2018年全国高中数学联赛湖南预赛试题及详解

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。

2018年全国高中数学联赛河北省预赛高三试题一、填空题（每小题8分，共64分）1.若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．2.若x,y 66ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，a R ∈，且满足33sin 3019sin 303x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，，那么cos(x 3)_____y +=.3.设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式：23=AOB BOC COA ABCS S S S ++ _____.4.过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是__________．5.欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.6.已知棱长3的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱体积的最大值为_____.7.若实数x 、y 、z 满足2223x y z ++=，224x y z +-=，则max min z z +=_____.8.在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.二、解答题（共86分）9.已知将函数()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移2π个单位长度得到函数()y f x =的图象，且关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)π内有两个不同的解α、β.（1）求满足题意的实数m 的取值范围；（2）求cos()αβ-（用含m 的式子表示）.10.已知数列{}n a 满足：11a =，2*1(n N )n n n a a a +=+∈.记1211)(1)...(1)n n S a a a =+++（，111n n k k T a ==+∑求n n S T +的值．11.如图，椭圆22221x y y b+=（a>b>0）的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点.记△GDF 的面积为1S ，△OED （O 坐标原点）的面积为2S .求12S S 的取值范围.12.判断曲线1()x f x e -=与曲线()g x lnx =的公切线的条数，并说明理由.13.已知三棱锥S-ABC中侧棱SA、SB、SC互相垂直，M是底面三角形ABC内一动点.直线MS与SA、SB、SC所成的角分别是αβγ、、.（1）证明：αβγ、、不可能是锐角三角形的三个内角；（2）设3332221112(cos cos cos)cos cos cos cos cos cosSαβγαβγαβγ++=++-，证明：3S≥.14.如图，设△ABC 的外接圆为O ，BAC 的角平分线与BC 交于点D ，M 为BC 的中点.若△ADM 的外接圆Z 分别于AB 、AC 交于P 、Q ，N 为PQ 的中点，证明：MN //AD .2018年全国高中数学联赛河北省预赛高三试题（教师详细解析版）一、填空题（每小题8分，共64分）1.若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．【答案】3【解析】【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径，∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.2.若x,y 66ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，a R ∈，且满足33sin 3019sin 303x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，，那么cos(x 3)_____y +=.【答案】1【解析】【详解】把已知条件变形为()33303330x sinx a y sin y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，，函数()3sin f t t t =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数且是奇函数，另,3,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故3x y =-即30x y +=，所以()cos 31x y +=.3.设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式：23=AOB BOC COA ABCS S S S ++ _____.【答案】116【解析】【详解】将OA 2OB 3OC 32CA AB BC ++=++ 化为3OA OB 2OC 0++= ，()()OA OB 2OA OC 0+++= .设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则OM 2ON =- .设△ABC 的面积为S ，由几何关系知12BOC S S =，13AOH S S = ，16AOC S S = ，所以23116AOB BOC COA ABC S S S S ++= .4.过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是__________．【答案】8【解析】解答：由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径等于1.由M (a ,b ),则|MN |2=(a −2)2+(b −2)2−12=a 2+b 2−4a −4b +7，|MO |2=a 2+b 2.由|MN |=|MO |,得a 2+b 2−4a −4b +7=a 2+b 2.整理得：4a +4b −7=0.∴a ，b 满足的关系为：4a +4b −7=0.求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值．在直线4a +4b −7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM 垂直直线4a +4b −7=0，由点到直线的距离公式得：MN=.5.欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.【答案】21【解析】【详解】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有166C =种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有5210C =种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有344C =种方法；共计21种上楼梯的方法.6.的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱体积的最大值为_____.【答案】2π【解析】【详解】由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在1AB 、AC 、1AD 上.设线段1AB 上的切点为E ，圆柱上底面中心为1O ，半径1O E r =.由1111B AO E A C ∽得1AO =，则圆柱的高为1323AO -=-，()23V r π=-，由导数法或均值不等式得max 2V π=.7.若实数x 、y 、z 满足2223x y z ++=，224x y z +-=，则max min z z +=_____.【答案】169-【解析】【详解】由柯西不等式得()()()2222122x yx y ++≥+，由已知得2223x y z +=-，()()22242x y z +=+，所以有()()225342z z -≥+，化简得291610z z ++≤，即max Z 、min Z 为方程291610z z ++=的两根，由韦达定理得max min 169Z Z +=-.8.在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.【答案】3【解析】【详解】由正弦定理将sin sin C k A =变形为c ka =，其中,c AB a BC ==.以线段AC 所在直线为x 轴，以AC 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则33,0,,022A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),B x y ，由c ka ==两边平方整理得()()()()22222291133104k x k y k x k -+--++-=因为2k ，所以上述方程可化为为()2222339014k x y x k ++-+=-由此可知点B 的轨迹是以()()2231,021k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，以231k r k =-为半径的圆.所以当点B 在圆上运动时，点B 到x 轴的最大距离为半径231k r k =-，所以ABC 的面积()21391321212k S k k k k=⨯⨯=⨯-- 在2k 上单调递减，所以max 9131222S =⨯=-.二、解答题（共86分）9.已知将函数()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移2π个单位长度得到函数()y f x =的图象，且关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)π内有两个不同的解α、β.（1）求满足题意的实数m 的取值范围；（2）求cos()αβ-（用含m 的式子表示）.【答案】（1）(（2）2215m -【解析】【详解】（1）将()g x cosx =的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到2y cosx =的图象.再将2y cosx =的图象向右平移2π个单位长度后，得到2cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故()2f x sinx =，()()()2sin cosx f x g x x x ϕ+=+=+.sin ϕϕ⎛== ⎝其中.依题意()sin 5m x ϕ+=在区间[)0,2π内有两个不同的解αβ、，当且仅当15m <.故m的取值范围是(.（2）因为αβ、是方程()x m ϕ+=在[)0,2π内的两个不同的解，所以()sin 5m αϕ+=，()sin 5m βϕ+=.当1m ≤<22παβϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即()2αβπβϕ-=-+.当1m <<，322παβϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即()32αβπβϕ-=-+.所以()()()2222cos 2212115m cos sin αββϕβϕ-=-+=+-=-=-.10.已知数列{}n a 满足：11a =，2*1(n N )n n n a a a +=+∈.记1211)(1)...(1)n n S a a a =+++（，111n n k k T a ==+∑求n n S T +的值．【答案】1n n S T +=【解析】【详解】因为21n n n a a α+=+，所以()11n n n a a α+=+.所以111n n n a a α+=+，故31212341111····n n n n n a a a a a S a a a ααα+++=⋅⋅⋅==.又()11n n n a a α+=+，所以()1111111n n n n n a a a a α==-+++，所以11111n n n a a α=-++，故112231111111111111111n n k k n n n n T a a a a a a a a a a =++==-+-+⋅⋅⋅+-=-=-++∑.因此1n n S T +=.11.如图，椭圆22221x y y b+=（a>b>0）的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点.记△GDF 的面积为1S ，△OED（O 坐标原点）的面积为2S .求12S S 的取值范围.【答案】（1）12e =（2）(9,)+∞【解析】【详解】（1）依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点（0，b ）时，其倾斜角为60°.设(),0F c -，则tan603b c == 将3b c =代入222a b c =+，得2a c =.所以椭圆的离心率12c e a ==.（2）由（1）知，椭圆方程可设为2222143x y c c+=，设()11,A x y ，()22,B x y .依题意，直线AB 不能与x 、y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=.则212122286,4343ck ck x x y y k k -+=+=++.所以22243,4343ck ck G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为GD AB ⊥，所以222223431,44343D D ckck k k x ck k x k -+⨯=-=-+-+.因为GFD OED ∽，所以()()()22222222222422122242222243334343439999943ck ck ck ck ck GD k k k S c k c k S c k k OD ck ck k ⎛⎫-⎛⎫-+ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭====+>⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以12S S 的取值范围是()9,+∞.12.判断曲线1()x f x e -=与曲线()g x lnx =的公切线的条数，并说明理由.【答案】曲线1()x f x e -=与曲线()g x lnx =有两条公切线.【解析】【详解】曲线()1x f x e -=与曲线()g x lnx =有两条公切线.理由如下：设两曲线的公切线为l ，与曲线()1x f x e-=切于点()1a a e --，与曲线()g x lnx =切于点(),b lnb ，则直线l 的方程既可写为()11a a y ee x a ---=-，即111a a a y e x e ae ---=+-，又可写为()1lnb y x b b-=-，即1ln 1y x b b =+-.因为直线l 为公切线，所以有1111, 1.a a a eb e ae lnb ---⎧=⎪⎨⎪-=-⎩消元整理得110a a e ae a ---+=，所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数.设()11x x m x e xe x --=-+，()11x m x xe -=-'，()()1 1x m x x e -=--''.当(),1x ∈-∞-时，()0m x ''>，()11x m x xe-=-'为增函数；当()1,x ∈-+∞时，()0m x ''<，()11x m x xe -=-'为减函数.另外当0x <时，()1m x '>，()0m l '=，所以()0m x '=的根为1x =.所以当(),1x ∈-∞时，()0m x '>，()m x '单调递增；当(),x x ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减.而()110m =>，()220m e -<，()21110m e -=-<，()100m e =>，又函数()m x 在R 上连续，所以函数()11x x m x e xe x --=-+有两个零点，分别位于区间()1,0-和区间()1,2内.所以方程110a a e ae a ---+=有两个不同的根，即两曲线有两条公切线.13.已知三棱锥S-ABC 中侧棱SA 、SB 、SC 互相垂直，M 是底面三角形ABC 内一动点.直线MS 与SA 、SB 、SC 所成的角分别是αβγ、、.（1）证明：αβγ、、不可能是锐角三角形的三个内角；（2）设3332221112(cos cos cos )cos cos cos cos cos cos S αβγαβγαβγ++=++- ，证明：3S ≥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】（1）以线段MS 为体对角线构造长方体，则αβγ、、恰好为长方体的体对角线与从一个顶点出发的三条棱所成的角，因此222cos cos cos 1αβγ++=.因为2222cos cos cos 1cos αβγγ++=-，所以()21222cos cos cos αβγ+=-，()()2cos 0cos cos αβαβγ+⨯-=-<，故()cos 0αβ+<.所以2παβπ<+<.下面证明αβγπ++<.要证αβγπ++<，只需证αβπγ+<-，只需证()()cos 0cos πγαβ-<+<，只需证()()22cos cos πγαβ->+.因为()()()22212cos22cos cos cos cos αβγαβαβ+-=+++()()()()2· 2··0cos cos cos cos cos cos αβαβαβαβαβ=+++-=+<，所以αβγπ++<，故αβγ、、不可能是锐角三角形的三个内角.（2）因为()333222211133cos cos cos cos ·cos ·cos cos cos cos S αβγαβγαβγ++-=++-222222222222cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos αβγαβγαβγαβγ++++++=++222cos cos cos 23cos ·cos cos ·cos cos ·cos αβγβγαγαβ⎛⎫-++- ⎝⎭222222222111111cos cos cos cos cos cos cos cos cos αβγβγαγαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222cos cos cos 2cos ·cos cos ·cos cos ·cos αβγβγαγαβ⎛⎫-++ ⎝⎭222222111111cos cos cos 0cos cos cos cos cos cos αβγβγαγαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3S ≥.14.如图，设△ABC 的外接圆为O ，BAC ∠的角平分线与BC 交于点D ，M 为BC 的中点.若△ADM 的外接圆Z 分别于AB 、AC 交于P 、Q ，N 为PQ 的中点，证明：MN //AD .【答案】见解析【解析】【详解】如图.设AB=c，BC=a，AC=b.由()22BD BM a BQ AB BD BM BQ AB b c ⋅⋅=⋅⇒==+.类似地，()22a CP b c =+.于是，BQ CP=.联结BP、CQ，并设X、Y分别为其中点.则12XN BQ MY==.类似地，NY MX= .故四边形NYMX为平行四边形.由BQ CP=，知四边形NYMX为菱形.从而，MN平分∠XNY.又AD平分∠BAC，因此，AD∥MN.。

2018年全国高中数学联赛河北省预赛高三试题（教师详细解析版）一、填空题（每小题8分，共64分）1.若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．【答案】3【解析】【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径，∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.2.若x,y 66ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，a R ∈，且满足33sin 3019sin 303x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，，那么cos(x 3)_____y +=.【答案】1【解析】【详解】把已知条件变形为()33303330x sinx a y sin y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，，函数()3sin f t t t =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数且是奇函数，另,3,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故3x y =-即30x y +=，所以()cos 31x y +=.3.设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式：23=AOB BOC COAABCS S S S ++ _____.【答案】116【解析】【详解】将OA 2OB 3OC 32CAAB BC ++=++ 化为3OA OB 2OC 0++= ，()()OA OB 2OA OC 0+++= .设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则OM 2ON =-.设△ABC 的面积为S ，由几何关系知12BOC S S =，13AOH S S = ，16AOC S S = ，所以23116AOB BOC COA ABC S S S S ++= .4.过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是__________．【答案】8【解析】解答：由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径等于1.由M (a ,b ),则|MN |2=(a −2)2+(b −2)2−12=a 2+b 2−4a −4b +7，|MO |2=a 2+b 2.由|MN |=|MO |,得a 2+b 2−4a −4b +7=a 2+b 2.整理得：4a +4b −7=0.∴a ，b 满足的关系为：4a +4b −7=0.求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值．在直线4a +4b −7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM 垂直直线4a +4b −7=0，由点到直线的距离公式得：MN=.5.欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.【答案】21【解析】【详解】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有166C =种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有5210C =种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有344C =种方法；共计21种上楼梯的方法.6.的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱体积的最大值为_____.【答案】2π【解析】【详解】由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在1AB 、AC 、1AD 上.设线段1AB 上的切点为E ，圆柱上底面中心为1O ，半径1O E r =.由1111B AO E A C ∽得1AO =，则圆柱的高为1323AO -=-，()23V r π=-，由导数法或均值不等式得max 2V π=.7.若实数x 、y 、z 满足2223x y z ++=，224x y z +-=，则max min z z +=_____.【答案】169-【解析】【详解】由柯西不等式得()()()2222122x y x y ++≥+，由已知得2223x y z +=-，()()22242x y z +=+，所以有()()225342zz -≥+，化简得291610z z ++≤，即max Z 、min Z 为方程291610z z ++=的两根，由韦达定理得max min 169Z Z +=-.8.在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.【答案】3【解析】【详解】由正弦定理将sin sin C k A =变形为c ka =，其中,c AB a BC ==.以线段AC 所在直线为x 轴，以AC 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则33,0,,022A C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),B x y ，由c ka ==两边平方整理得()()()()22222291133104k x k y k x k -+--++-=因为2k ，所以上述方程可化为为()2222339014k x y x k ++-+=-由此可知点B 的轨迹是以()()2231,021k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，以231k r k =-为半径的圆.所以当点B 在圆上运动时，点B到x 轴的最大距离为半径231k r k =-，所以ABC 的面积()21391321212k S k k k k=⨯⨯=⨯-- 在2k 上单调递减，所以max 9131222S =⨯=-.二、解答题（共86分）9.已知将函数()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移2π个单位长度得到函数()y f x =的图象，且关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)π内有两个不同的解α、β.（1）求满足题意的实数m 的取值范围；（2）求cos()αβ-（用含m 的式子表示）.【答案】（1）(（2）2215m -【解析】【详解】（1）将()g x cosx =的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到2y cosx =的图象.再将2y cosx =的图象向右平移2π个单位长度后，得到2cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故()2f x sinx =，()()()2sin cosx f x g x x x ϕ+=+=+.sin ϕϕ⎛== ⎝其中.依题意()sin 5mx ϕ+=在区间[)0,2π内有两个不同的解αβ、，当且仅当15m<.故m的取值范围是(.（2）因为αβ、是方程()x m ϕ+=在[)0,2π内的两个不同的解，所以()sin 5m αϕ+=，()sin 5m βϕ+=.当1m ≤<22παβϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即()2αβπβϕ-=-+.当1m <<，322παβϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即()32αβπβϕ-=-+.所以()()()2222cos 2212115m cos sin αββϕβϕ-=-+=+-=-=-.10.已知数列{}n a 满足：11a =，2*1(n N )n n na a a +=+∈.记1211)(1)...(1)n n S a a a =+++（，111nn k kT a ==+∑求n n S T +的值．【答案】1n n S T +=【解析】【详解】因为21n n n a a α+=+，所以()11n n n a a α+=+.所以111n n n a a α+=+，故31212341111····n n n n n a a a a a S a a a ααα+++=⋅⋅⋅==.又()11n n n a a α+=+，所以()1111111n n n n n a a a a α==-+++，所以11111n n n a a α=-++，故112231111111111111111nn k k n n n n T a a a a a a a a a a =++==-+-+⋅⋅⋅+-=-=-++∑.因此1n n S T +=.11.如图，椭圆22221x y y b+=（a>b>0）的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点.记△GDF 的面积为1S ，△OED（O 坐标原点）的面积为2S .求12S S 的取值范围.【答案】（1）12e =（2）(9,)+∞【解析】【详解】（1）依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点（0，b ）时，其倾斜角为60°.设(),0F c -，则tan603bc== 将3b c =代入222a b c =+，得2a c =.所以椭圆的离心率12c e a ==.（2）由（1）知，椭圆方程可设为2222143x y c c+=，设()11,A x y ，()22,B x y .依题意，直线AB 不能与x 、y轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得()2222224384120kx ck x k c c +++-=.则212122286,4343ck ckx x y y k k -+=+=++.所以22243,4343ck ck G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为GD AB ⊥，所以222223431,44343D Dckck k k x ck k x k -+⨯=-=-+-+.因为GFD OED ∽，所以()()()22222222222422122242222243334343439999943ck ck ck ck ck GD k k k S c k c k S c k k OD ck ckk ⎛⎫-⎛⎫-+ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭====+>⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以12S S 的取值范围是()9,+∞.12.判断曲线1()x f x e -=与曲线()g x lnx =的公切线的条数，并说明理由.【答案】曲线1()x f x e -=与曲线()g x lnx =有两条公切线.【解析】【详解】曲线()1x f x e-=与曲线()g x lnx =有两条公切线.理由如下：设两曲线的公切线为l ，与曲线()1x f x e -=切于点()1a a e--，与曲线()g x lnx =切于点(),b lnb ，则直线l 的方程既可写为()11a a y e e x a ---=-，即111a a a y e x e ae ---=+-，又可写为()1lnb y x b b-=-，即1ln 1y x b b=+-.因为直线l 为公切线，所以有1111, 1.a a a e be ae lnb ---⎧=⎪⎨⎪-=-⎩消元整理得110a a e ae a ---+=，所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数.设()11x x m x exe x --=-+，()11x m x xe -=-'，()()1 1x m x x e -=--''.当(),1x ∈-∞-时，()0m x ''>，()11x m x xe -=-'为增函数；当()1,x ∈-+∞时，()0m x ''<，()11x m x xe-=-'为减函数.另外当0x <时，()1m x '>，()0m l '=，所以()0m x '=的根为1x =.所以当(),1x ∈-∞时，()0m x '>，()m x '单调递增；当(),x x ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减.而()110m =>，()220m e -<，()21110m e -=-<，()100m e=>，又函数()m x 在R 上连续，所以函数()11x x m x exe x --=-+有两个零点，分别位于区间()1,0-和区间()1,2内.所以方程110a a e ae a ---+=有两个不同的根，即两曲线有两条公切线.13.已知三棱锥S-ABC 中侧棱SA 、SB 、SC 互相垂直，M 是底面三角形ABC 内一动点.直线MS 与SA 、SB 、SC 所成的角分别是αβγ、、.（1）证明：αβγ、、不可能是锐角三角形的三个内角；（2）设3332221112(cos cos cos )cos cos cos cos cos cos S αβγαβγαβγ++=++- ，证明：3S ≥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】（1）以线段MS 为体对角线构造长方体，则αβγ、、恰好为长方体的体对角线与从一个顶点出发的三条棱所成的角，因此222cos cos cos 1αβγ++=.因为2222cos cos cos 1cos αβγγ++=-，所以()21222cos cos cos αβγ+=-，()()2cos 0cos cos αβαβγ+⨯-=-<，故()cos 0αβ+<.所以2παβπ<+<.下面证明αβγπ++<.要证αβγπ++<，只需证αβπγ+<-，只需证()()cos 0cos πγαβ-<+<，只需证()()22cos cos πγαβ->+.因为()()()22212cos22coscos cos cos αβγαβαβ+-=+++()()()()2· 2··0cos cos cos cos cos cos αβαβαβαβαβ=+++-=+<，所以αβγπ++<，故αβγ、、不可能是锐角三角形的三个内角.（2）因为()333222211133cos cos cos cos ·cos ·cos cos cos cos S αβγαβγαβγ++-=++-222222222222cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos αβγαβγαβγαβγ++++++=++222cos cos cos 23cos ·cos cos ·cos cos ·cos αβγβγαγαβ⎛⎫-++- ⎝⎭222222222111111cos cos cos cos cos cos cos cos cos αβγβγαγαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222cos cos cos 2cos ·cos cos ·cos cos ·cos αβγβγαγαβ⎛⎫-++ ⎝⎭222222111111cos cos cos 0cos cos cos cos cos cos αβγβγαγαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3S ≥.14.如图，设△ABC 的外接圆为O ，BAC ∠的角平分线与BC 交于点D ，M 为BC 的中点.若△ADM 的外接圆Z 分别于AB 、AC 交于P 、Q ，N 为PQ 的中点，证明：MN //AD .【答案】见解析【解析】【详解】如图.设AB=c，BC=a，AC=b.由()22BD BM a BQ AB BD BM BQ AB b c ⋅⋅=⋅⇒==+.类似地，()22a CP b c =+.于是，BQ CP=.联结BP、CQ，并设X、Y分别为其中点.则12XN BQ MY==.类似地，NY MX= .故四边形NYMX为平行四边形.由BQ CP=，知四边形NYMX为菱形.从而，MN平分∠XNY.又AD平分∠BAC，因此，AD∥MN.。

|m|
l
O
O
l
1√
= 1.
5
1+ k2
y = kx + m
A(x1, y1), B(x2, y2)
x2 + 9y2 − 9 = 0
(1 + 9k2)x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0
第3页
(
)
18km
9km m
x1 + x2 = − 1 + 9k2
AB
(
− 1 +)9k2 , 1 + 9k2 .
f (x) = −2
x = −1 f (x) = 0
1
x = −3, x =
3
3
9. x, y ∈ R
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
x
√
√
答案 14 − 2 13 ≤ x ≤ 14 + 2 13.
解析
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
⇒
√ (x
−
y
−
2)2
+
(√y
−
3)2
=
1
.
. . √ x − y − 2 = cos θ
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
证明
∑
∑
Tn =
|ai − bj| −
(|aj − ai| + |bj − bi|)
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n