求函数极限的方法

求函数极限的方法1.1 函数极限的定义定义 1 设f 为定义在[],a +∞上的函数，A 为定数．若对任给的0ε>，存在正整数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限．记作：()lim x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞．定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()00;'U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限．记作：()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→．定义3 设函数f 在()00;'U x δ+（或()00;'U x δ-）内有定义，A 为定数．若对任给0ε>的，存在正数()'δδ<，使得当时00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限．记作：()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭或()()()()()00f x A x x f x A x x +-→→→→． 函数极限的性质性质1（唯一性） 若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的．性质2（局部有界性） 若()0lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界．性质3（局部保号性） 若()0lim 0x x f x A →=>（或0<），则对任何正数r A <（或r A <-），存在()00U x ，使得对一切()o o x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）．性质4（保不等式性） 设()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，且在某邻域()00;'U x δ内有()()fx g x <，则()()0limlim x xx x fx g x →→≤．性质5（迫敛性）设()()0lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()00;'U x δ内有()()()fx h x g x ≤≤，则()0lim x xh x A →=．性质6（四则运算法则） 若极限()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g ⋅，当0x x →时极限也存在，且1. ()()()()0lim lim lim x x x x x xf xg x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦； 2. ()()()()0lim lim lim x x x x x xf xg x f x g x →→→⋅=⋅⎡⎤⎣⎦； 又若()0lim 0x x g x →≠，则fg当0x x →时极限存在，且有3. ()()()()lim limlim x x x x x x fx fx g x g x →→→=．２.求函数极限的若干方法2.1 利用定义求极限 例１ 证明()()211lim212x x x x →-=--．分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211122x x x x x-+=---，于是有()()23111332212222x x x x x x xxx--+--=-==-----，取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()21212x x x ----61x <-，取26εδ=即可．证明 对于0ε∀>，取1m in ,26εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，于是当01x δ<-<时，有()()2126112x x x x ε--<-<--，由定义知()()211lim212x x x x →-=--成立．注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关． 2.2 利用函数的连续性求极限 例2 求()4lim tan x x x ππ→-． 解 ()43l i m t a nt a n 444x x x ππππππ→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数()()tan f x x x π=-在4x π=处连续，所以可把4x π=直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．2.3 利用两个重要极限求极限 首先给出两个重要极限的一般形式（1）0sin lim1x x x→=；（2）1lim 1xx ex →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例3 求极限sin sin limx ax ax a→--．解 c o s s i ns i ns i n s i n 222c o s 222x a x a x ax a x a x a x a x a +----+==⋅---， 于是有sin sin sin 2limlim cos22x ax ax a x ax a x a x a→→--+=⋅--s i n2l i m c o s l i m 22x axa x a x a x a→→-+=⋅- c o s a =．先利用和差化积对函数进行转化，要使用0sin lim1x x x→=，必须使函数中出现此类型的式子，如当x a →时02x a -→，此时sin2lim12x ax ax a →-=-，再进行求解．例 4 求极限()1lim 1x x x α→+（α为给定实数）．解 ()()11lim 1lim 1xx x x x x e ααααα→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦．在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用．如()101lim 1lim 1xy x y y e x →∞→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，此题就是利用这种变形求解的．在以后的求函数极限的问题中可灵活运用．2.4 利用四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定．常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换．例 5 求极限21lim1nx x x x nx →++⋯⋯+--，n 为正整数．解 21l i m1nx x x x nx →++⋯⋯+--21111l i m 111nx x x x x x x →⎡⎤---=++⋯⋯+⎢⎥---⎣⎦()()()2121l i m 1111n n x x x x xxx --→⎡⎤=++++++⋯⋯+++⋯⋯++⎣⎦()()()2121111lim 1lim 1lim 1lim 1n n x x x x x x x xxx --→→→→=++++++⋯⋯+++⋯⋯+123n =+++⋯⋯+()12n n +=．本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解．2.5 利用迫敛性求极限例 6 求极限lim n n→+∞．解 由放缩法得22123231nn nnn+++⋯⋯+++⋯⋯++<<，化简得1322n n nnn++<<，因为131limlim222n n n n nn→+∞→+∞++==，由迫敛性定理得1lim2n n→+∞=．在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等．本题就是用放缩法使得22123231nn nnn+++⋯⋯+++⋯⋯++<<，且131limlim222n n n n nn→+∞→+∞++==，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限．2.6 利用归结原则求极限归结原则 设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'Ux δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等． 例 7 求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 分析 利用复合函数求极限，令()21211xx x u x x ++⎛⎫=+⎪⎝⎭，()1x v x x +=求解． 解 令()21211xx x u x x ++⎛⎫=+⎪⎝⎭，()1x v x x +=则有 ()lim n u x e →+∞=；()lim 1n v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1nxn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()l i m n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在．2.7 利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限3tan sin limsin x x x x→-．解 由于()sin tan sin 1cos cos x x x x x-=-，而()sin ~0x x x →，()21cos ~02xx x -→，()33sin ~0xxx →故有2330tan sin 112limlimsin cos 2x x xx x x xxx →→⋅-=⋅=．注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()tan ~0x x x →，()sin ~0x x x →，而推出33tan sin limlimsin sin x x x x x x xx→→--==，则得到的式错误的结果．附 常见等价无穷小量()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()21cos ~02xx x -→，()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0xe x x -→，()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x αα+-⋅→．2.8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心领域()00U x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零． 例 9 求极限21cos limtan x x xπ→+．解 由于()2lim 1cos lim tan 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan'2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得21cos limtan x xx π→+2s i n l i m2t a n s e cx xxx π→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭12=．例 10 求极限3limx x e x→+∞．解 由于3lim lim x x x e x →+∞→+∞==+∞，并有()'xxe e=，()32'30x x =≠，由洛比达法则可得32limlim3x x x x e exx→+∞→+∞=，由于函数()x f x e =，()23g x x =均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则32limlimlimlim366x x xxx x x x e eeexxx→+∞→+∞→+∞→+∞====+∞．注 1 如果()()'lim'x x f x g x →仍是0型不定式极限或∞∞型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限()()'lim 'x x f x g x →是否存在，这时()'f x 和()'g x 在0x 的某领域内必须满足洛比达法则的条件．注 2 若()()'lim'x x f x g x →不存在，并不能说明()()limx x fx g x →不存在． 注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件． 下面这个简单的极限sin lim1x x xx→∞+=虽然是∞∞型，但若不顾条件随便使用洛比达法则sin 1cos limlim1x x x xxx→∞→∞++=，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论． 2.9 利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式()()()()()()()2"000'02!!n nnf ff x f f x x x xn ο=+++⋯⋯++．例 11 求极限224cos limxx x ex-→-．解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：()245cos 1224xxx xο=-++，()22452128xxxexο-=-++，()2452c o s 12xxx ex ο--=-+．因而求得()245244cos 112limlim12xx x xx x exxο-→→-+-==-．利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()00'limx x fx f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例 12求极限0limx →()0,0p q >>．分析 此题是0x →时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解 令()f x =()g x =则limx → ()()()()000l i m00x fx f x gx g x →--=-- ()()'0'0f g =p q=2.11 利用定积分求极限有定积分的定义知，若()f x 在[],a b 上可积，则可对[],a b 用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[],a b 上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求和式极限的一种方法． 例 13求极限()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦． 解 对所求极限作如下变形：()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦2221111lim 12111n n n n n n →∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⋯⋯+⋅⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2111lim1nn i ni n →∞==⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．不难看出，其中的和式是函数()()211f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和，所以有()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()1211dx x =+⎰()()12111d x x =++⎰1011x=-|+ 12=。