为两圆相减的几何意文正身

2.2.3 圆与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．(重点) 2.当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．(易错点) 3.了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．(难点)

通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

圆与圆的位置关系 1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

图示 d与r1， r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<

dd＝|r1－r2| d<|r1－r2|

2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程

Δ>0⇒相交，Δ＝0⇒内切或外切，Δ<0⇒外离或内含Ｗ.

1.思考辨析 (1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交． ( ) (2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离． ( ) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． ( ) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的公共弦所在的直线方程为______________．

x＋y＋2＝0 [联立x2＋y2＋6x＋4y＝0， ①x2＋y2＋4x＋2y－4＝0， ② ①－②得：x＋y＋2＝0.] 3．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．

(－1，0)和(0，－1) [由x2＋y2＝1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，

解得x＝0，y＝－1或x＝－1，y＝0.] 4．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有________条． 3 [圆C1的圆心坐标为C1(－2，2)，半径r1＝1. ∵圆C2的圆心坐标为C2(2，5)，半径r2＝4. ∴|C1C2|＝（－2－2）2＋（2－5）2＝5，r1＋r2＝5， ∴两圆外切． 故公切线有3条．]

两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。

设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直线方程为0)()()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 。

现在我想探讨的问题是：所得直线l 在两圆的5种位置关系下的几何意义以及l 已知两圆1C 、2C 的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下：一、预备知识：圆幂定理:1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

3.割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ，则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳为圆幂定理：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2，L1与圆交于A 、B （可重合，即切线），L2与圆交于C 、D （可重合），则有PA·PB=PC·PD。

4．圆幂定理推论：设圆半径为r ，圆心为O ， 若P 在圆外，则()()()22222PA PB PC PD PO r PO r PO r PO r ==+-=-=-= 切线长；若P 在圆内，()()2222PA PB PC PD r PO r PO r PO PO r ==--=-=- 。

（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。

这个值称为点P 到圆O 的幂。

（若P 在圆外，这个值就是切线长的平方） 2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++总是得到一条直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+- 因-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++⇔222222222111()()()()0x a y b r x a y b r ⎡⎤⎡⎤-+----+--=⇔⎣⎦⎣⎦()()()()22222222221122110PO r PO r PO r PO r ⎡⎤⎡⎤---=⇔-=-⎣⎦⎣⎦由此可知：直线l 是到两圆幂相等的点的集合。