【高中数学】《计数原理与概率统计》知识点
一、选择题
1．把15个相同的小球放到三个编号为123
，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（）
A．18B．28C．38D．42
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．
【详解】
根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123
，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，
则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，
将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有
2 887
28 2
C
⨯
==种不同的放法，
即有28个不同的符合题意的放法；
故选B．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．
2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（）
A．100种B．60种C．42种D．25种
【答案】C
【解析】
【分析】
给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数.
【详解】
甲可有3种安排方法，
若甲先安排第1社区，
则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共13
43
C C⋅；
第2社区2个、第3社区安排2个，共22
42
C C⋅；
第2社区3个，第3社区安排1个，共11
41C C ⋅；
故所有安排总数为132211
4342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.
故选：C. 【点睛】
本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．
85
B ．
65
C ．
45
D ．
25
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意知，3~(5,
)3X B m +，由3
533EX m =⨯
=+，知3~(5,)5
X B ，由此能求出()D X ．
【详解】
由题意知，3
~(5,
)3
X B m +， 3
533
EX m ∴=⨯
=+，解得2m =， 3
~(5,)5
X B ∴，
336
()5(1)555
D X ∴=⨯⨯-=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
4．已知5929
0129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）
A ．9
B ．36
C ．84
D ．243
【答案】B 【解析】 【分析】
()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式
定理将其拆开，求出含有7
(1)x -的项，便可得到7a ．
【详解】
解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7
(1)x -；
()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()72
9C 136-=
所以，7a 36=，故选B 【点睛】
本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．
5．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．
78
B ．
34
C ．
12
D ．
14
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】
解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，
要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，
则相当于56
5.5
6.5
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率，
如图所示：
约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228
-
⨯⨯=， 所以对应的概率为：7
7818
=，
即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78
. 故选：A.
