点坐标为F(1,0)，若直线AB过焦点F，设直线AB的方程为x=ty+1，与抛物线方程联立，消去x ，可得y 2−4ty −4=0， 则y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4，x 1+x 2所以y 12+y 22=(y 1+y 2)2−2y 1y 2=16t 2+8=32，解得t =±32，所以|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=t(y 1+y 2)+2=4t 2+2=11； (2)设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，直线AB 过定点(m,0)，直线AB 的方程为y =k(x −m)，由{y =kx −kmy 2=4x 可得ky 2−4y −4km =0， 则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4m ， △=16+16k 2m >0， 又k PA +k PB =−1，即y 1−2y 124+2+y 2−2y 224+2=−1，化为14y 1y 2(y 1+y 2)+2(y 1+y 2)−4+(y 1y 2)216=0，即为−m ⋅4k +8k −4+m 2=0， 上式对k ≠0恒成立可得m =2， 由PD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得PD ⊥AB ， 可得直线PD 的方程为y −2=−1k (x +2)，与方程y =kx −2k 联立， 消去k ，可得x 2+y 2−2y −4=0， 上式即为D 的轨迹方程．【解析】(1)设直线AB 的方程为x =ty +1，与抛物线方程联立，由根与系数关系的关系及y 12+y 22=32即可求得m 值，从而可求得|AB|的值； (2)设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，直线AB 过定点(m,0)，联立直线AB 的方程y =kx −km 和抛物线的方程，运用韦达定理，直线的斜率公式，化简整理可得m =2，再由向量垂直的条件和联立两条直线方程可得所求轨迹方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．。