2019年高考数学总复习第十章计数原理概率第7讲二项分布及其应用课时作业

该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
(1)某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机 分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；
(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作 人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员 每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3 人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有 利？
11．袋中装有黑球和白球共7个， 从中任取2个球都是白球的
概率为
1 7
，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然
后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终
止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求取球2次即终止的概率；
(3)求甲取到白球的概率．
n＝A
5 5
，用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百
位、十位、个位数字，出现a1<a2<a3>a4>a5的五位数有
12543,13542,23541,34521,24531,14532，共6个，
∴出现a1<a2<a3>a4>a5的五位数的概率P＝A655＝210.
9．(2019·湖南六校联考)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个 蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个 蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2
可知满足条件的点P所在的区域(图中阴影区域)的面积S＝2×1－
7 12×1×12＝2－14＝74，故所求概率为42＝78，故选D.
15．(2019·唐山模拟)无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1<a2，

甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.1×0.2×0.25＝0.005，
故至少一个地方降雨的概率为1－0.005＝0.995. 答案 0.995
基础诊 断 考点突 破
@《创新设 计》
考点一
相互独立事件的概率
【例 1】 （2017· 天津卷）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工 1 1 1 作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为2，3，4. （1）记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和 数学期望； （2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.
在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的
k k n－k C p (1 － p ) n 概率为 p，则 P（X＝k）＝______________________（k＝0，1，2，…，n） ，此时
二项分布 称随机变量 X 服从___________ ，记作 X～B（n，p） ，并称 p 为成功概率.
） 3 D.8
5 A.16
3 B.16
5 C.8
解析
1 13 13 5 3 1－ ＝ . X～B6，2， 由二项分布可得， P （X＝3） ＝C62 · 2 16
答案 A
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
2 3 3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为3和4，两个零件是否 加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ 1 A. 2 5 B. 12 1 C. 4 1 D. 6 ）
P(B) P(________ A) 相互独立， P（B|A）＝ ，P（A|B）＝__________.

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布课时分层作业六十九10.6 几何概型理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布课时分层作业六十九10.6 几何概型理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层作业六十九几何概型一、选择题（每小题5分，共35分)1。

在区间［0,2]上随机取一个数x，使|x—1|〉成立的概率是 ( )A。

B。

C. D.【解析】选C.由|x-1｜〉,得x〉或x〈,由图可知,所求概率P==.2.（2018·咸阳模拟)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过2分钟的概率是（)A。

B.C。

D.【解析】选C。

试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2,故所求概率P=. 3。

在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为( ）A.B。

C. D.【解析】选A。

正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体,该正方体的体积是V1=13=1,而原正方体的体积为V=33=27,故所求的概率P==。

【变式备选】一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行"，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.【解析】根据几何概型知识,概率为体积之比，即P==。

10.6 几何概型[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·陕西榆林二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A.1e B ．1－1e C.e 1＋e D.11＋e 答案 B解析 当0≤x ＜1时，f (x )<e ，当1≤x ≤e 时，e≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e，∴所求概率为e －1e ＝1－1e，故选B.2．(2018·绵阳模拟)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23 答案 C解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”，即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34.故选C.3．已知实数a 满足－3<a <4，函数f (x )＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定答案 C解析 若f (x )的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2. 故P 1＝－2－ －3 4－ －3 ＋4－24－ －3 ＝37.若f (x )的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a <2.故P 2＝47.∴P 1<P 2.故选C.4．(2017·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.5．(2017·铁岭模拟)已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.故选C.6．(2018·沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是( )A.45B.15C.13D.12 答案 B解析 如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P (A )＝810＝45. ∴所截得圆的面积小于9π的概率为P (A －)＝1－45＝15.故选B.7．(2017·福建宁德一模)若从区间(0，e)，(e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为( )A.2eB.1e C ．1－2e D ．1－1e 答案 A解析 设随机选取的两个数为x ，y ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <e ，0<y <e ，该不等式组在坐标系中对应的区域面积为e 2， 又不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0<x <e ，0<y <e ，xy <e在坐标系中对应的区域面积为e ＋⎠⎛1e exd x ＝2e ，∴所求概率为2e ，故选A.8．(2017·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4答案 B解析 函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2，点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4.故选B . 9．(2018·江西模拟)向面积为S 的平行四边形ABCD 中任投一点M ，则△MCD 的面积小于S3的概率为( ) A.13 B.35 C.23 D.34 答案 C解析 设△MCD 的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于F ，当“△MCD 的面积等于S 3”时，12CD ·ME ＝13CD ·EF ，即ME ＝23EF ，过M 作GH ∥AB ，则满足△MCD 的面积小于S3的点M 在▱CDGH中，由几何概型的概率公式得到△MCD 的面积小于S3的概率为2S 3S ＝23.故选C .10．(2018·湖北襄阳优质高中联考)已知λ＝3⎠⎛01x 2d x ，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，则在矩形ABCD 内(包括边界)任取一点P ，使得AP →·AC →≥λ的概率为( )A.18 B .14 C.34 D.78 答案 D解析 由已知得λ＝3⎠⎛01x 2d x ＝3×13x 310＝1.建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,0)，C (2,1)，设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AC →＝(2,1)，故AP →·AC →＝2x ＋y ，则满足条件的点P (x ，y )使得2x ＋y ≥1，由图可知满足条件的点P 所在的区域(图中阴影区域)的面积S ＝2×1－12×1×12＝2－14＝74，故所求概率为742＝78，故选D.二、填空题11. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率是________．答案 25解析 ∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.12．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案π120解析 依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝18×4π3×13＝π6(立方米)，又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)，三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.13．(2018·湖北八校联考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 利用定积分直接求面积，再利用几何概型的概率公式求解． 正方形内阴影部分的面积S ＝2⎠⎛-11 (1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3|1－1＝2×43＝83，所以所求概率为834＝23.14．(2018·河南洛阳模拟)已知O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，则点P 到点C 的距离大于14的概率为________．答案 1－5π64解析 ∵O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2对应的平面区域为正方形OEFG 及其内部，|CP |>14对应的平面区域为阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25，∴|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255， ∴正方形OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－π1645＝1－5π64.三、解答题15．(2018·广东深圳模拟)已知复数z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M . (1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.16．设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a >0，b >0时ax ＋b x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， b a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求的概率是1924.。