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减肥的数学模型

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微分方程(组)模型

微分方程(组)模型

③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例

节食和运动对减肥效果影响的数学模型

节食和运动对减肥效果影响的数学模型

即是从 人体 节 食 或 运 动人 手 ，利 用 微 分方 程 ，建
（１）由 于人 体 的脂 肪 是 储 存 和 提 供 能 量 的
立减肥 的数学 模 型 ，分别 讨论 找 出节食 与运 动 对 主要 物质 ，减少脂 肪量 就是 人们 减肥 降 低体 重 的
减 肥 的最有效 途径 ．减肥 的人 只有 对个 人 的消 耗 主要 目标 ．在减 肥 过 程 中 ，不 妨 设 人 体 脂 肪 的重
（３）无 论 是 因为 人 体 进 食 摄 取 能量 导致 的
和其 他 活动所 消 耗 的 能量 以及 食 物 的 特殊 动力 体 重增加 ，还 是 由于身体 运动 消耗 能 量引起 的体
作用 （将食 物转 化 为人 体所 需 要 的 能量 ）所 消耗 重 减少 ，脂肪 量都是 一个 渐变 的过 程 ．因此 ，可 以
图 １ 不 同摄 入 量 的体 重 变 化 与 时 间 的 关 系 图
３ 模 型 建 立
３．１．３ 模 型分 析 ．对 于模 型 （１）来 说 ，当且仅 当
』＾．．
Ｗ ＝Ａ／Ｂ＜Ｗ。时 ，有 ＜０．这表 明 只有 当 加 ≤
ａ ｔ
３．１ 节食 与 减肥 关 系模 型 的建 立
ｗ。时 才有 可 能 产 生 减 肥 的效 果 ．另 外 由方 程 的
３．１．１ 只节 食 的减肥 模 型 ．设 Ｗ（ｔ）是 ｆ时 刻人 解 也可 以看 到 ，对 于上述 的 ，当 一 。ｏ时 ，Ｗ（ｔ）
模 式做 出正 确 的 判 断 ，才 能做 到有 的放矢 ，切 实 量作 为体 重 的 标 志 ．设 已知 脂 肪 能 量 转 化 率 为
收到减 肥 的最佳 效果 ．
１００％ ，每 １ ｋｇ脂肪可 转换 为 能 量 ４．２ Ｘ １０７Ｊ，记

减肥计划BMI

减肥计划BMI

减肥计划摘要：本文分析了如何制定合理的减肥计划，根据人体吸收的热量与体重、代谢消耗系数的关系，建立数学模型。

同时通过实例，制定减肥计划，在保证安全与健康的前提下控制饮食量，同时并制定合理的配餐方案。

为加快减肥的进程，还可增加运动。

实现科学合理减肥的目标。

关键词：合理减肥数学模型热量一．引言体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~正常；BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖。

多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持，通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标。

分析体重变化的原因：1、体重变化由体内能量守恒破坏引起；2、饮食（吸收热量）引起体重增加；3、代谢和运动（消耗热量）引起体重减少二、模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~ 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~ 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。

三、基本模型记第周末体重为w(k)，第周吸收热量为c(k)，热量转换系数α=1/8000(kg/kcal)，代谢消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为α得：wkk)1(kwβ(kwkc⋯++-=⋯)=(+3,2,1)1(),增加运动时只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。

四、实例讨论减肥计划的制定某甲身高1.7米，体重100千克，BMI 高达34.6，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。

现欲减肥至75千克并维持下去。

（一）问题分析1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。

第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

减肥问题与有关知识论文

减肥问题与有关知识论文

减肥问题摘要随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。

由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。

如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。

于是了解减肥的机理成为关键。

本文采用层次分析法建立模型来分析减肥问题。

层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题，适合于本问题的研究。

针对问题一，根据收集的相关数据确定了减肥的成因及判断标准，查阅相关数据得出现在各种减肥产品的作用机理及临床应用现状，分别从肥胖的判断标准、肥胖的危害、肥胖的病因及生化机制、植物及中药减肥机制及减肥药物临床应用现状进行了分析。

针对问题二，从找到的几则减肥药和减肥方法广告中，以减肥效果为目标层，各种应用的减肥机理为准则层，各种减肥产品为方案层，建立层次分析法模型确定各减肥药的减肥机制，再通过模型一分析其对健康的影响。

关键字：肥胖，层次分析法，减肥效果，减肥机理一．问题重述肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体多方面的变化。

很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。

各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。

情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。

但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。

之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

数学建模经典案例

数学建模经典案例

X射线强度衰减与图像重建的数学原理
I~射线强度 l~物质在射线方向的厚度
I0~入射强度 μ~物质对射线的衰减系数
• 射线强度的衰减 率与强度成正比.
dI I
dl
I I 0e l
• 射线沿直线L穿行, 穿过由
y I0
不同衰减系数的物质组成的 非均匀物体(人体器官).
l L (x, y)dl)
0 0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
根据A和b, 由 Ax b 确定像素的衰减系数向量x
m和n很大且m> n, 方程有无穷多解 + 测量误差和噪声
Ax e b 在x和e满足的最优准则下估计x
6.3 原子弹爆炸的能量估计
1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫 戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界!
模型应用 x Ax d (I A)x d, x (I A)1d
问题2 如果6个部门的外部需求分别增加1个单位, 问它们的总产出应分别增加多少？
求解 总产出对外部需求线性
Δd~d增加1个单位
x的增量 x (I A)1d
若农业的外部需求增加1单位 d (1,0,0,0,0,0)T
• 根据各部门间投入和产出的平衡关系，确定各部 门的产出水平以满足社会的需求 .
• 20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究.
• 从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合， 应用领域不断扩大 .
建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用.
投入产出表
国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l

数学建模(微积分)一

数学建模(微积分)一
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数学建模讲座
(1) 机理分析法
常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。 机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建 模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚 的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映 其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.
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数学建模讲座
四、模型建立
我们以1天为时间单位，那么每天基础代谢的能量消 耗为B=24b（焦耳/日）。由于人的活动不可能是全天 进行的，所以假设每天人体活动h小时，则一天消耗的 能量应为R=rh（焦耳/日） ； 按照假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑由 于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。 按照能量平衡原理，任何时间段内由于体重的改变 所引起的人体内能量变化应等于这段时间内摄入的能 量与消耗的能量之差。
从以上两个方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内） 有助于咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中 的脏物能尽快地被清除掉
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减肥模型
一、问题的提出 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断 提高，由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥 胖”已经成为社会关注的一个重要问题，无论从健康 的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己的形 体的健美。从面就导致目前社会上出现了各种各样的 减肥食品（或营养素）和名目繁多的健美中心。 如何对待减肥的问题，我们也可以通过组建模型， 从数学的角度对有关规律作进一步的探讨和分析
实例十一、群体遗传模型
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
一、数学建模的总体介绍
1．数学建模中常用的书籍
2．数学建模基本过程

智慧树知到《数学建模与系统仿真》章节测试答案

智慧树知到《数学建模与系统仿真》章节测试答案第一章单元测试1.数学模型是根据特定对象和特定目的，做出必要假设，运用适当数学工具得到一个数学结构的理论表述。

答案：对2.数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。

通过抽象、简化、假设、引入变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，是对实际问题的完全解答和真实反映，结果真实可靠。

答案：对3.数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述。

数学建模就是建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验）。

答案：对4.数学模型（Mathematical Model）强调的是过程；数学建模（Mathematical Modeling）强调的是结果。

答案：错5.人口增长的Logistic模型表明人口增长过程是先快后慢。

答案：对6.MATLAB的主要功能包括符号计算、绘图功能、与其他程序语言交互的接口和数值计算。

答案：符号计算、绘图功能、与其他程序语言交互的接口、数值计算7.Mathematica的基本功能包括语言功能（Programing Language）、符号运算（Algebric n）、数值运算（XXX）和图像处理（Graphics）。

答案：语言功能（Programing Language）、符号运算（Algebric n）、数值运算（Numeric n）、图像处理（Graphics）8.数值计算是Maple、MATLAB和Mathematica的主要功能之一。

答案：Maple、MATLAB、XXX9.评阅数学建模论文的标准包括表述的清晰性、建模的创造性和论文假设的合理性。

答案：表述的清晰性、建模的创造性、论文假设的合理性10.中国（全国）大学生数学建模竞赛（CUMCM）每年举办一次。

该竞赛开始于70年代初。

答案：一年举办一次，开始于70年代初。

10、微分方程模型可以用于描述物体动态变化过程，并且可以用来预测对象特征的未来状态。

北京科技大学数学模型M07差分模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件


(2) 2 b 3
(3) b 3
x* 11/b 1/2
y
yx
y
yx
b/4
b/4
y f (x)
0 x0
x 1
1
/
2
x*
x 2
1
x
x（k 振荡地） x*
第七章 差分方程模型
y f (x)
0 x0 x1 1/2 x* x2 1
x（k 不） x*
16
x
k b=1.7 b=2.6 b=3.3
0 0.2023 0.2023 0.2023
w(k 1) w(k) c(k 1) ( t)w(k)
w w C ( t)w
C ( t)w
• 不运动 C 8000 0.025 75 15000 (千卡)
• 运动(内容同前) C 8000 0.028 75 16800 (千卡)
第七章 差分方程模型
12
7.3 差分形式旳阻滞增长模型
连续形式旳阻滞增长模型 (Logistic模型)
x(t) ~某种群 t 时刻旳数量(人口)
x(t) rx(1 x ) N
t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
离散
yk ~某种群第k代旳数量(人口)
形式
yk 1
yk
ryk (1
yk N
), k
1,2,
若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N y*=N 是平衡点
0.20001,...,
x2 100
0.2572
差之厘毫，失之千里
第七章 差分方程模型
22
补充知识：认识混沌
线性迭代要么收敛于它旳不动点，要么趋于无穷大。 不收敛旳非线性迭代可能会趋于无穷大，也可能趋 于一种周期解，但也有可能在一种有限区域内杂乱 无章地游荡，此类由拟定性运动造成旳貌似随机旳 现象称为混沌现象.

数学建模-人体重变化

一、人体重变化某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。

每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克•天）乘以他的体重（千克）。

假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。

试研究此人体重随时间变化的规律。

一、问题分析人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。

二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W0三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；四、模型求解d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0解得：5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)即：W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)当t趋于无穷时，w=81;摘要：本文对数序建模实验课本上第一章中有关体重增长的课后习题进行了解答。

并且在该基础上提出了一些对该模型的修改想法，同时参考了比较成熟的生物数学中的生物体重增长模型作为扩展。

关键词：数学建模实验；体重增长；模型修改意见问题陈述某动物从食物中每天得到2500卡的热量，其中1200卡用于基本的新陈代谢，每天每千克的体重需要再消耗16卡。

假如它每增加1kg的体重需要10000卡的热量，问该动物的体重将会如何变化。

问题分析该数学问题如果单纯从所需要的知识来讲，其难度只能算是初中数学问题。

但是如果把该问题看成是一个研究体重增长的简化数学模型的话，那其意义就不会停留在初中数学应用题的水平上了。

减肥模型(可编辑修改word版)

减肥模型专科组：陈瑶江珅唐波【摘要】本文利用一阶线性微分方程，建立人体重变化与摄入热量的数学模型，先解出整数解，再讨论不同初值对解的影响：最后通过三种曲线的形式，直观的给出体重与摄入热量的动态变化规律；得出的结论是：提高单位体重单日消耗的热量值比减小热量摄入量对减肥更有效。

关键字：微分方程热量新陈代谢减肥一问题重述：某人每天由饮食获取10500 焦耳的热量，其中5040 焦耳用于新陈代谢。

此外每千克体重需支付67.2 焦耳热量作为运动消耗。

其余热量则转化为脂肪。

已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问此人的体重如何随时间变化？二问题分析：由题意可以求出，任意一天的体重的变化量与体重之间关系，将其推广，可看作任意一点的体重的变化率与体重之间关系，即可建立微分方程，进而求出体重变化规律三模型假设：（1）一天之内人的体重基本不变化，一天为t 的最小单位；（2）人的初始体重假设最低为 25kg，最大为 125kg；（3）存在一个连续可导的函数 W(t),s 使任意正整数n 都满足W(n)=第n 天人的体重；（4）人体内多余的热量都转化为脂肪储存在体内；（5）某人以脂肪形式储存的热量是100%地有效，而1 千克脂肪含热量是42000 焦耳。

四符号说明W t表示人的体重W0表示人的初体重W s表示人的稳定体重P 表示每天饮食摄入的总热量Q 表示每天新陈代谢消耗热量K 表示每天热量净摄入量R 表示每天每千克体重运动消耗热量A 表示每千克脂肪所含热量五建立模型：一天的净摄入量每天运动消耗热量K=P-QR·W(t)所以从t 到t+ ∆t 时间内体重的变化：W(t+ ∆t) - W(t) = 体重变化的数学模型：P -QA∆t -R •W (t)∆tAW(t + ∆ t) - W(t)=∆t即P -Q-AR •W (t)A⎧⎪dW =P -Q -R •W (t)⎨dt ⎪⎩A A W (0) =W利用分离变量法解方程得：-1ln (P -Q) -RW (t) =Rt+CA由W(0)=W0得：从而得：C= -1ln (P -Q) -RWR 0 W(t)=代入题目中的数值：P -QR-(P -Q) -RW0 eR-RtAP=10500 Q=5040 R=67.2 A=42000 所以体重随时间变化的函数是：W(t)= 即10500 -504067.2-(10500 - 5040) - 67.2W0 e67.2-67.2t42000W(t)=81.25-（81.25-W 0 ） e- t625求导得： 即dW = (P - Q ) - RW 0 e dt A- RtAdW = 5460 - 67.2W 0 e dt 42000- 67.2t 42000用 MatLab 编程画出 W 0 从 25Kg 到 125Kg 每增长 5Kg 的体重随时间变化曲线图代码见附件 1曲线方程为：W(t)=81.25-（81.25-W 0 ） e 曲线图如下：- t625（W 0 =25：10：125，0<t<5000）Wt(Kg)80604020 (t(d)) 0 5001000150020002500300035004000图 1图 1 结果分析：(1) 这是假设人初始体重为 25Kg ，以 10Kg 的增速递增，最大值是 125Kg 时随着时间（t ）的增长人体重（Kg ）的变化曲线。

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a A / D 表示由于能量的摄入而增加的体重，
分析四： 分析四 d • 由式(1.1) 0 即 a/d ,体重从 递 0 dt 减,这是减肥产生效果,另外由式(1.2)可以看到
时
t (t) a/d A/(B R) , 也 就 是 说 式 ( 1 . 1 ) 的 * 渐 a/d稳 定 解 进
，即体 肪的消耗而产生的，如此继续下去，有 lim （t） 0 t
Hale Waihona Puke 重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危险的。
分析三
a / d 是模型中的一个重要的参数，由于
d ( B R) / D 而 表示由于能量的消耗而失 a/d 掉的体重,于是 就表示摄取能量而获 t 得的补充量,综合以上的分析可知 时刻 的体重由两部分构成,一部分是初始体重中 由于能量消耗而被保存下来的部分.另一部 分是摄取能量而获得的补充部分,这一 解释从直观上理解也是合理的.
BR
A (t ) BR A
减肥，我来了！
：
分析二
在式（2）中假设 a 0 ，即假设停止 进食，无任何能量摄入。于是有 （t） dt -dt 或 • （t） 0 e e 0 •
这表明在 t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由
e dt
给出，
称为时间内的体重保存率，特别当 t 1 时，给出了单位时间内 体重的消耗率，它表明在时间内体重的消耗率，它表明在 (0, t ) 内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂
有效的，它将危机人的身体健康，是危险的。
过量运动限制 无效减肥限制
人们为减肥所采用的各种体力活 动对能量的消耗也有一个人体所能 承受的范围， 这表明减肥的效果 是有控制饮食和增加消耗综合作用、 相互协调的结果。
模型评价
实际上，减肥的过程比模型所描述的要复杂得多， 这个模型只是为了总结出饮食和锻炼这两个主要因 素与减肥的关系，有助于人们走出盲目减肥的误区， 树立科学健康减肥的观念。至于对减肥的更深入的 分析还有赖于进一步构建更详细的模型。
组员：
1.问题提出 5.符号说明
2.知识背景
6.模型建立与求解 3.问题分析 7.模型分析
4.模型假设 8.模型评价
问题提出
你如何对待减 肥问题？试建 立模型，从数 学的角度对有 关的规律做进 一步的探讨和 分析。
知识背景
肥胖指数：是一个体重与身高的比率，它 被认为是大多数人身体脂肪的合理反映。
模型假设
1.假设以人体脂肪的重量作为体重的标志。
2.假设体重随时间的变化w(t)是连续而且充分光滑的。 3.假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比。
4.假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A。
模型假设
5.假设在研究减肥的过程中，我们忽略个体间 的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影 响。 6.假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特 殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重。
模型求解有
a dt t）=0e + （1-e ） （ d (2)
dt
A A (0 )e BR BR

B R t D
模型分析
单击添加副标题
分析一
当 t 时， 。由于可以调节 A, B, R 使得 B R 等于任何常数， 即理论上 讲，你要减（增）肥到多重都是可以的，只要 你适当调整饮食、锻炼和新陈代谢，即调整A, B, R 就可以了。但是不吃东西、任意改变新陈代谢 和锻炼过度都不可取。 A 称为平衡体重
问题分析 问题分析
研究减肥就是要研究体重的变化，因此在减肥 过程中我们要对人的体重进行持续的检测，可以 将人体的体重看成是时间t的函数w(t)。 不同的活动对能量的消耗不同。所以我们在 建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活 动消耗的人体能量。记r为某一种活动每小时所消 耗的能量，记b为1千克体重每小时所消耗的能量。
以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消 耗量应为 B 24b(kcal/ d ) ,由于人的某种运动一般不
会是全天候的,不妨假设每天运动
动所消耗的能量应为
R rh(kcal/ d )
h 小时,则每天由于运
2
按照假设2，体重随时 间的变化w(t)是连续而 且充分光滑的。我们可 以在任何一个时间段内 考虑由于能量的摄入与 消耗引起人的体重的变
M
• 设摄入与消耗的能量之差为 • • 根据能量平衡原理，有
，则有
M [ A ( B R) (t )]t
W M
即：
[(t t) - (t)]D [A （B R）（t） t ]
• 取 t 0 ,可得
d a d， dt （0）=0
总结
因素一

由于进食而摄取的能量
控制饮食
因素二

由于活动而消耗的能量
增加活动量
无效减肥限制
• 根据背景知识，我们知道 任何人通过饮食摄入
的能量不能低于用于维持人体正常生理 功能所需要的能量。 因此作为人体体重极限表
明能量的摄入过低并致使无法维持他本人正常的生 理功能的所需。这时减肥所得到的结果不能认为是
问题分析
要用数学的方法对减肥这一问题建模，就需 要选定一个测量肥胖的标准量，因为人体的脂肪 是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥 的主要目标。因此，我们以人体脂肪的重量作为 体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100﹪， 每千克脂肪可以转换为4.2×10^7焦耳/千克，称 为脂肪的能量转换系数。
肥胖指数的计算：体重（公斤）比上身高 （米）的平方（kg/m2）。
（WHO的BMI参考标准为：低于18.5为轻体重，18.5-24.9 为正常体重，25-29.9为超重，大于30为肥胖。）
知识背景
适用人群：18至65岁的人士。儿童、发育中的 青少年、孕妇、乳母、老人及身型健硕的运动 员除外。
中国人的体重最佳值：应该在18.5—22.6 之间，BMI指数大于22.6就是超重。
符号说明
D：脂肪的能量转化系数 W（t）：人体的体重关于时间的t的函数。 A：每天摄入的能量 r：每千克体重每小时运动所消耗的能量（kcal/kg）/h b：每千克体重每小时所消耗的能量（kcal/kg）/h B：每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗
模型建立与求解
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前提条件
1
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*
于 因此不妨称
,它给出了减肥过程的最终结果, * 为减肥效果指标,由 * A/(B R) ，
因为B是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的 措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人可 以认为它是一个常数（非常数，即通过调整新城 代谢的方法来减肥）
• 减肥的效果主要是由两个因素控制的，包 括由于进食而摄入的能量以及由于运动消 耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是 控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减 肥的认识。 • 人体体重的变化时有规律可循的，减肥也 应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭 示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的 关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区， 从事减肥活动有一定的参考价值。
（1）
• 其中, a A / D , d ( B R) / D ， t 0 (模型开始考察时刻),即减肥问题的数学模型
其中 a A / D 表示由于能量的摄入而增 加的体重，而 b ( B R) / D 表示由于能 量的消耗而失掉的百分数(每单位体重中由 于基础代谢和活动而消耗掉的那部分)。
3
按照能量的平衡原理，
任何时间段内由于体重
的改变所引起的人体内
能量的变化应该等于这
段时间内摄入的能量与
消耗的能量之差。
化。
• 我们选取某一段时间 (t , t t ) ，在 (t , t t ) 内 考虑能量的改变： • 设体重改变的能量变化为 W ,则有 •
W [ (t t ) (t )]D