减肥的数学模型

减肥计划摘要：本文分析了如何制定合理的减肥计划，根据人体吸收的热量与体重、代谢消耗系数的关系，建立数学模型。

同时通过实例，制定减肥计划，在保证安全与健康的前提下控制饮食量，同时并制定合理的配餐方案。

为加快减肥的进程，还可增加运动。

实现科学合理减肥的目标。

关键词：合理减肥数学模型热量一．引言体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~正常；BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖。

多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持，通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标。

分析体重变化的原因：1、体重变化由体内能量守恒破坏引起；2、饮食（吸收热量）引起体重增加；3、代谢和运动（消耗热量）引起体重减少二、模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~ 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~ 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。

三、基本模型记第周末体重为w(k)，第周吸收热量为c(k)，热量转换系数α=1/8000(kg/kcal)，代谢消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为α得：wkk)1(kwβ(kwkc⋯++-=⋯)=(+3,2,1)1(),增加运动时只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。

四、实例讨论减肥计划的制定某甲身高1.7米，体重100千克，BMI 高达34.6，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。

现欲减肥至75千克并维持下去。

（一）问题分析1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。

第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

减肥问题摘要随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。

由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。

如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。

于是了解减肥的机理成为关键。

本文采用层次分析法建立模型来分析减肥问题。

层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题，适合于本问题的研究。

针对问题一，根据收集的相关数据确定了减肥的成因及判断标准，查阅相关数据得出现在各种减肥产品的作用机理及临床应用现状，分别从肥胖的判断标准、肥胖的危害、肥胖的病因及生化机制、植物及中药减肥机制及减肥药物临床应用现状进行了分析。

针对问题二，从找到的几则减肥药和减肥方法广告中，以减肥效果为目标层，各种应用的减肥机理为准则层，各种减肥产品为方案层，建立层次分析法模型确定各减肥药的减肥机制，再通过模型一分析其对健康的影响。

关键字：肥胖，层次分析法，减肥效果，减肥机理一．问题重述肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体多方面的变化。

很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。

各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。

情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。

但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。

之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

智慧树知到《数学建模与系统仿真》章节测试答案第一章单元测试1.数学模型是根据特定对象和特定目的，做出必要假设，运用适当数学工具得到一个数学结构的理论表述。

答案：对2.数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。

通过抽象、简化、假设、引入变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，是对实际问题的完全解答和真实反映，结果真实可靠。

答案：对3.数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述。

数学建模就是建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验）。

答案：对4.数学模型（Mathematical Model）强调的是过程；数学建模（Mathematical Modeling）强调的是结果。

答案：错5.人口增长的Logistic模型表明人口增长过程是先快后慢。

答案：对6.MATLAB的主要功能包括符号计算、绘图功能、与其他程序语言交互的接口和数值计算。

答案：符号计算、绘图功能、与其他程序语言交互的接口、数值计算7.Mathematica的基本功能包括语言功能（Programing Language）、符号运算（Algebric n）、数值运算（XXX）和图像处理（Graphics）。

答案：语言功能（Programing Language）、符号运算（Algebric n）、数值运算（Numeric n）、图像处理（Graphics）8.数值计算是Maple、MATLAB和Mathematica的主要功能之一。

答案：Maple、MATLAB、XXX9.评阅数学建模论文的标准包括表述的清晰性、建模的创造性和论文假设的合理性。

答案：表述的清晰性、建模的创造性、论文假设的合理性10.中国（全国）大学生数学建模竞赛（CUMCM）每年举办一次。

该竞赛开始于70年代初。

答案：一年举办一次，开始于70年代初。

10、微分方程模型可以用于描述物体动态变化过程，并且可以用来预测对象特征的未来状态。

一、人体重变化某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。

每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克•天）乘以他的体重（千克）。

假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。

试研究此人体重随时间变化的规律。

一、问题分析人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。

二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W0三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；四、模型求解d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0解得：5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)即：W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)当t趋于无穷时，w=81;摘要：本文对数序建模实验课本上第一章中有关体重增长的课后习题进行了解答。

并且在该基础上提出了一些对该模型的修改想法，同时参考了比较成熟的生物数学中的生物体重增长模型作为扩展。

关键词：数学建模实验；体重增长；模型修改意见问题陈述某动物从食物中每天得到2500卡的热量，其中1200卡用于基本的新陈代谢，每天每千克的体重需要再消耗16卡。

假如它每增加1kg的体重需要10000卡的热量，问该动物的体重将会如何变化。

问题分析该数学问题如果单纯从所需要的知识来讲，其难度只能算是初中数学问题。

但是如果把该问题看成是一个研究体重增长的简化数学模型的话，那其意义就不会停留在初中数学应用题的水平上了。

减肥模型专科组：陈瑶江珅唐波【摘要】本文利用一阶线性微分方程，建立人体重变化与摄入热量的数学模型，先解出整数解，再讨论不同初值对解的影响：最后通过三种曲线的形式，直观的给出体重与摄入热量的动态变化规律；得出的结论是：提高单位体重单日消耗的热量值比减小热量摄入量对减肥更有效。

关键字：微分方程热量新陈代谢减肥一问题重述：某人每天由饮食获取10500 焦耳的热量，其中5040 焦耳用于新陈代谢。

此外每千克体重需支付67.2 焦耳热量作为运动消耗。

其余热量则转化为脂肪。

已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问此人的体重如何随时间变化？二问题分析：由题意可以求出，任意一天的体重的变化量与体重之间关系，将其推广，可看作任意一点的体重的变化率与体重之间关系，即可建立微分方程，进而求出体重变化规律三模型假设：（1）一天之内人的体重基本不变化，一天为t 的最小单位；（2）人的初始体重假设最低为 25kg，最大为 125kg；（3）存在一个连续可导的函数 W(t),s 使任意正整数n 都满足W(n)=第n 天人的体重；（4）人体内多余的热量都转化为脂肪储存在体内；（5）某人以脂肪形式储存的热量是100%地有效，而1 千克脂肪含热量是42000 焦耳。

四符号说明W t表示人的体重W0表示人的初体重W s表示人的稳定体重P 表示每天饮食摄入的总热量Q 表示每天新陈代谢消耗热量K 表示每天热量净摄入量R 表示每天每千克体重运动消耗热量A 表示每千克脂肪所含热量五建立模型：一天的净摄入量每天运动消耗热量K=P-QR·W(t)所以从t 到t+ ∆t 时间内体重的变化：W(t+ ∆t) - W(t) = 体重变化的数学模型：P -QA∆t -R •W (t)∆tAW(t + ∆ t) - W(t)=∆t即P -Q-AR •W (t)A⎧⎪dW =P -Q -R •W (t)⎨dt ⎪⎩A A W (0) =W利用分离变量法解方程得：-1ln (P -Q) -RW (t) =Rt+CA由W(0)=W0得：从而得：C= -1ln (P -Q) -RWR 0 W(t)=代入题目中的数值：P -QR-(P -Q) -RW0 eR-RtAP=10500 Q=5040 R=67.2 A=42000 所以体重随时间变化的函数是：W(t)= 即10500 -504067.2-(10500 - 5040) - 67.2W0 e67.2-67.2t42000W(t)=81.25-（81.25-W 0 ） e- t625求导得： 即dW = (P - Q ) - RW 0 e dt A- RtAdW = 5460 - 67.2W 0 e dt 42000- 67.2t 42000用 MatLab 编程画出 W 0 从 25Kg 到 125Kg 每增长 5Kg 的体重随时间变化曲线图代码见附件 1曲线方程为：W(t)=81.25-（81.25-W 0 ） e 曲线图如下：- t625（W 0 =25：10：125，0<t<5000）Wt(Kg)80604020 (t(d)) 0 5001000150020002500300035004000图 1图 1 结果分析：(1) 这是假设人初始体重为 25Kg ，以 10Kg 的增速递增，最大值是 125Kg 时随着时间（t ）的增长人体重（Kg ）的变化曲线。

天津农学院系别：园艺系班级：果树班姓名：潘丽红学号：1002044116减肥计划—节食与运动一、了解日常食品的热量1、主食米饭 1160 kcal /1kg 馒头 2330 kcal / 1kg面条 2850 kcal / 1kg 玉米 1060 kcal / 1kg烧饼 3260 kcal / 1kg 油条 3860 kcal / 1kg煎饼 3330 kcal/ 1kg 土豆粉 3370 kcal/ 1kg汉堡 2630 kcal/ 1kg 方便面 4700 kcal / 1kg豆腐脑 100 kcal/ 1kg 粉丝 3550 kcal/ 1kg面包 3120 kcal / 1kg 炸糕 2800 kcal / 1kg年糕 1540 kcal / 1kg 蛋糕 3780 kcal / 1kg小米粥 460 kcal/ 1kg 豆浆 140 kcal/ 1kg麦片粥1220 kcal/1kg 牛奶 570 kcal/1kg酸奶 720 kcal/ 1kg 豆奶 300 kcal/ 1kg黑芝麻糊 5310 kcal/ 1kg 白粥 3400 kcal / 1kg奶粉 5100 kcal/ 1kg 果料酸奶 670 kcal / 1kg2、蔬菜类土豆 808 kcal/ 1kg 茄子 278 kcal/ 1kg西红柿 196 kcal/ 1kg 菠菜 270 kcal/ 1kg豆角 313 kcal/ 1kg 菜花 293 kcal/ 1kg圆白菜 256 kcal/ 1kg 豆芽 180 kcal/ 1kg西葫芦 247 kcal/ 1kg 黄瓜 193 kcal/ 1kg苦瓜 222 kcal/ 1kg 芹菜 299 kcal/ 1kg3、水果类苹果 563 kcal/ 1kg 桃 466 kcal/ 1kg梨 696 kcal/ 1kg 杏 395 kcal/ 1kg香蕉 1542 kcal/ 1kg 橘子 550 kcal/ 1kg葡萄 489 kcal/ 1kg 菠萝 603 kcal/ 1kg樱桃 575 kcal/ 1kg 花生 5620 kcal/ 1kg鲜枣 1040 kcal/ 1kg 柠檬 530 kcal/ 1kg橙子 635 kcal/ 1kg 西瓜子 13325 kcal/ 1kg4、肉类猪肉（肥）8160kcal / 1kg 猪肉（瘦）5938 kcal / 1kg羊肉 2150 kcal / 1kg 牛肉 1060 kcal / 1kg烧鸭 3960 kcal / 1kg 烤鸡 3287 kcal / 1kg羊肉串 2340 kcal / 1kg 扒鸡 3257 kcal / 1kg火腿肠 2120 kcal / 1kg 腊肉 1810 kcal / 1kg鱿鱼干 3193 kcal / 1kg 带鱼 1671 kcal / 1kg桂鱼 1198 kcal / 1kg 鲤鱼 2000 kcal / 1kg鲫鱼 2000 kcal / 1kg 河蟹 2452 kcal / 1kg鲈鱼 1724 kcal / 1kg 河虾 976 kcal / 1kg海虾 1549 kcal / 1kg 牡蛎 730 kcal / 1kg5、蛋类鸡蛋 1600 kcal / 1kg 鸭蛋 2046 kcal / 1kg鹅蛋 2253 kcal / 1kg 松花蛋 2144 kcal / 1kg鹌鹑蛋 1860 kcal / 1kg 鸡蛋黄 3280 kcal / 1kg鸡蛋白 470 kcal / 1kg6、其它食物巧克力 5860 kcal / 1kg 冰激淋 1260 kcal / 1kg橘汁 1190 kcal / 1kg 啤酒 350 kcal / 1kg二、减肥计划—营养配餐方案1、减肥计划的提出某人身高1.7m，体重100kg，BMI达34.6，每周吸收20000kcal的热量，体重长期不变，现在要为他制定一个减肥计划，使其体重减至75kg并维持不变：1）在基本不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

南京理工大学硕士学位论文人体走跑运动能量消耗计算与运动减肥姓名：***申请学位级别：硕士专业：生物医学工程指导教师：蒋勇;李祥晨20070701５脂肪消耗计算由上面的讨论可知，由个性化的步频一心率函数可以求出脂肪消耗最大值及其相应的最佳步频。

由此我们可以得出，在该步频范围内运动可以使得脂肪消耗最大化。

因为脂肪消耗不仅与运动强度有关，而且与运动时间密切相关。

众所周知，运动时间超过３０分钟以上才能达到较好的运动减肥效果∞啊ｌ。

我们根据实验数据，用灰色系统理论和机理分析相结合的方法分别建立脂肪消耗比率函数，然后据此计算出运动一段时间脂肪消耗量。

５．１等间距灰色系统预测下面以文献【３５】中的一组实验数据为例，说明如何建立脂肪消耗比率随时间的函数关系。

以１５分钟为一个时间单位，组成灰色数列来对数据进行拟合。

表５．１脂肪消耗比率等时灰色模拟及其误差警模型的平均相对误差为１．２６％；用上述模型进行预测，实测数据为【６，Ｏ．４９５１，预测数据为０．４７７８，预测误差为３．０８％。

图５．１．１实验数据［０］、模型曲线［上］和误差曲线［下］２１硕士学位论文人体走跑运动能量消耗计算与运动减肥图５．２灰色Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型曲线与实验数据比较５．４脂肪消耗的机理模型５．４．１数学模型建立在运动过程中，人体的脂肪储量是很大的，研究表明对于运动来说，脂肪是“用之不竭”的能量来源。

对于大众化的走跑运动而言，能量来源以糖和脂肪为主，占供能的绝大部分，而蛋白质几乎不参与供能。

因此，我们这里考虑二者参与供能的关系。

根据文献［５］中关于脂肪消耗过程中，脂肪酸入血随着运动时间的变化规律，可做如下假设：脂肪消耗比率的速率受到糖消耗比率的促进，受到自身消耗比率的抑制，并设相应的系数分别为ａ录Ｊ－ｂ，脂肪消耗的比率为ｚ（ｆ）。

可建立脂肪消耗比率随时间变化的数学模型。

设脂肪消耗随时问变化的数学模型为ｊ万ｄｚ～Ｏ－ｚ）一ｋ（５．４．１）【ｚ“）＝ｚ。

数学建模论文学院：电子与信息工程专业：计算机科学与技术班级：083班减肥的数学模型摘要本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析。

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。

本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出结果。

【关键字】：微分方程转化能量转换系数肥胖指数能量平衡原理一、问题提出随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断地提高。

由于营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题.无论从健康的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己形体的健美，从而导致目前社会上出现了各种各样的所谓“减肥药品”，“减肥食品”及名目繁多的健美中心。

你如何对待减肥问题？试建立模型，从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。

二、背景知识肥胖通常是用肥胖指数（The Body Mass Index）来测量的。

肥胖指数是一个体重与身高的比率，它被认为是大多数人身体脂肪的合理反映。

肥胖指数的计算是体重（公斤）比上身高（米）的平方（kg/m2）。

WHO的BMI参考标准为：低于18.5为轻体重，18.5-24.9为正常体重，25-29.9为超重（over-weight），大于30为肥胖（Obesity）。

适用人群为：18至65岁的人士。

儿童、发育中的青少年、孕妇、乳母、老人及身型健硕的运动员除外。

临界点的划定依据是，BMI超过该点，不良健康结果的风险会显著提高。

世界卫生组织认为BMI指数保持在22左右是比较理想的。

但是这个BMI是基于美国的数据制定的，在不同人种间不一定普遍适用，基本上各国都有自己的BMI值。

澳洲的BMI 正常范围是20-24.9，超重的范围是25-30，BMI大于30界定为肥胖。

有一人体重110kg，身高180cm，制定减肥计划使其BMI降到25以下目前人们公认的评测体重的标准是联合国世界卫生组织颁布的体重指数BMI，定义为BMI=h/L^2其中h是体重（单位是kg），L是身高（单位是m）。

模型分析：在正常情况下，人体通过食物摄入的热量与代谢和运动消耗的热量会影响体重的变化，摄入的热量大于消耗的热量会使人增肥，反之会使人体重降低，因此需要从人体对热量的吸收与消耗两方面进行分析，在适当的假设下建立模型，减肥计划应以不伤害人体健康为目标，所以吸收热量不应过少减重体重不要过快来限制，同时增大运动量也是减肥的关键，也应加以考虑，通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程来讨论。

模型假设：根据上述分析，参考有关生理数据，做出以下假设：1、体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg。

（kcal是非国际单位制单位，1kcal=4.5kJ）；2、身体正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重110kg的人每天消耗约3413kcal至5029kcal之间；3、运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式和运动时间有关；4、为了健康考虑，每周吸收热量不能少于10 000kcal，且每周减少量不能超过1 000kcal每周体重减少不能超过1kg；5、假设此人身体健康，没有肠胃方面的毛病；通过调查资料得知各种食物的每百克所含的大卡热量供参考（假设食物重量如表中一样重），如下表基本模型：记第k周（初）体重为w(k)（kg），第k周吸收热量为c(k)（kcal），k=1，2，……。

设热量转换（体重的）系数为α，身体代谢消耗系数为β，根据模型假设，正常情况下（不考虑运动）体重变化的基本方程为α(1)wk(k)1kcwβkw(k-+=⋯⋯)=()(+,2,1),由假设1，α=1/8000kg/kcal，当确定了个人的代谢消耗系数β后，就可按照(1)式由每周吸收的热量c(k)推导出他的体重w(k)的变化。

数学在健身计划中的作用在现代社会中，健身已经成为了许多人日常生活的重要组成部分。

无论是减肥、塑形还是增强体能，人们对健身的追求愈发明显。

然而，制定一个有效的健身计划并不是一件简单的事情。

它需要综合考虑自身的身体状况、目标以及训练方法。

在这个过程中，数学发挥着至关重要的作用。

通过数学计算，我们能够更科学地规划和评估自己的健身计划，从而实现最佳效果。

一、设定目标制定健身计划的第一步是明确自己的目标。

无论是增肌、减脂还是提高耐力，每个人的目标都不尽相同。

为了让目标更加具体和可衡量，我们可以借助数学中的SMART原则：具体 (Specific)：目标要明确，比如“我希望在三个月内减掉5公斤”。

可测量 (Measurable)：选择能够量化的指标，比如体重、体脂比例、围度等。

可实现 (Achievable)：设定一个合理范围内的目标，不能过于理想化。

相关性 (Relevant)：确保目标与个人的健康状况和生活方式相符合。

时限性 (Time-bound)：为目标设定一个明确的截止日期。

通过应用这些数学原则，我们可以将健身目标转化为具体的数字，从而让整个计划更具操作性。

例如，一个真实的目标可能是“在六周内每周增肌1公斤，并减少体脂率0.5%”。

二、制定训练计划确定了目标之后，接下来就是制定合理的训练计划。

训练计划的设计需要考虑多个因素，包括训练频率、训练强度和训练时间等。

这些因素通常可以通过数学公式进行计算。

1. 计算每日能量消耗在健身过程中，了解自己的基础代谢率（BMR）和每日能量消耗（TDEE）是非常重要的。

基础代谢率是维持基本生命活动所需消耗的能量，而每日能量消耗则包括日常活动与运动消耗的总和。

基础代谢率可以根据以下公式进行计算：对于男性：BMR = 88.362 + (13.397 × 体重[kg]) + (4.799× 身高[cm]) - (5.677 × 年龄[岁])对于女性：BMR = 447.593 + (9.247 × 体重[kg]) + (3.098× 身高[cm]) - (4.330 × 年龄[岁])接着，通过计算身体活动水平（PAL）来估算每日能量消耗，即TDEE = BMR × PAL，其中 PAL 根据活动强度分为以下几种：久坐不动（基本不运动）：1.2偶尔运动（每周1-3天）：1.375中等活动（每周3-5天）：1.55高度活动（每周6-7天）：1.725极度活动（高强度训练、体力劳动）：1.9一旦了解自己的 TDEE，就可以根据不同的健身目标调整热量摄入。