第3章 单自由度体系的振动
在结构动力学中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但这部分内容又十分重要，因为从中可得到有关振动理论的一些最基本的概念和分析问题的方法，同时它也适用于更为复杂的振动问题，是分析多自由度体系振动问题的基础，因此搞清楚了单自由度体系的振动，将有助于我们提高分析和解决其他各种振动问题的能力。另外在实际工程中，确实有许多振动问题，可简化为单自由度问题，或近似地用单自由度理论去分析解决。
本章按有阻尼和无阻尼体系研究自由振动，强迫振动，对弯曲振动做详细讨论，简要陈述剪切振动和旋转振动。
单自由度体系可按如下情况对振动进行分类：
⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪
⎩⎩自由振动
无阻尼体系强迫振动
单自由度自由振动
有阻尼体系强迫振动
预备知识
①齐次微分方程：20y
y ω+= 的通解：12()cos sin y t C t C t ωω=+，其中1,2C C :微分常数，由初始条件确定。
②()
12,()sin cos y x t y
t C t C t t
ωωωω∂==-+∂ ()222
122
,()cos sin y x t y t C t C t t ωωωω∂==--∂
③cos sin ix
e x i x =+
1212()r r r r e e e +=⋅
④单质点体系一般振动形式：
()my
cy ky P t ++= 去掉阻尼cy
和外力()P t 影响，即可得到无阻尼体系自由振动。 ⑤2()y y P t ω+= 的解为20y y ω+= 的通解，加上2
()y
y P t ω+= 的特解组成。 通解： 1sin()y A t ωϕ=+ 特解： []20
1
()sin ()t
y F t d τωττω=
-⎰
解为通解+特解：
1
sin()()sin ()t
y A t F t d ωϕτωττω=++
-⎰
⑥如果杆件的刚度为EI ，则两端刚结的杆的侧移刚度为312l
EI
；一端铰结的杆的侧移刚度为
3
3l EI
。 §3.1无阻尼体系自由振动 3.1.1弯曲振动和剪切振动
图3.1(a)所示为无阻尼、单自由度的悬臂梁体系，取出质量隔离体，在其上施加惯性力
y
m -，如图3.1(b)所示，由0y =∑得： 0my ky += （3.1） 设：
ω=
（3.2） 式中:
ω——质点振动圆频率
(a) (b)
图3.1 无阻尼单自由度体系
将式（3.2）代入式（3.1），得：
2
0my
my ω+= 整理得：
2
0y
y ω+= （3.3） 式（3.3）为齐次微分方程，其通解为:
12()cos sin y t C t C t ωω=+ （3.4a ）
式中，12,C C :任意常数，由初始条件确定。 任一瞬时的速度：
12()sin cos y t c t c t ωωωω=-+ （3.4b ）
设，0t = 时：
0(0)y y = （3.5a ）
0(0)y
υ= （3.5b ） 将式（3.5a ）代入式（3.4a ）则：
0121cos0sin 0y C C C =+=
10C y ⇒= （3.6）
将式（3.5b ）代入式（3.4b ）则：
0122(0)sin0cos0y
C C C υωωω==-+= 02C υ
ω
⇒= （3.7）
将式（3.6）和（3.7）代入（3.4a ），得
0()cos sin y t y t t υωωω
=+
（3.8） 则本问题的解为:
位移： 0
0()cos sin y t y t t υωωω
=+ （3.8）
速度： 00()sin cos y
t y t t ωωυω=-+ （3.9） 式（3.8）还可以表示为：
y t t υωω⎡
⎤
⎥⎥
=⎥⎥⎥⎦
（3.10a ） 令：
sin ϕ=
0cos υϕ= （3.10b ）
代入（3.10a ）得到一种更为简练表达方式：
(sin cos cos sin )y A t t ϕωϕω=+ （3.11a ）
即：
100sin()tan y A t A y v ωϕωϕ-⎧
⎪=+⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪
⎩
（3.11b ）
绘制成图形，得到图3.2所示的y t -关系正弦曲线。
图3.2 无阻尼单自由度体系振动位移-时间曲线
由图3.2可要看出，初相位00(sin cos0cos sin0)sin t y A A ϕϕϕ==+=，结构振动的位移是按正弦（或余弦）规律在静力平衡位置附近，上、下变化着，凡是满足这种关系的振
动，称为简谐振动，简称谐振动。 下面简要介绍和谐振动相关的一些物理量 1.周期和频率
结构重复出现同一种运动状态（包括位移、速度等）的最短时间称之为周期。用符号T 表示，单位为（s ）。
单位时间振动次数称之为频率。用字母f 表示，单位为（Hz ），它与周期T 的关系为：
1
f T
=
（Hz ） （3.12a ） 如果时间单位取2π(s )，此时的振动次数称为圆频率，常用符号ω表示，其单位是
/rad s 因为其单位与角速度的单位相同，因而也称为角频率。角频率ω与频率f 及周期T 的
关系为：
2T π
ω=
2f ω
π
=
（3.12b ）
工程上还常用1min 内振动的次数表示频率，称工程频率，用字母n 表示，工程频率
n 与频率f 的关系为：
60n f = （3.12c ）
下面给出圆频率ω常用计算公式：
