大学概率论与数理统计第一章随机事件

P(A)＝k／n＝113／10000＝0.0113 在古典概率的计算中，经常要用到排列和组合 数的计算方法。 [求古典概率的一般方法] ⒈ 求出随机试验一共有多少种不同的结果n， 如考虑顺序用排列数求，不考虑顺序用组合数求。 ⒉ 求出事件发生包含了多少种不同的结果k， ⒊ 则 P(A)＝k／n
例3：设5个产品中有个2一级品，3个二级品，从中任 取2个产品，求
⑵第二枪不中靶包括第一枪中靶而第二枪不中 靶和两枪均不中靶两种情况，而且它们是不相容的
P( A1 A2 ) P( A2 ) P( A1 A2 ) 0.4 0.2 0.2
[2003年1月试题填空题3]
若 P(A)=0.8，P( AB)=0.5，则P(AB)＝ 0.3
解 : A A(B B) AB AB, 且AB与AB是互不相容的 , P( A) P( AB AB) P( AB) P( AB), P( AB) P( A) P( AB) 0.8 0.5 0.3
1.1.3 事件间的关系和运算性质 事件与集合通常用相同的表示方法表示。
事件间的关系与集合间的关系具有很大程度上的相 似，具体内容见下表。
表1 事件的运算律
求和
求积
交换律
AB B A
AB BA
结合律 A (B C) (A B) C (AB)C A(BC)
分配律 A(B C) AB AC A BC (A B)(A C)
)
4 35
A) P( A1 A2 ) P( A1)
P( A2
)
18 35
4 35
22 35
希望通过这道题，能对排列组合的计算加深理解。
[推论2] 当 A B 时，有P(B－A)＝P(B)－P(A) 注意，一般情况下 P(B－A)≠P(B)－P(A)， 应为P(B－A)≥P(B)－P(A)，
包含律 A B A, A B B
AB A, AB B
重叠律
A A A
来自百度文库
AA A
吸收律 AU U, A A
AU A, A
对立律
A AU
AA
摩根律
A B AB
AB A B
[讲解例题]
对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，
设A1＝{第一枚击中飞机}，A2＝{第二枚击中飞机} 试用A1，A2及它们的对立事件表示以下事件： B＝{两弹都击中飞机}，C＝{两弹都没有击中飞 机},D＝{恰有一弹击中飞机}，E＝{至少有一弹击 中飞机}
P(A) lim m ,0 P(A) 1 n n
性质2 P(U ) 1, P() 0
性质3 对于有限个两两互不相容的事件 A1, A2 , , An
n
n
P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
即P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
解：
⑴事件A发生则事件B一定发生了，所以 A B
⑵抛两枚硬币，不出现反面朝上，即出现两个正 面，显然C＝D。
以直径和长度两项指标衡量产品的质量，设
A＝{零件直径不合格}，B＝{零件长度不合格},
E＝{零件不合格}, 试用事件A、B表示E。
解：事件E发生，表示或者事件A发生或者事件B发 生或者事件A、B同时发生，即事件A、B至少有一 件发生。故 E＝A＋B
⑴全是一级品的概率，
⑵一个一级品，另一个是二级品的概率。
解：从5个产品中任取2个产品的取法共有C25＝10种 ⑴全是一级品的取法有C22＝1种，P1＝1/10＝0.1 ⑵一个一级品，另一个是二级品的取法有C12C13＝
6，P2＝6／10＝0.6
例4 从装有4个白球、3个黑球的袋中任取3个球， 求至少有2个白球的概率。
B B-A AA
B
B-A
A
例如，从1～9这9个数字中任取一个数，求这个数能 被2整除但不能被3整除的概率。
解：记A＝{能被3整除}，B＝{能被2整除}， 则B－A＝{能被2整除但不能被3整除}， A={3,6,9},B={2,4,6,8},B-A={2,4,8},
P(A)＝3/9，P(B)＝4/9，P(B－A)＝3/9≠4/9－3/9
解：设A1＝{恰好有2个白球}，A2＝{3个都是白球}，
则A1A2＝Φ。A＝{至少有2个白球}，A＝A1＋A2
从袋中取球的总取法为
C73
765 1 2 3
35，
满足A1的取法为 C42 C31 6 3 18，
满足A2的取法为
C43
432 1 23
4
,
则 P(
P(
A1 )
18 35
,
P(
A2
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) ＝0.82＋0.74－0.63＝0.93
1.3.2 条件概率和乘法公式
条件概率在指在某事件B发生的条件下，事件A发
生的概率。 例如， 袋中有球如右表： 从中取出一个球，
白球 红球 木球 1 2 玻璃球 3 4
如果已知取出的是白球，求它是玻璃球的概率。
事件A发生而事件B不发生，称为事件A与事件B 的差，记作A－B。
５。互不相容事件
如果事件A与事件B不可能同时发生，则称事件 A与事件B互不相容或互斥。显然：AB＝Φ
６。对立事件与完备事件组
对立事件是一种特殊的互不相容事件。如果事 件A与事件B不能同时发生，而事件A与事件B又必发 生其一。则称事件A和事件B是对立事件，即事件A 是事件B的反面，称为B非，记作 A B
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1.1 随机事件
再例如，从一批产品中任意取出2件，A1＝{恰好有1 件是次品}，A2＝{恰好有2件是次品}，B＝{至少有1 件是次品}。
至少有1件是次品的意思是说，恰好有1件是次 品，或者2件都是次品。因此 B＝A1＋ A2
3。事件的积 事件A和事件B同时发生，称为事件A与事件B的
积，记作AB 例如，还是测量零件，设C＝{零件的直径合格}, D＝{零件的长度合格},F＝{零件合格}。 试用事件C、D表示F 解：只有零件的直径和长度都合格，零件才算合格， 事件F发生时，事件C、D都要发生。也就是说，事 件C、D同时发生，才表示事件F发生。所以F＝CD。 4。事件的差
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
本章主要内容：
1. 概率的概念与性质 2. 事件的关系与运算性质 3. 古典概型概率的计算 4. 加法公式、条件概率、乘法公式 5. 事件的独立性、伯努利概型
重点：古典概型、概率的计算 难点：事件的关系和运算
条件概率、伯努利概型
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例1 掷一枚骰子，求C＝{4,5,6}和D＝{4,6}的概率。
解：掷一枚骰子出现的点数有6种可能，这6种点数 的可能性是相同的，属于古典概型。
其中C占了3种可能出现的情况，D占了2种可能出现 的情况，故P(C)＝3／6，P(D)＝2／6。
例2：在10000张奖券中设特等奖1名，一等奖2名， 二等奖10名，三等奖100名，求购买1张奖券中奖的 概率。 解：n＝10000，k＝1＋2＋10＋100＝113
1.3 随机事件概率的计算
1.3.1 加法公式
[狭义加法公式] 两个互不相容事件A，B之和的概 率等于这两个事件概率之和。
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
例1 掷一枚骰子，求出现1点或6点的概率。
解：设A={出现1点}，B={出现6点}，AB显然互不相容
出现1P点(A或＋6B点)＝的P事(A件)＋就P是(BA)＋＝B1 1 1
解：
B＝A1A2，C A1 A2 ,D＝ A1 A2 A1 A2，E＝A1＋A2 其中B与C，B与D，C与D，C与E都是互不相容事件，
C与E是对立事件。
1.2 随机事件的概率
1.2.1 概率的统计意义
随机事件在随机试验中发生的可能性大小的数值 称为概率。
在条件不变的情况下重复进行n次试验，事件A发 生了m次，那么m称为A事件发生的频数，比值 m 称为
[推论] 如果 A B 则 P(A) P(B)
A B, A AB B, P(A) P( AB) P(B)
而P( AB) 0, P( A) P(B)
1.2.2 古典概型
古典概型是指等可能事件的概率模型。
如果一次试验有n种可能的结果，且这n种结果 出现的可能性都相同，而事件A包含了这n种可能中 的k种可能，则事件A发生的概率为P(A)＝k／n，这 种概率称为古典概率。
为研究随机现象的统计规律性而进行的试验称为 随机试验。用字母Ｅ来表示。
随机试验具有下面三个特点：
1.在相同条件下可以重复进行； 2.试验前不能确定出现哪种结果； 3. 能够知道可能出现的所有结果。
在随机试验中出现的每一个结果，称为随机试验 的基本事件。全体基本事件组成的集合称为样本 空间Ｕ。例如，上面举过的例子中，
1.1.1 随机现象与随机事件
事件有多种不同的结果，在同样的条件下进行一 系列重复试验，每次出现的结果都不能预先确定的事 件称为随机事件。
随机现象在每次试验中的结果虽然是不确定的， 但在大量重复试验下，各种不同结果出现的可能性的 大小是具有规律性的。
例如，统计大量的新生儿的性别，男、女约各占 50％，多次抛一枚均匀的硬币，正、反面出现的次数 约各占50％。
[推论1]
66 3
设A为随机事件，则 P( A) 1 P( A)
如果直接计算A的概率有困难，可以通过 A 来计算。
例2. 某射手连续射击2枪，已知至少一枪中靶的概 率为0.8，第一枪不中靶的概率为0.3，第二枪不中 靶的概率为0.4，
求 ⑴两枪均不中靶的概率，
⑵第一枪中靶而第二枪不中靶的概率。
解：设A1＝{第一枪中靶}，A2＝{第二枪中靶}, 则P(A1＋A2)＝0.8， P( A1) 0.3, P( A2 ) 0.4 ⑴ P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) 1 P( A1 A2 ) ＝1－0.8＝0.2
U 男,女 和 U 正面,反面
样本空间Ｕ的子集称为随机事件。因此，随机事 件是指随机试验出现的一种结果或几种结果的总 和。用A、B、C等表示。
样本空间Ｕ表示必然事件，空集Φ表示不可能事 件。
1.1.2 事件的关系和运算
1。事件的包含和相等
如果事件A发生必然导致事件B发生，那么称事
件A包含于事件B，或称事件B包含事件A，记作 A B
事件A与事件B互为对立事件是说 A B且B A 它们满足AB＝Φ，A＋B＝Ｕ。
显然，AA , A A U, A A
现在让我们来重新认识事件的差。 事件的差 A B AB，而 B A B A 可见，事件A－B和事件B－A是不同的。 如果有n个事件 A1, A2 , , An 两两互不相容，而他 们的和是必然事件，则称事件 A1, A2 , , An构成一个完 备事件组。
例如，掷一枚骰子，
A 出现2点, B 出现偶数点, A B
如果 A B ，同时 B A ，则称A＝B
2。事件的和
事件A发生或事件B发生，称为事件A与事件B的 和，记作A＋B。
事件A发生或事件B发生，换句话说，就是事件 A和事件B至少有一件发生。
例如：分析下列事件的关系 ⑴随机抽查一批产品的质量，记 A＝{抽到三个不合格产品} B＝{抽到两个以上不合格产品} ⑵抛两枚硬币，记 C＝{不出现反面朝上} D＝{两个都是正面朝上}
[广义加法公式] 对于任意两个事件A，B，有 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
例3 甲设备故障率为0.82，乙设备故障率为0.74， 两设备同时出故障的概率为0.63，求至少有一个设备 出故障的概率。 解：设A={甲设备出故障}，B={乙设备出故障}，AB＝ {两设备都出故障}，A＋B＝{至少有一设备出故障}
事件A发生的频率，用fn(A)表示。
n
如果当n足够大时，事件A的频率fn(A)在一个常数 p(0≤p≤1)附近摆动，则称事件A为随机事件，p为事
件A在该条件下发生的概率，记作P(A)＝p
必然事件 P(A)＝1
不可能事件 P(A)＝0
概率具有如下性质。
性质1 对于任一事件A， 0 P(A) 1 这是因为，任一事件A的频数m≥0，m≤n。