第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、填空题：1. 函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的中值=ξ14-π。
2. 3.二、选择题：1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理的是（ A ） A. 652+-=x x y [2，3]； B. 32)1(1-=x y [0,2]；C. x xe y -= [0，1]；D. ⎩⎨⎧≥<+=5,15,1x x x y [0，5]2.罗尔定理中的三个条件：)(x f 在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且)()b f fa =是)(x f 在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf 成立的（ B ）. A ．必要条件； B ．充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要3.下列函数中在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（ B ）. A ．)ln(ln x ； B ．x ln ； C ．xln 1； D ．)2ln(x -.三、判断题（v ）1.罗尔定理中三条缺少一个，结论就可能不成立。
（v ）2.若C x f =')(（C 为常数），),(+∞-∞∈x ，则)(x f 为线性函数。
四、计算题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2.不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解 由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f '(ξ2)=0; 存在ξ 3∈(3, 4), 使f '(ξ 3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根. 注意到方程f '(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f '(x )=0的全部根. 五、证明题：1. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明 因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ), 即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ.2. 设)(x f 在],0[π上可导，证明存在),0(πξ∈，使 0cos )(sin )(=+'ξξξξf f 证明：设x x f x F sin )()(=，在],0[π上连续，在),0(π内可导，且x x f x x f x F cos )(sin )()(+'='， 3分又0)()0(==πF F ，由罗尔定理，至少),0(πξ∈∃，使0)(='ξF , 即 0cos )(sin )(=+'ξξξξf f3.证明：若f(x)在[a,b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=f(c)=0,(a<c<b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使0)(=''ξf .证明：由)(x f 在],[c a 上连续，在),(c a 内可导，且)()(c f a f =，根据罗尔定理，),(1c a ∈∃ξ，使0)(1='ξf ；同理可得：),(2b c ∈∃ξ，使0)(2='ξf ；又知函数)(x f '在],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，且0)()(21='='ξξf f ，根据罗尔定理，),(21ξξξ∈∃，使0)(=''ξf ，因为b a <<<<21ξξξ，故),(b a ∈ξ.4. 证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f , 所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .5. 设a >b >0, 证明: bb a b a a b a -<<-ln .证明 设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-.因为b <ξ<a , 所以)(1ln ln )(1b a b b a b a a -<-<-, 即b b a b a a b a -<<-ln .6. 证明不等式：b a b a -≤-arctan arctan证明：设],[,arct an )(b a x x x f ∈=，)(x f 在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且211)(x x f +='，由拉格朗日中值定理得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ， 即 ,),(11arctan arctan 2b a a b a b <<-+=-ξξ故 a b a b a b -≤-+=-)(11a r c t n a r c t a n 2ξ.第二节 洛必达法则一、填空题 1. 2. 3.二、选择题1.下列各式中正确的是（A ）A.1)11(lim 0=+→x x x B. e x x x =+→)11(lim 0 C.e x x x =-∞→)11(lim D. e xx x =+-∞→)11(lim2. 求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法，正确的是（ C ） A ．用罗比搭法则后，求得极限为0；B ．因为xx 1sinlim 0→不存在，所以上述极限不存在；C ．原式=01sin sin lim0=⋅→xx x x x ； D ．因为不能用罗必塔法则，故极限不存在。
第一章 函数与极限1.2-1.3 数列和函数的极限一、 根据数列或函数极限的定义证明下列极限:1. 0)1(lim 2=-∞→n n n ； 2.521532lim =+-∞→n n n ； 3. 224lim 42x x x →--=-+； 4. 0cos lim =+∞→x x x ；5. 证明11lim=-+∞→x x x ，并求正数X ，使得当x X >时，就有01.0|11|<--x x.（X 2=101）二、设}{n x 为一数列.1. 证明：若ax n n =∞→lim ，则||||lim a x n n =∞→；2. 问：(1)的逆命题“若||||lim a x n n =∞→，则ax n n =∞→lim ”是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例. （逆命题不成立。
反例：(1)nn x =-。
）三、判断下列命题的正误：1. 若数列}{n x 和}{n y 都收敛，则数列}{n n y x +必收敛； （正确）2. 若数列}{n x 和}{n y 都发散，则数列}{n n y x +必发散； （错误）3. 若数列}{n x 收敛，而数列}{n y 发散，则数列}{n n y x +必发散。
（正确） 四、证明：对任一数列}{n x ，若ax k k =-∞→12lim 且ax k k =∞→2lim ，则ax n n =∞→lim . 五、证明：A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是Ax f x =-∞→)(lim 且Ax f x =+∞→)(lim .六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：1. lim arctan x x π→-∞=-2，lim arctan x x π→+∞=2和lim arctan x x→∞不存在2. lim sgn 1x x →-∞=-，1lim sgn x x →+∞=和lim sgn x x→∞不存在3.lim x x e →-∞=，lim x x e →+∞=+∞和lim xx e →∞不存在七、证明：若)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有界.八、证明：函数)(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是左极限，右极限均存在并且相等，即)(lim )(lim )(lim 0x f A x f A x f x x x x x x +-→→→==⇔=.九、设||)(x x f =，求0lim ()0x f x -→=，0lim ()0x f x +→=和0im ()0l x f x →=.十、设x x f sgn )(=，求0lim (1)x f x -→=-，0lim ()1x f x +→=和0lim ()x f x →不存在1.4 无穷小与无穷大一、填空题1. 当x →∞时，11-x 是无穷小；当1x →时，11-x 是无穷大.2. 当0x -→时，x e 1是无穷小；当0x +→时，xe 1是无穷大.3. 当1x →时，x ln 是无穷小；当0x +→时，x ln 是负无穷大；当x →+∞时，x ln 是正无穷大. 二、选择题当0→x 时，函数x x1cos1是（D ） （A ）无穷小； （B ）无穷大；（C ）有界的，但不是无穷小； （D ）无界的，但不是无穷大.三、证明函数x x x f sin )(=在)0(∞+，内无界，但当+∞→x 时，)(x f 不是无穷大. 四、判断下列命题的正确性：1. 两个无穷小的和也是无穷小. （正确）2. 两个无穷大的和也是无穷大. （错误）3. 无穷小与无穷大的和一定是无穷大. （正确）4. 无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）5. 无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）6. 无穷大与无穷大的积也是无穷大. （正确） 五、举例说明：1. 两个无穷小的商不一定是无穷小；2. 无限个无穷小的和不一定是无穷小. 六、根据定义证明：1. 当0→x 时，x x x f 1sin)(=为无穷小；2. 当+→0x 时，xe xf 1)(=为无穷大；3. 当-∞→x 时，xe xf =)(为无穷小.1.5 极限运算法则一、计算下列极限:1.22lim(31224)x x x →-+=2. 22131im 21l x x x x →-+=-3. 224im 4l 2x x x →-=-4. 11lim 1n x x n x →-=-（n 是正整数）5. 3131lim()111x x x →-=--6. 0233()lim 3h x h x x h →+-=二、计算下列极限：1. 211lim(3)6)(2x x x →∞-+=2. 2231lim 4134x x x x →∞+=+- 3. 2321lim 510x x x x x →∞++=-+4. 235lim 101x x x x →∞+-=+∞5.2221211lim 2(...)n n n n n →∞-+++=6. 221...lim (||1||1)1.1..1n nn a a a a b b b b b a →∞++++-<<=++++-， 7. 1123lim 2313n n n n n ++→∞+=+ 三、若0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，求b a ,的值. （1,1a b ==-）四、若23)11(lim 21=---→x x x a x ，求a 的值. （2a =）五、计算下列极限：1. 2211lim 2x x x x x →++=+-∞2.2lim(543)x x x →∞--=∞3. 32251lim 465x x x x x →∞-+=++∞.六、计算下列极限： 1.211lim(1)cos10x x x →-=-2.301lim s ni x x x →=3. 2(1)arcta 0n lim x x x x →∞+=. 七、设2,1()5,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，分别求函数)(x f 在1-=x 与1=x 的左极限、右极限和极限.（4,1--，不存在）八、设11lim )(22+-=∞→nn n x x x f ，试求)(x f 的表达式. （1,1()0,11,1x f x x x ⎧-<⎪==⎨⎪>⎩）1.6 极限存在的两个准则两个重要极限一、利用夹逼定理求下列极限： 1. 222111lim(...)120n n n n n →∞+++=+++2.222111lim(...)120n n n n n n n n →∞+++=++++++3. 21lim (arctan )0x x x →∞=二、证明：332lim =+∞→n n n n .三、设12max{...}m a a a a =，，，(01,2,...,)k a k m >=，，证明：n a=.四、设1>a ，证明0lim=∞→nn a n五、利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛，并求出极限：1. 12,n x x x ===...；（l i m 2n n x →∞=）2. 11121111111n n n x x x x x x x --==+=+++，，...，，....（lim n n x →∞=） 六、设11x a y b ==，(0)a b <<，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 1. 证明数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少且满足(1,2,...)n n x y n <=； 2. 证明数列}{n x 和}{n y 都收敛，并且有相同的极限.七、计算下列极限:1.0sin 33lim44x x x →=2. 0sin lim (,0)sin x x x ααββαβ→≠=3.lim sinx x xππ→∞=4. sin m1li x xx ππ→=-5.01cos lim arctan 12x x x x →-=6. 0lim x +→=7. 1lim 2s n 30i n n n →∞=.八、计算下列极限:1. 1lim(1)1nn n e→∞+=+2. 522lim(1)x x x e +→∞+=3.1x e →=4. 21lim()211x x x e x →∞-=+5. 2cot 2lim(1tan )x x x e →+=6.21lim(11)nn n →∞-=.九、已知2)1(lim 1=+→xx ax ，求a 的值. （ln 2a =）十、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<=0cos 102sin )(2x x x x xxx f ，，，求(0)(0)f f -+，和)(lim 0x f x →. （2,2,2）十一、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=00tan )(2x x x x xaxx f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求a 的值. （0a =）1.7 无穷小的比较一、比较下列各对无穷小：1. 221,(1)(1)x x x --→ （后者高阶） 2. 321,1(1)x x x --→ （同阶）3.21cos ,(0)x x x -→ （同阶） 4. 2tan sin ,(0)x x x x -→ （前者高阶） 二、证明：当0→x 时，有以下等价无穷小成立：1. arcsin x x ；2.3tan sin 2x x x -. 三、利用等价无穷小代换计算下列极限：1. 20arctan lim sin 1x x x x →=2. 21lim s n 0i x x x →∞=3.lim 12x +→=四、当0x →时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小?A.2x B.1cos x -1 D.tan x x - （D ）五、证明：若α是β的高阶无穷小，则αββ+ 。
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
