函数的单调性与导数22

二次函数 f ( x) ax 2
2 y 3 x 3 x 的单调区间。 （1）求函数
解法一： 利用二次函数图象特征，对称轴求单调区间。 解法二： y ' 6 x 3 1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 1 2 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( , ) 2 1 单调递减区间为 ( , ) 2
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
1 y x
y
y x 2x 1
2
y 3
y
x
y
o
x
o
1
x
1 o
x
在（－ ∞ ，0），（0, ＋∞） 在（－ ∞ ，1）上是减 上是减函数。但在定义域 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。 上不是减函数。
在(－ ∞,＋∞)上 是增函数
判断函数单调性有哪些方法？ 定义法 图象法
(1) 1 (ln x ) . x
（4）.对数函数的导数:
(2)
1 (log a x) . x ln a
（5）.指数函数的导数:
(1) ( 2) (e x ) e x . (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
一、复习回顾
函数 y = f (x) 在给定区间 I上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
y
o y
1
2
x
y f '( x )
１ 2 x
(A)
y f ( x)
2 x o
(B) y y f ( x)

2°用“导数法” 求单调区间的步骤
注：单调区间不可以并起来。
一．应用导数求函数的单调区间
1．确定下列函数的单调区间：
1( fx ) 2 x 3 x 1 21 x )
3 2
(2) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
x 3) f (x) sinx 2
尝试高考
函 数 y x c o s x s i n x 在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 ( B) p 3 p 3 p 5 p A .( , ) B . (, pp 2 )C .( , ) D .( 2 pp , 3 ) 22 22
b x 6 . 讨 论 函 数 f() x2 (1 x1 ， b 0 ) 的 单 x 1 调 性 ；
(B)–1<a<1 (D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (B)(C)部份单调增，部分单调减 (C)(D) 单调性不能确定
3 2 4 .函 数 f(x )x a x b xc ,其 中 abc ,,为 常 数 ，
当 a 3 b0 时 ， f(x ) 在上 R ( A)
2
(A ) 增 函 数 (B ) 减 函 数 (C ) 常 数 (D ) 既 不 是 增 函 数 也 不 是 减 函 数
1 3 2 5 . 求 fx a x x 1 a 0 的 ) ) 3 单 调 区 间 和 单 调 性 ；
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解： f ( x ) 的大致形状如右图：
变化,切线平行x轴
y f ( x)

解得： 2 x 3
所以函数f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16的 单调递增区间是（-,-2）和(3,+) 递减区间是（-2,3）
注意： 如果一个函数单调性相同的单调区间不止一个， 这些区间不能取并集，只能用“和”或“逗号”
求函数单调区间的步骤：
(1)分析函数y f ( x)的定义域
'
令y' 0,即3(1 x)(1 x) 0
解得：x 1或x 1
运用新知
例3 判断函数f ( x) e x 1在（0，）的单调性 +
x
解： f ' ( x) e x 1 e0 1 0
函数f ( x) ex x 1在（0，）上单调递增 +
法2： y ' 4 x 5
'
5 令y 0, 即4 x 5 0, 解得x 4
5 函数y 2 x 2 5 x 4的单调增区间是（ ，）， 函数的单调增区间是（-1，1）， + 4 减区间是（-,-1）和(1,+) 5 减区间是（-, ） 4
5 令y 0, 即4 x 5 0, 解得x 4
y
y = 2∙x + 5
y=x
(2) y f ( x) 2x 5, (3) y f ( x) 3x 4, f ' ( x) 3
f ' ( x) 2
0 O
0
x
y = 3∙x + 4
函数（1）（2）的导数都是正的，函数（1）（2） 在其定义域上是单调递增的 函数（3）的导数是负的，函数在其定义域 上是单调递减的
（1）法1： 解：
5 4

【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单 调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间 上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式 有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上 单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单 调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增， 在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式 解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增， 在－ 33a， 33a上单调递减.