数学建模减肥计划 (2)

减肥问题的数学模型一、问题的提出现今社会，随着物质生活水平的提高，肥胖已成为困扰人们身体健康的一大疾病，减肥已日趋大众化。

如何有效地，健康地减肥成为一个亟待解决的问题。

下面本文从减肥机理的角度出发建立合理的数学模型来解决这个问题。

二、问题的分析肥胖困扰着很大一部分人群。

如何耗去多余的脂肪，提高身体健康质量，成为人们的共识。

本题要求我们从减肥的机理角度出发说明怎样有效地减肥。

根据生物知识，减肥就是要消耗体内多余的脂肪，也即把多余的脂肪转化为能量释放出来。

实际上，我们吃的食物都是以能量的形式被人体吸收，当摄入能量为λE 时，减肥效果取决于能量的消耗E 。

若E λE 〉，他的能量消耗大于摄入，将达到减肥的目的；若E λE =，他的体重将维持原状；若E λE 〈，则他不但不能减肥，反而会增胖。

每日摄入能量的来源有：碳水化合物、蛋白质和脂肪，设它们被消化后产生的热量为Q i =i i m λ（i=1，2，3）（其中i i m ,λ分别为上述三种物质的燃烧值和摄入质量）。

则摄入的总能量为E λ=∑=31i i i m λ每日消耗的能量E=1.1×（Q 0+Q P ），而Q 0=W Q ω，Q P =Q 0k ，k =∑=41j j j k ω故E=1.1×WQ ω（1+∑=41j j j k ω）从而，我们比较λE 与E 的大小，可以得出体重的变化。

三、 问题的假设：（1） 燃烧相同质量的人体各部位脂肪产生的热量相同。

（2）同一人在一段时间内每天各种强度活动所占比例一定。

（3）人体健康状况良好，体内的生理活动稳定。

四、符号说明：E ——— 每天消耗的能量E λ———正常人体每天摄入的能量m i ————每天摄入的碳水化合物、蛋白质、脂肪的质量i λ（I=1，2，3）——单位质量的碳水化合物、蛋白质、脂肪燃烧放出的热量。

W ——减肥前的体重（单位：斤） Q 0——人体基础代谢需要的基本热量 Q p ——体力活动所需要的热量Q ω——人体单位体重基础代谢需要的基本热量k j （j=1，2，3，4）——各类型活动的活动强度系数（极轻、轻、中、重）j ω（j=1，2，3，4）——每天各强度活动所占比例（∑=41j j w =1）m ∆ ——自身脂肪变化的质量五、 模型的建立与求解在问题的分析中我们已得出：E λ= ∑=31i i i m λ （i=1，2，3）E=1.1×Q ωW （1+∑=41j j j k ω） （j=1，2，3，4） 因而我们有m ∆ =3λλEE -=34131)1(1.1λλ∑∑==+-j j j w i iiw k Q m下面我们分三种情形：（1） 0〉∆m 即E E 〉λ时，结果是人体增胖 （2）0=∆m 即E=E λ时，维持原状不变。

减肥计划摘要：本文分析了如何制定合理的减肥计划，根据人体吸收的热量与体重、代谢消耗系数的关系，建立数学模型。

同时通过实例，制定减肥计划，在保证安全与健康的前提下控制饮食量，同时并制定合理的配餐方案。

为加快减肥的进程，还可增加运动。

实现科学合理减肥的目标。

关键词：合理减肥数学模型热量一．引言体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~正常；BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖。

多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持，通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标。

分析体重变化的原因：1、体重变化由体内能量守恒破坏引起；2、饮食（吸收热量）引起体重增加；3、代谢和运动（消耗热量）引起体重减少二、模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~ 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~ 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。

三、基本模型记第周末体重为w(k)，第周吸收热量为c(k)，热量转换系数α=1/8000(kg/kcal)，代谢消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为α得：wkk)1(kwβ(kwkc⋯++-=⋯)=(+3,2,1)1(),增加运动时只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。

四、实例讨论减肥计划的制定某甲身高1.7米，体重100千克，BMI 高达34.6，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。

现欲减肥至75千克并维持下去。

（一）问题分析1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。

第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

数学建模期末大作业减肥计划的模型第十小组摘要：随着社会的发展和人们生活水平的逐步提高，越来越多的意识到健身的重要性，运动减肥是健身运动的一个重要组成部分。

本文是通过建立减肥模型寻求合理的减肥方法，并从饮食和运动两方面来具体分析。

根据不同运动消耗的能量不同， BMI定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，是联合国世界卫生组织颁布的体重指数，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。

我国有关部门针对东方人特点，拟将上述规定中的25、30分别改为24、29。

本文为改善肥胖者体重，建立数学模型，通过分段法（降重、保重、加速等阶段），制定出减肥计划供肥胖者参考。

最终确定最佳减肥方案。

关键词：运动饮食饮食热量转换代谢消耗合理减肥 MATLAB问题分析：某甲身高1.7m，体重100kg，BMI值高达34.6。

目前每周吸收20000kcal热量，现为其制定减肥计划，令其体重减至75kg并且维持下去。

计划如下：1.降重阶段：在不运动条件下，每周体重减少1kg，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限(10000kcal)。

2.保重阶段：在不运动条件下，每周吸收热量保持下限，减肥达到目标（75kg）。

模型假设：1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg。

2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每kg体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异。

3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。

4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于10000kcal。

模型建立：记第k周末体重为W(k)，吸收热量为C(k);热量转换系数为：a=1/8000 (kg/kcal);代谢消耗系数为：b；体重每周减少B=1kg;在不考虑运动的情况下体重变化的基本方程为：W(k+1)=W(k)-b*W(k)+a*C(k+1) (k=0,1,2…) (1式)则当某甲减肥前体重不变时，由（1式）得：W=W-b*W+a*C (A式)1.降重：要求体重每周减少B，吸收热量减至下限C0,即：W(k)-W(k+1)=B (2式)W(k)=W(0)-B*k (3式)由(1式)得：W(k)-W(k+1)=b*W(k)-a*C(k+1) (B式)将(2、3式)代入上式得：B=b*[W(0)-B*k]-a*C(k+1)即得：C(k+1)=(b/a)*W(0)-(B/a)*(1+b*k)2.保重：要求每周吸收热量保持下限C0由(1式)得：W(k+1)=W(k)-b*W(k)+a*C0将上式递推得：W(k+1)=(1-b)^n*W(k)+a*C0*[1+(1-b)+…+(1-b)^(n-1)] =(1-b)^n*[W(k)-a*C0/b]+a*C0/b (C式) 模型求解：（A式）function work1(W0,a,C)b=a*C/W0;b>>work1(100,1/8000,20000)b =0.0250（B式）function work2(W0,B,a,b,C0)k=[(b*W0-a*C0)/B-1]/b;k>>work2(100,1,1/8000,0.025,10000)k =10% 可知按照此种方式，可使体重每周减少1kg，第10周达到90kg.由（C式）以及以下数据：W(k)=90kg;W(k+1)=75kg;a=1/8000 kg/kcal;b=0.025;C0=10000kcal 解得：n=19即每周吸收热量保持下限C0=10000kcal，再有19周体重可减至75kg。

减肥模型摘要本文讨论了关于减肥问题的模型建立与解决，共提出两种解决方案，分别通过节食来减少热量吸收，通过消耗大于吸收来达到减肥目的，另通过运动来增加热量的消耗，以加快减肥速度。

通过对两种方式所需时间的比较，选出较优方案。

将所用的Mathematica程序附于文末。

关键词：减肥体重吸收消耗减少增加热量运动问题提出对一个人是否肥胖，联合国世界卫生组织颁布所谓体重指数（简记BMI）。

BMI定义为体重（kg）除以身高（m）的平方。

并规定BMI在[18.5 , 25]为正常，超出25为超重，超出30为肥胖。

现某男子身高1.75m，体重120kg。

其BMI=39，该男子为肥胖。

目前该男子每周吸收的热量为25 000kcal。

该男子现欲进行减肥，使体重达到80kg，他该采取什么样的方法，可以尽快地实现减肥目标？问题分析每个人每天既要吃饭，吸收热量，使体重增加，同时又有新陈代谢，消耗热量，也可能还有比较剧烈的运动消耗热量。

我们的减肥可以通过控制饮食，减少人对热量的吸收，也可以通过运动，增大对热量的消耗达到目的。

模型假设根据人的生理资料，我们可以做以下假定：1．体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kca可增加1kg。

2．正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200~320kcal，因人而异。

3．运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。

4．为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不小于10 000kcal。

变量说明1．记第k周体重为w（k），第k周吸收的热量为c（k）。

2．人每天要吸收热量增加体重，同时又会有代谢使体重减少。

这里热量转换系数a=1/8 000 kg/kcal.3．代谢消耗指数为b，跟人有关。

4．当增加运动hi，可将b修改为b+r，r为跟运动有关的消耗指数5．运动每小时每千克消耗的体重记为u模型建立与求解我们根据是否采取运动减肥分为两种情况。

方案1：控制饮食减肥。

数学建模之减肥问题的数学模型东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告教师评语：减肥问题的数学建模学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号 5133117 姓名楚文玉指导教师张尚国刘超成绩指导教师签字： 2021年01月09日数学与统计学院课程设计（实习）报告第 1 页摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况，经常使用一些不健康的方式减肥，到最后适得其反，给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题，通过该模型的建立，科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥.本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式[?(t??t)??(t)]D?[A?(B?R)?(t)]?t再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式?(t)??e?dt?a(1?e?dt) d然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议.关键字：微分方程模型能量守恒能量转换系数1 问题重述1.1 课题的背景随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI）：体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是数学与统计学院课程设计（实习）报告第 2 页从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

减肥数学建模
在当今社会，减肥已经成为了很多人关注的话题。

人们希望通过科学的方法和
合理的方式来减肥，以达到健康和美丽的目的。

而数学建模作为一种科学的分析方法，可以帮助我们更好地理解减肥过程中的变化规律，从而找到更有效的减肥方案。

首先，我们可以通过数学建模来分析减肥的基本原理。

减肥的过程实际上是一
个能量平衡的问题，即摄入的能量和消耗的能量之间的关系。

我们可以用数学模型来描述这个过程，通过方程式来表示能量的变化和平衡，进而找到减肥的最佳方案。

其次，数学建模还可以帮助我们分析减肥过程中的身体变化。

比如，我们可以
通过建立数学模型来研究减肥对身体各项指标的影响，比如体重、体脂率、肌肉量等。

通过数学模型的分析，我们可以更好地了解减肥过程中身体的变化规律，从而找到更科学的减肥方法。

另外，数学建模还可以帮助我们优化减肥方案。

通过建立数学模型，我们可以
对不同的减肥方案进行模拟和比较，找到最适合自己的减肥方案。

比如，我们可以通过数学模型来分析不同饮食和运动方案对减肥效果的影响，从而找到最有效的减肥方案。

除此之外，数学建模还可以帮助我们预测减肥的效果。

通过建立数学模型，我
们可以根据自己的减肥计划和实际情况，预测未来的减肥效果，从而更好地调整和优化减肥方案，提高减肥的效果和成功率。

总的来说，数学建模在减肥过程中发挥着重要的作用。

通过数学建模，我们可
以更好地理解减肥的原理和规律，优化减肥方案，预测减肥效果，从而找到更有效的减肥方法。

因此，我们可以将数学建模应用到减肥过程中，以帮助我们更科学、更有效地减肥，达到健康和美丽的目标。

1 引言随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。

由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病,如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。

很多人在心理上害怕肥胖，追求苗条，因而减肥并不是口头话题，更有人花很多时间和金钱去实施减肥。

这也造成了各种减肥药、减肥器械和治疗方法的巨大市场。

各种假药或对身体有害的药品，夸大疗效的虚假广告等等也就应应运而生理念，对老百姓造成了不必要的伤害。

所以，如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。

于是了解减肥的机理成为关键。

2模型的提出2.1背景知识根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：(1) 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。

如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。

(2)人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。

(3)人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。

(4)一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。

(5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。

2.2模型分析通常,当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。

人们通过饮食吸收热量，一部分用于代谢和运动消耗，若有剩余则转化为脂肪存储起来，导致体重的增加。

如果要想体重减少，必须使吸收的热量小于消耗的热量，从而使机体代谢存储的脂肪。

这可以通过减少摄入和增加消耗来实现，即减少进食量，增加运动量。

但每天的进食不仅提供能量，还提供人体必需的营养物质，所以进食量不能过少。

东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告减肥问题的数学建模学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号5133117姓名楚文玉指导教师张尚国刘超成绩教师评语：指导教师签字：2016年01月09日摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况，经常使用一些不健康的方式减肥，到最后适得其反，给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题，通过该模型的建立，科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥.本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+∆-=-+∆再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式()(1)dt dt at e e dωω--=+- 然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议.关键字： 微分方程模型 能量守恒 能量转换系数1 问题重述1.1 课题的背景随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI ）：体重（单位：kg ）除以身高（单位：m ）的平方，规定BMI 在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析.根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量，因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限1ω，当1*ωω<时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需不足，这种减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的，称1ω为减肥的临界指标.另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围，记为10<R R <，当能量的摄取量高于体重0ω时，这是体重不会从0ω减少，所以可以看到单一的措施达不到减肥效果. 1.2 具体的问题和相关数据现有五个人，身高、体重和BMI 指数分别如下表1.1所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去：表1.1 身高，体重和BMI 指数表人数编号 1 2 3 4 5 身高 1.7 1.68 1.64 1.72 1.71 体重 100 112 113 114 124 BMI 34.6 33.5 35.2 34.8 35.6 理想目标 75 80 80 85 90 每天摄 入能量 28572543273426892776题目具体要求如下：（1）在基本不运动的情况下安排计划，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标； （2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过查找资料得到以下各项运动每小时每kg 体重的消耗的热量如下表1.2所示：表1.2 每小时每kg 体重的热量消耗运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 （中速） 游泳（50m/min ）热量消耗7.03.04.42.5 7.9（3）给出达到目标后维持体重的方案.2 模型假设与符号说明2.1 问题分析本问题要建立减肥的数学模型，减肥是一个比较长期和不定的过程，因此要用数学的方法对减肥这一问题建模，就需要选定一个测量肥胖的标准量. 因为人体的脂肪是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥的主要目标. 因此，我们以人体脂肪的重量作为体重的标志. 已知脂肪的能量转换率为100﹪，每千克脂肪可以转换为8000kcal，称D为脂肪的能量转换系数.肥胖主要是体现在人的身体上，减肥其实就是将人的体重降下来，所以归根到底，研究减肥就是要研究体重的变化，因此在减肥过程中我们要对人的体重进行持续的检测，忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响，可以将人体的体重ω.看成是时间t的函数()t在减肥的过程中，无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少，异或还有其他一些不可预知的因素，这都是一个渐变的过程,ω是连续光滑的.所以我们认为能量的摄取和消耗都是随时发生的，而不同所以认定()t的活动对能量的消耗是不同的. 所以我们在建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活动消耗的人体能量. 记r为某一种活动每小时所消耗的能量，记b为1kg体重每小时所消耗的能量.2.2 模型假设1．假设以人体脂肪的重量作为体重的标志.ω是连续而且充分光滑的.2．假设体重随时间的变化()t3．假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比.4．假设人体每天摄入的能量是一定的.记为A.5．正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为28.75~45.71kcal，且因人而异.6．假设在研究减肥的过程中，我们忽略个体间的差异对减肥的影响.7．人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于1429kcal.8．假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.2.3 符号说明D ： 脂肪的能量转化系数.()t ω：人体的体重关于时间t 的的函数..r ： 每千克体重每小时运动所消耗的能量(/)/kcal kg h .b ： 每千克体重每小时所消耗的能量(/)/kcal kg h .0A ： 每天摄入的能量.1W ： 五个人理想的体重目标向量.A ： 五个人每天分别摄入的能量..W ： 五个人减肥前的体重.B ： 每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗.3 模型建立与求解3.1 一般模型建立如果以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应=24(/)B b kcal d ，由于人的某种运动一般不会是全天候的，不妨假设每天运动h 小时，则每天由于运动所消耗的能量应为=(/)R rh kcal d . 按照假设2， 体重随时间的变化()t ω是连续而且充分光滑的，我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化. 按照能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差. 我们选取某一段时间(, )t t t +∆，在时间段(, )t t t +∆内考虑能量的改变: 设体重改变的能量变化为W ∆,则有=[(+)()]W t t t D ωω∆∆- （3.1）设摄入与消耗的能量之差为M ∆，则有[()()]M A B R t t ω∆=-+∆ （3.2）根据能量平衡原理有M W ∆=∆ （3.3）得：[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+∆-=-+∆ （3.4）取0t ∆→，可得d d (0) a d t ωωωω⎧=-⎪⎨⎪⎩= （3.5） 其中/a A D =，()/d B R D =+，0t =（模型开始考察时刻），即减肥问题的数学模型 模型求解得()(1)dt dt at e e dωω--=+- （3.6）/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重，而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的百分数（每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分）. 3.2 针对实际问题的模型建立1. 由一般模型的建立已经知道减肥问题的数学模型为微分方程模型（3.6），利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想体重的天数.首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗B ，因为没有运动，所以有0R =，根据式（3.6）式，得AB W=（3.7）从而得到每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗从假设5可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人，加上吃得比较多，有没有运动，所以会长胖，进一步，由()t ω (五人的理想体重)，W （五人减肥前的体重），D=8000kcal/kg （脂肪的能量转换系数），根据式（3.6）式有001/ln ln/a d D B At d a d B B Aωωωω--=-=--- （3.8） 将A （五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，就会得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表3.1所示表3.1 达到理想体重所需天数表人1 2 3 4 5 天数 194 372 313 266 298Matlab 源程序： R = 0;D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length( W );B = A./W %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 a = A./D d = (B + R)./D for i = 1:nt(i) = -(D/B(i))*log((W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0)); %减肥所需要的时间 end2. 为加快进程，增加运动，结合查找资料得到各项运动每小时每kg 体重消耗的热量表2，再结合假设3，取1h h =，R rh r ==，根据式（4.6）有001/()ln ln/()a d D B R At d a d B R B R Aωωωω-+-=-=--++- （3.9） 将A （五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，取不同的r ，得到一组数据， 在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同运动强度下，要达到自己的理想目标所需的天数，如下表3.2所示：表3.2 不同运动强度下达到理想体重所需天数运动跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 时间/天122 155 141 160 116 187 261 229 274 176 173 232 207 243 164 148 198 177 206 140 163 220 196 230 154Matlab 源程序： h = 1;r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h.*r; n1 = length(R);D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length(W);B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n1 for i = 1:nt = (i,j) = -(D./(B(i) + R(j)) * log((W1(i). * (B(i)+R(j)) - A0)./(W(i).* (B(i) + R(j)) -A0))); %减肥所需要的时间end end3. 要使体重稳定在一个定值，则有*AB Rω=+ （3.10） 根据自己的不同理想目标和B （每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗），在不同小时下的能量消耗表：（1）在1h =的情况下运动所消耗的能量，如下表3.3表3.3 1h =的情况下运动所消耗的能量运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳消耗能量(kcal) 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.300 2376.400 2056.400 2168.400 2016.400 2448.400 2495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.500 2644.800 2284.800 2410.800 2239.800 2725.800（2）在2h =的情况下运动所消耗的能量，如下表3.4表3.4 2h =的情况下运动所消耗的能量运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 消耗能量(kcal) 3198.00 2592.800 2802.800 2517.700 3327.800 2936.400 2296.400 2520.400 2216.400 3080.400 3055.600 2415.600 2639.600 2335.600 3199.600 3195.000 2515.000 2753.000 2430.000 3348.000 3274.800 2554.800 2806.800 2464.800 3436.800Matlab 源程序： h = [12];r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h*r;D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n1 = length(W);B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n for I = 1:n1A1(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(1,j)); %在h=1的时间下运动所消耗的能量 A2(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(2,j)); %在h=2的时间下运动所消耗的能量 end end4 模型的分析与讨论4.1 针对一般减肥模型在式（3.6）中假设0a =，即假设停止进食，无任何能量摄入，于是有0()dt t e ωω-= （4.1）这表明在t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由dt e -给出，特别当1t =时，e d -给出了单位时间内体重的消耗率，它表明在(0,)t 时间内体重的消耗率，它表明在(0,)t 内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去，由lim 0t t ω→∞=()，即体重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危险的.a/d 是模型中的一个重要的参数，由于/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重，而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的体重,于是/a d 就表示摄取能量而获得的补充量,综合以上的分析可知, t 时刻的体重由两部分构成, 一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分. 另一部分是摄取能量而获得的补充部分,这一解释从直观上理解也是合理的. 由式（3.5）0dtd <ω即/a d ω<,体重从0ω递减, 这是减肥产生效果,另外由式（3.6）可以看到t →∞时*()//()t a d A B R ωω→==+,也就是说式（3.5）的解渐进稳定于*a/d ω=,它给出了减肥过程的最终结果,因此不妨称*ω为减肥效果指标,由*/()A B R ω=+，因为B 是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数，于是就有如下结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的，包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减肥的认识.人体体重的变化时有规律可循的，减肥也应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值. 4.2 针对具体问题从上几个表可知，普遍观察得出结论，游泳是减肥的最佳方法，无论是在长时间还是短时间内，从结果来看，游泳消耗的能量是最多的，也是达到快速减肥的最佳方法，也可从下图可知，图4.1表示每个人的能量消耗图，都是离散的，并且都是递增的，表明了游泳时能量消耗最快的，选此方法减肥是最合理有效的. Matlab 源程序： x = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; y = [ 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.300 2376.400 2056.400 2168.4002016.4002448.4002495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.500 2644.8002284.8002410.800 2239.800 2725.800 ];subplot( 3, 2, 1 ); plot( x, y(1,:),' g* '); title(' 第一个人 '); subplot( 3, 2, 2); plot( x, y(2,:),' ro '); title(' 第二个人 ');数学与统计学院课程设计（实习）报告第10页subplot( 3, 2, 3);plot( x, y(3,:),' g. ');title(' 第三个人');subplot( 3, 2, 4);plot( x, y(4,:),' c+ ');title('第四个人');subplot( 3, 2, 5);plot( x ,y(5,:),' go ');title(' 第五个人');图4.1 每个人的能量消耗图参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015年.[2]王敏生，王庚. 现代数学建模方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008年.[3]罗万成. 大学生数学建模案例精选[M]. 成都: 西南交通大学出版社, 2007年.[4]胡良剑，孙晓君. Matlab数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006年.。

减肥问题数学模型摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。

之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

该模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。

在问题一中，我们找到营养的供给、成人（男、女）每天需要的热量、热量的主要构成、活动强度系数表以及三种热量构成物的单位产热量等方面数据，并结合肥胖的三个要素（进食、活动、新陈代谢），建立了如下的数学模型：w(t)=)1(0ctcteca ew ---+其a=i i i i i i r r w η∑∑==3131/;c=(1+10+i μ)4.2310⨯/i i i r η∑=31。

同时也提出了，模型的改造方法一跟二。

在问题二中，实际应用上面的数学模型，重点对“NRG 清赘减肥胶囊”减肥药广告以及“10步易学瘦身操模型论述”减肥方法广告进行了论述和判断其是否对人体有副作用。

在对“10步易学瘦身操模型论述”减肥方法广告进行的论述中，还进行了定量的计算。

关键词：减肥 饮食 活动 新陈代谢一、问题重述肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。

很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。

各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。