数学-无锡市2012-2013学年第二学期高三期初质量检测

2023-2024学年春学期期初学情调研试卷参考答案1．B [试题解析]{|22}M x x =−<<，{0,1,2,3}N =，M N = {01} ，故选：B 2．D [试题解析]因为aa ⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb �⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故A 错误； 因为bb �⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb�⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故B 错误； 因为aa ⃑+2bb �⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb �⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故C 错误； 因为aa ⃑+2cc ⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb�⃑，为不共面向量，所以能构成基底，故D 正确；故选：D 3．D [试题解析]∵ll 1⊥ll 2，∴aa (aa −1)+(1−aa )×(2aa +3)=0，即(aa −1)(aa +3)=0，解得aa =1或aa =−3. 故选：D ．4．B [试题解析]奇数项共有(nn +1)项，其和为aa 1+aa 2nn+12⋅(nn +1)=2aa nn+12⋅(nn +1)=290，∴(nn +1)aa nn+1=290．偶数项共有n 项，其和为aa 2+aa 2nn2⋅nn =2aa nn+12⋅nn =nnaa nn+1=261，∴aa nn+1=290−261=29．故选：B ．5．C [试题解析]依题意可得圆锥的体积VV =1×�2√3ππ3�2=4ππ3ccmm 3，又VV =13ππ×12×ℎ(ccmm 3)（其中h 为圆锥的高），则ℎ=4cm ，则圆锥的母线长为√12+42=√17cm ，故圆锥的侧面积为√17ππccmm 3．故选：A ． 6．B [试题解析]因为A 在B 的前面出场，且A ，B 都不在3号位置，则情况如下：①A 在1号位置，B有2,4,5号三种选择，有3A 33＝18种出场次序；②A 在2号位置，B 有4,5号两种选择，有2A 33＝12种出场次序；③A 在4号位置，B 有5A 33＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝36种．故选B.7．A [试题解析]解：由题意，作图如下：设圆II 与xx 轴、PPFF 2、PPFF 1分别切于点EE 、HH 、FF ， 因为双曲线CC 的右顶点为AA (3,0)，FF 1(−5,0)，FF 2(5,0)， 所以|AAFF 1|−|AAFF 2|=(3+5)−(5−3)=6，因为|PPFF 1|−|PPFF 2|=6，所以|PPFF 1|−|PPFF 2|=(|PPFF |+|FFFF 1|)−(|PPHH |+|HHFF 2|)=|FFFF 1|−|HHFF 2|=|FF 1EE |−|EEFF 2|=6，因此切点EE 与AA 重合．又因为内切圆II 的半径为1，所以II (3,1)，又FF 1(−5,0)，FF 2(5,0)，|IIFF 1|=√ 65,|IIFF 2|=√ 5,cos ∠FF 1IIFF 2=65+5−1002√ 65×√ 5=−3√ 13, 所以tan ∠FF 1IIFF 2=−23,解得tan∠FF 1PPFF 22=32,所以SS △FF 1PPFF 2=bb2tan∠FF 1PPFF 22=323，所以△PPFF 1FF 2面积为323．8．C [试题解析]解：在同一坐标系中作yy =ff (xx )，yy =12的图象，若由图象观察可知，0<xx 1<1<xx 2<2<xx 3<3<xx 4<4， 当ff (ff (xx ))=12时，由ff (xx )=xx 1，0<xx 1<1存在4个不同根， ff (xx )=xx 2，1<xx 2<2存在2个不根，ff (xx )=xx 3，2<xx 3<3存在2个不根， ff (xx )=xx 4，3<xx 4<4，存在2个不根，综上ff (ff (xx ))=12的实根个数为10．9．ACD [试题解析]A ：由aasinAA =bbsinBB=cc sinCC，根据等比的性质有bb sinBB =aa+bb+ccsinAA+sinBB+sinCC ，正确； B ：当AA =ππ3,BB =ππ6时，有sin2AA =sin2BB ，错误；C ：sin BB cos CC +sin CC cos BB =sin(BB +CC )，而BB +CC =ππ−AA ，即sin BB cos CC +sin CC cos BB =sin AA ，由正弦定理易得aa =bb cos CC +cc cos BB ，正确；D ：如图，AAEE�����⃗=AABB�����⃗|AABB�����⃗|,AAFF �����⃗=AACC �����⃗|AACC �����⃗|是单位向量，则AABB�����⃗|AABB�����⃗|+AACC�����⃗|AACC�����⃗| =AAEE �����⃗+AAFF �����⃗=AAAA �����⃗，即AAAA �����⃗⋅BBCC �����⃗=0、AAEE �����⃗⋅AAFF �����⃗=12，则AAAA �����⃗⊥BBCC �����⃗且AAAA 平分∠BBAACC ，AAEE �����⃗,AAFF �����⃗的夹角为ππ3， 易知△AABBCC 为等边三角形，正确.故选：ACD 10．ABC [试题解析]令0xy ==，可得(0)2(0)()f f f a =，因为1(0)2f =，所以1().2f a A =正确.令0y =，可得()()()(0)()f x f x f a f f a x =+−，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a x f x −=同理，令0x =，可得()(0)()()()f y f f a y f y f a =−+，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a y f y −=即原等式变形为()2()()f x y f x f y +=，C 正确. 令y x =可得2(2)2[()]0f x f x = ，即函数取值非负.令y a x =−可得2()2[()]f a f x =，即21[()]4f x =，解得1()2f x =，B 正确.因此仅有一个函数关系式1()2f x =满足条件，故D 错误.故选ABC 11．CD [试题解析【详解】A ：由题意知，1111//A D B C ，11B C ⊂平面11B C CB ，11A D ⊄平面11B C CB 所以11//A D 平面11B C CB ，又EF ⊂平面11B C CB ，所以11A D 与EF 不相交，故A 错误；B ：连接111AD D F AF AE CB 、、、、，如图，当点E 为BC 的中点时，1//EF CB ，又11AD CB ⊥，所以1EF AD ⊥， 若点E 在平面1AD F 的射影为F ，则EF ⊥平面1AD F ，垂足为F ，所以EF AF ⊥，设正方体的棱长为2，则AE AF EF ===在AEF 中，222AF EF AE +≠，所以90AFE °∠≠，即EF AF ⊥不成立，故B 错误；C ：建立如图空间直角坐标系D xyz −，连接1BC ，则11//AD BC ， 所以异面直线EF 与1AD 所成角为直线EF 与1BC 所成角，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30°，则1(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)B F C ，，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =−=−，，所以122EF BC a ⋅=− ，又11cos30EF BC EF BC °⋅= ，得22a −=，解得4a =± 符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30°，故C 错误； D ：如图，由等体积法可知E ADF F ADE V V −−=，又111332F ADE ADE V S BF AD AB BF −=⋅=×××× ，AD AB BF 、、为定值，所以F ADE V −为定值，所以三棱锥E ADF −的体积为定值，故D 正确.故选：C D .12．−4√29[试题解析]因为sin �αα−π6�=13，αα∈(0,π)，αα−π6∈�−π6,5π6�,又因为sin �αα−π6�=13<sin 5π6=12，所以αα−π6∈�0,π2�, 所以cos �αα−π6�=�1−sin 2�αα−π6�=2√23, 所以sin �2�αα−π6��=2sin �αα−π6�cos �αα−π6�=4√29, π�π�π�π�π�π��4√2. 故答案为：−4√2.解：由题意得，圆CC :(xx +3)2+(yy +2)2=13，圆心CC (−3,−2) 设点PP (xx 0,yy 0)，则|xx 0−4|+|yy 0−6|=2，故点PP 的轨迹为如下所示的正方形，其中AA (4,8)，BB (6,6)， 则|AACC |=√ 149，|BBCC |=√ 145， 则|PPPP |≤|AACC |+rr =√ 149+√ 13，�����⃗、CCBB�����⃗、CCCC1�������⃗的方向为xx轴、yy轴、zz轴的正方向建立空间直17．（15分）解：依题意，以CC为原点，分别以CCAA角坐标系（如图），可得CC(0,0,0)、AA(2,0,0)、BB(0,2,0)、CC1(0,0,3)、AA1(2,0,3)、BB1(0,2,3)、DD(2,0,1)、EE(0,0,2)、MM(1,1,3).（Ⅰ）依题意，CC1MM��������⃗=(1,1,0)，BB1DD�������⃗=(2,−2,−2)，从而CC 1MM ��������⃗⋅BB 1DD �������⃗=2−2+0=0，所以CC 1MM ⊥BB 1DD ； （Ⅱ）依题意，CCAA�����⃗=(2,0,0)是平面BBBB 1EE 的一个法向量， EEBB 1�������⃗=(0,2,1)，EEDD �����⃗=(2,0,−1)． 设nn�⃗=(xx ,yy ,zz )为平面DDBB 1EE 的法向量， 则{nn �⃗⋅EEBB 1�������⃗=0nn�⃗⋅EEDD �����⃗=0，即{2yy +zz =02xx −zz =0， 不妨设xx =1，可得nn�⃗=(1,−1,2)． cos <CCAA �����⃗,nn �⃗>=CCAA �����⃗⋅nn�⃗|CCAA �����⃗|⋅|nn �⃗|=22×√6=√66， ∴sin <CCAA �����⃗,nn �⃗>=�1−cos 2<CCAA �����⃗,nn �⃗>=√306．所以，二面角BB −BB 1EE −DD 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AABB�����⃗=(−2,2,0)． 由（Ⅱ）知nn �⃗=(1,−1,2)为平面DDBB 1EE 的一个法向量，于是cos <AABB �����⃗,nn �⃗>=AABB �����⃗⋅nn �⃗|AABB�����⃗|⋅|nn �⃗|=−42√2×√6=−√33． 所以，直线AABB 与平面DDBB 1EE 所成角的正弦值为√33.18．（17分）解：(1)由题意得ee 1=� aa 2−1aa，ee 2=� aa 2+1aa，所以ee 1ee 2=� aa 4−1aa 2=√ 154，又aa >0，解得aa 2=4，(ii )故双曲线CC 2的渐近线方程为yy =±12xx ；(ii ii )设直线AABB 的方程为xx =ttyy +4，则�xx =ttyy +4,xx 24−yy 2=1,消元得：(tt 2−4)yy 2+8ttyy +12=0，ΔΔ>0且tt ≠±2， 所以�yy 1+yy 2=−8tttt 2−4,yy 1yy 2=12tt 2−4,故11yy 1+yy 22tt，又直线AAAA 1的方程为yy =yy1xx 1+2(xx +2)，所以yy 3=3yy 1xx 1+2，同理yy 4=3yy2xx 2+2，所以1yy 3+1yy 4=13(xx 1+2yy 1+xx 2+2yy 2)=13(tt yy 1+6yy 1+tt yy 2+6yy 2) =2tt yy 1yy 2+6(yy 1+yy 2)3yy 1yy 2=23tt +2(yy 1+yy 2)yy 1yy 2=23tt +2(1yy 1+1yy 2)=23tt −43tt =−23tt ，故1yy 1+1yy 2=1yy 3+1yy 4． (2)设两个切点为PP 1(xx 5,yy 5)，PP 2(xx 6,yy 6)，由题意知PPPP 1，PPPP 2斜率存在，直线PPPP 1方程为ll 1:yy =kk 1(xx −xx 5)+yy 5，联立�xx 2aa2+yy 2=1,yy =kk 1(xx −xx 5)+yy 5,由ΔΔ=0得kk 1=−xx 5aa 2yy 5，所以ll 1:xx 5xxaa 2+yy 5yy =1，同理直线PPPP 2方程为ll 2:xx 6xxaa 2+yy 6yy =1，由ll 1，ll 2过PP 点可得�xx 5xx 0aa2+yy 5yy 0=1,xx 6xx 0aa 2+yy 6yy 0=1可得直线PP 1PP 2的方程为xx 0xxaa 2+yy 0yy =1，不妨设，直线PP 1PP 2与双曲线两渐近线yy =±1aa xx 交于两点PP 1′(aa 2xx 0+aayy 0,aaxx 0+aayy 0)， PP 2′(aa 2xx 0−aayy 0,−aaxx 0−aayy 0)，则围成三角形的面积SS =12|aa 2xx 0+aayy 0⋅−aa xx 0−aayy 0−aa xx 0+aayy 0⋅aa 2xx 0−aayy 0|=|aa 3xx 02−aa 2yy 02|. 因PP 在双曲线CC 2上，xx 02−aa 2yy 02=aa 2，则SS =aa 3aa 2=aa 为定值．19．（17分）解：(1) AA 3=�123231312� 是 ΓΓ3 数表，dd (aa 1,1,aa 2,2)+dd (aa 2,2,aa 3,3)=2+3=5.(2)由题可知 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −aa ii+1,jj |+|aa ii+1,jj −aa ii+1,jj+1|=1 (ii =1,2,3;jj =1,2,3) ． 当 aa ii+1,jj =1 时，有 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −1|+|aa ii+1,jj+1−1|=1 ， 所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3 ．当 aa ii+1,jj =2 时，有 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −2|+|aa ii+1,jj+1−2|=1 ，所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3 ．所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3(ii =1,2,3;jj =1,2,3).所以 aa 1,1+aa 2,2+aa 3,3+aa 4,4=3+3=6, aa 1,3+aa 2,4=3,aa 3,1+aa 4,2=3. aa 1,2+aa 2,3+aa 3,4=3+1=4 或者 aa 1,2+aa 2,3+aa 3,4=3+2=5 ， aa 2,1+aa 3,2+aa 4,3=3+1=4 或者 aa 2,1+aa 3,2+aa 4,3=3+2=5 ， aa 1,4=1 或 aa 1,4=2 ， aa 4,1=1 或 aa 4,1=2 ， 故各数之和 ⩾6+3+3+4+4+1+1=22 ，当 AA 4=�1111122212111212� 时，各数之和取得最小值 22 ． (3)由于 ΓΓ4 数表 AA 10 中共 100 个数字，必然存在 kk ∈{1,2,3,4} ，使得数表中 kk 的个数满足 TT ≥25. 设第 ii 行中 kk 的个数为 rr ii (ii =1,2,⋅⋅⋅,10). 当 rr ii ≥2 时，将横向相邻两个 kk 用从左向右的有向线段连接， 则该行有 rr ii −1 条有向线段，所以横向有向线段的起点总数 RR =∑ (rr ii ⩾2rr ii −1)⩾∑ii=110(rr ii −1)=TT −10. 设第 jj 列中 kk 的个数为 cc jj (jj =1,2,⋅⋅⋅ ． 当 cc jj ≥2 时，将纵向相邻两个 kk 用从上到下的有向线段连接， 则该列有 cc jj −1 条有向线段， 所以纵向有向线段的起点总数 CC =∑ (cc jj ⩾2cc jj −1)⩾∑jj=110(cc jj −1)=TT −10.所以 RR +CC ≥2TT −20 ，因为 TT ≥25 ，所以 RR +CC −TT ⩾2TT −20−TT =TT −20>0 ．所以必存在某个 kk 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点， 即存在 1<uu <vv ⩽10,1<pp <qq ⩽10, 使得 aa uu ,pp =aa vv ,pp =aa vv ,qq =kk ， 所以 dd (aa uu ,pp ,aa vv ,qq )=|aa uu ,pp −aa vv ,pp |+|aa vv ,pp −aa vv ,qq |=0 ，则命题得证．。

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第2期）专题08 立体几何 文一．基础题1.【某某省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考】已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，有下列命题：①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ；③若,m m n α⊥⊥，则α//n ； ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；其中真命题的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个【答案】A【解析】①②③不成立，故选A ．2.【2013年某某省高考测试卷】已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（ ）【答案】D【解析】仔细分析A 、B 、C 三个选项，发现都可以是下图左边的三视图，D选项则表示下图右边的三视图.3.【某某师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）】一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为A ．1B ．33C ．3D ．2334.【某某某某一中2013届第四次月考试卷】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是 （ ）2A ．8B ．12C ．4(13)+D ． 43【答案】B【解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为224⨯=，侧面积为142282⨯⨯⨯=，所以表面积为4812+=，选B. 5．【东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考】已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖ C．,,m n m n αα若则‖‖‖ D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B 正确.6.【东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考】一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是A ．34B ．8C ．4D ．38 7.【某某市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A. 24B. 12C. 8D. 48.【四中2012-2013年度第一学期高三年级期中】 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若. 那么（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题【答案】D【解析】若//αβ，则//l m或,l m异面，所以①错误.同理②也错误，所以选D.9.【2013年某某市高中毕业班第一次调研测试】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. (8)36π+B.(82)36π+C. (6)36π+D.(92)36π+10.【某某市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】如图为一个几何体的三视图，其中俯视为正三角形，A1B1=2,AA1=4，则该几何体的表面积为_______.二．能力题11.【某某某某一中2013届第四次月考试卷】已知正三棱锥ABC P ，点C B A P ,,,都在半径为3的球面上，若PC PB PA ,,两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________.12.【某某某某一中高2013届高三上学期第三次月考】已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π13.【某某某某一中2013届第四次月考试卷】四面体BCD A -中，,5,4======BD AD AC BC CD AB 则四面体外接球的表面积为（ ）A ．π33B ．π43C ．π36D ．π18【答案】A【解析】分别取AB,CD 的中点E,F ，连结相应的线段，由条件可知，球心G 在EF 上，可以证明G 为EF中点，A.14.【某某中原名校2012—2013学年度第一学期期中联考】[已知球O l 、O 2的半径分别为l 、 r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当(1,)r ∈+∞时，2121V V S S --的取值X 围 是.15.【某某某某外国语学校2012—2013学年度第一学期质量检测】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为3m .【答案】4【解析】由三视图可知，该组合体是由两个边长分别为2,1，1和1,1,2的两个长方体，所⨯⨯+⨯⨯=.以体积之和为211112416.【四中2012-2013年度第一学期高三年级期中】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm².17．【四中2012-2013年度第一学期高三年级期中】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.18.【2013年某某市高中毕业班第一次调研测试】若一个正方体的表面积为1S ，其外接球的表面积为2S ，则12S S =____________. 19.【某某某某一中高2013届高三上学期第三次月考】 设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D P D Bλ=.当APC ∠为钝角时，则λ的取值X 围是.11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=--- 三．拔高题20【2013年某某市高中毕业班第一次调研测试】（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA A C AC ===，AB BC =，AB BC ⊥，O 为AC 中点.⑴证明:1A O ⊥平面ABC ；⑵ 若E 是线段1A B 上一点，且满足1111112E BCC ABC A B C V V --=，求1A E 的长度. 【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 112AA A C AC ===，且O 为AC 中点，1A O AC ∴⊥，又 侧面11AA C C ⊥底面ABC ，交线为AC ，11AO A AC ⊂面， ∴1A O ⊥平面ABC . (6分) O C B A C 1B 1A 1(2) 11111111124E BCC ABC A B C A BCC V V V ---==，因此114BE BA =，即1134A E AB =，又在1Rt AOB ∆中，1A O OB ⊥，13AO =，1BO =可得12A B =，则1A E 的长度为32. (12分)21.【某某省东阿县第一中学2012-2013学年度上学期考试】（本小题满分14分） 如图，正三棱柱111ABC ABC -中，12,3,AB AA D ==为1C B 的中点，P 为AB 边上的动点.（Ⅰ）当点P 为AB 的中点时，证明DP//平面11ACC A ； （Ⅱ）若3AP PB =，求三棱锥B CDP -的体积.【答案】22.【某某某某一中高2013届高三上学期第三次月考】（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离.解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C …………2分（1）1111,(1,0,1),(1,,1)0,.DA D E x DA D E =-=⊥因为所以………………6分23.【某某师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）】如图5，已知三棱锥A BPC -中，AP ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：BC ⊥平面APC ；（2）若3BC =，10AB =，求点B 到平面DCM 的距离． （本小题满分12分）3又MD DC ⊥，125328MDC S MD DC ∴=⋅△112553123,33825B MDC MDC V h S h h -∴=⋅=⋅⋅=∴=△，即点B 到平面MDC 的距离为125．……………………………………………（12分）24.【某某师大附中、某某一中2013届高三12月联考试卷】（本小题满分12分）如图所示，在直．三棱柱．．．ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ．(1) 求证：平面AB 1C 1⊥平面AC 1；(2) 若AB 1⊥A 1C ，求线段AC 与AA 1长度之比；(3) 若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，试确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．证法二：设G 是AB 1的中点，连结EG ，则易证EG DC 1. 所以DE // C 1G ，DE ∥平面AB 1C 1． 25.【市东城区普通高中示X 校2013届高三综合练习（一）】（本题满分14分）已知ABCD 是矩形，2AD AB =，,E F 分别是线段,AB BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：DF ⊥平面PAF ；（Ⅱ）在棱PA 上找一点G ，使EG ∥平面PFD ，并说明理由． （Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，因为AD =2AB ,点F 是BC 的中点,26.【某某省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考】（本题满分14分） 如图，已知⊥PA ⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，2=AB ， C 是⊙O 上一点，且BC AC =，PC 与⊙O 所在的平面成︒45角， E 是PC 中点．F 为PB 中点． (1) 求证： ABC EF 面//； (2) 求证：PAC EF 面⊥；（3）求三棱锥PAC B -的体积．解：(1)证明：在三角形PBC 中，E 是PC 中点． F 为PB 中点P CBO EF27.某某省某某市2012届高三12月教学质量检测】（（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面DBC ，DE AB ∥，2====AB BC CD BD ，F 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：DF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求点D 到平面EBC 的距离的取值X 围.28.【某某省名校新高考研究联盟2013届第一次联考】（本题14分）如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC PC AB PB PA 222=====． （Ⅰ）求证：BC PA ⊥；（Ⅱ）求二面角C AB P --所成角的余弦值．（Ⅰ）【解法一】如图，取PA 中点M ，连接CM 、BM ． ∵AC PC =，AB PB =，∴PA CM ⊥,PA BM ⊥, ……3分 又M BM CM = ,∴⊥PA 平面BMC ，⊂BC 平面BMC , ∴BC PA ⊥． ……………………………………………6分【解法二】由BC AC PC AB PB PA 222=====知，ACB ∆、ACP ∆、BCP ∆都是等腰直角三角形，CA 、CB 、CP 两两垂直， …………3分∴⊥BC 平面ACP ,⊂PA 平面ACP ,∴BC PA ⊥． (6)分∴二面角C AB P --所成角的余弦值为33．……………………………………………14分 29.【某某省某某市部分学校2013届高三12月联考】（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ， 且AC=AD=CD=DE=2，AB=1． （1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求多面体ABCDE 的体积；（3）求直线EC 与平面ABED 所成角的正弦值．解答：如图，（1）由已知AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，有36sin 422CG CE α===．30.【某某省2012年某某市高2013级（高三）一诊模拟考试】在四棱锥PABCD 中，AB //CD ，ABAD ，4,22,2AB AD CD ，PA 平面ABCD ，4PA .（1）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（2）求证：BD ⊥平面PAC ； （3）求三棱锥D-PBC 体积（1）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，所以CD //m . ……4分 （2）证明：因为AP平面ABCD ，ABAD ，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所31.【某某省某某市2013届高三第三次调研考试】如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．word 21 / 21。

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江苏省徐州市2012－2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅰ参考公式：球的表面积为24R S π=,其中R 表示球的半径。

一、填空题:本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上。

．．．．．．．．． 1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )( ▲ 。

2。

已知i 是虚数单位,实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43 ▲ .3。

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在)3000,2500[(元）内应抽出 ▲ 人.4.如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S（第4题图的值是 ▲ .5.若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ▲ 。

6。

从0，1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ 。

7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ . 8。

江苏省无锡市五校2012届高三下学期4月联考数学卷2012.4本试卷分为第I 卷（必做题）和第II 卷（选做题）两部分．选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟．选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟．第I 卷（必做题共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a =．解题探究：本题主要考查复数的概念与四则运算等基础知识，考查运算能力．两复数相除，常常将分子、分母同乘上分母的共轭复数进行分母“实数化”，从而转化为(,)x yi x y R +∈的形式；有时也可以将其设为(,)x yi x y R +∈，转化为复数的乘法来确定,x y 的值，例如本题可先设为12()z bi b R z =∈，再从12()z z bi b R =⋅∈求出实数a 的值．解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =．2．在边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a BC b AC c === ，则||b a c --=．解题探究：本题主要考查平面向量的运算与向量模的概念等基础知识，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力．关于向量的基本运算，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．解决向量问题，要注意“形”与“数”的结合与印证．解析：∵2b a c BC AB AC BA BC CA BA --=--=++=r r r uu u r uu u r uuu r uu r uu u r uu r uu r，∴||2b a c --=r r r ．3．已知命题2:6,:p x x q x Z -≥∈，则使得当x M ∈时，“p 或q ”与“q ⌝”同时为假命题的x 组成的集合M =．解题探究：本题主要考查集合与简单命题等基础知识，考查等价转化的思想方法以及分析问题和解决问题的能力．求解本题，关键是要熟悉数学的符号语言，并能将已知条件等价转化为“x M ∈时，p 假且q 真”．解析：x M ∈时，“p 且q ”与“q ⌝”同时为假命题，即x M ∈时，p 假且q 真．故令26,x x x Z -<∈，解得1,0,1,2x =-，从而所求的集合{1,0,1,2}M =-．4．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如右图所示，则(1)(2)(3)(2010)f f f f +++=．解题探究：本题主要考查三角函数的图像、三角函数的周期性与三角函数值的求法等基础知识，考查灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力．求解本题，可先由所给函数图像求出其解析式，再根据解析式来求函数值，在计算的过程中要注意三角函数的周期性和诱导公式的应用．解析：由图象可知：2,8,0A T ϕ===，从而得4πω=，()2sin4f x x π=，计算可得(1)(2)(3)(8)(9)(10)(11)(16)0f f f f f f f f +++=+++==，于是有：(1)(2)(3)(2010)(2009)(2010)(1)(2)2f f f f f f f f +++=+=+=+ 5．某地区有3个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选择哪一天是等可能的)，假定各个工厂的选择互不影响，则这3个工厂选择同一天停电的概率为．解题探究：本题主要考查古典概型的概率计算公式以及求古典概型的概率的方法，首先判断出这是一个古典概型问题，再设“这3个工厂选择同一天停电”为事件A ，运用枚举法求出基本事件总数和事件A 所包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式即可求出事件A 的概率．解析：设“这3个工厂选择同一天停电”为事件A ，由题意知这是一个等可能事件，3个工厂选择停电的方式共有777343⨯⨯=种，其中3个工厂在同一天停电的选法共有7种，故得所求概率为71()34349P A ==．6．某市高三数学抽样考试中，对90ξ分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若(130,140]分数段的人数为90人，则(90,100]分数段的人数为．解题探究：本题主要考查统计的有关知识和运用样本对总体进行估计的思想方法，通过频率分布直方图提供的信息，直接计算，可对这次考试成绩的情况作出估计，从中体会数学知识在解决实际问题中的广泛应用．解题的关键是：（1）直方图中比价坐标为频率组距；(2)频数、频率、样本容量之间的关系为频率=频数样本容量．分数解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的人数为x ，则由0.451800x =，得810x =，即(90,100]分数段的人数为810．7．下图给出了一个算法流程图．若给出实数,,a b c 为224,,232a b x c x x ===-+，输出的结果为b ，则实数x 的取值范围是．解题探究：本题主要考查算法流程图与一元二次不等式的求解等基础知识和基本方法．求解本题，既要读懂流程图，明白流程图的算法功能，也要能正确地求解一元二次不等式．先由算法流程确定其算法功能，再根据其算法功能列出实数x 满足的不等式组，通过解不等式组求出x 的取值范围．解析：流程图的算法功能是求实数,,a b c 的最小值，则,b a b c ≤≤，即2224232x x x x ⎧≤⎪⎨≤-+⎪⎩，解得2x =或21x -≤≤．8．若点000(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外，过点0P 作该椭圆的两条切线的切点分别为12,P P ，则切点弦12PP 所在直线的方程为00221x x y ya b+=．那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为．解题探究：本题主要考查直线、椭圆、双曲线的基础知识以及类比推理的能力和分析问题、解决问题的能力．通过对已给命题的分析，运用类比推理的方法，不难得到相应的对于双曲线的一个类似的命题，至于其正确性，可联想圆中类似命题的证明方法加以证明．解析：运用类比推理的方法，对于双曲线，可以得到一个正确的命题为：若点000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外，过点0P 作该双曲线的两条切线的切点分别为12,P P ，则切点弦12PP 所在直线的方程为00221x x y ya b-=．其正确性可证明如下：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，000(,)P x y ，则过点12,P P 的切线的方程分别为：11221x x y ya b-=，22221x x y ya b -=．因为000(,)P x y 在这两条切线上，故有1010221x x y y a b -=，2020221x x y y a b-=，这说明111(,)P x y ，222(,)P x y 都在直线00221x x y y a b -=上，故得切点弦12PP 所在直线的方程为00221x x y ya b-=．9．已知l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若,l βαβ⊂⊥且，则l α⊥；②若,//l βαβ⊥且，则l α⊥；③若,l βαβ⊥⊥且，则//l α；④若,//m l m αβ= 且，//l α则．其中真命题的序号是．（填上你认为正确的所有命题的序号）解题探究：本题主要考查立体几何的线线、线面、面面位置关系的有关知识，考查逻辑推理能力．解题时需要对所给命题逐一加以判断，要肯定一个命题，必须有充分的理由，而要否定一个命题，只要举出一个反例就可以了．解析：命题①中直线l 与平面,αβ的交线的位置不确定，故l 与α的位置也不确定，若l 与交线平行，则//l α，若l 与交线垂直，则l α⊥，所以①为假命题；②显然为真命题；③中，由题设，l 与α的位置也不确定，可能是l α⊂或//l α，故③也为假命题；④中，l 与α的位置也不确定，故只有②为真命题．10．已知二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)0,f a b c =>>，则ca的取值范围是．解题探究：本题主要考查二次函数的有关知识和简单的线性规划问题的求解方法，考查等价转化与数形结合的思想方法以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．要能通过对题目中的信息的分析实现问题的转化，再借助于图解法使问题获解．解析：由题意，得0a b c ++=，从而b a c =--，于是有0a a a c a c c ≠⎧⎪>--⎨⎪-->⎩，即02020a a c a c ≠⎧⎪+>⎨⎪+<⎩，运用图解法，得33c a -<<，即ca的取值范围是(3,3)-．11．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx=的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为．解题探究：本题主要考查椭圆与抛物线的标准方程、几何性质等基础知识，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力．为求椭圆的离心率，关键是建立椭圆的基本量,a c 所满足的方程组，求出,a c 之间的关系．解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a ==．12．已知函数226()ax f x x b-=+的图象在点(1,(1))M f --处的切线方程为250x y ++=，则()f x 的表达式为．解题探究：本题主要考查导数的几何意义与导数的运用等基础知识，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力．要求()f x 的表达式，只要求出,a b 的值即可，为此，可根据题设条件，列出,a b 所满足的方程组，通过解方程组使问题获解．解析：由题意，可得'12(1)50(1)2f f -+-+=⎧⎨-=-⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，从而有226()3x f x x -=+．13．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =，则ABC ∆的面积S 的最大值为．解题探究：本题主要考查解三角形、三角恒等变形和三角函数最值的求法等基础知识和基本方法．根据题设条件，由正弦定理，将三角形的面积S 表示成角B 的三角函数，通过三角恒等变形将其化为sin()S A B ωϕ=+形式，再由角B 的范围即可求得S 的最大值．解析：由3A π=，得203B π<<，根据正弦定理，得sin 4sin sin BCAC B B A==，2sin 4sin()sin 3BC AB C B A π==-，∴12sin sin()23S AB AC A B B π=⋅⋅=-6x π=-+，其中203B π<<，故得S的最大值为14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数n 的值为．解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式．解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-，又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1(2n na =，由于2341234111115()(()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C ．（1）设BC CA CA AB = ，求证ABC ∆是等腰三角形；（2）设向量(2sin ,s C = ,2cos 2,2cos 12C t C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且s ∥t ,若1sin 3A =，求sin()3B π-的值．解题探究：本题主要考查平面向量、三角函数和三角形的有关知识，考查运算能力、三角恒等变形能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．第（1）问，要证ABC ∆是等腰三角形，只要证得有两条边相等就行了，可从已知向量等式入手，通过向量的模相等来实现；对于第（2）问，可从题设条件s ∥t出发，得到关于角C 的三角函数关系式，求出角C ，从而得出角A 与角B 之间的关系，再将所求转化为关于角B 的三角函数式，问题就迎刃而解了．解析：(1)因为,()0BC CA CA AB CA BC AB ⋅=⋅⋅-=所以,0AB BC CA ++= 又，0,0)()(),(22=-=-⋅+-+-=BC AB AB BC BC AB BC AB CA 所以所以所以，(4分)所以22||||A B B C = ，即||||AB BC =，故△ABC 为等腰三角形．(6分)链接高考：两角和与差的正弦、余弦公式和平面向量的数量积在新课程的高考中都是级要求，因此是高考考查的重点内容，除了填空题中要考查这部份内容外，在解答题中也要考查．在三角函数的恒等变形、平面向量和解三角形等知识的交汇处进行设计，中档题为主，难度不大，考查的重点是平面向量的运算和三角恒等变形的能力，关键是要能综合运用和灵活运用所学的知识，准确地运算和规范地表述，这一点，在复习时要引起足够的重视，注意做好针对性的强化训练．16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（1）求证：PC ⊥AE ；（2）求证：CE ∥平面PAB ；（3）求三棱锥P －ACE 的体积V ．解题探究：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定与性质以及三棱锥的体积计算等基础知识，考查空间相象能力与逻辑推理的能力．第（1）问为了证明PC ⊥AE ，不妨证明PC 与AE 所在的某一个平面垂直；第（2）问要证明直线CE ∥平面PAB ，有两种基本思路：一是通过面面平行得到线面平行，二是通过线线平行来证线面平行；第（2）问为了计算三棱锥P －ACE 的体积，不妨计算三棱锥E －PAC 的体积，体现灵活选择底面的思想方法．解析：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BCAC ＝2．取PC 中点F ，连,AF PF ，则∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥AF ．（1分）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又∠ACD ＝90°，即CD AC ⊥，∴CD PAC ⊥平面，∴CD PC ⊥，∴EF PC ⊥．(3分)∴PC AEF ⊥平面．(4分)∴PC ⊥AE ．（5分）（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥PA ．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴EM ∥平面PAB ．（7分）在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2，∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ．∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴MC ∥平面PAB ．（9分）∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ．∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ．证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．DDD∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点．（7分）∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．（9分）∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ．（10分）(3)由(1)知AC ＝2，1,2EFCD EF PAC =⊥且平面．在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝EF =（12分）则V ＝112232E PAC V -=⨯⨯⨯=(14分)链接高考：根据《江苏省高中数学课程标准教学要求》和《考试说明》的精神，新课程高考对立体几何部分的要求整体下降，考查的重点主要是空间线线、线面、面面间的平行和垂直的判定与证明以及简单几何体的面积、体积的计算，难度不会太大，空间的角与距离的计算将会受到严格的控制，在文理同卷的部份一般不会出现，复习时，一定要注意到这一变化，不要在距离与角度的计算方面花费过多的精力，着重在空间想象能力、逻辑思维能力和演绎推理能力的培养和提高上上功夫，特别要注意在表述能力和解题规范化方面多下功夫．17．（本小题满分14分）设公差为d （0d ≠）的等差数列{}n a 与公比为q （0q >）的等比数列{}n b 有如下关系：113375,,a b a b a b ===．（1）比较15a 与7b 的大小关系，并给出证明．（2）是否存在正整数,m n ，使得?n m a b =若存在，求出,m n 之间所满足的关系式；若不存在，请说明理由．解题探究：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、探究能力以及分析问题和解决问题的能力．第（1）问是一个简单题，只要运用基本量方法，将等差数列和等比数列的有关项用首项和公差（公比）表示出来，再加以比较就可以了．第（2）问是一道探究性问题，不妨假设存在，进行探索，就可以得出,m n 之间所满足的关系式，从而使问题获得解决．解析：（1）157a b =．(2分)证明如下：设11a b a ==，则0a ≠，且22a d aq +=……⑴，46a d aq +=……⑵，（4分）由⑴，⑵得：()2423a a q q=-，从而42320q q -+=，∴22q =或21q =．（∵0q >，∴1q =，此时0d =，不可，舍之）∴2 2.q =代入⑴得2a d =．(6分)61517148,8a a d a b aq a =+===，因此，157a b =．(7分)（2）假设存在正整数,m n ，使得n m a b =，即()11m a n d aq -+-=，(8分)由(1)可知：22,2q a d ==，∴()1212m d n d dq-+-=，∴112m n q-+=，∴()()1221114422m m m n q --++==⨯=，(10分)即存在正整数,m n ，使得n m a b =，,m n 之间所满足的关系式为()2112m n ++=，,m n N +∈．（12分）事实上，当()2112m n ++=，,m n N +∈时，有()()121n a a n d d n d=+-=+-()1212m n d d +=+=⋅()11212222m m m m d qa aqb ---=⋅=⋅==．故知结论成立．(14分)链接高考：等差数列与等比数列既是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学衔接与联系最紧密的内容，新高考对这两个内容的考查都是C 级要求，除了在填空题中考查外，作为中高档题，也是解答题考查的重点，主要考查定义、通项公式与前n 项和公式的综合运用与灵活运用．将数列与推理证明结合起来，以数列为载体，考查推理与证明的能力，是近几年新课程高考对数列考查的又一个热点，应该在复习时认真对待，要特别重视等差数列、等比数列与函数、不等式等知识的综合考查，学会运用函数与方程的观点、分类讨论与等价转化的思想方法分析问题和解决问题，提高运算能力和思维水平．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴AB 长为4，离心率e =，O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．解题探究：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质以及直线和圆的位置关系等基础知识，考查平面向量在解析几何中的应用，考查运算能力和推理能力．第（1）问是简单题，要求椭圆方程，只要运用待定系数法，求出,a b 的值即可；第(2)问要证明Q 点在以AB 为直径的圆O 上，只要证明12OQ AB =就行了；对于第（3）问，从直觉上能判断出直线QN 与圆O 相切，可运用向量方法来加以证明．解析：（1）由题设可得24,c a a ==，解得2,a c ==，∴1b =．（3分）∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（5分）（2）设()00,P x y ，则220014x y +=．∵HP PQ =，∴()00,2Q x y ．∴2OQ ==．（8分）∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．（10分）（3）设()00,P x y ()02x ≠±，则()00,2Q x y ，且220014x y +=．又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++．令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，∴0042,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．∴()00,2OQ x y = ，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ．（13分）∴()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．∴OQ NQ ⊥．（15分）∴直线QN 与圆O 相切．（16分）链接高考：新课标降低了对直线与圆锥曲线的位置关系问题的要求，将直线方程与圆的方程定为C 级要求，使直线与圆的有关问题成为新课程数学高考的重点与热点内容，常常作为中、高档题出现．新课程高考对解析几何的考查，主要考查直线、圆和圆锥曲线的方程的求法，以及直线与圆的位置关系的有关问题．运算能力与平面几何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在复习的过程中，要注意加强平面几何中有关知识特别是圆的几何性质的复习，注意向量方法在解析几何中的应用，注意强化运算能力的训练，努力提高灵活解题的能力．19．（本小题满分16分）已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB cm AD cm ==，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕MN 的端点,M N 分别位于边,AB BC 上，设MNB θ∠=，sin t θ=，MN 长度为l ．（1）试将l 表示为t 的函数()l f t =，并给出这个函数的定义域；(2)判断这个函数的单调性，并给出证明；（3）求l 的最小值．解题探究：本题是一道实际应用问题，由课本题改编而成，主要考查函数性质与三角函数的有关知识，考查数学应用意识和数学建模能力．第(1)问先将l 表示为θ的三角函数，从而求出函数()l f t =的解析式和定义域；对于第（2）问，注意到表达式的特点,抓住分母分析，可利用函数单调性的定义或者导数方法判断其单调性；有了函数的单调性，要解决第（3）问，求函数的最值，就十分容易了．解析：(1)设将矩形纸片的右下角折起后，顶点B落在边AD 上的'B 处，则'B NM θ∠=，'2BM A θ∠=，从而有：'cos ,sin NB l MB MB l θθ===，'cos2AM MB θ=sin cos 2l θθ=．（2分）∵6AM MB +=，∴sin cos2sin 6l l θθθ+=，得：23633sin (cos21)sin (1sin )l t tθθθθ===+--，（4分）∵cos 12,sin 6,[0,]2l l πθθθ≤≤∈，∴124ππθ≤≤，从而有t ≤≤．∴33()l f t t t ==-，定义域为．（6分）(2)33()l f t t t ==-，t ∈．令30z t t =->，当t ∈时，3z t t =-是增函数，从而33()l f t t t ==-为减函数；当t ∈时，3z t t =-是减函数，从而33()l f t t t==-为增函数．（10分）证明可以用定义方法或导数方法，这里从略．（12分）(3)由(2)知，当t =时，MN 长度33()l f t t t ==-取得最小值．（16分）链接高考：培养学生的数学应用意识和能力是新课程的一个重要理念，因此，设计贴近学生实际的应用问题，成为江苏省新课程高考数学命题的又一个热点，其特点是回归课本，从教材中寻找应用问题的载体，一般说来，建模的难度不会太大，解题的关键是认真审题，找出问题中的有用信息，将实际问题准确地转化为数学问题，通过对数学问题的求解，得出实际问题的解．要注意解题过程中“设、列、解、答”的四个步骤，实现过程表述的规范性．最优化问题是出现频率较高的一种应用问题，运用导数的方法常常有利于优化解题过程，提高解题速度，这一特点，值得引起我们的关注和重视．20．（本小题满分16分）已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1)求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2)对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．解题探究：本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力．试题设计了由易到难的三个层次，有计算，有推理，有证明，具有很好的梯度和区分度．对于第（1）问，只要运用导数的方法法研究出函数()f x 的单调性即可，最值就容易确定了；对于第（2）问，是一个不等式恒成立的问题，可通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题来处理；对于第（3）问，可以通过构造函数，利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明．解析：(1)'()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增．（2分）①102t t e<<+<，t 无解；②102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-；③12t t e ≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min 110()1ln t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，．（6分）(2)22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，（8分）设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)'()x x h x x+-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==．（10分）因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=．（12分）（3）问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到．（14分）设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x m x e -=，易得max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．（16分）链接高考：导数是研究函数与不等式问题的有力工具，也是联系初等数学与高等数学的桥梁，在新课程的高考中是命题的一个重点和热点，常常在函数、方程和不等式知识的交汇处进行设计，融函数、方程和不等式知识于一体，将数学知识与数学思想方法的考查楺合在一起，题型灵活，新意迭出，以压轴题的形式出现，具有难度大、综合性强、背景新、方法活等特点，对运算能力、思维能力和创新能力都有较高的要求，以充分体现高考的选拔功能，在复习时要引起高度的重视，认真地加以体会．第Ⅱ卷（附加题共40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE =BE ，E 在BC 上．求证：P E 是⊙O 的切线．解题探究：本题主要考查圆及其切线的有关性质和等腰三角形的性质等基础知识，考查推理论证能力．OP PE ⊥就行了，可利用等腰三角形底角相等的性质来加以证明．解析：如图，连结OP 、BP ，∵A B 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°．（2分）又∵CE =BE ，∴EP =EB ，∴∠3=∠1．（4分）∵OP =OB ，∴∠4=∠2．(6分)∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°．(8分)又∵OP 为⊙O 的半径，∴PE 是⊙O 的切线．(10分)链接高考：三角形与圆的几何性质是“平面几何选讲”中的重要内容，也是新课程高考命题的一个热点内容，高考对这些内容的要求不高，只要能正确地运用它们解决一些简单的几何计算和证明问题就行了，一般说来，题目的难度不会太大，备考复习时，要以基础知识和基本方法为重点，把握好度，适当地进行一训练，不要过多地在题型和技巧的操练方面花时间和下功夫，以减轻学生的负担，提高复习的效果．B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣a b ⎤⎥⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.设向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算5A β的值.解题探究：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识和基本方法，考查运算能力．要计算5A β的值，可先根据题设条件，运用待定系数法求出矩阵A ，再求出矩阵A 的另一个特征值及其对应的特征向量，然后将β用矩阵A 的特征向量表示出来，就可以了．B解析：由题设条件可得：11⎡⎢-⎣a b ⎤⎥⎦22211⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即2422a b +=⎧⎨-+=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，得矩阵11A ⎡=⎢-⎣⎥⎦⎤42．（2分）矩阵A的特征多项式为11)(-=λλf 065422=+-=--λλλ，解得12λ=,23λ=.(4分)当21=λ时，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121α；当32=λ时，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112α，(6分)由21ααβn m +=，得⎩⎨⎧=+=+472n m n m ，得1,3==n m ,(8分)∴25152155)(3)3(ααααβA A A A +=+=252151)(3αλαλ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=339435113122355.(10分)链接高考：“矩阵与变换”是新课程的新增内容，高考主要考查以下几个方面的内容：一是常见的平面变换与矩阵的乘法运算；二是二阶矩阵的逆矩阵及其求法；三是二阶矩阵的特征值与特征向量的求法．《考试说明》对这些内容是B 级要求，一般说来，题目的难度也不大，抓基础知识的理解和基本方法的运用仍然是复习的重点，在复习中特别需要注意的就是紧扣《考试说明》的要求，把握好“度”．值得指出的是，待定系数法在矩阵中有着广泛的应用，复习中要引起足够的重视．C ．选修4－4：参数方程与极坐标已知曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），若直线l 与曲线C 相切，求a 的值．解题探究：本题主要考查点到直线的距离公式的运用以及曲线的极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程互化的方法等基础知识和基本方法，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力．首先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程，再在直角坐标下进行求解，这种化归与转化的思想方法是求解极坐标与参数方程问题的常用方法．解析：曲线C 化为直角坐标方程为220x y ax +-=，即22222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（3分）直线l 的参数方程化为普通方程为10x y --=．（6分）|1|2a a-=，∴|1|2a -=，(8分)∴12a =+（舍去）或12a =，∴)21a =-．(10分)链接高考：在新课程的高考中，关于“坐标系与参数方程”这一模块内容的考查主要有两类：一是曲线的极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化；二是常见曲线特别是直线和圆的参数方程与极坐标方程及其在解题中的应用．复习时，不要在繁难的计算上做文章，要善于突出重点，抓住关键，严格按照《考试说明》的要求进行有针对性的强化训练，努力提高复习的效益．D ．选修4－5：不等式选讲设x ，y ，z 为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．解题探究：本题主要考查不等式的基本性质和基本不等式的有关知识，考查综合法证明不等式的方法．由正数的条件和待证不等式的结构特征，联想基本不等式，证得33x y+()()()22x y x xy y xy x y =+-+≥+，再利用同向不等式相加的性质，即可实现证明．解析：因为x ，y ，z 为正数，所以2220x y xy +≥≥,(2分)所以()()()3322x y x y x xy y xy x y +=+-+≥+,(4分)同理()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+,(6分)三式相加即可得()()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++,(8分)又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++,所以()()()()3332222x y z x y z y x z z x y ++≥+++++.(10分)链接高考：“不等式选讲”是对必修部分的不等式内容的拓展，高考考查的重点是：证明不等式的基本方法、含绝对值的不等式和几个重要的不等式及其应用．要特别注意基本不等式是“不等式选讲”中的重要内容，它在解决数学问题时有着十分广泛的应用，因此是高考数学命题的一个热点．另外，关于柯西不等式、排序不等式以及数学归纳法的应用等，也有可能成为高考数学中关于不等式知识考查的对象，复习时要通过适当的练习进行强化．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F T M P 、、、满足(1,0),(1,)O F O T t ==-，,,//FM MT PM FT PT OF =⊥ ．。