求函数极限方法的若干方法

高等数学中函数极限的若干求法作者：张云霞来源：《读写算》2014年第44期【摘要】极限是高等数学中最基本、最重要的内容，高等数学中的许多概念都是以极限的方式定义的。

本文作者结合自己对函数极限求解方法的总结，通过一些典型的例题对求函数极限的方法进行了探讨.【关键词】高等数学极限求法高等数学是理工科、经济类学生必修的一门公共基础课程，该门课程学习的好坏直接关系到学生后续数学课程及专业课程的学习。

而极限这个概念是高等数学中非常重要的一个概念，是学生在学习高等数学时第一个接触的概念，并且这个概念与后面所要学习的导数、积分都有着密切的联系，因此本文来研究一下求极限的几种方法。

一、利用函数的连续性求极限我们知道若函数y=f（x）在点x0 处连续，则有limf（x）=f（x0）。

而一切初等函数在其定义域内都是连续的。

故在求函数极限的时候，若给定的函数是初等函数，且点 x0属于f （x）的定义域，此时可根据函数的连续性，该点的极限值等于该点的函数值，只须将该点直接代入求值即可。

例1：limx→0 x3-3x+1解；函数 x3-3x+1是初等函数， x=0是其定义域内的点，所以limx→0 x3-3x+1=1例2：：limx→π （sin3x2）8解；函数（sin3x2）8是初等函数，x=π是其定义域内的点，所以limx→π （sin3x2）8=（sin3x2）8=1二、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限利用四则运算法则求极限是极限运算中最基础的方法之一，要特别强调运算法则的最重要前题条件———各项极限都存在（对商还有分母极限不为零），此条件是充分而非必要的。

因此，利用此法则求极限时，必须对所给函数进行逐一验证，满足条件者，方能运用；不满足条件者不能直接利用此运算法则求之。

但是，对有些函数可以进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则来求。

而对函数进行恒等变形时，有一些简单技巧如分子或分母有理化、分子分母同乘某一因子、拆项、变量替换等都是常用的.例3. 求. limx→3 x-3x2-9解：limx→3 x-3x2-9= limx→3 x-3（x-3）（x+3）=. limx→3 1x+3=limx→3 1limx→3（x+3）=16例4：limx→0 1+x-1-xx解：limx→0 1+x-1-xx=limx→0 =（1+x-1-x）（1+x+1-xx（1+x1-x）=limx→0 21+x+1-x=1二、利用无穷小量的一些性质求函数的极限（1）无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量例5：limx→0 x2sin1x解：x→0时，x2→0，故x→0 时， x2为无穷小量；而︳sin1x︳≤1， sin1x为有界变量，故limx→0 x2sin1x=0（2）在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数为无穷小量，非零的无穷小量的倒数为无穷大量例6：limx→2 x+3x2-4解：因为分母极限limx→2 （x2-4）=0 ，不能用极限运算法则，但limx→2 x2-4x2+3=0，故x→2时，为无穷小量，故limx→2 x+3x2-4=∞三、利用两个重要极限求函数的极限（1）重要极限Ⅰ：limx→0 sinxx=1该极限适用于求未定式 00型的极限，在使用时常使用该极限的演变式 limf（x）→0 sin（f （x））f（x）=1例7：limx→0 sin2xx=limx→0 sin2x2x2=2例8：limx→0 tanxx=limx→0 sinxx·1cosx=limx→0 sinxx ·limx→0 1cosx=1例9：limx→0 1-cosxx2=li mx→0 2sin2xx2=2（limx→0 sinxx）2=2注：若极限形式不是“ 00”型，则不能利用上述公式。

求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。

对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。

一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。

通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。

当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。

二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。

当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。

三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。

其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。

常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。

四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。

其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。

通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。

五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。

泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。

通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。

六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。

常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。

七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。

求函数极限的若干方法及其应用1.定义法2.利用极限四则运算法则3.利用夹挤性定理求极限4.利用两个重要极限求极限5.利迫敛性来求极限6.用洛必达法则求极限7.利用定积分求极限8.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限9.利用变量替换求极限10.利用递推公式计算或证明序列求极限11.利用等价无穷小量代换来求极限12.利用函数的连续性求极限13.利用泰勒公式求极限14.利用两个准则求极限15.利用级数收敛的必要条件求极限16.利用单侧极限求极限总结参考文献外文摘要目录1 引言函数极限的定义及作用函数极限的计算及多种求法2 3.1利用左、右极限求极限2 3.2 利用极限运算法则求极限3 3.3 利用初等变形求函数极限3.3.1 约分法3.3.2 有理化法3.3.3比较最高次幂法3.4 利用迫敛性求函数极限3.5 利用两个重要极限公式求函数极限3.6 利用变量替换求函数极限3.6.1利用等价无穷小量替换来求极限3.6.2 利用其他替换来求极限3.7 利用无穷小量的性质求函数极限3.8 利用初等函数的连续性质求函数极限3.9利用导数的定义求函数极限3.10 利用洛必达法则求函数极限3.10.1 00型不定式极限3.10.2 型不定式极限3.10.3 其它类型不定式极限3.11幂指函数求函数极限3.11.1 )(xf,)(xg的极限均为有限常数，即BA型的极限求法3.11.2型未定式极限问题3.11.33.12利用泰勒公式求函数极限3.11.43.13 利用中值定理求函数极限3.11.5参考文献。

求极限的若干方法求极限的方法可以分为以下几种：1. 代入法：将函数中的自变量代入，并通过逐渐逼近的方法求得极限值。

这种方法比较直观简单，特别适用于一些特殊函数的极限计算，如三角函数、指数函数等。

2. 分子分母分别求极限法：当函数形式较为复杂时，可以将分子和分母分别求极限，再求两者的商的极限。

通过这种方法，可以将复杂的极限问题简化为较为简单的子问题，更容易求解。

3. 极限运算法则：极限运算法则是求极限的一种常用方法，通过运用一些基本极限的性质，可以简化复杂极限的计算。

常用的极限运算法则包括加法法则、乘法法则、除法法则、幂函数法则等。

4. 复合函数求极限法：对于复合函数的极限，可以先对内部函数求极限，再对外层函数求极限。

这种方法适用于复杂函数的极限计算，可以将复杂函数拆分为多个较为简单的函数，分别求其极限。

5. 求导法：对于一些特殊的极限问题，求导法可以起到一定的辅助作用。

通过对函数求导，可以将原问题转化为导函数的极限问题，进而求得原函数的极限。

6. 泰勒展开法：对于某些无法直接求得极限的函数，可以通过泰勒展开，将函数近似为多项式形式，并通过多项式的极限计算得到原函数的极限。

7. 渐进法：当函数中含有无穷大或无穷小量时，可以使用渐进法求极限。

这种方法通过分析无穷大或无穷小量在极限过程中的变化趋势，来确定极限的值。

8. 变量替换法：当函数中含有复杂的无穷小量或无穷大量时，可以通过替换变量的方法，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题。

9. 用L'Hôpital法则：对于某些不定式形式的极限，如0/0、∞/∞等，可以使用L'Hôpital法则求极限。

该法则利用导数的性质，将原函数的极限转化为导函数的极限。

10. 用积分法：对于一些函数极限，可以通过积分的方法来求解。

通过将极限转化为积分形式，可以利用积分的性质和计算方法得到极限的值。

求极限的方法有很多种，具体选择哪种方法取决于函数的特点和问题的要求。

求解函数极限是数学中一个重要的问题，它是描述函数在某一点上取得最大值或最小值的研究。

求解函数极限的方法有很多，下面介绍几种常用的求解函数极限的方法：
一、图像法
图像法是一种比较直观的求解函数极限的方法，它是通过函数的图像推断函数的极限值。

具体的做法是：将函数的图像画出来，然后观察函数图像的形状，从而判断函数在某一点处的极限值。

二、连分式法
连分式法是一种比较常用的求解函数极限的方法，它是通过将函数表示为连分式的形式，然后分析连分式的特性，来求解函数的极限值。

具体的做法是：将函数表示为连分式的形式，然后分析连分式的极限情况，最后得到函数的极限值。

三、偏导数法
偏导数法是一种比较简单的求解函数极限的方法，它是通过求解函数的偏导数，来求解函数的极限值。

具体的做法是：首先求解函数的偏导数，然后分析偏导数的极限情况，最后得到函数的极限值。

四、极限定义法
极限定义法是一种比较精确的求解函数极限的方法，它是通过函数的定义来求解函数的极限值。

具体的做法是：首先将函数表示为定义形式，然后分析函数的定义，最后得到函数的极限值。

以上就是求解函数极限的若干方法，它们都有各自的特点，使用时要根据实际情况选择合适的方法。

只有掌握了这些方法，才能够准确地求解函数极限。

求函数极限方法的若干方法摘要：关键词：1引言：极限的重要性极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。

如函数在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本公具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

1：是考察所给函数是否存在极限。

2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质2.1极限的概念2.1.1,任意的正整数N，使得当n>N时就有。

2.1.2，任意整数X，使得当时就有。

类似可以定义单侧极限与。

2.2.3，整数，使得当时有。

类似可定义当时右极限与左极限：，。

在此处键入公式。

2.2极限的性质2.2.1极限的不等式性质：设，。

若，则，当时有；若，使得当时有，则。

2.2.1（推论）极限的保号性：设。

若,则，当时有；若，使得当时有，则。

2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限，则在的某空心邻域内有界，即与，使得当时有3求极限的方法1、定义法2、利用极限的四则运算性质求极限,3、利用夹逼性定理求极限4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限,6、利用洛必达法则求极限,7、利用定积分求极限,8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限3.1定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.例1 证明证任给，取，则当时有，所以。

绪论极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限.函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念.极限概念是微分概念的基础,因此加深理解函数极限的概念是十分必要的.在近代数学许多分支中,一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.只有深刻地理解极限概念并熟练掌握求极限的方法,才能真正地学好微积分.极限是初等数学和高等数学接壤部分,极限概念是高等数学最基本的概念.导数,微分,积分都是建立在极限概念的基础上的,高等数学就是以极限方法为主要工具来研究变量与变量之间关系的科学.在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理.到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法.求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要.第一章 函数极限的概念1.1 函数极限的概念1.1.1 x →∞时函数的极限设函数f 定义在[),a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x 趋于+∞图象上可见，当x 无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数x 趋于+∞时有极限.一般地，当x 趋于+∞时函数极限的精确定义如下： 定义1 设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，使得当x M >时有则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 或 ()f x A → ()x →+∞定义 2 设f 为定义在](,a -∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，使得当x M <-时有则称函数f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →-∞= 或 ()f x A → ()x →-∞则称常数A 为函数()x f 当∞→x 时的极限，记作()()()lim x f x A f x A x →∞=→→∞或当若f 为定义在()U x 上的函数，则+lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==.定理1 +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==.1.1.2 x →0x 时函数的极限设f 为定义在0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数.现在讨论当x 趋于00()x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A .这类函数极限的精确定义如下：定义4（函数极限的εδ-定义） 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()'00;δx U时有则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作lim ()x xf x A →= 或 0()()f x A x x →→.注：1.0ε>是可以任意给的，在确定δ的过程中又看成是个定数； 2.δ与ε有关，但与x 无关，并且不唯一；3.极限()0lim x x f x →是否存在，与()f x 在点0x 是否有定义以及()0f x 的值为多少无关；4.0lim ()x x f x A →=的前提：()f x 在某()'00;δx U 内有定义.定义5 设函数f 在()()()'0'00;;U x U x δδ+-或内有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当()0000x x x x x x δδ<<+-<<或时有则称A 为函数f 当()00x x x +-趋于时的右（左）极限，记作()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭或()()0f x A x x +→→ ()()()0f x A x x -→→. 右极限与左极限统称为单侧极限.f 在点0x 的右极限与左极限又分别记为：()()()()0000lim 0lim x x x x f x f x f x f x +-→→+=-=与 极限存在的充要条件：()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔== 关于函数极限()0lim x x f x →与相应的左、右极限之间的关系，有下述定理：定理2 ()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.第二章 函数极限的求解方法2.1 利用函数极限的定义求极限分析:利用函数极限的定义来证明,首先要任取0ε>；其次是写出不等式lim ()x x f x A →=.由函数极限的εδ-定义得：分析：根据前面所学的函数极限的定义证明，要证明这道题就要找出M 的值.分析：要验证这道题不仅要找到M 的值，还要利用函数的左、右极限的定义.证 ： 任给ε>0,由于而此不等式的左半部分对任何x 都成立，所以只要考察其右半部分x 的变化范围.这就证明了1）.类似地可证2）.注： +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→-∞→∞=⇔==（f 为定义在()U ∞上的函数）所以当x →∞时arctan x 不存在极限.一般来说应尽可能将()f x 的表达式简化.值得注意的是，有时()f x 不能简化，反倒是可以把A 变复杂，写成与()f x 相类似的形式.以要用单侧极限的定义进行求解.()221xε-<时，就是小结:利用极限定义求函数极限是熟悉和掌握求极限方法的基础.2.2 利用函数极限的性质求极限定理3 （1）若()f x 在0x x =处连续，则()()00lim x x f x f x →=（2）若()f x ϕ⎡⎤⎣⎦是复合函数，又()0lim x x x a ϕ→=且()f u 在u a =处连续，则()()()()00lim lim x x x x f x f x f a ϕϕ→→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.分析：利用函数极限的性质及定理3，并且要看清该函数是否连续，最后在进行计算.在u e =处连续，所以由定理3（2）知 ：2.3 利用函数极限的四则运算求极限定理4（四则运算法则） 若极限()()0lim lim x x x xf xg x →→与都存在，则函数,f g f g ±⋅当0x x →时极限也存在，且1）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦；2）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→=⋅⎡⎤⎣⎦；又若()0lim 0x x g x →≠，则0/f g x x →当时极限存在，且有4）()()0lim lim x x x xc f x c f x →→⋅=⋅ (C 为常数） 上述的性质对于0,,,x x x x x ±→∞→+∞→-∞→时也同样成立.计算.解： 当10x +≠时有故所求的极限等于分析：利用函数极限的四则运算法则，把所求函数的极限化为一些已知的简单函数的极限来计算.像（2）中的类型就是1→x 时，分子、分母的极限都是零注：使用极限的四则运算法则的前提是各部分极限都存在.2.4 利用迫敛性定理求极限定理5 设()()0lim lim ,x x x x f x g x A →→==且在某()0'0;U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤ 则有()0lim x x h x A →=.分析：应用迫敛性的定理进行计算.解：因为1cos 1≤≤-x ，所以当0x <时分析：要求出这道题，必须应用到前面所学的知识点，即关于函数[]y x =有所以应用这个可以进行计算.故由迫敛性得小结：利用函数极限的迫敛性与四则运算，我们可以从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限.2.5 利用两个重要极限求极限（1我们经常使用的是它们的变形：（1）的特点：（01）分子、分母的极限值为0；（02）分子是分母的正弦函数. （2）的特点：（01）幂指函数的底趋于1，指数趋于无穷时，其极限值是e ； （02）底是常数1与一个无穷小量之和，指数是底中无穷小量的倒数.例12 求下列函数极限1)0sin 2lim x x x →; 2)0tan lim x x→; 3)1lim sin x x →+∞; 4)()10lim 1(x x x αα→+为给定实数）. 解：1）0sin 2lim x x x →=02lim2122x x →=⨯= 2）0tan lim x x x →=0sin 1lim1cos x x x x→⋅= 3）令1y x =，于是当x →∞时，0y →,从而1lim sin x x x →+∞=0sin lim1y y y→=. 4） ()()11lim 1lim 1xx x x x x e ααααα→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦. 例13 求下列函数极限x a x x 1lim )1(0-→、 bxaxx cos ln cos ln lim )2(0→、. 分析：首先要看题目的类型，看看是否符合两个重要的极限及特点.)1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u au x a a u x u a x x+=-+==-于是则）令解：（a u au u a u a u xa u x uu u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 010000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当)]1(cos 1ln[)]1(cos 1ln[(lim)2(0-+-+=→bx ax x 、原式1cos 1cos 1cos )]1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim0--⋅--+--+=→ax bx bx bx ax ax x1cos 1cos lim 0--=→ax bx x=2022sin 2lim2sin 2x a xb x→-- 2222022sin 222lim sin 222x a x a b x x ba x xb x →⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭22b a=.2.6 利用无穷小量的性质求极限2.6.1利用无穷小量与有界变量之乘积仍为无穷小量求极限与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义.定义6 设f 在某()00U x 内有定义，若 ()0lim 0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量.若函数g 在某()00U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量. 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质：1.两个(相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 定理6 设函数()f x 、()g x 满足：()()0lim 0x x g x f x →=.2.6.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限定义7 设函数f 在某()00U x 内有定义.若对任给的0G >，存在0δ>，使得当()()()0000;x U x U x δ∈⊂时有则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞，记作 ()0lim x x f x →=∞.若（1.2）式换成“()f x G >”或“()f x G <-”，则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞或-∞，记作()0lim x x f x →=+∞ 或 ()0lim x x f x →=-∞.定义8 对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞，+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.定理7 （I ）若：∞=)(lim x f ，则 0)(1lim=x f . (II) 若: 0)(lim =x f 且 ()0f x ≠ 则 ∞=)(1lim x f . 例15 求下列极限(1) 51lim+∞→x x (1)11lim 1-→x x .解:(1)由∞=+∞→)5(lim x x ,故 051lim=+∞→x x . (2)由0)1(lim 1=-→x x ,故 11lim 1-→x x =∞.注：无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数；若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为()00U x 上的无界函数.但无界函数却不一定是无穷大量.2.6.3 利用等价无穷小替换求极限定理8 设函数()00,,f g h U x 在内有定义，且有()f x ()g x ()0x x →.(1）若()()()()0lim ,lim x x x x f x h x A g x h x A →→==则；注：设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：''~,~ββαα， ''lim βα 存在，则 βαlim 也存在，且有βαlim= ''lim βα.解：由于()arctan 0xx x →，()sin 440x x x →.故有定理8得例17 求极限2220sin cos 1limx x x x -→ .分析：本题切忌将2cos x和2sin x 用2x 等价替换.解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=0lim x →212)(2222=x x x 注：1、在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换.2、常用的等价无穷小量. 当0x →时，有xsin x ，tan x x ，211cos 2xx -，()ln 1x x +，arcsin x x ，1ln x a x a -，arctan xx ，e xx ，()11ax ax +-()0a ≠.2.7 用左右极限与极限关系求极限适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形.定理9 函数极限)(lim 0x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)(lim 0x f x x -→及右极限)(lim 0x f x x +→都存在且都等于A .即有⇔=→A x f x x )(lim 0)(lim 0x f x x -→=)(lim 0x f x x +→=A.例18 设)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤--1,10,0,212x x x x xx x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1x f x →.分析：此题一看就知道是分段函数，要分多步来计算，最后再综合起来. 解：()()0lim lim 12x x x f x e ---→→=-1=()00lim lim x x f x ++→→⎛⎫=)0lim 1x +→=1=由1)(lim )(lim 0-==+-→→x f x f x x1)(lim 0-=∴→x f x不存在由（又)(lim )01()01(1lim )(lim 0)1lim lim )(lim 1211111x f f f x x f x xx x x f x x xx x x →→→→→→∴+≠-===-=-=++---注：此方法一般适用于分段函数.2.8 利用函数的数学公式、定理求极限2.8.1利用罗比塔法则求极限（适用于不定式极限） 定理10 若A x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)()(lim )()(lim ()()(lim )(0)()()(0)(lim ,0)(lim )('''''0000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与 此定理是对0x x →时而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则，该定理对00型或∞∞型均成立.注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为∞∞,00时不可求导.2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误.4、当)()(lim ''x g x f a x → 不存在时，本方法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法.例19 求下列函数的极限①)1ln()21(lim 2210x x e x x ++-→ ②)0,0(ln lim>>+∞→x a x xax解：①令()f x = 21)21(x e x +-, ()g x = l )1n(2x + 21')21()(-+-=x e x f x , 2'12)(xxx g +=222"23")1()1(2)(,)21()(x x x g x e x f x+-=++=- 由于0)0()0(,0)0()0(''====g g f f 但2)0(,2)0(""==g f从而运用罗比塔法则两次后得到122)1()1(2)21(lim 12)21(lim )1ln()21(lim22223022102210==+-++=++-=++--→-→→x x x e x xx e x x e xx xx xx . ② 由∞=∞=+∞→+∞→a x x x x lim ,ln lim ，故此例属于∞∞型，由罗比塔法则有： )0,0(01lim 1lim ln lim 1>>===+∞→-+∞→+∞→x a ax ax x x x ax a x a x .2.8.2 利用泰勒公式求极限对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的泰勒展开式：1、)(!!212n nxx o n x x x e +++++= 2、)()!12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=--3、)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=n nn x o n x x x x 4、)()1(2)1ln(12n nn x o nx x x x +-++-=+- 5、)(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα6、)(x x 1 112n n x o x x+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例20 求)0(2lim>+-+→a xxa x a x解:利用泰勒公式，当0→x 有)(211x o xx ++=+ 于是 xxa x a x +-+→2lim=xax a x a x )121(lim 0+-+→=x x o a x x o a x a x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅--++→)(211)()2(211lim=ax x o x a x x o a x a x x 21)(21lim )(2lim00=+=+⋅→→2.8.3 利用拉格朗日中值定理求极限 定理11 若函数f 满足如下条件：(I) f 在闭区间[],a b 上连续 (II)f 在(),a b 内可导 则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=)()()('ξ此式变形可为:)10( ))(()()('<<-+=--θθa b a f ab a f b f .例21 求 xx e e xx x sin lim sin 0--→.分析：对于这个题目，好多同学看到题目之后，发现所求极限的函数是“0”型不定式，马上想到用罗比塔法则法，但是此题用拉格朗日中值定理更容易，更简单.解:令x e x f =)( 对它应用拉格朗日中值定理得)1(0 ))sin ((sin )sin ()(sin )('sin <<-+-=-=-θθx x x f x x x f x f e e x x 即1)(0 ))sin ((sin sin 'sin <<-+=--θθx x x f xx e e xx x e x f =)(' 连续1)0())sin ((sin lim ''==-+∴→f x x x f x θ，从而有 1sin limsin 0=--→x x e e xx x .2.9利用分子或分母有理化求极限若分子或分母的极限为0，不能运用四则运算中商的极限运算法则时，采用通过分子或分母有理化，消去分母中的趋于0的因子，再运用极限的运算法则.2.9.1.约去零因式（此法适用于型时0,0x x →）例22 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x x x x x x xx =)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 735-=+-x x .2.9.2通分法（适用于∞-∞型） 例23 求 )2144(lim 22x xx ---→. 解:原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x .例24求极限20x →.解：20x →=21x x→=)221limx x x →=)lim1x →=2.2.10 利用定积分求极限定义9 设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义，在闭区间[],a b 内任意插入1n -个分点将[],a b 分成n 个区间[],x i i x x -，记i x ∆1i i x x -=-()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，[]1,i i x x ξ-∀∈，作乘积()i f ξi x ∆ ，若这些乘积相加得到和式()1ni i f ξ=∑i x ∆ ，设max λ={}:1i x i n ∆≤≤，若0lim λ→()1nii f ξ=∑i x ∆极限存在唯一且该极限与区间[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即 ()baf x dx ⎰=0limλ→()1nii f ξ=∑i x ∆否则称()f x 在[],a b 上不可积.注：（1）由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号.（2）若()ba f x dx ⎰存在，区间[],ab 进行特殊分割，分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在思考题中经常出现，我们要好好理解.（3）定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.定积分的极限有两个特性：第一，定积分是无穷项和式的极限，容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零，否则和式极限不存在.第二，定积分与某一连续函数有紧密的关系，它的一般项受到这一连续函数的约束，它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割，各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累积.例25 利用定积分求极限：1111lim 1232n J n n n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⎪+++⎝⎭ 分析：此极限的求解，不容易直接用极限的定义解决，因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题，因此这里不合适，重要极限的结论显然也在这里没有用处，因为形式上根本不同；在考虑洛必达法则，它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限，也不可能用到此法；那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题，通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式，以简化形式从而求解，看来这里也不适用.再看用迫敛性：1111221221n nn n n n n =≤++⋅⋅⋅+≤+++，又lim11n nn →∞=+所以迫敛性失效.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否定的，事实上，它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的，那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这道题.解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分.为此作如下变形：111lim 11nn i J n i→∞==⋅+∑. 不难看出，其中的和式是函数()11f x x=+在区间[]0,1上的一个积分和（这里所取的是等分分割，11,,,1,2,i i i i i x i n n n n ξ-⎡⎤∆==∈=⎢⎥⎣⎦···，n ），所以()1100ln 1ln 21dxJ x x==+=+⎰ . 当然，也可把J 看作()11f x x=+在[]1,2上的定积分，同样有2312ln 21dx dx J x x ===⋅⋅⋅=-⎰⎰ .2.11 利用单调有界原理求极限定理12 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 M a n ≤.定理13（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 例26 设21=a ，n n a a 21=+，n =1,2,⋅⋅⋅,求lim n n a →∞.分析：用单调有界原理求极限首先要证明是有界的单调数列. 解：（1）先证{}n a 是有界数列.事实上，n +∀∈N 由12n a <<现用数学归纳法证明如下：当1k =时，1a =12<<成立. 设n k =时结论成立，即12k a <<，则当1n k =+时，11222k a +<=<= 故12,n a <<∀n +∈N（2）再证{}n a 严格单调递增.由于12n a <<，故11n n n a a +==>，因此{}n a 严格单调递增.由单调有界定理知lim n x a →∞存在.（3）设lim n n a →∞=a ，则对nn a a 21=+两边取极限得1lim nn n a +→∞= a =解之得2a = 或 0a =（不合题意，舍去），故lim n n a →∞=2.注：（唯一性定理）数列收敛，极限唯一.2.12 多种方法的综合运用上述介绍了求函数极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。

求极限方法总结求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积3）2个重要极限4）分式解法（上述）高数解题技巧。

高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。

关于极限的若干种计算方法本文将极限的几种计算方法介绍如下： 一 代入求值法：这种方法只适用于在0x 点连续的函数求极限.例1、计算3121lim 1x x x x →-+-解：321()11x x F x x x -+==+在处有定义且连续, 例2、计算：22ln lim sin x x x x →2222ln 2ln 24ln :lim sin sin 2sin 2x x x x →==解二 倒数法：这种方法是利用无穷小量与无穷大量的关系来处理的.例3、2232lim 531n n n n n →∞-++-解：因为分子分母的极限均不存在,故不能运用商的极限运算法那么,可先将分子分母分别除以2n ,然后取极限.于是例4、求2143lim54x x x x →--+ 解：因为分母极限为零,分子极限不为零,故先考虑1()f x 的极限. 因为 21540lim0431x x x x →-+==- 所以 2143lim54x x x x →-=∞-+〔无穷小量的倒数是无穷大量.〕 例5、计算111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+解：由于极限的运算法那么不适用于无限和的情形,故本题宜先求和,再求极限. 因为1111()(21)(21)22121k k k k =--+-+所以 111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+利用倒数法可得如下结论：三 化积约分法：有些函数()f x 在0x x =处无定义,这时不能用代入求值法求极限,但当0x x =时,()f x 的极限存在与否与()f x 在点0x 处是否有定义无关,所以常将()f x 先作适当变形,如分解因式约去极限为零的分母等,转化为在0x x =处有定义的新函数()g x ,再用代入求值法.例6、计算3113lim()11x x x →--++ 解：因为()f x 在1x =-处无定义,先将分式通分,化成最简分式后再求极限. 例7、233lim9x xx→--求 四 因式有理化法：这种方法实质上同化积约分法一样,如果()f x 的表达式是一个无理式,而求极限的四那么运算又不能适用,可先将分子或分母有理化,再求极限.例8、计算limx →- 解：()f x 在8x =-处无定义,故先将分子、分母同乘以它们有理化因式,再取极限.例9、计算x →∞解：当x →∞时,每项的极限均不存在,所以不能用差的极限运算法那么,为此先设法有理化.所以,x →∞五 公式法：运用两个重要极限：0sin 1lim1,lim(1)x x x x e x x →→∞=+=例10、计算30sin lim x tgx xx→- 例11、求lim()1xx x x→∞+例12、计算32lim(1)xx x →∞+六 变量代换法：这是在计算较复杂的函数极限时常用的技巧,通过适当的变量代换,可使复杂的极限问题转化为较简单的极限问题.例13、求2221lim()1x x x x →∞+-例14、求1lim(1)2x x x tg→π- 七 夹挤法：此法利用极限准那么Ⅰ即夹挤定理. 例15、计算01lim sinx x x→ 例16、21n n →∞+++计算八 单调有界法：用单调有界原理判断极限存在,再求其极限. 例17(0).a >的极限解：显然,此数列是单调上升的,下面证明数列有上界11.,1,1,k x x =<事实上设,1.n n x 由数学归纳法:对任何自然数恒有成立所以此数列有上界.例18、设0a >,数列{}n x 满足条件：1110,()()2n n nax x x n N x +>=+∈,计算lim n n x →∞.解：显然对任何n ,都有0n x >,故{}n x 有下界,由于11()2n n n a x x x +=+≥=所以2111()0{}22n n n n n n n na x a x x x x x x x +--=+-=⋅<所以是单调递减的,故{}n x 的极限存在.设11lim ,()2n n n n nax A x x x +→∞==+对等式两边取极限,得 注：例17与例18这一类数列,应在数列极限存在的前提下才能使用此种方法.九 用洛必塔法那么求极限：当极限为待定型时,可用洛必塔法那么求之.例19求201cos 0lim()0x x x →-型例20、求ln lim ()(0)x x x α→+∞∞α>∞型解：11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x αα-α→+∞→+∞→+∞===αα其它还有00,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞均为待定型.这五种类型都可转化为00∞∞型或型 例21求0lim ln (0)(0)nx x x n +→>⋅∞型解：10001lim ln lim ln lim lim 010n n n x x x nx x x x x x nx nx ++++--→→→-====-- 例22、求2lim(sec )()x x tgx π→-∞-∞解：2221sin cos lim(sec )limlim 0cos sin x x x x xx tgx x x πππ→→→---===-例23、求0lim ()xx ox o +→ 例24、求2lim ()(1)x x arctgx ∞→+∞π型解：2ln()2lim ()lim x arctgx xx x arctgx e π→+∞→+∞=π221212ln()21limlim11x x arctgx arctgx x xxee→+∞→+∞π⋅⋅π+π-==例25、求1ln 0lim()()xx ctgx +→∞型 本方法可解：〔1〕求20cos limxx t dt x→⎰〔2〕22220()limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰十 积分法：有些极限用定积分定义计算较为简便. 例26、求12(1)lim(sin sin sin)n n nn nn→∞ππ-π++ 例27、求limn n→∞例28、求111lim()122n n n n→∞+++++例29、求2222111lim ()122nn n n n →∞+++++例30、求1(2nn n →∞+解：原式=11lim1n nn →∞+++十一 利用等价无穷小求极限：例31、利用等价无穷小数极限求4303lim 1(sin )2x x x x →+解：3311(sin )()22x x 4343033limlim 81(sin )()22x x x x x x x x →∞→++∴== 例如当0,sin tan ln(1)arcsin arctan x x xxx xx →+时十二 利用级数收敛的必要条件求极限： 由正项级数的达朗贝尔判别法,级数!1(2)!n n n a ∞=∑收敛,再由级数收敛的必要条件知 十三 利用泰勒公式求极限。

求函数极限的方法1.1 函数极限的定义定义 1 设f 为定义在[],a +∞上的函数，A 为定数．若对任给的0ε>，存在正整数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限．记作：()lim x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞．定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()00;'U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限．记作：()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→．定义3 设函数f 在()00;'U x δ+（或()00;'U x δ-）内有定义，A 为定数．若对任给0ε>的，存在正数()'δδ<，使得当时00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限．记作：()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭或()()()()()00f x A x x f x A x x +-→→→→． 函数极限的性质性质1（唯一性） 若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的．性质2（局部有界性） 若()0lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界．性质3（局部保号性） 若()0lim 0x x f x A →=>（或0<），则对任何正数r A <（或r A <-），存在()00U x ，使得对一切()o o x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）．性质4（保不等式性） 设()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，且在某邻域()00;'U x δ内有()()fx g x <，则()()0limlim x xx x fx g x →→≤．性质5（迫敛性）设()()0lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()00;'U x δ内有()()()fx h x g x ≤≤，则()0lim x xh x A →=．性质6（四则运算法则） 若极限()0lim x x f x →与()0lim x x g x →都存在，则函数f g ±，f g ⋅，当0x x →时极限也存在，且1. ()()()()0lim lim lim x x x x x xf xg x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦； 2. ()()()()0lim lim lim x x x x x xf xg x f x g x →→→⋅=⋅⎡⎤⎣⎦； 又若()0lim 0x x g x →≠，则fg当0x x →时极限存在，且有3. ()()()()lim limlim x x x x x x fx fx g x g x →→→=．２.求函数极限的若干方法2.1 利用定义求极限 例１ 证明()()211lim212x x x x →-=--．分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211122x x x x x-+=---，于是有()()23111332212222x x x x x x xxx--+--=-==-----，取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()21212x x x ----61x <-，取26εδ=即可．证明 对于0ε∀>，取1m in ,26εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，于是当01x δ<-<时，有()()2126112x x x x ε--<-<--，由定义知()()211lim212x x x x →-=--成立．注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关． 2.2 利用函数的连续性求极限 例2 求()4lim tan x x x ππ→-． 解 ()43l i m t a nt a n 444x x x ππππππ→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数()()tan f x x x π=-在4x π=处连续，所以可把4x π=直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．2.3 利用两个重要极限求极限 首先给出两个重要极限的一般形式（1）0sin lim1x x x→=；（2）1lim 1xx ex →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例3 求极限sin sin limx ax ax a→--．解 c o s s i ns i ns i n s i n 222c o s 222x a x a x ax a x a x a x a x a +----+==⋅---， 于是有sin sin sin 2limlim cos22x ax ax a x ax a x a x a→→--+=⋅--s i n2l i m c o s l i m 22x axa x a x a x a→→-+=⋅- c o s a =．先利用和差化积对函数进行转化，要使用0sin lim1x x x→=，必须使函数中出现此类型的式子，如当x a →时02x a -→，此时sin2lim12x ax ax a →-=-，再进行求解．例 4 求极限()1lim 1x x x α→+（α为给定实数）．解 ()()11lim 1lim 1xx x x x x e ααααα→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦．在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用．如()101lim 1lim 1xy x y y e x →∞→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，此题就是利用这种变形求解的．在以后的求函数极限的问题中可灵活运用．2.4 利用四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定．常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换．例 5 求极限21lim1nx x x x nx →++⋯⋯+--，n 为正整数．解 21l i m1nx x x x nx →++⋯⋯+--21111l i m 111nx x x x x x x →⎡⎤---=++⋯⋯+⎢⎥---⎣⎦()()()2121l i m 1111n n x x x x xxx --→⎡⎤=++++++⋯⋯+++⋯⋯++⎣⎦()()()2121111lim 1lim 1lim 1lim 1n n x x x x x x x xxx --→→→→=++++++⋯⋯+++⋯⋯+123n =+++⋯⋯+()12n n +=．本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解．2.5 利用迫敛性求极限例 6 求极限lim n n→+∞．解 由放缩法得22123231nn nnn+++⋯⋯+++⋯⋯++<<，化简得1322n n nnn++<<，因为131limlim222n n n n nn→+∞→+∞++==，由迫敛性定理得1lim2n n→+∞=．在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等．本题就是用放缩法使得22123231nn nnn+++⋯⋯+++⋯⋯++<<，且131limlim222n n n n nn→+∞→+∞++==，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限．2.6 利用归结原则求极限归结原则 设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'Ux δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等． 例 7 求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 分析 利用复合函数求极限，令()21211xx x u x x ++⎛⎫=+⎪⎝⎭，()1x v x x +=求解． 解 令()21211xx x u x x ++⎛⎫=+⎪⎝⎭，()1x v x x +=则有 ()lim n u x e →+∞=；()lim 1n v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1nxn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()l i m n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在．2.7 利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限3tan sin limsin x x x x→-．解 由于()sin tan sin 1cos cos x x x x x-=-，而()sin ~0x x x →，()21cos ~02xx x -→，()33sin ~0xxx →故有2330tan sin 112limlimsin cos 2x x xx x x xxx →→⋅-=⋅=．注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()tan ~0x x x →，()sin ~0x x x →，而推出33tan sin limlimsin sin x x x x x x xx→→--==，则得到的式错误的结果．附 常见等价无穷小量()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()21cos ~02xx x -→，()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0xe x x -→，()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x αα+-⋅→．2.8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心领域()00U x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零． 例 9 求极限21cos limtan x x xπ→+．解 由于()2lim 1cos lim tan 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan'2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得21cos limtan x xx π→+2s i n l i m2t a n s e cx xxx π→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭12=．例 10 求极限3limx x e x→+∞．解 由于3lim lim x x x e x →+∞→+∞==+∞，并有()'xxe e=，()32'30x x =≠，由洛比达法则可得32limlim3x x x x e exx→+∞→+∞=，由于函数()x f x e =，()23g x x =均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则32limlimlimlim366x x xxx x x x e eeexxx→+∞→+∞→+∞→+∞====+∞．注 1 如果()()'lim'x x f x g x →仍是0型不定式极限或∞∞型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限()()'lim 'x x f x g x →是否存在，这时()'f x 和()'g x 在0x 的某领域内必须满足洛比达法则的条件．注 2 若()()'lim'x x f x g x →不存在，并不能说明()()limx x fx g x →不存在． 注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件． 下面这个简单的极限sin lim1x x xx→∞+=虽然是∞∞型，但若不顾条件随便使用洛比达法则sin 1cos limlim1x x x xxx→∞→∞++=，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论． 2.9 利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式()()()()()()()2"000'02!!n nnf ff x f f x x x xn ο=+++⋯⋯++．例 11 求极限224cos limxx x ex-→-．解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：()245cos 1224xxx xο=-++，()22452128xxxexο-=-++，()2452c o s 12xxx ex ο--=-+．因而求得()245244cos 112limlim12xx x xx x exxο-→→-+-==-．利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()00'limx x fx f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例 12求极限0limx →()0,0p q >>．分析 此题是0x →时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解 令()f x =()g x =则limx → ()()()()000l i m00x fx f x gx g x →--=-- ()()'0'0f g =p q=2.11 利用定积分求极限有定积分的定义知，若()f x 在[],a b 上可积，则可对[],a b 用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[],a b 上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求和式极限的一种方法． 例 13求极限()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦． 解 对所求极限作如下变形：()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦2221111lim 12111n n n n n n →∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⋯⋯+⋅⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2111lim1nn i ni n →∞==⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．不难看出，其中的和式是函数()()211f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和，所以有()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()1211dx x =+⎰()()12111d x x =++⎰1011x=-|+ 12=。