高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明知识导航学案苏教版选修1-2

2.2.2　间接证明学习目标重点难点1．能知道反证法的思考过程、特点．2．会用反证法证明数学问题.重点：反证法的适用范围、思考过程、特点及应用．难点：会用反证法证明数学问题.1．间接证明(1)不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明的方法通常称为________．(2)________是一种常用的间接证明方法．2．反证法(1)用反证法证明时，要从否定________开始，经过正确的推理，导致逻辑________，从而达到新的否定(即肯定原命题)．(2)用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用框图表示：→→→.肯定条件p ，导致逻辑“p 且綈q ”为假“3．反证法证明过程包括三个步骤(1)____——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．(2)____——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果．(3)____——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．预习交流做一做：用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设应该是________________________________________________________________________．在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1．(1)间接证明　(2)反证法2．(1)结论　矛盾　(2)否定结论q　矛盾　若p 则q ”为真3．(1)反设　(2)归谬　(3)存真预习交流：提示：假设三角形的内角中至少有两个钝角一、用反证法证明否定性命题设数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．(1)求证：数列{S n }不是等比数列．(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？思路分析：仔细分析题意可得(1)(2)中都含有否定性命题，可采用反证法证明，解题时要注意对公比q 的分析．设a ，b ，c ，d ∈R ，且ad －bc ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．二、用反证法证明“至多”“至少”问题证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．思路分析：结论中含词语“至多”，宜采用反证法，注意“至多有一个”的否定是“至少有2个”．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：与中至少有一个小于2.1＋y x 1＋x y (1)结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅突破口的问题，宜考虑使用反证法．(2)要想得到与原命题相反的判断，必先弄清原命题的含义，即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大)，然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论，从这些结论中把原命题所含的结论剔除，就得到原命题的相反判断．三、用反证法证明“唯一”性问题用反证法证明：过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行．思路分析：假设过点A 有两条直线与直线a 平行，由平行公理推出与假设矛盾的结论．过平面α内的点A 作直线a ，使得a ⊥α，求证：直线a 是唯一的．1．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．2．用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，再灵活运用．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用，正确的序号是__________．①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．2．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么＞”时，假设的内容应是__________．3a 3b 3．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．5．下列叙述正确的有__________．(填序号)①“a ＞b ”的反面是“a ＜b ”；②“x ＝y ”的反面是“x ＞y 或x ＜y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S ＝S 1S 3，2即a (1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，21因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列；假设当q ≠1时数列{S n }是等差数列，则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以当q ≠1时数列{S n }不是等差数列．迁移与应用：证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1.因为ad －bc ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0，即(a ＋b )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＋(b ＋c )2＝0，所以a ＋b ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝b ＝c ＝d ＝0，这与已知条件ad －bc ＝1矛盾．故假设不成立，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.活动与探究2：证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．迁移与应用：证明：假设与都大于等于2，即≥2，≥2.1＋y x 1＋x y 1＋y x 1＋xy 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋y ≥2x ，①1＋x ≥2y .②①＋②得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2矛盾，所以假设不成立，所以与中至少有一个小于2.1＋y x 1＋xy 活动与探究3：证明：假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．迁移与应用：证明：假设这样的直线不唯一，则过点A 至少还有一条直线b ，使得b ⊥α.∵直线a ，b 是相交直线，∴直线a ，b 可以确定一个平面β.设α和β相交于过点A的直线c.∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c.同理可得b⊥c.这样在平面β内，过点A就有两条直线垂直于c，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，故假设错误，从而这样的直线a是唯一的．当堂检测1．①②③3a3b2．≤成立3．a≠1或b≠1　解析：“a＝b＝1”亦即“a＝1且b＝1”，所以其否定应为“a≠1或b≠1”．4．③①②5．②　解析：①不正确，“a＞b”的反面是“a≤b”；②正确；③不正确，原命题的反面漏掉了“三角形的外心在三角形上”；④不正确，原命题的反面为“最少有两个钝角”．。

第2节直接证明与间接证明一、学习目标：1. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2. 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

二、重点、难点重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。

难点：运用分析法、综合法提高分析问题和解决问题的能力。

三、考点分析：对两种直接证明方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，单纯的考查并不常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出。

它可以和很多知识，如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力，分析问题和解决问题的能力。

对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有独到之处。

三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。

2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。

3. 假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。

用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。

知识点一：综合法例1 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数。

2016-2017学年高中数学第2章推理与证明2.2.1 直接证明学案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章推理与证明2.2.1 直接证明学案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第2章推理与证明2.2.1 直接证明学案苏教版选修2-2的全部内容。

2.2。

1 直接证明1。

了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤。

（重点）2。

会用综合法、分析法证明一些数学问题。

(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别。

(易混点)[基础·初探］教材整理直接证明阅读教材P82～P84“练习”以上部分，完成下列问题。

直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明。

1.综合法（1）定义:从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推,直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法。

(2）推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论.2。

分析法（1）定义:从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法。

（2）推证过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件.1。

判断正误：(1）综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理。

（）(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ）(3)证明不等式“2＋错误!<错误!＋错误!”最合适的方法是分析法.（)（4）在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( ）【答案】(1)√（2)×（3)√(4)√2。

2．2.2 间 接 证 明1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证：a ，b ，c 不可能都是奇数． 问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能．问题2：a 、b 、c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a 2＋b 2＝c 2吗？ 提示：都是奇数．若a 、b 、c 都是奇数，则不能满足条件a 2＋b 2＝c 2.1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．2．反证法 (1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用下面的框图表示：导致逻辑矛盾“若p 则q ”为真(2)反证法证明命题“若p 则q ”的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[对应学生用书P30][例1]锐角三角形．[思路点拨] 本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析] 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通] (1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1⊂平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．[思路点拨] “有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P∉平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．[例3] 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨] 本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析] 假设a、b、c、d都不是负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac －a )＋(ac －c )＋1＝a (c －1)＋c (a －1)＋1. ∵a (c －1)≤0，c (a －1)≤0. ∴a (c －1)＋c (a －1)＋1≤1， 即ac ＋bd ≤1. 与ac ＋bd >1相矛盾．∴假设不成立．∴a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[一点通] (1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：6．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0， ∴－a ＋b2≥－a b ＞14＝12. 同理－b ＋c 2＞12，－c ＋a 2＞12. 三式相加，得－a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.7．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个根，设α，β为其中的两个实根． 因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数， 所以f (α)<f (β)． 这与f (α)＝0＝f (β)矛盾．所以方程f (x )＝0在区间 [a ，b ]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形 (1)一些基本命题、基本定理； (2)易导出与已知矛盾的命题； (3)“否定性”命题； (4)“惟一性”命题； (5)“必然性”命题； (6)“至多”“至少”类命题； (7)涉及“无限”结论的命题． 2．用反证法证明问题应注意以下三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．[对应学生用书P32]一、填空题1．命题“1＋b a ，1＋ab中至多有一个小于2”的反设为________．答案：1＋b a ，1＋a b都小于22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根． 答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根1． 用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为 ____________________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②. 答案：③①②5．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x ≠a 且x ≠b ”的否定应为“x ＝a 或x ＝b ”． 答案：x ＝a 或x ＝b 二、解答题6．(陕西高考)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a 1－qn1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．7．设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12<1＋a ＋b <12，－12<4＋2a ＋b <12，－12<9＋3a ＋b <12.于是有⎩⎪⎨⎪⎧－32<a ＋b <－12， ①－92<2a ＋b <－72， ②－192<3a ＋b <－172. ③由①、②得－4<a <－2，④ 由②、③得－6<a <－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P ∉直线a .求证：过点P 和直线a 平行的直线b 有且只有一条． 证明：(1)存在性：∵P ∉直线a ，∴点P 和直线a 确定一个平面α.由平面几何知识知：在平面α内过点P 能作出一条直线与直线a 平行，故直线b 存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与直线b、c有共点P矛盾．故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．。