何良 地震波与各向异性介质

中 国 地 质 大 学

研究生课程论文封面

课程名称 各向异性介质地震波传播理论

教师姓名 顾汉明

研究生姓名 何良

研究生学号 *********

研究生专业 地球物理学

所在院系 地空学院

类别: B.硕士

日期: 2010 年 1 月 12 日

评 语

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3、如有平时成绩，必须在上面评分表中标出，并计算入总成绩。 浅谈各向异性介质内地震波的传播

中国地质大学（武汉）地球物理与空间信息学院 何良

摘要：地下岩石的各向异性主要表现在地震波速度随传播方向发生变化,不同类型体波间相互耦合,横波发生分裂,波速度频散依赖于传播方向等。薄互层与裂隙定向分布等产生视各向异性。本文主要分析三维各向异性介质界面上地震波传播行为、单界面与多界面上各类面波频散规律, 同时针对地震波勘探数值模拟中遇到的人为边界反射间题，提出了适用各种各向异性介质的吸收边界条件，并讨论吸收边界的稳定性。

关键词：各项异性介质 波动方程 吸收边界

引言：

早在17世纪,就有人提出各向异性的概念，各向异性的理论基础之一是广义胡克定理。到19世纪,人们开始对各向异性进行较为广泛的研究。20世纪20~30年代,各向异性的概念被引入地震学领域,当时在进行横波勘探中已经遇到利用现有地震波理论不能解释的横波分裂等现象,由此提出了地下存在各向异性介质的假设。进一步的研究发现,各向异性介质是普遍存在的。地下介质广泛存在各向异性的特性,地层各向异性与油气田的勘探开发及地球深部动力学系统等都有密切的关系。各向异性介质是一种具有使弹性波的传播随方向而异的物性介质。

同时越来越多的野外实践也强有力地证实在地壳中存在着各向异性。由于各向异性对不能用各向同性模型解释的观测数据分析有影响。因此它的研究受到人们极大的关注。引起各向异性的原因有多种晶体本身的结构、地层的结构微层可不平行于地层的顶底面、定向排列的垂直裂隙、作用在孔洞和裂隙分布带上的应力等等。各向异性最明显的现象是横波的双折射,即两种偏振的横波以不同的时间到达方位各向异性,即在给定震源距离上地震波到时或视速度与方位角有关勒夫波和瑞利波之间的视偏差。在裂隙导致的各向异性的情况下,裂隙使纵横波在平行和垂直于裂隙平面方向上的传播速度发生变化。因此,当横波进入一个裂隙介质时,将分离成两个准横波和,这些波以不同的速度传播并且在不同的平面上产生极化,这就形成了横波双折射。当然一个压缩波通过一个裂隙介质时也会产生一个准纵波,其质点运动方向在几乎呈对称的平面上偏离波的传播方向。

因此,研究地层各向异性具有非常重要的实际意义。我们可以更清楚的认识各向异性介质波场的传播机理和传播规律,并能够更加准确描述出地下地质体的空间分布。

1各向异性介质中地震波动解

1.1 各向异性介质中的参数对一般各向异性介质,应力和应变的关系可用广义胡克定律来描述：

klijklijc

式中:σij为应力张量;εkl为应变张量;Cijkl为弹性系数张量。

由于应力张量和应变张量都具有对称性,一般的各向异性介质,有21个独立弹性系数。在波

长大于层厚度的条件下,薄互层介质等效于横向各向同性介质,可以用五个弹性系数(c11,c33,c13,c44,c66)来表述。

为了便于描述各向异性的特性,Thomsen对横向各向同性介质弹性系数进行了弱化处理,定义了三个具有明确物理意义的各向异性介质参数,并建立了与横向各向同性介质弹性系数之间的关系:

ε=3333112/)(ccc

γ=4444662/)(ccc δ=()(2)()(4433332443324413ccccccc

其中:ε表示纵波各向异性;γ表示横波各向异性;δ表示变异系数。

1.2 三维均匀各向异性介质中，关于位移分量的偏微分波动方程组为:

tULU22 (1)

其中，位移矢量TzyxuuuU],,[对称的偏微分算子矩阵3*3][ijLL的组成元素分别为

221111xCL+2266yC+2255zC+2yxC216+2zyC256+2zxC215

226622xCL+2222yC+2244zC+2yxC226+2zyC224+2zxC246

225533xCL+2244yC+2233zC+2yxC234+2zyC245+2zxC235

221612xCL+2226yC+2245zC+（yxCC26612)+zyCC24625)(+zxCC25614)(

221513xCL+2246yC+2235zC+（yxCC25612)+zyCC24536)(+zxCC23513)(

225613xCL+2224yC+2234zC+（yxCC24625)+zyCC24423)(+zxCC24536)(

假定(1)式有如下形式位移函数解:

]})([exp{],,[],,[tzkykxkirqpuuuzyxTTzyx （2）

其中，P，q与;分别为x，y与:方向偏振分量，zyxkkk,,为相应方向波数分量.

将(2)式代人(l)式并经整理可得三维各向异性介质中，k:满足如下六次方程

0762534435261pkpkpkpkpkpkpzzzzzz （3）

Pi(i=l，2，…，7)为关于弹性参数)6....2,1,(jiCij与与波数分量zyxkkk,,的函数。形式过于繁杂，不详述.

(3)式解对应于方向相对的三类波21,,qSqSqP,它们对应的非归一化偏振分量分别为:

(l)对于qP波:

.))(();();(212222211222131312222132312AAArAAAAqAAAAp（2）对于1qS波

).(;))(();(222231311213233211233122313AAAArAAAqAAAAp（3）对于2qS波

).();(;))((222132312233122313223233213AAAArAAAAqAAAp1.3 界面上地震波的反射与透射

三维各向异性介质中界面R，其上、下方介质弹性参数及密度分别为:)6.....2,1,(,,2)2(1)1(jiCCijij 当qP波或其它类型地震波传播到界面R上时，需要满足位移与应力连续性边界条件.通过假定类似于(2)式的反射与透射波位移函数解，可以得到qP波人射时的反射与透射系数解:

,1BAR (4)

其中R为反射与透射系数组成的6*1阶矩阵，且TpspspppspspptttrrrR],,,,,[2121矩阵A与B的组成元素分别为:

iiiiiiraqapa32,,

)]()()([3334353423363536134iiiziiiiyiiixirCqCpCkrCqCpCkrCqCpCka)]()()([3545554525565556155iiiziiiiyiiixirCqCpCkrCqCpCkrCqCpCka)]()()([3344454424464546146iiiziiiiyiiixirCqCpCkrCqCpCkrCqCpCka以上各式中，i=1，2，3，…，6，而且,分别为:

=-1 i<=3, 1 i<3,

=1 i<=3, 2 i.3.

,,,31121111irbqbpb

)]()()([0133013401350134012301360135013601134rCqCpCkrCqCpCkrCqCpCkaziyx)]()()([0135014501550145012501560155015601155rCqCpCkrCqCpCkrCqCpCkaziyx]()()([013304401450144012404604501460146rCqCpCkrCqCpCkrCqCpCkaziyx以上研究表明，三维各向异性介质内界面上，无论是21,,qSqSqP波人射，上、下方介质中一般会存在三类反射21,,qSqSqP又与三类透射,反透射波的产生正是横波分裂现象存在的一个重要表现形式.

2．各向异性介质吸收边界条件

2.1. 边界吸收

上面的讨论的都是假设地层介质模型在横向为无限大，纵向为半无限大。而我们进行数值模拟时，一般取有限区域。这时，如人为设置的边界条件取得不当，会造成较强的反射，有时甚至引起局部不稳定性。为此许多作者从事这方面的工作，引入了各种处理人为边界的吸收边界条件。其中大部分工作是针对各向同性介质的，同时，他们采取的在慢度域对运动方程进行近似展开的方法也比较复杂。近期，随着地层中各向异性现象的发现，需要有对各向异性介质的吸收边界的有效提法。由于各向异性特性的复杂性，按传统的方法推导其吸收边界条件将会十分复杂，而且还不能保证其稳定性。本文从波的传播特性出发引入慢度分量概念，直接在时域给出了适用于一般各向异性介质的吸收边界条件，与以往各向同性吸收边界条件相比，具有形式简捷和物理意义明确等优点。对此吸收边界条件，用Gustafsson等人提出的GKS准则验证了其稳定性，在频率域推导了反射系数算法。最后给出了差分离散格式，并计算了各向同性介质，横向各向同性(TD介质，以及带方位入射的方位各向异性(EDA)介质的吸收边界。

2.2． 吸收边界提法及其稳定性

为方便起见，这里只讨论波在X一Z二维平面内传播的情况。对三维问题只需作简单推广。考虑图1所示的情形，其中x>o为域内，x

RIUUU (5)

我们给出x=O处吸收边界条件

0)()(1UtpxUBnii (6)

式中ip为吸收参数，其物理意义相当于波在X方向的慢度分量。n可以表示精度，n且ipi(1，2，…，n)取值遍列0时，精度达无限高。

当某一入射波的X方向慢度分量iIXpP时，仅由入射波即可完全满足式(6)，没有任何反射。对于任意入射波，一般地iIXpP (i=1，2，…，n)，这时我们推导了由式(6)决定的反射系数算法