高中数学第二章点2.3..3.4平面与平面垂直的性质优化练习新人教A版必修8
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金戈出品 学 习 资 料 汇编
2.3.3-2.3.4 平面与平面垂直的性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．无数条 D．任意条
解析：可构造图形，若a∥α，a′⊂α，且a ′∥a，则在平面α内有无数条直线垂直于a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线a.
答案：C
2．已知l，m、n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是( )
A．n∥α B．n∥α或n⊂ α
C．n⊂α或n与α不平行 D．n⊂α
解析：∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.
答案：A
3．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
解析：因为直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，所以直线l垂直于平面ABCD，而直线m垂直于AD和BC，因为AD∥BC，所以直线m与平面ABCD位置关系不确定，所以l与m的位置关系是不确定．
答案：D
4．已知直二面角αABβ，点C∈α，点D∈β，满足∠CAB＝∠DAB＝45°，AC＝AD，则∠CAD的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析：如图．过C作CO⊥AB，O为垂足，连接OD，
∵α⊥β，α∩β＝AB，CO⊥AB，
∴CO⊥β，CO⊥OD.
又∠CAO＝∠DAO＝45°，
AC＝AD，
∴△AOC≌△AOD，∴AO＝OD＝OC， 金戈出品 ∴AC＝AD＝CD，∴∠CAD＝60°.
答案：C
5.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为π4和π6，过点A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
解析：连接A′B，AB′.设AB＝a，则AA′＝12a，AB′＝22a，∴A′B′＝12a，
∴AB∶A′B′＝2∶1.
答案：A
6．若直线n⊥平面α，直线m⊂β，下列命题：①α∥β⇒n⊥m；②α⊥β⇒n∥m；③n∥m⇒α⊥β；④n⊥m⇒α⊥β.其中正确的是________．(只填序号)
解析： n⊥αα∥β⇒ n⊥βm⊂β⇒n⊥m，故①正确；
n⊥αm∥n⇒ m⊥αm⊂β⇒α⊥β，故③正确．
答案：①③
7.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：取BC的中点F，连接EF，DF(图略)，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，
tan∠EDF＝15＝55.
答案：55
8．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
解析：如图设AB中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足为A1、M1、金戈出品 B1，则由线面垂直的性质可知．
AA1∥MM1∥BB1，
四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
答案：4
9.如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明：因为M，N分别是EA，EC的中点，所以MN∥AC.
又因为AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，
所以MN∥平面ABC.
因为DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，所以DB∥EC.
所以四边形BDEC为直角梯形．
因为N为EC的中点，EC＝2DB，
所以NC綊DB.
所以四边形BCND为矩形．
所以DN∥BC.
又因为DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以DN∥平面ABC.
又因为MN∩DN＝N，且MN，DN⊂平面DMN，
所以平面DMN∥平面ABC.
[B组 能力提升]
1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )
A．变大
B．变小
C．不变
D．有时变大有时变小
解析：由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，∴BC⊥l，故BC⊥平面ACP，∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选C.
答案：C
2．给出下列四个说法：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面． 金戈出品 其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①④正确，②③错误．
答案：B
3.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________．
解析：如图，取BD的中点E，连接AE、CE.由AB＝AD得AE⊥BD.
∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD.
∴EC为AC在平面BCD上的射影，∠ACE为AC与平面BCD所成的角．
∵在Rt△BCD中，E为BD的中点，∴CE＝BE.
又AE＝BE，∴在Rt△ACE中，AE＝CE，∠ACE＝45°.
∴AC与平面BCD所成的角为45°.
答案：45°
4.如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③三棱锥A′FED的体积有最大值；
④直线A′E与BD不可能垂直．
其中正确命题的序号是________．
解析：对于命题①，由题意，知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G，故DE⊥平面A′FG.又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积有最大值，故命题③正确；对于命题④，当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证A′E与BD垂直，故该命题不正确． 金戈出品 答案：①②③
5.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．
解析：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，
tan∠CEF＝26＝33. 敬请批评指正
