高二数学推理与证明知识点与习题.doc

高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是（）A．是增函数，则B．因为，则C．为锐角三角形，则D．直线，则【答案】C【解析】根据题意，由于是增函数，则或者f’(x)=0在个别点成立，故错误对于B，因为，则显然不成立，对于D直线，则，可能斜率都不存在，故错误，故选C.【考点】推理与证明点评：主要是考查了合情推理的运用，属于基础题。

2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【答案】B【解析】根据题意，由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心，故可知答案为B.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。

3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 .【答案】9【解析】根据题意，可知，，，，那么可知的分解中最小的数是73，那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。

4.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，，则可归纳出一般式子为() A．1＋＋＋＋<(n≥2)B．1＋＋＋＋<(n≥2)C．1＋＋＋＋<(n≥2)D．1＋＋＋＋<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意，由于观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，左边是n 个自然数平方的倒数和，右边是项数分之项数的二倍减去1，那么可得到，推广到一般1＋＋＋＋<(n≥2)，故选C.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的基本运用，属于基础题。

5.在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似地，在空间中若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为____________。

高二数学推理与证明试题答案及解析1.观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．【答案】sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)＝sin2α＋2＋sin α ·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.2.观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－＝()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】D【解析】根据题意，由于观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－=2tan＋4tan-= -8tan=-8，故答案为D.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。

推理与证实一、核心知识1.合情推理〔1〕归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.归纳推理是由局部到整体,由个别到一般的推理.〔2〕类比推理的定义：根据两个〔或两类〕对象之间在某些方面的相似或相同, 推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理〔1〕定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论〔包括定义、公理、定理等〕根据严格的逻辑法那么得到新结论的推理过程.演绎推理是由一般到特殊的推理. 〔2〕演绎推理的主要形式：三段论“三段论〞可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是Po 其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理；②是小前提,它指出了一个特殊对象；③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断.3.直接证实直接证实是从命题的条件或结论出发,根据的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性.直接证实包括综合法和分析法.〔1〕综合法就是“由因导果〞,从条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论.〔2〕分析法就是从所要证实的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因〞.要注意表达的形式：要证A,只要证B, B应是A 成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开.4反证法〔1〕定义：是指从否认的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否认是错误的,从而肯定原结论是正确的证实方法.（2）一般步骤：〔1〕假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立；②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确.(3)反证法的思维方法：正难那么反....5.数学归纳法(只能证实与正整数有关的数学命题)的步骤 (1)证实：当n 取第一个值nO (nOGN*)时命题成立；⑵假设当n=k (k€N*,且kNnO)时命题成立,证实当n=k+l 时命题也成立 由(1), (2)可知,命题对于从nO 开始的所有正整数n 都正确. 二、典型例题 例1.+ =⑴=1 (RE N*),猜测/(x)的表达式为(B )J(x) + 2A- /W = Tr-;; B- /W = T ；c. /(x) =； D. /(x)= —2―,2+2 x + \x + \2x + \例 2./(〃)= 1 + L + 1 +…+ ! (〃eN ), 2 3 n57/(8) > - , /(16)>3 , /(32) > -,由此推测：当〃 2 2 时,有 22(〃 e Nr _______________33例 3.：sin 1 2 3 4 5 300 +sin 290° +sin 21500 = - ； sin 250+sin 265°+sin 21250 =-2 2通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题：=-(* )并给出(* )式的证实.例 4.假设“,8c 均为实数,且 n = X 2 -2y + —= y 2 -2z + —,c = z 2 -2x + — 0 2 3 6求证：中至少有一个大于0.答案：(用反证法)假设“也c 都不大于0,即4«0.〃40.c«0 ,那么有a+b+cKO,23解：一般形式：sin 2sin2(a+ 60') +sin 二.+ 120°)=—22 - cos 2a 1 - cos(2a +120°) 1 - cos(2a + 240 °)3 + 2 + 23 1=---[cos2a + cos(2a +120°) + cos (2a + 240°)] 2 2 4 I . =---[cos2a + cos2acosl 20s - sin 2asin 120e +cos2cos240fl- sin 2asiii240 ] 3 1 r 1 八 6 .、 1 c二 一——[cos la — — cos 2a — ——sin 2a --cos 2a + ——sin 2a] = — = 3a计算得/(2) = $, /(4) > 2 ,证实：左边而r/ + Z? + c = (x2 -2y + —) + (y2 -2z + ^-) + (z2 -2x + —) = (x-l)2+(y-l)2 +(z-l)2 +(— + —+ —)-3 2 3 6 2 3 6=(.r-l)2+(y-I)2 +(-1)2 +"3,.-1)2,(),一1产,(〞1)2 均大于或等于o, *3>o,,4+〃+c>0,这与假设“+b+cKO矛盾,故“力,c中至少有一个大于0.例5.求证：1+3+5+…+ (2n+l) =n2 (nGN*)三、课后练习1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式可能是(B )a = 1, a】=1,A. B. ,a+i = 3+〃(〃£N') 〔&=品一1+ 〃(〃£'*, 〃力2)Zi = l, fa】=l,C・ J D. ,〔&+］ = 3+(〃—1) (〃£N,) =品-1+(〃- 1) 〃N2)［解析］记数列为{a},由观察规律：及比a多2, 必比国多3, &比&多= 1,4,…,可知当〃三2时比a-多〃,可得递推关系' _ (〃22,〃£“).a-&-1=〃2.用数学归纳法证实等式1+2 + 3 +…+(〃+3)=上±"U(〃WN・)时,验证〃=1,左边应取的项是(D )A. 1B. 1+2C. 1+2 + 3D. 1+2 + 3+4［解析］当〃=1时,左=1+2 +…+ (1+3) = 1+2+…+ 4,故应选D.3.F(〃) —nA,那么(D )n n-v 1 〃十2 nA.f(〃)中共有〃项,当〃=2 时,f(2)=:+( 乙JB.F(〃)中共有〃+1 项,当〃=2 时,f(2)=S+；+； 4 0 c lC.f(〃)中共有〃2—〃项,当〃 =2 时,f(2)=；+14 UD.f(〃)中共有〃2—〃+1 项,当〃=2 时,/•(2)=；+}+；乙 W X［解析］项数为5— 1)=6—〃+1,故应选D.4.a+,+c=0,那么aZ?+bc+ca 的值(D )A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0［解析］解法1： ,.,a+6+.=0,# +万+ / + 2aS+2ac+26c=0,WO.5.c>l, <3=e+1-b=y［c—ylc—l,那么正确的结论是(B )A. a>bB. a<bC. a=bD. a、0大小不定［解析］=尸一&=*+&,〞—产=&+m,由于正+1>正>0, y［c>y［c—i>0,所以c+1 c— 1〉0,所以水上.sin/ cosB cosC …, 、6.假设丁丁=丁那么△月勿是〔C 〕A.等边三角形B.有一个角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个角是30.的等腰三角形-—sin力cosB cosC t［解析］.丁=丁=丁,由正弦定理得,sin力sin/ sinC . sin4 cos4 cosc sinC解析：用n=2代入选项判断.8.设人⑶二^^尤力⑶二力⑴,f2(x) = //(x),..., f n+[M = f n M, nGN,那么/2OO8(X)= _______解：cosx,由归纳推理可知其周期是49.函数/(x)由下表定义：X 2 5 3 1 41 2 3 4 5假设 4 = 5, 〞 = 0,1,2,…,那么4O()7=4.10.在数列1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,……中,第25 项为—7_.11.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案,那么按此规律第〃个图案中需用黑色得砖4〃 + 8 块.(用含〃的代数式表示),由f…⑵(3) . ⑸12. 2XABC的三个角A、B、C成等差数列,求证：—^ + ―---- ;-oa +b b + c答案：证实：要证_L+_L = <_,即需证半上+『£=3.即证」_ +」L = i0 a+b b^c又需证.(8+c) + "(" + Z?) = (a + 〃X〃 + c), 需证 +(厂=uc + h"「△ABC三个角A、B、C成等差数列.AB=60°.由余弦定理,有序+『-加,8s 60.,b2 -c2 + a2 -ac o成立,命题得证.13.用分析法证实：假设a>0,那么,『+十-a2“ +!-2.答案：证实：要证•+只需证+4+22“ + •!■ +无. v cr .V a>0, ...两边均大于零,因此只需证(L2 + -4 + 2)2 >(« + -!- +V2)2只需证“2+4 + 4 + 4、“2 + 晨“2 +」+ 2+2 + 2及(“ + 3, a~ \ u- u~ “只需证「+拚斗,+?,只需证/+*2?/+ * + 2),即证M+,22,它显然成立.,原不等式成立. 0-14. AA3C中,3Z? = 2、行asinB ,且cosA = cosC,求证：AABC为等边三角形.解：分析：由3〃 = 2yf3a sin B = 3sin B = 2-73 sin Asin B = sin A = — = A =—2 3 3由cos A = cosC ^>A = C.\A = C = — = B3所以A48C为等边三角形15.：a、b、c£R,且a+b+c=L 求证：a +1)+c2^" J［证实］由3+Z/22a8,及力2 + c?22历,c' + a,e2ca 三式相加得a~+b~ + c~^ab+ bc+ ca.1.3 (a' + 6 + /) 2 (力 + 厅 + d) + 2 (aZ?+ Z?c+ ca) = (a+ /?+ c)~. 由a+ b+ c= 1,得 3 (a' + 斤 + /) 21,即,J2 2 2 2 2 2 23(将一般形式写成sin2(a-60 ) + sin2a + sin2(a + 60 )=」,2sin2(or-240") + sin2(a-120°) +sin2a =-等均正确o )2a b c ' . • 6 b c c.\sinB=cosB, sinC=cosC, /. ZB= ZC=^° , ,△力比是等腰直角三角形.7.观察式子…系拉"不沁99/9…,那么可归纳出式子为〔c〕D. 1 1 1 12* 2 32〃- 2〃 + 1n f 1 1 1 InD、1 ― ------------------- + —7 + …<22 32/2〃 + 1。

高二数学推理与证明试题答案及解析1.若，那么必有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为=0，所以选A。

【考点】本题主要考查不等式性质、不等式的证明方法。

点评：利用差比法，即综合法。

也看取两组数据代入检验。

2.若下列方程：，，，至少有一个方程有实根，试求实数的取值范围．【答案】当或时，三个方程至少有一个方程有实根．【解析】解：设三个方程均无实根，则有解得即．所以当或时，三个方程至少有一个方程有实根．【考点】本题主要考查一元二次方程根的判别式、不等式组的解法、综合法的定义和方法。

点评：当论题从正面不容易或不能得到解决时，往往考虑问题的方面，此即所谓“正难则反”．3.已知成等差数列，成等比数列，则的取值范围是．【答案】【解析】由等差数列的性质得，由等比数列的性质得，所以==，当时，，当，，所以0，故的取值范围是。

【考点】本题主要考查等差、等比数列的性质，均值定理的应用，综合法的定义及方法。

点评：综合性较强，在理解掌握综合法的基础上，运用等差、等比数列的知识及均值定理完成解答。

4.用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）A．将结论与条件同时否定，推出矛盾B．肯定条件，否定结论，推出矛盾C．将被否定的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件【答案】B【解析】由反证法定义知，用反证法证明一个命题时，应是“肯定条件，否定结论，推出矛盾”，选B。

【考点】本题主要考查反证法的定义点评：反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反”．5.已知，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为①②③三式加后再除2，得=④④减①得c2=，④-②得a2=，④-③得b2=，所以c=-，a=b=时ab+bc+ca最小=，故选B．【考点】本题主要考查综合法的定义及方法。

点评：关键是让三式相加得到一个等式，再分别减去这三个式子，得到a，b，c的值。

高二数学推理与证明知识点
1.归纳推理归纳推理是高二数学的一个重点内容，其难点就是有部分结论得到一般结论，破解的是充分考虑部分结论提供的信息，从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特征。

2.类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

2.2.2 反证法一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B 是正确的，所以选B.2．用反证法证明“如果a b >>A =<=C D =<【答案】D【解析】>反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，=<3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程02=++b ax x 没有实根B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【解析】方程02=++b ax x 至少有一个实根的否定是方程02=++b ax x 没有实根，∴用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是方程02=++b ax x 没有实根．故选A ．4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是（）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除【答案】B【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除.5．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数.6．设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能【答案】C 【解析】∵12c e a ==，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆 x 2＋y 2＝2内，则22122x x +≥，但()222212121222b c x x x x x x a a ⎛⎫+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 223272424c c c c =+=<，矛盾．∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.二、填空题7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是.【答案】方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根个数大于或等于1”，所以假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．8．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，应假设.【答案】1-≠x 且1≠x【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是1-≠x 且1≠x .9．用反证法证明命题：“设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于31”时，第一步应写：假设．【答案】c b a ,,都小于31 【解析】反证法第一步是否定结论，a 、b 、c 中至少有一个数不小于31的否定是c b a ,,都小于31． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【答案】③①②【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②.。

高二数学下册推理与证明知识点训练试题及答案适用精选文件资料分享高二数学下册推理与明知点及答案（数学修 1-2 ）第二章推理与明[基A]一、1数列⋯中的等于（）ABCD2（）A都不大于 B都不小于 C 最稀有一个不大于 D 最稀有一个不小于 3已知正六形，在以下表达式① ；② ；③；④ 中，与等价的有（） A个B个C 个D 个4 函数内（）A 只有最大 B 只有最小 C 只有最大或只有最小 D 既有最大又有最小 5假如各都大于零的等差数列，公差，（）ABCD6 若，（）ABCD7 函数在点的数是 ()ABCD二、填空 1 从中得出的一般性是 _____________2 已知数，且函数有最小，=__________ 3 已知是不相等的正数，，的大小关系是_________ 4 若正整数足，5若数列中，三、解答1察（ 1）（2）由以上两式成立，推行到一般，写出你的推 2 函数中，均整数，且均奇数求：无整数根 3 的三个内角成等差数列，求：4像的一条称是（1）求的；（2）求的增区；（3）明直与函数的象不相切（数学修 1-2 ）第二章推理与明参照答案 [ 基 A ] 一、1B 推出 2D ，三者不可以都小于 3D ①；②③；④ ，都是的 4 D ，已一个圆满的周期，因此有最大、小 5 B 由知道 C不，例 6 C 7 D 二、填空 1 注意左共有 2 有最小，，称，即 3 4 5 前共使用了个奇数，由第个到第个奇数的和成，即三、解答 1 若都不是，且， 2 明：假有整数根，而均奇数，即奇数，偶数，同奇数‘ 或同偶数，奇数，当奇数，偶数；当偶数，也偶数，即奇数，与矛盾无整数根 3 明：要原式，只要即只要而 4 解：（1）由称是，得，而，因此（2），增区（3），即曲的切的斜率不大于，而直的斜率，即直不是函数的切。

推理与证明(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2010·山东)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －13．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数4．(2011·江西)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．495．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（ⅰ）1*1=1,(ⅱ)( n +1)*1= n *1+1,则n *1等于（ ）A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 26．已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＋1＝38＋12·a 2n，则数列{a n }是( ) A ．单调递增数列B ．单调递减数列C ．摆动数列D ．先递增后递减数列二、填空题7．(2011·北京)设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,3)，D (t,3) (t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N (0)＝________；N (t )的所有可能取值为________．8．(2011·山东)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.9．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.10．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有________________________也成等差数列，该等差数列的公差为________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求1S 2，1S 3，1S 4，…，并求1S n(不需证明)； (2)求数列{a n }的通项公式.12.观察下列三角形数表假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)，(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 4＝28，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式并证明．答案1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A7．6 6,7,8 8.x (2n －1)x ＋2n 9.n ＋2n ＋1 10．S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30300 11．解 (1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1和S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，得S 22＝(S 2－S 1)⎝⎛⎭⎫S 2－12，得1S 2＝1＋2S 1S 1＝2＋11＝3，由S 23＝(S 3－S 2)⎝⎛⎭⎫S 3－12，得1S 3＝2＋1S 2＝5，由S 24＝(S 4－S 3)⎝⎛⎭⎫S 4－12，得1S 4＝2＋1S 3＝7，…由S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，得1S n ＝2＋1S n －1＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝12n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)，显然，a 1＝1不符合上述表达式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.12．解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋(n －2)(n ＋1)2， 所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)． 13．解 (1)a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n . 当n ＝3时，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3. ∵a 4＝28，∴a 3＝15；当n ＝2时，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2. ∵a 3＝15，∴a 2＝6；当n ＝1时，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1. ∵a 2＝6，∴a 1＝1.(2)猜想a n ＝n (2n －1)．①当n ＝1时，a 1＝1，而a 1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立， 即a k ＝k (2k －1)．则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋a k －1a k ＋1－a k ＋1＝k ，a k ＋1＋k (2k －1)－1a k ＋1－k (2k －1)＋1＝k ， 整理，得(1－k )a k ＋1＝－2k 3－k 2＋2k ＋1 ＝(2k ＋1)(1－k 2)，a k ＋1＝(1＋k )(2k ＋1)＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]， 等式也成立．综合①②可知，n ∈N *时，等式成立．。

第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；∙证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。

3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立； （2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 考点：无第三章 数系的扩充与复数的引入知识点：一:复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。