学业水平考试2016-2017(浙江专用人教版)课时作业 必修一 第二章基本初等函数(I)2.2.1 第2课时

探究 2 函数 f(x)＝12x2－2x＋1 的单调区间是什么？ 【提示】 因为函数 y＝12t 在(－∞，＋∞)上单调递减，函数 t＝x2－2x＋1
在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数 f(x)＝12 x2－
2x＋1 在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2016·荆州高一检测)已知函数 f(x)＝a1－ ＋22xx(a∈R)，且 x∈R 时，总
有 f(－x)＝－f(x)成立．
(1)求 a 的值；
(2)判断并证明函数 f(x)的单调性；
(3)求 f(x)在[0,2]上的值域．
【精彩点拨】 (1)根据条件建立方程关系即可求 a 的值；
(2)根据函数单调性的定义判断并证明函数 f(x)的单调性；
阶 段 一
学
第 2 课时 指数函数及其性质的应用
业 分
层
测
评
阶 段 二
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第一页，编辑于星期五：十六点 九分。
1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小 及解不等式．(重点)
2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并 能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)
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第十九页，编辑于星期五：十六点 九分。
【解析】 函数 f(x)＝－2x，2－xx>，0x<0， 定义域关于原点对称，当 x>0 时，即 －x<0，f(－x)＝－2x＝－f(x)，当 x<0 时，即－x>0，f(－x)＝2－x＝－f(x)，则有对 于 x∈{x|x∈R，x≠0}，都有 f(－x)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数，又 x>0 时，f(x)＝ 2x 递增，x<0 时，f(x)＝－2－x 递增，又 x<0 时，f(x)<0，x>0 时，f(x)>0，由单调 性的定义可得 f(x)在定义域内为递增函数．故选 B.

跟踪训练4 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋x－1 3； 解 要使函数有意义，需满足xx－ －23＞ ≠00， ， 解得x＞2且x≠3. ∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).
第十八页，编辑于星期五：十解七点析四答十五案分。
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
∴c4<c3<c2<c1，故 c1，c2，c3，c4 各值依次为 3，43，35，110，故选 A.
反思第十与页，感编辑悟于星期五：十七解点 四析十答五分案。
跟踪训练2 如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝ logbx的图象，则( ) B A.0<a<b<1 B.0<b<a<1
C.a>b>1
解析答案 第十四页，编辑于星期五：十七点 四十五分。
题型三 对数函数的定义域
例 4 (1)函数 f(x)＝1－1 x＋lg(1＋x)的定义域是( C ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞) C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞) 解析 由题意知11＋ －xx＞ ≠00， 解得 x＞－1 且 x≠1.
x<2， 得x>－1，
x≠0，
∴－x≠10<.x<2，
∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2).
纠错心得 求对数函数的定义域，要满足：(1)真数大于零；(2)底数大于零且
不等于1.注意要同时满足这两个条件，不能漏掉其中一个.
第二十三页，编辑于星期五：十解七析点答四十案五分。
跟踪训练6 求函数f(x)＝log(2x－4)(10－2x)的定义域.
答案 第六页，编辑于星期五：十七点 四十五返分回。
题型探究

基 础 过 关1.下列函数中，定义域为R 的函数是( ) A.y ＝x 34B.y ＝x －13 C.y ＝x 23D.y ＝x －3解析 y ＝x 34＝4x 3，定义域为[0，＋∞)；y ＝x －13＝13x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y ＝x 23＝3x 2，定义域为R ；y ＝x －3＝1x 3，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案 C2.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.(0，1] C.(0，＋∞)D.[1，＋∞)解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 12x ，x ≥1，log 12x ，0<x <1.当x ≥1时，t ＝log 12x 是减函数，f (x )＝－log 12x 是增函数，故f (x )的单调增区间为[1，＋∞). 答案 D3.已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图象是( )解析 函数y ＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，故f (x )＝2x ，于是f (1－x )＝21－x ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，此函数在R 上为减函数，其图象经过点(0，2)，只有选项C 中的图象符合要求. 答案 C4.已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________.解析 由已知得a ＝32log 23，b ＝log 232－12＝32log 23>32，c ＝log 32<1，故a ＝b >c .答案 a ＝b >c5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________.解析 当x ≥1时，log 12x ≤log 121＝0，∴当x ≥1时，f (x )≤0. 当x <1时，0<2x <21，即0<f (x )<2.因此函数f (x )的值域为(－∞，2). 答案 (－∞，2)6.已知1＜x ＜10，试比较(lg x )2，lg x 2，lg(lg x )的大小. 解 由1＜x ＜10知1＜x 2＜100，故0＜lg x ＜1， (lg x )2＞0，lg x 2＞0，lg(lg x )＜0. 又（lg x ）2lg x 2＝lg x2＜1， 所以(lg x )2＜lg x 2， 因此lg(lg x )＜(lg x )2＜lg x 2.7.已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0，3]时f (x )的值域. 解 因为m ∈{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }， 所以m ＝－1，0，1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数.当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m ＝1时，f (x )＝x 0条件(1)、(2)都不满足；当m ＝0时，f (x )＝x 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数. 所以x ∈[0，3]时，函数f (x )的值域为[0，27].8.已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在(]－ ∞，2上是减函数，∵0＜12＜1，∴y ＝log 12g (x )是减函数，又已知复合函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )＞0，x ∈(－∞，2)恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g （2）＝（2）2－2a ＋a ≥0， ∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)].能 力 提 升9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0log 12（－x ），x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，0)∪(0，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0，1)解析 由题意可得⎩⎨⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解之可得a >1或－1<a <0. 答案 C10.如图所示，函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析 当x ＞0时，f (x )＝log a x ＋1，其图象可以看作f (x )＝log a x 的图象向上平移一个单位而得到的，又因f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)是偶函数，所以x ＜0时的图象与x ＞0时的图象关于y 轴对称. 答案 A11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.解析 ∵函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，∴a 的取值需满足⎩⎨⎧a －2＞0，a ＞1，log a 1≥a －2－1，解得2＜a ≤3.答案 {a |2＜a ≤3}12.已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )(a ＞b ＞0)，则a ·b ＝________. 解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，∴(lg a )2＝(lg b )2，∴(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＝0， ∴lg a ·b ＝0或lg a ＝lg b . 又∵a ＞b ＞0，∴a ·b ＝1. 答案 113.已知函数f (x )＝ln (a x －b x )(a ＞1＞b ＞0). (1)求函数f (x )的定义域I ；(2)判断函数f (x )在定义域I 上的单调性，并说明理由； (3)当a ，b 满足什么关系时，f (x )在区间[1，＋∞)上恒取正值. 解 (1)∵f (x )＝ln(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)要有意义， ∴a x－b x＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1.又a ＞1＞b ＞0，∴ab ＞1，∴x ＞0，∴所求定义域I 为(0，＋∞). (2)f (x )在定义域上是单调递增函数. 证明：令0＜x 1＜x 2，∵a ＞1＞b ＞0， ∴a x 1＜a x 2，b x 1＞b x 2， ∴a x 1－b x 1＜a x 2－b x 2， ∴ln(a x 1－b x 1)＜ln(a x 2－b x 2)，∴f (x 1)＜f (x 2)，故原函数在定义域上是单调递增函数.(3)要使f (x )在区间[1，＋∞)上恒取正值，须f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值大于0.由(2)知f (x )min ＝f (1)＝ln(a －b ). ∵ln(a －b )＞0，∴a －b ＞1.故f (x )在区间[1，＋∞)上恒取正值时有a －b ＞1.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数，∵f (x )在区间[1，2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.。

课时作业(十七) 指数函数及其性质的应用一、选择题1．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5＞2.53B ．0.82＜0.83C ．π2＜π2D ．0.90.3＞0.90.5答案：D 解析：∵y ＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3， ∴0.90.3＞0.90.5. 2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2的单调递减区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞， 2 ]D ．[2，＋∞)答案：B 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u为R 上的减函数，欲求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2的单调递减区间，只需求函数u ＝x 2－2的单调递增区间，而函数u ＝x 2－2的单调递增区间为[0，＋∞)．3．当x ＞0时，指数函数(a －1)x＜1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(1，＋∞)D ．R答案：B 解析：∵当x ＞0时，(a －1)x＜1恒成立， ∴0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.4．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a ＞0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2答案：B 解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2，① 得－f (x )＋g (x )＝a －x－a x＋2，② ①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x.又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x－2－x， ∴f (2)＝22－2－2＝154.5．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有意义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x K ，K ，fx ＞K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)答案：C 解析：由f (x )＝2－|x |及K ＝12，得f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1＜x ＜1.∴函数f K (x )的单调递增区间是(－∞，－1]． 6．函数y ＝a x－a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案：C7．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件：y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝5x,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 答案：D 解析：∵y ＝f (x ＋1)是偶函数，∴y ＝f (x ＋1)的对称轴为x ＝0，∴y ＝f (x )的对称轴为x ＝1.又x ≥1时，f (x )＝5x，∴f (x )＝5x在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，1]上是减函数．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，且23>12>13， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 二、填空题8．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．答案：12 解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，∴m ＋n ＝12.9．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－1,0] 解析：依题意，2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.10．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)满足f (－2)＞f (－3)，则函数g (x )＝a 1－x 2的单调增区间是________．答案：[0，＋∞) 解析：∵f (－2)＞f (－3)，∴a 2＞a 3， ∴0＜a ＜1.令t ＝1－x 2，则y ＝a t.∵y ＝a t 是减函数，t ＝1－x 2的减区间是[0，＋∞)， ∴g (x )＝a 1－x 2的增区间是[0，＋∞)．11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )＜－12的解集是________．答案：{x |x ＜－1} 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x)＝2x－1，f (0)＝0. ∴当x ＞0时，由1－2－x＜－12，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞32，解得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0＜－12不成立；当x ＜0时，由2x －1＜－12，得2x ＜2 －1，解得x ＜－1.综上可知，原不等式的解集为{x |x ＜－1}． 三、解答题12．已知3x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫19x －3，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域．解：由3x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫19x －3，得3x ≤3－2x ＋ 6，∴x ≤－2x ＋6，解得x ≤2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在x ∈(－∞，2]上是减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞. 13．已知关于x 的方程4x－2x ＋1－a ＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．解：由已知得(2x )2－2·2x ＝a ，∴(2x－1)2＝a ＋1. ∵原方程有两个不相等的实数根，∴a ＋1＞0， ∴2x＝1±a ＋1， ∵2x ＞0，∴1－a ＋1＞0，∴a ＋1＜1，∴0＜a ＋1＜1，∴－1＜a ＜0. 即a 的取值范围是(－1,0)．14．已知定义在R 上的奇函数f (x )＝2x－a 2x ＋b .(1)求a ，b 的值；(2)判断并证明f (x )在R 上的单调性； (3)求该函数的值域．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0，f －＝－f， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－a1＋b＝0，12－a 12＋b＝－2－a2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)f (x )在R 上是增函数．证明如下： 由(1)知f (x )＝2x－12x ＋1.设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝x 1－x 2＋－x 2－x 1＋x 1＋x 2＋＝x 1－2x 2x 1＋x 2＋.因为y ＝2x是R 上的增函数，且x 1<x 2， 所以2x 1－2x 2<0. 又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在R 上是增函数．(3) f (x )＝2x－12x ＋1＝2x＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1.由2x>0，得2x ＋1>1，所以0<22x＋1<2， 所以－1<1－22x ＋1<1，即－1<f (x )<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)． 尖子生题库15．已知函数f (x )在R 上满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )>0，f (1)＝2. (1)求f (0)，f (3)的值； (2)判定f (x )的单调性； (3)若f (4x－a )＋f (6＋2x ＋1)>6对任意x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知，令x ＝y ＝0，可得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.由f (1)＝2，可得f (2)＝f (1)＋f (1)＝2＋2＝4， f (3)＝f (2)＋f (1)＝6.(2)任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且f (x 2－x 1)>0. 又∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)为R上的增函数．(3)f(4x－a)＋f(6＋2x＋1)>6恒成立，由已知及(1)得f(4x－a＋6＋2x＋1)>f(3)恒成立．∵f(x)为增函数，∴4x－a＋6＋2x＋1>3恒成立，即4x＋2×2x＋3>a恒成立．令g(x)＝4x＋2×2x＋3＝(2x＋1)2＋2.∵2x>0，∴g(x)>3，∴a≤3，故a的取值范围是(－∞，3]．。