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数值分析样卷

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1
课程编号：
北京理工大学 学年第二学期
级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷

班级 学号 姓名 成绩
注意：① 答题方式为闭卷。
② 可以使用计算器。

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

一、 填空题（每空2分，共30分）
1. 设函数f(x)区间[a，b]内有二阶连续导数，且f(a)f(b)<0, 当 时，用双点
弦截法产生的解序列收敛到方程f(x)=0的根。
2. n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n个求积节点的高斯
求积公式的代数精度为 。
3. 已知a=3.201，b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则ab有 位有
效数字，a+b有 位有效数字。
4. 当x=1，-1，2时，对应的函数值分别为f(-1)=0，f(0)=2，f(4)=10，则f(x)的拉格朗
日插值多项式是 。

5. 设有矩阵4032A，则‖A‖1＝_______。

6. 要使...472135.420的近似值的相对误差小于0.2%，至少要取 位有效数字。
7. 对任意初始向量0()X和常数项N，有迭代公式1()()kkxMxN产生的向量序列

()k
X
收敛的充分必要条件是 。

8. 已知n=3时的牛顿-科特斯系数,83,81)3(1)3(0CC则)4(2C ，
)3(3C
。
9. 三次样条函数是在各个子区间上的 次多项式。

10. 用松弛法 (9.0)解方程组3103220241225322321321xxxxxxxxx的迭代公式是

。
2

11. 用牛顿下山法求解方程033xx根的迭代公式是 ，
下山条件是 。
二、选择填空（每题2分，共10分）
1. 已知数x1=721 x2=0.721 x3=0.700 x4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效
数字的位数应分别为( )。
A. 3，3，3，1 B. 3，3，3，3
C. 3，3，1，1 D. 3，3，3，2
2. 为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建
立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )。

A. 111nnxx B. 2111nnxx

C. 3211nnxx D. 11221nnnnxxxx
3. 线性方程组 AX=B 能用高斯消元法求解的充分必要条件是（ ）。
A. A 为对称矩阵 B. A为实矩阵
C. ∣A∣≠0 D. A的各阶顺序主子式不为零
4. 用选主元的方法解线性方程组AX＝B，是为了（ ）。
A. 提高计算速度 B. 减少舍入误差
C. 减少相对误差 D. 方便计算
5. 下列说法不正确的是（ ）。
A. 二分法不能用于求函数f(x)=0的复根。
B. 方程求根的迭代解法的迭代函数为(x)，则迭代收敛的充分条件是(x)<1。
C. 用高斯消元法求解线性方程组AX＝B时，在没有舍入误差的情况下得到的都是
精确解。
D. 如果插值节点相同，在满足插值条件下用不同方法建立的插值公式是等价的。

三、计算题（共60分）
1.
已知单调连续函数y=f(x)的如下数据，若用插值法计算，x约为多少时f(x)=0.5，要
求计算结果保留小数点后4位。（6分）
xi -1 0 2 3
f(xi) -4 -1 0 3
3

2.
设a为常数，建立计算a的牛顿迭代公式，并求115的近似值，要求计算结果保
留小数点后5位。（6分）

3. 用三点高斯求积公式求115.1dxxI，计算结果保留小数点后6位（6分）

4. 用高斯消元法解下面的线性方程组。（6分）


120221321321321xxx
xxx
xxx

5. 用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数。（6分）


1052151023210321321321xxx
xxx
xxx

6.
设函数f(x) 在区间[0,3]上具有四阶连续导数，试用埃尔米特插值法求一个次数不高
于3的多项式P3(x)，使其满足如下数据表值，并给出截断误差估计公式。（10分）
x y y’
0 0
1 1 3
2 1

7. 用 Euler法和改进的欧拉法求解下述初值问题，取h＝0.1，计算到x=0.5，要求计算
结果保留小数点后6位。（10分）



1)0(10,2'y
xyxyy

8.
用复化梯形公式计算积分1011dxxI，若要使截断误差不超过10-2，则应在区
间[0，1]上分成多少等份？并计算积分的近似值。（10分）

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数值分析试卷

数值分析试卷

数值分析期末考试试卷一、填空题：(15分)1、为了使计算球体体积时的相对误差不超过1%，测量半径R 的允许相对误差 为2、设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.01.05.06.0，则A 是行范数 ，列范数 ，2范数 ， F 范数3、要使积分值dx x ⎰-202)-(sinx πβα最小，则a= ， β= 4、若矩阵A 是正交阵，则有cond （A ）=5、对于矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111a a a a a a ，若A 为正定矩阵则ａ的范围是 ，若A 只对J 法收敛，则ａ的范围是二、选择题：（15分）1、设x>0，x 的相对误差为δ，则lnx 的相对误差为（）A.ln δB.δ1 C.δ D.2δ 2、以下哪个公式不需要做变换就可以避免有效数字的损失（）A.212-x e B.sinx-siny C.arctanx-arctany D.都要做变换 3、计算过程中取有限位数字进行运算而引起的误差称为（）A.模型误差B.截断误差C.舍入误差D.观测误差4、Legendre 多项式前五项根的范围是（）A.（-1，1）B.（0，+∞）C.（-∞,0）D.（-∞，+∞）5、三、判断题：（15分）1、复化梯形求积公式和复化Simpson 求积公式都是二阶收敛的 （）2、三点Gauss-Legendre 求积公式具有5次代数精度 （）3、如果矩阵A 的按绝对值最大特征值和最小特征值之比很小，则A 是病态的（）4、方程组Ax=b 的SOR 法收敛有20<<ω，则20<<ω时，方程组Ax=b 的SOR 法收敛 （）5、映内性既可保证不动点的存在，也可保证其唯一性 （）6、e=2.71828......，x=e ，则A x =2.7有两位有效数字 （）7、若A n n R ⨯∈矩阵，当Ｂ＝ＰA ＰT 且P 为正交阵，则有F F A B = （）8、若矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程Ax=b 的J 法和GS 法都收敛 （）9、设P n n R ⨯∈且非奇异，X 为R n 上的一种向量范数，则p X 也是R n 上的一种向量范数。

数值分析试题及答案..(优选)

数值分析试题及答案..(优选)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---()12x L x -=-所以分段线性插值函数为()10.50.80.3x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

中南林学院数值分析课程考试试卷

中南林学院数值分析课程考试试卷

中南林业科技大学课程考试试卷课程名称： 数 值 分 析 ；试卷编号： B 卷；考试时间：120分钟试卷得分表一、填空题（每小题4分，共40分）1、设∑⎰=≈nk k k x f A dx x f 02)()( )1(≥n 是Newton-Cotes 求积公式，则其代数精度至少为_______，∑=nk k k x A 0=_____________；2、欧拉法的局部截断误差的阶为____；改进欧拉法的局部截断误差的阶为_____；3、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251A ，则∞A =_______________________。

4、用不动点迭代法求非线性方程042=-+x x 在[1,2]内的实根，请构造出一个收敛的迭代公式____________________；5、对矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221231112A 进行Doolittle 分解，得到的单位下三角矩阵L=_________，上三角矩阵U=___________。

6、设1)(3-+=x x x f ，则差商]3,2,1,0[f =__________________;7、为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时，应将)1ln(2--x x 改写为______;学院 专业班级 年 姓名 学装订线(答题不得超过此线)8、用GS 法解方程组⎩⎨⎧-=+=+3242121x ax ax x ，其中a 为实数，方法收敛的充要条件是a 满足_________；9、设x=，取其近似值x*=，则x*有_______位有效数字？其相对误差限是___________；10、解⎩⎨⎧=-=1)0(2'u ut u ,]1,0[∈t 的Euler 法公式为________________，梯形法公式为_________________（步长为h=）；二、（15分）已知100,121,144的平方根分别为10,11,12，试用二次拉格朗日插值多项式求115的近似值，并写出其拉格朗日插值多项式。

数值分析试卷

数值分析试卷

昆明理工大学研究生考试试卷 考试科目：数值分析 专业 学号 姓名注：所有答题，包括填空题答案一律答在答题纸上，否则不予记分。

一、填空(每空3分,共36分)1．3232,01()21,12x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++-≤≤⎩是以0，1，2为节点的三次样条函数， 则b= ，c= 。

2．设3()421f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f = ，[0,1,2,3,4]f = 。

3．函数32()3245f x x x x =+-+在[-1，1]上的最佳2次逼近多项式是，最佳2次平方逼近多项式是。

4．1221a A +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当a 满足条件 时，A 可作 LU 分解；当a 满足 条件 时，A 可作 T A L L =∙分解；5．11112222111122220000A ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎥=⎥⎥⎢⎣，则A ∞= ，2()cond A = 。

6．求方程cos x x =根的newton 迭代格式是 。

7．用显式Euler 法求解'80,(0)1y y y =-=，要使数值计算是稳定的，应使 步长0<h< 。

二、计算函数3()sin()f x n x =在*0.0001x =附近的函数值。

当n=100时，试计算在相对误差意义下*()f x 的条件数，并估计满足*(())0.1%r f x ε=时自变量的相对误差限和绝对误差限。

（12分）三、有复化梯形，复化simpson 公式求积分10x e dx ⎰的近似值时，需要有多少个节点，才能保证近似值具有6位有效数字。

（12分）四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法11211()(3)()2n n n n n n y y y y h f f αα+--++--=++中的α值，使方法是四阶的。

（12分）五、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据（小数点后保留5位）并计算其最小二乘误差。