3.1.1随机事件的概率学案(上课用)(1)

_3.1随机事件的概率

3． 1.1 随机事件的概率

事件的概念及分类

[提出问题]

(1)在山顶上，抛一块石头，石头下落．

(2)在常温下，铁熔化．

(3)掷一枚硬币，出现正面向上．

问题：以上3个事件中，哪一个是确定会发生的？哪一个是确定不会发生的，哪一个是有可能发生也有可能不发生的？

[导入新知]

事件 确定事件 不可能事件 在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的不可能事件

必然

事件 在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的必然事件

随机事件 在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的随机事件

[化解疑难] 理解随机事件应注意的问题

(1)随机事件就是在条件S下，不能事先预测结果的事件．

(2)当条件S改变时，事件的性质也可能发生变化，因此在判断事件类型时，一定要明确前提条件S，它决定着事件的属性．例如，“常温常压下，水沸腾”是不可能事件，但“100℃常压下，水沸腾”就成为必然事件

频数与频率

[提出问题]

抛掷一枚硬币100次，出现正面向上48次．

问题1：你能计算正面向上的频率吗？

问题2：掷一枚硬币一次，出现正面向上的概率为多少？

[导入新知]

1．频数与频率

(1)前提：对于给定的随机事件A，在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否

出现．

(2)频数：指的是n次试验中事件A出现 nA.

频率：指的是事件A出现的比例fn(A)＝

2．概率

(1)定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 ，称为事件A的概率．

(2)范围：

(3)意义：概率从数量上反映了随机事件发生的 的大小．

[化解疑难]

频率与概率的关系

名称

区别 联系

频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率 概率 一个[0,1]的确定值，不随试验结果的改变而改变

事件的分类

[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

(2)三角形的内角和为180°；

(3)没有空气和水，人类可以生存下去；

(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；

(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；

(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．

[类题通法]

对事件分类的两个关键点

(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；

(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．

[活学活用]

指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．

(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭．

(2)若a为实数，则|a|≥0.

(3)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上．

(4)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标．

(5)没有水分，种子发芽．

试验及重复试验的结果的分析

[例2] 指出下列试验的条件和结果：

(1)某人射击一次，命中的环数；

(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；

(3)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，一次任取2个球．

[类题通法]

分析试验结果的方法

(1)首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的概率的前提和基础．

(2)在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列举，才能保证没有重复，也没有遗漏．

[活学活用]

下列随机事件中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？

(1)一天中，从北京站开往合肥站的3列列车，全部正点到达；

(2)某人射击两次，一次中靶，一次未中靶．

概率及其求法

[例3] 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：

分组 [0，

900) [900，

1 100) [1100，

1300) [1 300，

1 500) [1 500，

1 700) [1 700，

1 900) [1 900，

＋∞)

频数 48 121 208 223 193 165 42

频率

(1)将各组的频率填入表中；

(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．

[类题通法]

估算法求概率

(1)用频率估计概率

①进行大量的随机试验，求得频数；

②由频率计算公式fn(A)＝nAn得频率；

③由频率与概率的关系估计概率．

(2)注意事项

试验次数n不能太小．只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近摆动，且这个常数就是概率．

[活学活用]

某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数n 10 20 50 100 200 500

击中靶心的次数m 8 19 44 92 178 455

击中靶心的频率mn

(1)填写表中击中靶心的频率；

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)?

8.事件判断中的误区

[典例] 从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( ) A．3个都是正品 B．至少有1个是次品

C．3个都是次品 D．至少有1个是正品

[易错防范]

1．本题易误认为正品数远大于次品数，抽出的就都是正品，从而错选A.

2．本题还易错误的认为，因为产品中既有正品也有次品，因此抽取的3个产品中应两种产品都有，从而误选B.

3．在试验中，当可能结果不唯一时，要判断事件类型，必须把握所有的可能结果，才能正确判断．

[成功破障]

在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：

①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；

②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；

③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；

④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9.

其中，________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件(只填事件的序号即可)．

[随堂即时演练]

1．下列事件：

①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；

②经过有信号灯的路口，遇上红灯；

③从10个玻璃杯(其中8个正品；2个次品)中，任取3个，3个都是次品；

④下周六是晴天．

其中，是随机事件的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．②④

2．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )

A．不可能事件 B．必然事件C．可能性较大的随机事件D．可能性较小的随机事件

3．下列事件：

①在空间内取三个点，可以确定一个平面；

②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份；

③某电影院某天的上座率会超过50%；

④函数y＝logax(0＜a＜1)在定义域内为增函数；

⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．

其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．

4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．

5．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题.

每批粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000

发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1 370 1 786

2 715

发芽的频率

(1)完成上面表格；

(2)该油菜籽发芽的概率约是多少？

[课时达标检测]

一、选择题

1．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确

2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )

A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品

3．事件A的频率mn满足( )A.mn＝0 B.mn＝1 C．0＜mn＜1 D．0≤mn≤1

4．下列说法正确的是( )

A．任何事件的概率总是在(0,1)之间

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D．概率是随机的，在试验前不能确定

5．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( ) A．0.49 B．49 C．0.51 D．51

二、填空题

6．下列说法正确的有________．(填序号)

(1)频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性的大小．

(2)做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率mn就是事件A的概率．

(3)频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是确定性的不依赖于试验次数的理论值．

(4)在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．

7．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为________．

8．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如表(结果保留两位有效数字)：

时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内

新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191

男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590

男婴出生频率

(1)填写表中的男婴出生频率；(2)这一地区男婴出生的概率约是________．

三、解答题

9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：厘米)检验，结果如下

直径 个数 直径 个数

d∈(6.88,6.89] 1 d∈(6.93,6.94] 26

d∈(6.89,6.90] 2 d∈(6.94,6.95] 15

d∈(6.90,6.91] 10 d∈(6.95,9.96] 8

d∈(6.91,6.92] 17 d∈(6.96,6.97] 2

d∈(6.92,6.93] 17 d∈(6.97,6.98] 2

从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率：