高密市教科院2011-2012学年高一下学期期末考试数学（文）试题本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在ABC ∆中，若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)-- 2.1tan 751tan 75+︒-︒等于A .3B .C .D . 3-3. 已知两个非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则下面结论正确的是 A . //a b B . a b ⊥ C ．a b = D . a b a b +=-4. 已知角α的终边上一点(8,15)P m m -（0m <），则cos α的值是 A .817 B . 817- C . 817或817- D . 根据m 确定 5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为 A ．18 B ．36C ．54D ．726. 圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线y x =-的最小距离为A ．1B ．CD ．17．已知向量,a b 满足6)()2(-=-⋅+b a b a ，且1=a ，2=b ，则a 与b的夹角为A ．23π B ．2π C ．3πD ．6π8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15 9．函数3sin(2)3y x π=+，则下列关于它的图象的说法不正确的是A ．关于点(,0)6π-对称 B ．关于点(,0)3π对称 C ．关于直线712x π=对称 D ．关于直线512x π=对称10．下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是A ．cos()2y x π=+ B ．cos(2)2y x π=+ C ．sin()2y x π=+D . sin(2)2y x π=+11．如果函数()sin()32f x x a π=+++在区间5[,]36ππ-a 的值为A B C D12．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为7cm ，把一枚半径为2cm 的硬币 任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 A .27 B . 47 C ．37 D . 57第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用钢笔或圆珠笔答在答题卡指定的位置上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填在答题纸的横线上． 13．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵. 为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 . 14．已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=，则_____b =.15．如右下图是一个算法的程序框图，最后输出的S = .16． 已知1010)sin(-=+απ，20πα<<，552)2sin(-=-βπ，23πβπ<<，则βα+ 的值是 ．三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知函数cos 2()sin()4xf x x π=-．（Ⅰ）化简函数()f x 的解析式，并求定义域；（Ⅱ）若4()3f α=，求sin 2α的值．18．（本小题满分12分）设向量→1e ,→2e 的夹角为060且︱1e ︱=︱2e ︱=1，如果→→→+=21e e AB ，→→→+=2182e e BC ，)(321→→→-=e e CD .（Ⅰ）证明：A 、B 、D 三点共线；（Ⅱ）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量→→+212e e 与向量→→+21e k e 垂直.19.（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见右表：某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）分别求出甲、乙两居民区PM2.5质量较好一些；（Ⅱ）若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率．20.（本小题满分12分）高一、三班n名学生在一次数学单元测试中，成绩全部介于80分与130分之间，将测试成绩按如下方式分成五组，第一组[80，90）；第二组[90，100），……，第五组[120，130]，并得到频率分布表如下：（Ⅰ）求n及分布表中x，y，z的值；（Ⅱ）设,t s是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩，求事件“10t s-≤”的概率．21.（本小题满分12分）已知函数2()sin cosf x x x xωωω=⋅+0>ω），直线1xx=，2xx=是)(xfy=图象的任意两条对称轴，且||21xx-的最小值为4π．（Ⅰ）求()f x的表达式；（Ⅱ）将函数()f x的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x=的图象.若关于x的方程()0g x k+=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.467858 3887 5高一数学参考答案及评分标准由题意sin()04x π-≠，()4x k k Z ππ∴-≠∈，其定义域为,4x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．-------------8分（Ⅱ）4()cos )3f ααα=+=，sin cos 3αα∴+=，-------------10分2sin 2(sin cos )1ααα∴=+-81199=-=-．-------------12分18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵212155,e e e e +=+=+=,----------3分∴5= 即,共线， ∴D B A ,,三点共线. ----------6分（Ⅱ）∵)()2(2121e k e e e +⊥+，∴0)()2(2121=+∙+e k e e e ， 02222212121=+++e k e e e e k e ，---------8分0212=+++k k , ---------10分 解得45-=k .----------12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）甲居民区抽测样本数据分别是37,45,73,78,88；乙居民区抽测的样本数据分别是32,48,67,65,80. -------------1分37+45+73+78+88==64.25x 甲 -------------3分32+48+67+65+80==58.45x 乙 -------------5分则>x x 乙甲由此可知，乙居民小区的空气质量要好一些．-------------6分（Ⅱ）由茎叶图知，甲居民区5天中有3天空气质量未超标，有2天空气质量超标．----------- ----------- -----------8分记未超标的3天样本数据为a b c 、、，超标的两天为m n 、，则从5天中抽取2天的所有情况为：ab ac am an bc 、、、、、 bm bn cm cn mn 、、、、，基本事件数为10．-----------------10分记“5天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ，可能结果为： am an bm 、、、 bn 、cm 、 cn ，基本事件数为6． 63()105P A ∴==．--------------12分 20. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）10.040.380.340.060.18y =----=. ………………………………2分3500.06n ==. …………………………………………………3分 500.042x =⨯=， 500.3819z =⨯=. ……………………………5分（Ⅱ）第一组[80, 90)中有2名学生，设其成绩为,m n ；第五组有3名学生，设其成绩为a b c 、、.则抽取(,)t s 的基本事件空间{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)m n m a m b m c n a n b n c Ω=(,),(,),a b a c }(,)b c 共10个基本事件. ………………………………………………………8分设事件A 为“10t s -≤”则A ={}(,),(,),(,),(,)x y a b a c b c . ………10分 所以42()105P A ==. 即事件10t s -≤的概率为25. ………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1()sin 222f x x ω=-1sin 22sin(2)223x x x πωωω=+=+，---------------------------3分 由题意知，最小正周期242T ππ=⨯=，222T πππωω===，所以2ω=，∴()sin(4)3f x x π=+. ----------------6分（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移个8π个单位后，得到sin(4)6y x π=-的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin(2)6y x π=-的图象.所以()sin(2).6g x x π=- -------------------------9分令26x t π-=，∵02x π≤≤,∴566t ππ-≤≤，-----------------------10分()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点，-------------------------11分 由正弦函数的图像可知1122k -≤-<或1k -=，∴1122k -<≤或1k =-. ------------12分22.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩，………………2分则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=. ………………4分(Ⅱ)当切线的斜率存在时，设切线方程为(2y k x =+，则=4k =，所以切线方程为342y x =+，………………7分当切线的斜率不存在时，切线方程为x =8分所以切线的方程为32y x =+或x =9分 (Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，则直线PA 的方程为：)1(1-=-x k y ，直线PB 的方程为：)1(1--=-x k y ， 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩， 得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= ，……10分 因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22112k k k x A +--=，同理，22211B k k x k+-=+, …………………12分 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k ，所以，直线AB 和OP 一定平行．……………………………………14分。
