2014一模数学答案

2014年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1. 已知复数z =3+4i ，z ¯表示复数z 的共轭复数，则复数z¯i在付平面内对应的点在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 已知函数f(x)=x 2+bx +c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使f(x 0)<0”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为（ ）A 14B 20C 30D 554. 某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e ，平均值为x ¯，众数为m o ，则（ ）A m e ＝m o =x ¯B m e ＝m o <x ¯C m e <m 0<x ¯D m o <m e <x ¯5. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n+2=2a n+1−a n ，a 6=4−a 4，则S 9=( ) A 9 B 12 C 14 D 186. 有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）A 4+5π2B 4+3π2C 4+π2 D 4+π 7. 已知直线y =k(x +1)与抛物线C:y 2=4x 相交于点A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|FA|=3|FB|，则k =( ) A ±32 B ±√32 C ±34 D ±√348. 已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x )，当x ∈[1, 3]时，f(x)=lnx ，若在区间[13，3]内，函数g(x)=f(x)−ax ，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A [ln33，1e ) B [ln33，2e ) C (0,12e ) D (0,1e )二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 若集合A ={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B ={x ∈R|x 2−2x >0}，则A ∩(∁R B)所含的元素个数为________．10. 已知a =∫(π20−cosx)dx ，则二项式(x 2+ax )5的展开式中x 的系数为________． 11. （选修4−4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =√3t (t)．以直角坐标系xOy 中的原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3＝0，则圆心C 到直线l 距离为________．12. 如图，圆O 的直径AB =8，C 为圆周上一点，BC =4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长为________． 13. 在△ABC 中，若(CA →+CB →)⋅AB →=25|AB →|2，则tanA tanB=________．14. 已知实数x ，y 满足{x ≥1y ≥1x +y ≤5时，z =x a +yb (a ≥b >0)的最大值为1，则a +b 的最小值为________．三、解答题15. 已知函数f(x)=√3sin ωx+φ2cosωx+φ2+sin 2ωx+φ2(ω>0, 0<φ<π2)的周期为π，且过点(π3, 1)（1）求函数f(x)的表达式；（2）求函数f(x)在区间[0, π2]上的值域．16. 某技术部门对工程师进行达标定级考核，需要经过两轮测试，每轮测试的成绩在9.5分及以上的定位该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定①两轮测试均通过的一定为一级工程师；②仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师； ③第一轮测试没通过的不予定级．已知甲、乙、丙三位工程师通过第一轮测试的概率分别为13，23，23；通过第二轮测试的概率均为12．（1）求经过本次考核，甲被定位以及工程师，乙被定位二级工程师的概率；（2）求经过本次考核，甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定位以及工程师的概率； （3）设甲、乙、丙三位工程师中被定位一级工程师的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．17. 在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，E 为CC 1的中点（1）求证：AC 1 // 平面BDE ； （2）求证：A 1E ⊥平面BDE ；（3）若F 为BB 1上的动点，使直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63，求DF 的长． 18. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点(1, 32)在椭圆C 上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为12√27，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n +1)(S n +1)=(n +2)2a n (n ∈N +)． （1）求a 1，a 2的值； （2）求a n ； （3）设b n =n+1a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <34．20. 已知函数g(x)=x lnx，f(x)=g(x)−ax ．（1）求函数g(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(1, +∞)上是减函数，求实数a 的最小值；（3）若存在x 1，x 2∈[e, e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)+a ，求实数a 的取值范围．2014年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. A3. C4. D5. D6. A7. B8. A9. 2个10. −1011. 5√3212. 213. 7314. 1015. 解：（1）f(x)=√3sinωx+φ2cosωx+φ2+sin2ωx+φ2=√32sin(ωx+φ)−12cos(ωx+φ)+12=sin(ωx+φ−π6)+12，T=2πω=π，∴ ω=2，∵ 函数图象过点(π3, 1)，∴ f(π3)=sin(2⋅π3−π6+φ)+12=1，即sin(π2+φ)=cosφ=12，∵ 0<φ<π2，∴ φ=π3，∴ f(x)=sin(2x+π6)+12，（2）∵ x∈[0, π2]，∴ 2x+π6∈[π6, 7π6]，∴ sin(2x+π6)∈[−12, 1]，∴ 0≤sin(2x+π6)+12≤32，即函数f(x)在区间[0, π2]上的值域为[0, 32]．16. 解：（1）甲被定位一级工程师概率是13×12=16，乙被定位二级工程师的概率23×(1−12)=13，甲被定位一级工程师，乙被定位二级工程师的概率是16×13=118． （2）甲被定位一级工程师概率是16，乙丙各自被定为一级工程师的概率都是13，甲和乙被定为一级：16×13×(1−13)=127， 甲和丙被定为一级16×(1−13)×13=127，乙丙被定为一级：(1−16)×13×13=554，则有两人被定为一级工程师的概率为：127+127+554=16（3）甲乙丙都没有定为一级的概率是(1−16)×(1−13)×(1−13)=1027，有一个被定为一级工程师的概率是49，三人都被定为一级工程师的概率是154， 所以X 的分布列是：数学期望是EX =0×1027+1×49+2×16+3×154=56． 17. 如图，连接AC ，交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接EO ； ∵ E 为CC 1的中点， ∴ EO // AC 1，又∵ EO ⊂平面BED ，AC 1⊄平面BED ∴ AC 1 // 平面BED ，连接A 1B ，A 1C 1，AA 1＝2AB ＝2，E 为CC 1的中点，∴ BE =√2，A 1E =√3，A 1D =√5；∴ 在△A 1BE 中：BE 2+A 1E 2=A 1B 2，则△A 1BE 是直角三角形，∴ A 1E ⊥BE ； 同理可证A 1E ⊥DE ； ∵ BE ∩DE ＝E ； ∴ A 1E ⊥平面BDE ．以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．根据条件知道以下几个点坐标：B(1, 1, 0)，E(0, 1, 1)，D(0, 0, 0)，A 1(1, 0, 2)，设F(1, 1, m)，设A 1F 交平面BDE 于G(x 0, y 0, z 0)，连接A 1G ，EG ，则∠A 1GE 便是直线A 1F 与平面BDE 所成角， 先给出所用到的几个向量的坐标：A 1E →=(−1,1,−1)，A 1F →=(0,1,m −2)． ∵ 直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63，∴ cos <A 1E →,A 1F →>=A 1E →⋅A 1F→|A 1E →||A 1F →|=1−m+2√3⋅√(m−2)2+1=√63，解得：m ＝1， ∴ DF =√3．18. （1）设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)，由题意可得： 椭圆C 两焦点坐标分别为F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)．∴ 2a =√(1+1)2+(32)2+√(1−1)2+(32)2=52+32=4．∴ a ＝2，又c ＝1，b 2＝4−1＝3， 故椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）当直线l ⊥x 轴，计算得到：A(−1,−32),B(−1,32)，S △AF 2B =12⋅|AB|⋅|F 1F 2|=12×3×2=3，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y ＝k(x +1)， 由{y =k(x +1)x 24+y 23=1 ，消去y 得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12＝0显然△>0成立，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k 23+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−123+4k 2，又|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√1+k 2⋅√64k 4(3+4k 2)2−4(4k 2−12)3+4k 2即|AB|=√1+k 2⋅12√k 2+13+4k 2=12(k 2+1)3+4k 2，又圆F 2的半径r =√1+k 2=√1+k 2， 所以S △AF 2B =12|AB|r =12×12(k 2+1)3+4k 2√1+k2=12|k|√1+k 23+4k 2=12√27， 化简，得17k 4+k 2−18＝0，即(k 2−1)(17k 2+18)＝0，解得k ＝±1 所以，r =√1+k 2=√2，故圆F2的方程为：(x−1)2+y2＝2．19. 解：（1）当n=1时，有4×(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1，解得a1=8．当n=2时，有4×(2+1)(a1+a2+1)=(2+2)2a2，解得a2=27．（2）（法一）：当n≥2时，有4(S n+1)=(n+2)2a nn+1，…①4(S n−1+1)=(n+1)2a n−1n．…②①-②得：4a n=(n+2)2a nn+1−(n+1)2a n−1n，化为a na n−1=(n+1)3n3，∴ a n=a na n−1⋅a n−1a n−2•…•a2a1⋅a1=(n+1)3n3×n(n−1)3×...×4333×3322×23=(n+1)3，又∵ 当n=1时，有a1=8，∴ a n=(n+1)3．（法二）根据a1=8，a2=27，猜想：a n=(n+1)3．用数学归纳法证明如下：(I)当n=1时，有a1=8=(1+1)3，猜想成立．(II)假设当n=k时，猜想也成立，即：a k=(k+1)3．那么当n=k+1时，有4(k+1+1)(S k+1+1)=(k+1+2)2a k+1，即：4(S k+1+1)=(k+1+2)2a k+1k+1+1，…①又4(S k+1)=(k+2)2a kk+1，…②①-②得：4a k+1=(k+3)2a k+1k+2−(k+2)2a kk+1=(k+3)2a k+1k+2−(k+2)2(k+1)3k+1，解，得a k+1=(k+2)3=(k+1+1)3．∴ 当n=k+1时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得a n=(n+1)3成立．（3）∵ b n=n+1a n =1(n+1)2<1n(n+1)=1n−1n+1，∴ T n=b1+b2+...+b n<122+(12−13)+(13−14)+...+(1n−1n+1)=14+12−1n+1<34．20. （1）解：由{x>0lnx≠0得，x>0且x≠1，则函数g(x)的定义域为(0, 1)∪(1, +∞)，且g′(x)=lnx−1(lnx)2，令g′(x)=0，即lnx−1=0，解得x=e，当0<x<e且x≠1时，g′(x)<0；当x>e时，g′(x)>0，∴ 函数g(x)的减区间是(0, 1)，(1, e)，增区间是(e, +∞)，（2）由题意得函数f(x)=xlnx−ax在(1, +∞)上是减函数，∴ f′(x)=lnx−1(lnx)2−a≤0在(1, +∞)上恒成立，即当x ∈(1, +∞)时，f′(x)max ≤0即可， 又∵ f′(x)=lnx−1(lnx)2−a =−(1lnx)2+1lnx−a =−(1lnx−12)2+14−a ，∴ 当1lnx =12时，即x =e 2时，f ′(x)max =14−a ． ∴ 14−a ≤0，得a ≥14，故a 的最小值为14．（3）命题“若存在x 1，x 2∈[e, e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)+a 成立”等价于 “当x ∈[e, e 2]时，有f(x)min ≤f′(x)max +a”，由（2）得，当x ∈[e, e 2]时，f ′(x)max =14−a ，则f ′(x)max +a =14， 故问题等价于：“当x ∈[e, e 2]时，有f(x)min ≤14”，当a ≥14时，由（2）得，f(x)在[e, e 2]上为减函数，则f(x)min =f(e 2)=e 22−ae 2≤14，故a ≥12−14e 2，当a <14时，由于f′(x)=−(1lnx −12)2+14−a 在[e, e 2]上为增函数， 故f′(x)的值域为[f′(e), f′(e 2)]，即[−a, 14−a]．(I)若−a ≥0，即a ≤0，f′(x)≥0在[e, e 2]恒成立，故f(x)在[e, e 2]上为增函数， 于是，f(x)min =f(e)=e −ae ≥e >14，不合题意． (II)若−a <0，即0<a <14，由f′(x)的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e, e 2)，使f′(x 0)=0，且满足：当x ∈(e, x 0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0, e 2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；所以，f(x)min =f(x 0)=x 0lnx 0−ax 0≤14，x ∈(e, e 2)，所以，a ≥1lnx 0−14x 0>1lne 2−14e >12−14=14，与0<a <14矛盾，不合题意．综上，得a ≥12−14e 2．。

2014年邢台市普通高考模拟考试文科数学参考答案及评分标准(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知60B =，又b =222cos6012a c ac ∴+-= 2()312a c ac ∴+-= ……………8分 22()1233()2a c a c ac +∴+-=≤，当且仅当a c =时取”＝” ,2()48a c ∴+≤a c ∴+≤……………………………………………………………………………10分又,,a b c 是三角形的三边,a c +>,∴(a b +∈ …………………12分解法二：由(Ⅰ)知60B =，又b = ．由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ==== ……………8分 4sin ,4sin ,a A c C ∴==又120,120A C C A +=∴=-14sin4sin(120)6sin cos)30)2a c A A A A A A A∴+=+-=+=+=+ (10)分10120sin(30)12A A<<∴<+≤a c∴<+≤………………………………………………………………………12分18. 解:（Ⅰ）证明：连结PC,交DE与N,连结MN，PAC∆中，,M N分别为两腰,PA PC的中点 ,∴//MN AC. ……………2分因为MN⊂面MDE,又AC⊄面MDE，所以//AC平面MDE. (4)分（Ⅱ）解：由四边形PDCE为矩形，知,DCPD⊥又平面⊥PDCE平面ABCD，,ABDPD平面⊥∴……………6分三棱锥ABDP-的体积为6221161213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=∆-PDADABPDSVABDDABP (8)分由已知,DCAD⊥又平面⊥PDCE平面ABCD，,PDCEAD平面⊥∴,//CDAB四棱锥的体积为322122313131=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯==--ADPDCDADSVVPDCEPDCEAPDCEB矩形. (10)分4B PDCEP ABDVV--==，或者14P ABDB PDCEVV--==,N所以原几何体被平面PBD 所分成的两部分的体积比144或. …………………12分 19.（Ⅰ）解：成绩在[)14,13的人数为500.042⨯=，设为,x y ;成绩在[)18,17的人数为500.063⨯=，设为C B A ,,; ……………2分 [)14,13,∈n m 时有xy 一种情况．[)18,17,∈n m 时有BC AC AB ,,三种情况;n m ,分别在[)[)18,1714,13和时有A,,,,,x xB xC yA yB yC 六种情况……………4分 所以3(2)5P m n ->=……………………………………………………6分……………8分 （Ⅱ）2250(241268)8.33332183020K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………………………………………………10分由于2 6.635K >，故有99%的把握认为“体育达标与性别有关” ……………… 12分20.解：（Ⅰ）当0 ()e x a f x a '>=-时，，…………………………………………2分 由e 0x a ->， 得单调增区间为()ln ,a +∞；由e 0x a -<，得单调减区间为(,ln )a -∞ ， …………………4分由上可知min ()(ln )ln 1f x f a a a a ==-- ……………………………………………6分（II ）若()0f x ≥对x ∀∈R 恒成立，即min ()0f x ≥，由（I ）知问题可转化为ln 10a a a --≥对0a >恒成立 ．令()ln 1(0)g a a a a a =--> ， ()ln g a a '=-， ……………8分()g a 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)0g a g ==． …………………………………………………………………10分即ln 10a a a --≤ ， ∴ln 10a a a --= ．由()g a 图象与x 轴有唯一公共点知，所求a 的值为1． …………………………… 12分21. 解：(Ⅰ)由已知，2b =，又36=e ， 即3642=-a a ，解得32=a ， ……………2分 所以椭圆C 的方程为112422=+y x . ………………………………………………4分(Ⅱ)假设存在点)0,(0x Q 满足题设条件.当x MN ⊥轴时，由椭圆的对称性可知恒有NQP MQP ∠=∠，即0x ∈R ； ………6分 当MN 与 轴不垂直时，设MN 所在直线的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程化简得： 0122)3(2222=-+-+k x k x k ，设),(),,(2211y x N y x M ，则312,3222212221+-=+=+k k x x k k x x , 022011x x y x x y k k NQ MQ -+-=+121020(1)(1)k x k x x x x x --=+-- 1202101020(1)()(1)()()()k x x x k x x x x x x x --+--=--， …………………………………8分 ∵ 120210120120(1)()(1)()2(1)()2x x x x x x x x x x x x --+--=-+++ 02202223)1(23)12(2x k k x k k +++-+-= ， 若NQP MQP ∠=∠， 则0=+NQ MQ k k ， ……………10分即[]023)1(23)12(2022022=+++-+-x k k x k k k ， 整理得0(4)0k x -=，x∵k ∈R ，∴04x =.Q 的坐标为)0,4(Q .综上,在x 轴上存在定点)0,4(Q ，使得NQP MQP ∠=∠. ………………………12分22.解：（Ⅰ） 由PA 是圆O 的切线，因此PAD ∠=ACD ∠，……………2分在等腰OCD ∆中，OD OC =，可得ACD CDE ∠=∠， …………4分所以PAD CDE ∠=∠. ……………… 5分（Ⅱ） EC PBD PEC ∆∆连结，由与相似可知， PB BD PE CE=，……………7分 由切割线定理可知，2PA PB PC =⋅，则2PA PB PC =，……………9分 又EC AD =，可得 2PA BD PC PE AD=⋅. ……10分 23. 解: （Ⅰ）曲线C 的普通方程为221324x y += ……………3分 直线l 的参数方程为8cos ()2sin x t y t ααα=+⎧⎨=+⎩为参数 ………………………………5分（Ⅱ）将l 的参数方程为代入曲线C 的方程得：()228+c o s 8(2s i n )32t t αα++= ……………7分 1212264||||[8,64]17sin PM PM t t α∴⋅==∈+ ………………………………………10分24.解: （Ⅰ）当1a =时，不等式为3135x x -++≤ ……………1分当13x ≤时，不等式即1335x x -++≤，12x ≥- 1123x ∴-≤≤ ……………3分当13x >时，不等式即3135x x -++≤，34x ≤ 1334x ∴<≤ 综上，不等式的解集为1324x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭………………………………………5分（Ⅱ）1(3)23()3131(3)43a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩……………6分 当3a <-时，()f x 单调递减，无最小值； ……………7分当33a -≤≤时，()f x 在区间1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 13x ∴= 处取得最小值； ……………8分当3a >时，()f x 单调递增，无最小值； ……………9分综上， 33a -≤≤ …………………………………………………………………10分数学23题更正及评分标准理科第17题(Ⅱ)方法2理科第17题(Ⅱ)方法217（Ⅱ）在ABC ∆中,由余弦定理得令t a c =+,则c t a =-22()()1242a a t at a -+--=………8分 即227104480a ta t -+-=,因为a 有解且0a > 所以22121210028(448)000t t a a a a ⎧∆=--≥⎪+>⎨⎪>⎩………10分 212112t ∴<≤t ∴<≤因此a c +的最大值为………12分。

2014年江苏省某校高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上． 1. 已知集合A ={x|2x >1}，B ={x|x <1}，则A ∩B =________． 2. 复数a−2i 1+2i（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500, 3000)（元）月收入段应抽出________人．4. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为1，则输入x 的值为________．5. 已知双曲线x 24−y 2b=1的右焦点为(3, 0)，则该双曲线的渐近线方程为________．6. 已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=________．7. 已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长________． 8. 在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ，则不等式x ⊙(x −2)<0的解集是________． 9. 投掷一枚正方体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面上的数字记为a ，又n(A)表示集合的元素个数，A ={x||x 2+ax +3|=1, x ∈R}，则n(A)=4的概率为________．10. 函数f(x)=2sin(πx)−11−x，x ∈[−2, 4]的所有零点之和为________．11. 如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则BP →⋅CQ →的最大值为________．12. 已知数列{a n }的首项a 1=a ，其前n 和为S n ，且满足S n +S n−1=3n 2(n ≥2)．若对任意的n ∈N ∗，a n <a n+1恒成立，则a 的取值范围是________．13. 已知圆C ：(x −2)2+y 2=1，点P 在直线l:x +y +1=0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________． 14. 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1, x 2, ..., x n }，最小数为min{x 1, x 2, ..., x n }．已知实数1≤x ≤y 且三数能构成三角形的三边长，若t =max{1x , xy, y}⋅min{1x , xy, y}，则t 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a →=（3, −cos(ωx)），b →=(sin(ωx)，√3)，其中ω>0，函数f(x)=a →⋅b →的最小正周期为π．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且f(A2)=√3，a =√3b 求角A 、B 、C 的大小．16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥PC ，AB =PB ，E ，F 分别是PA ，AC 的中点．求证： （1）EF // 平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．17. 某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t （秒）的变化规律大致可用y =−(1+4sin 2tπ60)x 2+20(sin tπ60)x(t 为时间参数，x 的单位：m)来描述，其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴． （1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？ 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，以椭圆C 左顶点T 为圆心作圆T ：(x +2)2+y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM →⋅TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O为坐标原点，求证：OR ⋅OS 为定值． 19. 已知数列{a n }满足下列条件： ①首项a 1=a ，(a >3, a ∈N ∗)； ②当a n =3k ，(k ∈N ∗)时，a n+1=a n 3；③当a n ≠3k ，(k ∈N ∗)时，a n+1=a n +1． （1）当a 4=1，求首项a 之值； （2）当a =2014时，求a 2014；（3）试证：正整数3必为数列{a n }中的某一项．20. 已知函数f(x)=a −blnx(a, b ∈R)，其图象在x =e 处的切线方程为x −ey +e =0．函数g(x)=kx (k >0)，ℎ(x)=f(x)x−1．（1）求实数a 、b 的值；（2）以函数g(x)图象上一点为圆心，2为半径作圆C ，若圆C 上存在两个不同的点到原点O 的距离为1，求k 的取值范围；（3）求最大的正整数k ，对于任意的p ∈(1, +∞)，存在实数m 、n 满足0<m <n <p ，使得ℎ(p)=ℎ(m)=g(n)．【选做题】在四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1几何证明选讲21. 选修4−1：几何证明选讲如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形； （1）求AM 的长； （2）求sin∠ANC ．选修4-2矩阵与变换22. 已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1→=[11]，并且矩阵M 对应的变换将点(−1, 2)变换成(3, 0)，求矩阵M ．选修4-4参数方程与极坐标23. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l 的参数方程是{x =−35t +2，y =45t ，（t 为参数）．(1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值．选修4-5不等式证明选讲24. 已知x 2+y 2=2，且|x|≠|y|，求1(x+y)2+1(x−y)2的最小值．25. 如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB =90∘，PM // BC ，PM =1，BC =2，又AC =1，∠ACB =120∘，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60∘． （1）求二面角M −AC −B 的余弦值； （2）求点C 到面MAB 的距离． 26. 已知二项式(√x 5+12x)m的展开式中第2项为常数项t ，其中m ∈N ∗，且展开式按x 的降幂排列．(1)求m 及t 的值．(2)数列{a n }中，a 1=t ，a n =t a n−1，n ∈N ∗，求证：a n −3能被4整除．2014年江苏省某校高考数学一模试卷答案1. {x|0<x <1}2. 43. 254. −1或20145. y =±√52x 6. 125 7.4√63 8. (−2, 1) 9. 13 10. 8 11. 12 12. (94, 154) 13. [−1, 2] 14. [1,1+√52)15. 解：（1）f(x)=3sinωx−√3cosωx=2√3(√32sinωx−12cosωx)=2√3sin(ωx−π6)，∵ T=2πω=π，∴ ω=2，即f(x)=2√3sin(2x−π6)，由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得：kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[kπ−π6, kπ+π3](k∈Z)；（2）∵ f(A2)=2√3sin(A−π6)=√3，∴ sin(A−π6)=12，∵ 0<A<π，∴ −π6<A−π6<5π6，即A=π3，∵ asinA =bsinB，a=√3b，∴ sinB=bsinAa =√33×√32=12，∵ a>b，∴ A>B，则B=π6，A=π3，C=π2．16. 证明：（1）在△APC中，因为E，F分别是PA，AC的中点，所以EF // PC，…又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF // 平面PBC；…（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE；…又PA⊥PC，EF // PC，所以PA⊥EF，…因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…17. 花坛的长为10√2m，宽为5√2m，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求．…18. 依题意，得a＝2，e=ca =√32，∴ c=√3，b=√4−3=1，故椭圆C的方程为x 24+y2=1．方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x 1, y 1)，N(x 1, −y 1)，不妨设y 1>0． 由于点M 在椭圆C 上，所以y 12=1−x 124． (∗)由已知T(−2, 0)，则TM →=(x 1+2,y 1)，TN →=(x 1+2,−y 1)， ∴ TM →⋅TN →=(x 1+2,y 1)⋅(x 1+2,−y 1) ＝(x 1+2)2−y 12=(x 1+2)2−(1−x 124)=54x 12+4x 1+3=54(x 1+85)2−15．由于−2<x 1<2，故当x 1=−85时，TM →⋅TN →取得最小值为−15．由(∗)式，y 1=35，故M(−85,35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2=1325． 故圆T 的方程为：(x +2)2+y 2=1325．方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M(2cosθ, sinθ)，N(2cosθ, −sinθ)， 不妨设sinθ>0，由已知T(−2, 0)，则TM →⋅TN →=(2cosθ+2,sinθ)⋅(2cosθ+2,−sinθ) ＝(2cosθ+2)2−sin 2θ ＝5cos 2θ+8cosθ+3 =5(cosθ+45)2−15．故当cosθ=−45时，TM →⋅TN →取得最小值为−15，此时M(−85,35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2=1325．故圆T 的方程为：(x +2)2+y 2=1325．方法一：设P(x 0, y 0)，则直线MP 的方程为：y −y 0=y 0−y1x 0−x 1(x −x 0)，令y ＝0，得x R =x 1y 0−x 0y 1y 0−y 1，同理：x S =x 1y 0+x 0y 1y 0+y 1，故x R⋅x S=x12y02−x02y12y02−y12 (∗∗)又点M与点P在椭圆上，故x02=4(1−y02)，x12=4(1−y12)，代入(∗∗)式，得：x R⋅x S=4(1−y12)y02−4(1−y02)y12y02−y12=4(y02−y12)y02−y12=4．所以|OR|⋅|OS|＝|x R|⋅|x S|＝|x R⋅x S|＝4为定值．方法二：设M(2cosθ, sinθ)，N(2cosθ, −sinθ)，不妨设sinθ>0，P(2cosα, sinα)，其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：y−sinα=sinα−sinθ2cosα−2cosθ(x−2cosα)，令y＝0，得x R=2(sinαcosθ−cosαsinθ)sinα−sinθ，同理：x S=2(sinαcosθ+cosαsinθ)sinα+sinθ，故x R⋅x S=4(sin2αcos2θ−cos2αsin2θ)sin2α−sin2θ=4(sin2α−sin2θ)sin2α−sin2θ=4．所以|OR|⋅|OS|＝|x R|⋅|x S|＝|x R⋅x S|＝4为定值．19. （1）解：当a4=1时，因为a n+1=a n3，所以a3=3，此时，若a2=2，则a=6；若a2=9，则a=27或8，综上所述，a之值为6或8或27．…（2）解：当a=2014时，a2=2015，a3=2016，a4=672，a5=224，a6=225，a7=75，a8=25，a9=26，a10=27，a11=9，a12=3，a13=1，a14=2，a15=3，以下出现周期为3的数列，从而a2014=a13=1；…（3）证明：由条件知：若a n=3k，(k∈N∗)，则a n+1=a n3，a n+3≤a n3+2；若a n=3k+1，(k∈N∗)，则a n+1=a n+1=3k+2，a n+2=3k+3，a n+3=k+1<13a n+2；若a n=3k+2，(k∈N∗)，则a n+1=a n+1=3k+3，a n+2=13(a n+1)，a n+3≤13(a n+1)+1<13a n+2；…综上所述，a n+3≤13a n+2，从而a n−a n+3≥23(a n−3)，故当a n>3时，必有a n−a n+3>0，因a n∈N∗，故a n−a n+3≥1，所以数列{a n}中必存在某一项a m≤3（否则会与上述结论矛盾！）若a m=3，则a m+1=1，a m+2=2；若a m=2，则a m+1=3，a m+2=1，若a m =1，则a m+1=2，a m+2=3，综上所述，正整数3必为数列{a n }中的某一项． … 20. 解：（1） 当x =e 时，y =2，f′(x)=−bx ， 故{a −b =2−b e =1e，解得{a =1b =−1．（2）问题即为圆C 与以O 为圆心1为半径的圆有两个交点，即两圆相交． 设C(x 0，kx 0)，则1<√x 02+k 2x 02<3，即{k 2>x 02−x 04k 2<9x 02−x 04， ∵ x 02−x 04=−(x 02−12)2+14，∴ x 02−x 04≤14，∴ k 2>x 02−x 04必定有解； ∵ 9x 02−x 04=−(x 02−92)2+814，∴ 9x 02−x 04≤814，故k 2<9x 02−x 04有解，须k 2<814，又k >0，从而0<k <92．（3）显然g(x)=kx (k >0)在区间(1, +∞)上为减函数，于是g(n)>g(p)，若ℎ(p)=g(n)，则对任意p >1，有ℎ(p)>g(p)． 当x >1时，ℎ(x)>g(x)⇔k <x(1+lnx)x−1，令φ(x)=x(1+lnx)x−1(x >1)，则φ/(x)=x−2−lnx (x−1)2．令ϕ(x)=x −2−lnx(x >1)，则ϕ/(x)=x−1x>0，故ϕ(x)在(1, +∞)上为增函数，又ϕ(3)=1−ln3<0，ϕ(4)=2−ln4>0， 因此存在唯一正实数x 0∈(3, 4)，使ϕ(x 0)=x 0−2−lnx 0=0．故当x ∈(1, x 0)时，φ′(x)<0，φ(x)为减函数；当x ∈(x 0, +∞)时，φ′(x)>0，φ(x)为增函数，因此φ(x)在(1, +∞)上有最小值φ(x 0)=x 0(1+lnx 0)x 0−1，又x 0−2−lnx 0=0，化简得φ(x 0)=x 0∈(3, 4)，∴ k ≤3．下面证明：当k =3时，对0<x <1，有ℎ(x)<g(x)．当0<x <1时，ℎ(x)<g(x)⇔3−2x +xlnx >0．令ψ(x)=3−2x +xlnx(0<x <1)， 则ψ′(x)=lnx −1<0，故ψ(x)在(0, 1)上为减函数， 于是ψ(x)>ψ(1)=1>0．同时，当x ∈(0, +∞)时，g(x)=3x ∈(0,+∞)．当x ∈(0, 1)时，ℎ(x)∈R ；当x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)∈(0, +∞)．结合函数的图象可知，对任意的正数p ，存在实数m 、n 满足0<m <n <p ，使得ℎ(p)=ℎ(m)=g(n)．综上所述，正整数k 的最大值为3．21. 解：（1）连接BM ，则 ∵ MN 是⊙O 的直径，∴ ∠MBN =90∘，∵ 四边形BCON 是平行四边形，∴ BC // MN ，又∵ AM 是⊙O 的切线，可得MN ⊥AM ，∴ BC ⊥AM ， ∵ C 是AM 的中点，∴ BC 是△ABM 的中线， 由此可得△ABM 是等腰三角形，即BM =BA ， ∵ ∠MBN =90∘，∴ ∠BMA =∠A =45∘，因此得到Rt △NAM 是等腰直角三角形，故AM =MN =2．… （2）作CE ⊥AN 于E 点，则 由（1），得△CEA 是等腰直角三角形，且AC =1 ∴ CE =√22AC =√22， ∵ Rt △MNC 中，MN =2，MC =1，∴ CN =√22+12=√5， 故Rt △ENC 中，sin∠ANC =CE NC=√1010．… 22. 解：设矩阵M =[abc d]，这里a ，b ，c ，d ∈R ， 则[a b c d ] [11]=3 [11]=[33]，故{a +b =3，c +d =3，①[a b cd ][−12]=[30]，故{−a +2b =3，−c +2d =0，②由①②联立解得{a =1，b =2，c =2，d =1，∴ M =[1 22 1]．23. 解：(1)曲C 的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ， 又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ．所以，曲C 的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0．(2)将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：y =−43(x −2)．令y =0得x =2即M 点的坐标为(2, 0) 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0, 1)半径r =1，则|MC|=√5，∴ |MN|≤|MC|+r =√5+1． 所以|MN|max =√5+1.24. 解：∵ x 2+y 2=2，∴ (x +y)2+(x −y)2=4．∵ ((x +y)2+(x −y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴ 1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x =±√2，y =0，或x =0,y =±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．25. 解：（1）∵ PC ⊥AB ，PC ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴ PC ⊥平面ABC ．在平面ABC 内，过C 作CD ⊥CB ，建立空间直角坐标系C −xyz （如图） 由题意有A(√32，−12，0)，设P(0, 0, z 0)(z 0>0)，则M(0,1,z 0)，AM →=(√32,−12,z 0)，CP →=(0,0,z 0)由直线AM 与直线PC 所成的角为600， 得AM →⋅CP →=|AM →|⋅|CP →|⋅cos600，即z 02=π2√z 02+3⋅z 0，解得z 0=1∴ CM →=(0,0,1)，CA →=(√32,−12,0)， 设平面MAC 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{y 1+z 1=0√32y 1−12z 1=0，取x 1=1，得n 1→=(1,√3,−√3)，平面ABC 的法向量取为n 2→=(0,0,1)设n 1→与n 2→所成的角为θ，则cosθ=|n 1→|⋅|n 2→|˙=−√3√7．二面角M −AC −B 的平面角为锐角， 故二面角M −AC −B 的余弦值为√217．… （2）M(0, 1, 1)，A(√32，−12，0)，B(0, 2, 0)， ∴ AM →=(−√32,32,1)，MB→=(0,1,−1)．CB →=(0, 2, 0)，设平面MAB 的一个法向量m →=(x 2,y 2,z 2)， 则{−√32x 2+32y 2+z 2=0y 2−z 2=0，取z 2=1，得m →=(5√3,1,1)，则点C 到平面MAB 的距离d =|m →|˙=2√9331．… 26. 解：(1) T 2=C m 1(x 15)m−1(12x )1=C m 1⋅12⋅x m−65， 故m−65=0，m =6，t =C 61⋅12=3． (2)证明：①当n =1时，a 1=3，a 1−3=0，能被4整除． ②假设当n =k 时，a k −3能被4整除，即a k −3=4p ，其中p 是非负整数． 那么当n =k +1时，a k+1=34p+3=(1+2)4p+3=C 4p+30+C 4p+31⋅2+C 4p+32⋅22+⋯+C 4p+34p+324p+3=1+8p +6+4(C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) =3+8p +4+4(C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) =3+4(2p +1+C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) 显然2p +1+C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1是非负整数， a k+1−3能被4整除．由①、②可知，命题对一切n ∈N ∗都成立．。

2014年新疆高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集I＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，5}，N＝{2，3，5}，那么∁I（M∪N）＝（）A．∅B．4C．{1，3}D．{4}2．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+3y的最大值是（）A．13B．12C．11D．103．（5分）在复数范围内，i为虚数单位，若实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y ＝2 则x﹣y的值是（）A．1B．0C．﹣2D．﹣34．（5分）若a＝sin，b＝tan，c＝cos，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 5．（5分）已知椭圆（a＞0）与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）设一次函数y＝f（x）（x∈R）为奇函数，且f（1）＝，f（5）＝（）A．B．1C．3D．57．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣5，a3+a7＝6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9B．6C．3D．18．（5分）已知函数f（x）＝4a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1＝0上，则2m×16n的值是（）A．1B．2C．8D．49．（5分）半径为1的球的内接正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的侧面积为3，则正三棱柱的高为（）A．2B．C．2D．10．（5分）下列命题是假命题的是（）A．∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ成立B．∀x＞0，有lg2x+lgx+1＞0成立C．△ABC中，“A＜B”是“sin A＜sin B”成立的充要条件D．∃x∈R，使sin x+cos x＝成立11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n为（）A．3B．6C．5D．412．（5分）已知函数f（x）＝在区间[，]上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是．14．（5分）直线l的倾斜角α满足3sinα＝4cosα，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是．15．（5分）在区间[﹣9，9]上随机取一实数x，函数y＝的定义域为D，则x∈D的概率为．16．（5分）若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x），则下列结论：①f（x）的图象过点（1，0）；②f（x）的图象关于直线x＝1对称；③f（x）是周期函数，且2是它的一个周期；④f（x）在区间（﹣1，1）上是单调函数；其中正确结论的序号是（填上你认为所有正确结论的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知f（x）＝2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）﹣（x∈R，0≤θ≤π）是偶函数．（Ⅰ）求θ和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，a＝5，b＝3，f（C）＝﹣1，求c．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，D是A1C的中点．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：平面ABB1⊥平面BDC．19．（12分）某校共有400名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：（低于20分0人）（Ⅰ）求a，b，c的值，并估计该校本次考试的数学平均分；（Ⅱ）教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从前四组中，利用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率．20．（12分）已知点P（2，0）及椭圆C：x2+16y2＝16．（Ⅰ）过点P的直线l1与椭圆交于M、N两点，且|MN|＝，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（Ⅱ）设直线kx﹣y+1＝0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣2x2+alnx（a是常数）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证若函数f（x）在区间[，3]上为单调函数，求a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线于M．（Ⅰ）已知∠BMD＝40°，求∠MED：；（Ⅱ）设圆O的半径为1，MD＝，求MA及CD的长．选修4--4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为C1：（t 为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（1）求曲线C2的直角坐标方程，说明它表示什么曲线，并写出其参数方程；（2）过直线C1上的点向曲线ρ＝1作切线，求切线长的最小值．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣a．（1）当a＝1时，求f（x）≤1的解集；（2）若f（x）≥|x+3|恒成立，求a的取值范围．2014年新疆高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集I＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，5}，N＝{2，3，5}，那么∁I（M∪N）＝（）A．∅B．4C．{1，3}D．{4}【解答】解：因为M＝{1，2，5}，N＝{2，3，5}，所以M∪N＝{1，2，3，5}，因为全集I＝{1，2，3，4，5}，所以∁I（M∪N）＝{4}故选：D．2．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+3y的最大值是（）A．13B．12C．11D．10【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝，平移直线y＝，由图象可知当直线y＝经过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3）．此时z的最大值为z＝2×2+3×3＝13，故选：A．3．（5分）在复数范围内，i为虚数单位，若实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y ＝2 则x﹣y的值是（）A．1B．0C．﹣2D．﹣3【解答】解：实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y＝2，∴，可得x﹣y＝0．故选：B．4．（5分）若a＝sin，b＝tan，c＝cos，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【解答】解：∵0＜＜，＜＜π，∴a＝sin＞0，tan＜cos＜0，∴b＜c＜a，故选：C．5．（5分）已知椭圆（a＞0）与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的焦点F（，0），∴由题意知椭圆（a＞0）的焦点也是F（，0），∴在椭圆中，b＝3，c＝，a＝，∴e＝．故选：C．6．（5分）设一次函数y＝f（x）（x∈R）为奇函数，且f（1）＝，f（5）＝（）A．B．1C．3D．5【解答】解：∵一次函数y＝f（x）（x∈R）为奇函数，∴设f（x）＝kx，∵f（1）＝，∴，∴f（x）＝x，f（5）＝＝．故选：A．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣5，a3+a7＝6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9B．6C．3D．1【解答】解：在等差数列中，由a1＝﹣5，a3+a7＝6，则2a1+7d＝6，解得d＝＞0，则a n＝＝，由a n≤0得n，即当n≤3时，a n＜0，当n≥4时，a n＞0，即当S n取最小值时，n等于3，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝4a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1＝0上，则2m×16n的值是（）A．1B．2C．8D．4【解答】解：函数f（x）＝4a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P（1，4），∵点P在直线mx+ny﹣1＝0上，∴m+4n＝1，2m×16n＝2m⋅24n＝2m+4n＝21＝2，故选：B．9．（5分）半径为1的球的内接正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的侧面积为3，则正三棱柱的高为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图所示，设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为O1，O2，球心为O，底面正三角形的边长为a，高为h，则AO2＝a＝．棱柱的侧面积3ah＝3，h＝．由已知得O1O2⊥底面，在Rt△OAO2中，∠AO2O＝90°，由勾股定理得OO2＝，，解答a＝．h＝＝＝故选：D．10．（5分）下列命题是假命题的是（）A．∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ成立B．∀x＞0，有lg2x+lgx+1＞0成立C．△ABC中，“A＜B”是“sin A＜sin B”成立的充要条件D．∃x∈R，使sin x+cos x＝成立【解答】解：A．∃α＝β＝0，使tan（α+β）＝tanα+tanβ成立，∴A正确．B．lg2x+lgx+1＝（lgx+）2+＞0，∴B正确．C．在△中，A＜B等价为a＜b，根据正弦定理可知sin A＜sin B，即“A＜B”是“sin A＜sin B”成立的充要条件，∴C正确．D．∵sin x+cos x＝，∴D错误．故选：D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n为（）A．3B．6C．5D．4【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行S＝0+3×1＝3，n＝1+1＝2；第二次运行S＝3+3×2＝9，n＝2+1＝3；第三次运行S＝9+3×3＝18，n＝3+1＝4；第四次运行S＝18+3×4＝30，n＝4+1＝5；第五次运行S＝30+3×5＝45，n＝5+1＝6．此时不满足条件S＜40，程序运行终止，输出n＝6．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝在区间[，]上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（x）在区间[，]上单调递减，又f（x）＞0，∴0＜2×﹣a＜1，且0＜2×﹣a＜1．解得：＜a＜1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是30．【解答】解：根据已知中的三视图可知该几何体由一个正方体和一个正四棱锥组成＝3×3×3＝27其中正方体的棱长为3，故V正方体下四棱锥的底面棱长为3，高为1，故V＝×3×3×1＝3正四棱锥故这个几何体的体积V＝27+3＝30故答案为：30．14．（5分）直线l的倾斜角α满足3sinα＝4cosα，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是4x﹣3y﹣8＝0．【解答】解：∵直线l的倾斜角α满足3sinα＝4cosα，∴tanα＝，即直线的斜率k＝tanα＝，∵在x轴上的截距为2，∴直线过点（2，0），则直线的方程为y﹣0＝，即4x﹣3y﹣8＝0，故答案为：4x﹣3y﹣8＝0．15．（5分）在区间[﹣9，9]上随机取一实数x，函数y＝的定义域为D，则x∈D的概率为．【解答】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为9﹣（﹣9）＝18，由于函数y＝的定义域为D＝[﹣2，1）∪（1，2]，构成事件x∈D的区域长度为2﹣（﹣2）＝4，所以在区间[﹣9，9]上随机取一实数x，函数y＝的定义域为D，则x∈D 的概率为．故答案为：．16．（5分）若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x），则下列结论：①f（x）的图象过点（1，0）；②f（x）的图象关于直线x＝1对称；③f（x）是周期函数，且2是它的一个周期；④f（x）在区间（﹣1，1）上是单调函数；其中正确结论的序号是①③（填上你认为所有正确结论的序号）【解答】解：∵定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x），∴f（1）＝﹣f（0）＝0，则f（x）的图象过点（1，0），①正确；由f（1+x）＝﹣f（x）＝f（﹣x）得，f（x）的图象关于直线x＝对称，②不正确；令x取x+1代入f（1+x）＝﹣f（x）得，f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），则f（x）是周期函数，且2是它的一个周期，③正确；∵f（x）的图象关于直线x＝对称，∴f（x）在区间（﹣1，1）上不是单调函数，则④不正确；故答案为；①③．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知f（x）＝2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）﹣（x∈R，0≤θ≤π）是偶函数．（Ⅰ）求θ和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，a＝5，b＝3，f（C）＝﹣1，求c．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）﹣＝sin（2x+θ）+cos（2x+θ）＝2sin（2x+θ+），∵f（x）是偶函数，∴θ+，k∈Z即θ＝，∵0≤θ≤π，∴当k＝0时，θ＝，即f（x）＝2cos2x，∴f（x）的最小正周期T＝；（Ⅱ）∵f（C）＝﹣1，∴f（C）＝2cos2C＝﹣1，即cos2C＝﹣，∴2C＝，即C＝，∵a＝5，b＝3，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝25+9﹣2×＝19，即c＝．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，D是A1C的中点．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：平面ABB1⊥平面BDC．【解答】（Ⅰ）解：取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥平面ABC，在Rt△BDO中，BO＝，DO＝，∴BD＝＝；（Ⅱ）证明：∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∵BB1⊥BC，BB1∩AB＝B，∴BC⊥平面ABB1，∵BC⊂平面BDC，∴平面ABB1⊥平面BDC．19．（12分）某校共有400名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：（低于20分0人）（Ⅰ）求a，b，c的值，并估计该校本次考试的数学平均分；（Ⅱ）教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从前四组中，利用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率．【解答】解：（Ⅰ）设样本容量为n，则由题意可得＝0.04，解得n＝50．由＝0.08，解得a＝4；b＝＝0.12；c即样本容量，为50．估计该校本次考试的数学平均分为25×0.04+35×0.04+45×0.08+55×0.12+65×0.3+75×0.08+85×0.28+95×0.06＝70.6．（Ⅱ）前4组共有14人，利用分层抽样抽取7人，显然第一组抽取1人，第二组抽取1人，第三组抽取2人，第四组抽取3人．从这7人中在任意抽取2人，所有的抽法共有＝21种，而抽取的这2人来自同一个组的抽法有+＝4种，故这两人都来自同一组的概率为．20．（12分）已知点P（2，0）及椭圆C：x2+16y2＝16．（Ⅰ）过点P的直线l1与椭圆交于M、N两点，且|MN|＝，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（Ⅱ）设直线kx﹣y+1＝0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆方程化为，∵P（2，0）在椭圆内部，∴过P的直线与椭圆总是交于两点M，N，当|MN|＝时，直线垂直于x轴，此时MN的中点为P，圆Q的中心为P（2，0），半径为r＝，∴所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝．（Ⅱ）联立，消去y，并整理，得（16k2+1）x2+32kx＝0，解得，或，∴A（0，1），B（），∴AB的中点M（，），∴，＝（，），∵，∴k＝0，或32k2+15k+2＝0，∴k＝0，当k＝0时，A，B两点重合，这矛盾，∴不存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣2x2+alnx（a是常数）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证若函数f（x）在区间[，3]上为单调函数，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x﹣2x2+lnx，f'（x）＝1﹣4x+，当x＝1时，f（1）＝﹣1，f'（1）＝﹣2．∴当x＝1时，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y+1＝﹣2（x﹣1）．即切线方程为：2x+y﹣1＝0．（Ⅱ）∵f（x）＝x﹣2x2+alnx，∴f'（x）＝1﹣4x+＝（x＞0）．∵函数f（x）在区间[，3]上为单调函数，∴f'（x）在区间[，3]上的值恒为正，或者值恒为负．记g（x）＝﹣4x2+x﹣a，则g（x）在区间[，3]上的值恒为正，或者值恒为负．∵g（x）＝﹣4x2+x﹣a的图象开口向下，对称轴为：，∴，故有：．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线于M．（Ⅰ）已知∠BMD＝40°，求∠MED：；（Ⅱ）设圆O的半径为1，MD＝，求MA及CD的长．【解答】解：（Ⅰ）连接OD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵MD切圆O于D，∴∠ODM＝∠ODC+∠MDE＝90°，∵OC⊥AB，∴∠OCD+∠OEC＝90°，∴∠OEC＝∠MDE，∵∠OEC＝∠MED，∴∠MDE＝∠MED，∵∠BMD＝40°，∴∠MED＝＝70°．（Ⅱ）∵∠ODM＝90°，OD＝1，MD＝，∴OM＝2，∵OA＝1，∴MA＝OM﹣OA＝1，∵ME＝MD＝，∴OE＝OM﹣ME＝2﹣，∵OC⊥OE，OC＝1，∴CE2＝1+（2﹣）2＝8﹣4＝（﹣）2，∴CE＝，∵DE＝＝2，∴CD＝CE+DE＝．选修4--4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为C1：（t 为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（1）求曲线C2的直角坐标方程，说明它表示什么曲线，并写出其参数方程；（2）过直线C1上的点向曲线ρ＝1作切线，求切线长的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4，它表示圆心在原点，半径为2的圆；它的参数方程为，θ为参数；（2）∵直线C1的参数方程为（t为参数），化为普通方程是x﹣y﹣2＝0；曲线ρ＝1的普通方程是x2+y2＝1，如图；圆心（0，0）到直线的距离是d＝＝，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值是l，∴l2＝d2﹣r2＝﹣12＝2，∴l＝．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣a．（1）当a＝1时，求f（x）≤1的解集；（2）若f（x）≥|x+3|恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）≤1⇔|x﹣2|﹣1≤1，∴|x﹣2|≤2，解得：0≤x≤4．∴当a＝1时，f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤4}；（2）∵|x﹣2|﹣a≥|x+3|恒成立，∴a≤|x﹣2|﹣|x+3|恒成立，令g（x）＝|x﹣2|﹣|x+3|，则a≤g（x）min，当x＜﹣3时，g（x）＝5；当﹣3≤x≤2时，g（x）＝﹣2x﹣1∈[﹣5，5]；当x＞3时，g（x）＝﹣5；∴g（x）min＝﹣5．∴a≤﹣5，即a的取值范围为（﹣∞，﹣5]．。