高中数学 第二章 概率 习题课 离散型随机变量的均值与方差的应用课件 北师大版选修23

E(X)＝16，则 p等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 解析：∵EX＝40×p＝16，∴p＝0.4. 答案：D
2．两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱
的信件数 ξ 的数学期望是( )
A．13
B．23
C．43
D．34
解析：由题意知 ξ～B(2，13)，
所以由题意得 P(ξ＝2)＝CC21280＝2485， P(ξ＝6)＝CC18C12012＝1465，P(ξ＝10)＝CC21220＝415. 所以 Eξ＝2×2485＋6×1465＋10×415＝158. 又设 η 为抽奖者获利的可能值，则 η＝ξ－5，所以抽奖 者获利的数学期望为 Eη＝Eξ－5＝158－5＝－75.
则Eη＝np＝5×0.6＝3.
知识点二
离散型随机变量均值的应用
4.交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同 样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有 5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励 是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期 望．
解：设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值 如下：
ξ＝2(抽到2个1元)，ξ＝6(抽到1个1元，1个5 元)，ξ＝10(抽到2个5元)．
∴Eξ＝2×13＝23.
答案：B
3．某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数ξ的均值； (2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值． 解：(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为
ξ
0
P
0.4
则Eξ＝p＝0.6.
1
0.6 ，
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服 从二项分布，即η～B(5,0.6)．
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1．随机变量X的均值(数学期望)
(1)均值的定义
设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概 率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为
P(X＝ai)＝pi (i＝1,2，…，r)， 则X的均值EX＝ a1p1＋a2p2＋…＋arpr .
(2)均值的意义 均值刻画的是随机变量 X 取值的“ 中心位置 ”． 2．两种特殊随机变量的均值 (1)当随机变量服从参数为 n，p 的二项分布时，其均值 为 np . (2)当随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布时，
解：X 的所有可能取值有 6,2,1，－2，则 P(X＝6)＝122060＝0.63，
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P(X＝2)＝25000＝0.25，P(X＝1)＝22000＝0.1，P(X＝－2)＝2400＝
0.02.
故 X 的分布列为：
X6
2
1
－2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34. 故1件产品的平均利润为4.34万元．
6．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一 等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已 知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、 2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元．设1件产 品的利润为X(单位：万元)． (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)．
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为 E1＝400×0.3＝120(万元)； ②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发 生突发事件的概率为1－0.9＝0.1， 损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)， 所以总费用为45＋40＝85(万元)；

(2)X 的所有可能值为 0，10，20，50，60，
且 P(X＝0)＝CC16022＝13，P(X＝10)＝CC311C0261＝25， P(X＝20)＝CC13022＝115，P(X＝50)＝CC111C0261＝125， P(X＝60)＝CC111C0231＝115.故 X 的分布列如下.
X 0 10 0 50 60
(1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列和均值E(X)．
【思路】 本题(1)可直接用古典概型求概率，也可从其对 立事件“2张都不中奖”考虑，间接求解；
(2)可以设中奖的奖品价值为随机变量X，然后写出X的所有 可能的取值及X的分布列，进而求出E(X)．
【解析】 (1)方法一：设“该顾客中奖”为事件A， 则P(A)＝1－P(－A )＝1－CC16022＝1－1455＝23. 方法二：P(A)＝C41CC611＋ 02 C42＝3405＝23. 即该顾客中奖的概率为23.
由数学期望公式，可得
E(ξ) ＝ 1×(a ＋ b) ＋ 2×(2a ＋ b) ＋ 3×(3a ＋ b) ＋ 4×(4a ＋ b) ＝
30a＋10b.
∴30a＋10b＝3.②
由①，②联立，解得 a＝110，b＝0，∴a＋b＝110.
【答案】
1 10
题型三 两点分布的均值 例3 某运动员投篮命中率为P＝0.8. (1)求一次投篮时命中次数ξ的期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望．
◎思考题 3 在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分．如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得 分 X 的均值是多少？
【解析】 显然这里的得分X服从参数p＝0.7的二点分布， ∴E(X)＝0.7.

A 机床
次品数 X1
0
1
2
3
P
0.7 0.2 0.06 0.04
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变 量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值， 看一下谁的平均水平高． 2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机 变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分 析一下谁的水平发挥相对稳定． 3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．
二项分布的方差 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植 物．某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为 p， 设 ξ 为成活沙柳的株数，数学期望 Eξ 为 3，方差 Dξ 为32. (1)求 n 和 p 的值，并写出 ξ 的分布列； (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概 率． 【精彩点拨】 (1)利用二项分布的期望与方差计算公式求解．(2)利用互斥 事件的概率计算公式求解．
1．设一随机试验的结果只有 A 和 A ，且 P(A)＝m，令随机变量 ξ＝
1，A发生， 0，A不发生，
则 ξ 的方差 Dξ 等于(
)
A．m
B．2m(1－m)
C．m(m－1)
D．m(1－m)
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________