微积分刘迎东编第四章习题4.6答案

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

2!
3!
2!
3!
3!
5!
2
4
而收敛半径 R=扛'fJ •
而收敛半径 R=+oo;
(7)
z
而收敛半径 R=l 。
cos 土 ==1- 上 (z+z2 + z3 + .. 一上 (z+z2 +z3 + ...r +... =1-2. z2 - z 3 +...' I zI< 1 I 1-z 2 4! 2
＇
In n
1
n
1
4)因 cos in= cbn,
( 1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 ；
4. 下列说法是否正确？为什么？
而lim—-=1=0,
II�")
chn
2"
故
cosm 2 — " 发散。 11=2 2
00
(2)每一个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
解 (1)不对。如Iz"在收敛圆lzl < 1内收敛， 但在收敛圆周日=l上井不收敛； (3)不对。如八 z) 三在全平面上连续， 但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 5幕级数LC11 (z-2)" 能否在z=0收敛而在z=3发散？
=
＝早－（于)2 f （）
11=]
一I
干是收敛半径 R=2 。 (2)因
(-1t z-1 "' "
2
+ ... + ( -1 y,-1
(早厂
lz-11<2
l
及
飞(z�2 一言） = z�2 一士 2 = = 1-'� 厂; J- J [ =』 z�2 4 +(:-2i ± + � 2 �

交⼤刘迎东微积分习题答案8.6 多元函数微分学的⼏何应⽤习题8.61. 求曲线sin ,1cos ,4sin 2t x t t y t z =-=-=在02t π=相应的点处的切线及法平⾯⽅程。

解：点为1,1,2π?-，切向量为{21cos ,sin ,2cos .2t t t t π=??-=所以切线为112x y π??--=-=法平⾯⽅程为1102x y z π??--+-+-=，即4.2x y π+=+2. 求曲线21,,1t tx y z t t t+===+在对应于01t =的点处的切线及法平⾯⽅程。

解：点为1,2,12?? ???，切向量为()22 1111,,2,1,2.41t t t t =-=-+????所以切线为1212.1124--==-法平⾯⽅程为()()11221042x y z ??---+-= ，即2816 1.x y z -+=3. 求曲线222,y mx z m x ==-在点()000,,x y z 处的切线及法平⾯⽅程。

解：22,2,ydy mdx zdz dx =??=-?，在点()000,,x y z 处，0022,2,y dy mdx z dz dx =??=-?所以切向量为0 011,,.2m y z ??-所以切线为00000.112x x y y z z m y z ---==-法平⾯⽅程为()()()00000102m x x y y z z y z -+---=。

4. 求曲线22230,23540x y z x x y z ?++-=?-+-=?在点()1,1,1处的切线及法平⾯⽅程。

解：22230,2350,xdx ydy zdz dx dx dy dz ++-=??-+=?，在点()1,1,1处，22230,2350,dx dy dz dx dx dy dz ++-=??-+=?所以切向量为{}16,9,1.-所以切线为111.1691x y z ---==-法平⾯⽅程为()()()1619110x y z -+---=。

用一阶中心差商代替一阶偏导数则可定义差分格式代入上式并在两边同除以2用一阶中心差商代替一阶偏导数则可定义差分格式第二章偏微分方程的有限差分法代入上式并在两边同除以2一阶中心差商代替一阶偏导数则可定义差分格式时根据内点差分格式得
第二章 偏微分方程的有限差分法
- 1 -
第二章 椭圆型微分方程的有限差分法
两式做差, 整理变形有
u ( xi ) − u ( xi − h) 1 1 1 = u '( xi − h) + 2 h 2 u '''( xi − h) + O ( h3 ) 2 2 h 2 3!
由此容易验证 2 3 ⎛ [u ]i − [u ]i −1 ⎞ h ⎡ d u ⎤ ⎡ du ⎤ = − p p p + O(h3 ) , 1 ⎢ ⎜ ⎟ 24 3 ⎥ ⎢ dx ⎥ 1 i− h ⎣ ⎦i − ⎠ ⎣ dx ⎦ i 2 ⎝
将上面的数值积分和数值微分公式代入(2.3)式, 得
[u ] − [u ]i −1 ⎛ [u ]i − [u ]i −1 ⎞ ⎛ [u ] − [u ]i ⎞ − p 1 ⎜ i +1 + ri i +1 + qi [u ]i h = f i h + O ( h3 ) ⎜ ⎟ ⎟ i + 2 h h ⎝ ⎠ ⎠ 2 ⎝ 省略掉误差项, 用 ui 代替 [u ]i , 则可定义差分格式为: p
2 2
h1 ⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ ⎢ p ∂y ⎥ 1 − ⎢ p ∂y ⎥ 1 ⎣ ⎦i, j + ⎣ ⎦i, j −
2
+ O(h12 ) =Байду номын сангаас
[u ]i +1, j − [u ]i , j [u ]i , j − [u ]i −1, j ⎤ 1⎡ 2 −p 1 ⎢ pi + 1 , j ⎥ + O(h1 ) i − j , h1 ⎣ 2 h1 h 1 ⎦ 2

数学分析课本-习题及答案第四章第四章函数的连续性一、填空题1．设>+=<=0 11sin 0 0sin 1)(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则=k ；2．函数??≤>-=0sin 01)(x x x x x f 的间断点是；3．函数x x f =)(的连续区间是； 4．函数321)(2--=x x x f 的连续区间是；5．函数)3(9)(2--=x x x x f 的间断点是；6．函数)4)(1(2)(+++=x x x x f 的间断点是；7．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是；8．设=≠-=-00 )(x k x xe e xf x x 在0=x 点连续，则 =k ；9．函数??≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0101 1)(x x x x x f 的间断点是； 10．函数0b a 0)(0)(2≠+??<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ；11．函数=≠=-0 0 )(21x a x e x f x，则=→)(lim 0x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ；12．如果-=-≠+-=11 11)(2x a x xx x f ，当=a 时，函数)(x f 连续二、选择填空1．设)(x f 和)(x ?在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ?有间断点，则( )A.[])(x f ?必有间断点。

B.[]2)(x ?必有间断点C.[])(x f ?必有间断点D.)()(x f x ?必有间断点 2．设函数bx ea xx f +=)(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a3．设xx e e x f 1111)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则A 有可去间断点。

解：
（2）连接 的折线段。
解：
6.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
解：
（2）连接 的折线段。
解：
7.计算 其中 为以 为顶点的正方形闭路。
解：
8.计算 其中 为星形线 在第一象限中自点 到 的一段。
解：
9.计算 其中 为依参数 增加方向进行的曲线：
解：
10.计算 其中， 分别为下列两种情形：（1）自 到 的直线段；（2）由 直到 的折线段。
（3）圆
（4）椭圆
（5）双纽线
3.计算曲线积分 其中 为圆周 的方向为逆时针方向。
解： ，所以取 则有
4.计算下列曲线积分：
（1） 其中 为摆线 上对应 从 到 的一段弧。
解：设直线段 ，则
（2） 其中 为上半圆周 沿逆时针方向。
解：设直线段 ，则
5.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值：
解：
（12） 其中 为用平面 截球面 所得的截痕，从 轴的正向看去，沿逆时针方向；
解：
（13） 其中 为曲线 上由 到 的一段弧；
解：
4.计算 其中 为由点 到点 的下列四条不同路径：
（1）直线
解：
（2）抛物线
解：
（3）抛物线
解：
（4）立方抛物线
解：
5.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
10.1第一型曲线积分
习题10.1
1.设在 面内有一分布着质量的曲线弧 ，在点 处它的线密度为 。用第一型曲线积分分别表达
（1）这曲线弧对 轴、对 轴的转动惯量
解：
（2）这曲线弧的质心坐标
解：
2.计算下列第一型曲线积分：

λ1 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) λ 2 (a21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 ) λ 3 (a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ) 0 【提示】 经过第一次变换后矩阵变为
a11 0 0 a12 a22 a11 − a21 a12 a11 a32 a11 − a31 a12 a11 a23 a11 − a21 a13 , a11 a33 a11 − a31 a13 a11 a13
2 2 2 1 2. 设 A = 1 − 1 ，B = − 1 3 ，计算 2A-3B，5A+2B。 1 − 3 5 − 2 −2 1 12 14 2. 【答案】(1) 5 1 . − 11 ; (2) 3 − 13 0 15 − 19 2 1 2 1 −4 2 3. 设 A = −1 4 − 2 ，B = − 1 3 ，C = 1 5 − 2 1 A(2B-3C)。 4 −1 15 − 14 3 【答案】AB = − 15 14 ; BA = − 4 16 7 − 28 2 − 1 , 计算 AB，BA，AC，CA， − 3
~ ~ = 0 ,则 a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = 0 , 于是, 若a 33 11 22 33 13 21 32 12 23 31 11 23 32 12 21 33 13 22 31
记 L1 , L2 , L3 分别表示第1,2,3个方程的左端, 有

2.2 函数的极限习题2.21. 根据函数极限的定义证明： （1）()3lim 318x x →-=证明：0ε∀>，要使()31833x x ε--=-<，只需33x ε-<，所以取3εδ=，则03x δ<-<时，恒有()318x ε--<，所以()3lim 318x x →-=。

（2）224lim42x x x →--=-+证明：0ε∀>，要使2x ≠-时，()()24422x x x ε---=--<+，只需取δε=，则()02x δ<--<时，恒有()2442x x ε---<+，所以224lim42x x x →--=-+。

（3）lim sin sin x ax a →=证明：0ε∀>，不妨设1ε<，要使sin sin 2cossin22x a x a x a ε+--=<，只需s i n22x a ε-<，即2arcsin2x a ε-<，所以取2arcsin2εδ=，则0x a δ<-<时，恒有sin sin x a ε-<，所以lim sin sin x ax a →=。

（4）lim cos cos x ax a →=证明：0ε∀>，不妨设1ε<，要使c o s c o s 2s i ns i n 22x ax ax a ε+--=<，只需s i n22x a ε-<，即2arcsin2x a ε-<，所以取2arcsin2εδ=，则0x a δ<-<时，恒有cos cos x a ε-<，所以lim cos cos x ax a →=。

（5）limx a→=证明：情形1：设0a =，即问题为0lim0x →=。

0ε∀>0ε=<，只需3x ε<，所以取3δε=，则00x δ<-<0ε<，所以0lim0x →=。

第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

λ 2 = 0.8 ，故 ρ ( B) = 0.9 < 1 ，所以迭代法收敛。
4.6 设线性方程组
⎧ x1 + αx 2 = 4 ⎨ ⎩2αx1 + x3 = −3
试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的 α 的取值范围。 解 高斯－赛德尔迭代矩阵
⎡1 G s = −( D + L) U = − ⎢ ⎣2α
−1
⎤ ⎡0 α ⎤ ⎢ 1⎥ 0⎥ ⎦ ⎣ ⎦
−1
⎡ 1 = −⎢ ⎣− 2α
⎤ ⎡0 α ⎤ ⎡ − 1 ⎤ ⎡0 α ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣2α − 1⎥ 0⎥ ⎦⎣ ⎦
⎡0 − α ⎤ =⎢ 2⎥ ⎣0 2α ⎦
它的特征多项式为
α ⎤ ⎡λ det(λI − G s ) = ⎢ = λ (λ − 2α 2 ) 2⎥ ⎣ 0 λ − 2α ⎦
26
第 1 次迭代，k=0, X(0)=(1,1,1,1)T
1.46 ⎧ (1) ⎪ x1 = 1 + 2 (1 − 2 × 1 + 1) = 1 ⎪ ⎪ x (1) = 1 + 1.46 (1 − 2 × 1 + 1) = 1 ⎪ 2 2 ⎨ ⎪ x (1) = 1 + 1.46 (1 + 1 − 2 × 1 + 1) = 1.73 ⎪ 3 2 ⎪ 1.46 ( k +1) ⎪ x4 (1.73 − 2 × 1) = 0.8029 = 1+ 2 ⎩
第四章
⎧10 x1 − 2 x 2 − x3 = 3 ⎪ ⎨− 2 x1 + 10 x 2 − x3 = 15 ⎪− x − 2 x + 5 x = 10 2 3 ⎩ 1
要求 x

4。

6 有理函数的积分 习题4。

6求下列不定积分：(1）33x dx x +⎰ 解：()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ⎛⎫+=-+-=-+-+ ⎪+⎝⎭++=-++-++⎰⎰(2）223310x dx x x ++-⎰解：()2222231310ln 310.310310x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-⎰⎰(3）2125x dx x x +-+⎰解：()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++⎰⎰⎰⎰(4）()21dx x x +⎰解：()()()()22222222211111ln .2212111d x dx x d x C xx x x x x x ⎛⎫==-=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ （5)331dx x +⎰解：()()322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭-+=+-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+++⎰⎰⎰⎰⎰（6）()()22111x dx x x ++-⎰解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ⎛⎫⎪+=+-=-++ ⎪-+++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ （7）()()()123xdxx x x +++⎰解:()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22xdx dx x x x x x x x x x C ⎛⎫-- ⎪=++ ⎪++++++ ⎪⎝⎭=+-+-++⎰⎰ （8）5438x x dx x x+--⎰ 解:()()5422332328811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dxx x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ⎛⎫+-+-=+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎛⎫=+++-- ⎪+-⎝⎭=+++-+--+⎰⎰⎰（9)()()221dxx x x ++⎰解:()()()2222211112221111122111ln ln 1ln ln 1ln 1arctan .241242x dx dx x x x x x x x x x dx x x x x C x ⎛⎫--- ⎪=++ ⎪++++ ⎪⎝⎭+=-+-=-+-+-++⎰⎰⎰ （10）411dx x -⎰解:()()422221111121111111ln arctan .412dx dx dx x x x x x x x C x ⎛⎫==- ⎪--++-⎝⎭-=-++⎰⎰⎰(11）()()2211dxx x x +++⎰解：()()()()()22222222221111111211ln 122121211ln 1ln 1.22dx xx dx x x x x x x x dxx dx x x x x x x C -+⎛⎫=+ ⎪++++++⎝⎭+=-+++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+++++⎰⎰⎰⎰ (12）()()22211x dx x++⎰解：()()()()()2222222222211211arctan .11111d x x x x dx dx dx x C x x x x x ++++==+=-++++++⎰⎰⎰⎰ （13)()22221x dx xx --++⎰解：()()()()()()()22222222222222222222111213121111132211121132121x x x x dx x dx dx dx x x x x x x x x d x x dxdxx x x x x dx x x x x --++-++-=-=-+++++++++++=-+-++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而()()()()222222222222222222211122221112132112111312112121dx x x xdxx x x x x x x x x x dx x x x x x dx x dxx x x x x x x dx dxx x x x x x x x +=+++++++++--=+++++++=+-++++++=++-++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以()()()222222213131121.31dxdx x x x x x x x x C x x +=++++++++=++++⎰⎰于是()()2222211.1x dxxx x C x x --+++=-+++⎰（14）23sin dx x +⎰解：22222sec tan .3sin 3sec tan 34tan dx xdx d x C x x x x ===++++⎰⎰⎰ （15）3cos dxx +⎰解：令tan 2xt =，则22212cos ,11t x dx dt t t -==++，2tan .3cos 2x dx dt C C x t ⎛⎫ ⎪==+=+++⎝⎭⎰⎰ （16）2sin dxx +⎰解：令tan 2x t =,则2222sin ,11t x dx dt t t ==++，22tan 1.2sin 1x dx dt C C x t t ⎛⎫+ ⎪===++++⎰⎰ (17)1sin cos dxx x++⎰解:令tan 2xt =，则2222212sin ,cos ,111t t x x dx dt t t t -===+++， ln 1ln 1tan .1sin cos 12dx dt xt C C x x t ==++=+++++⎰⎰ （18）2sin cos 5dxx x -+⎰解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,111t t x x dx dt t t t -===+++, 23tan 1.2sin cos 5322x dx dt C C x x t t ⎛⎫+ ⎪==+=+-+++⎝⎭⎰⎰（19)解:((2213263ln 231613ln 1.2t t dt t t C t C ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭+=-++⎰(20）31-解：)))))3324324321246586104ln 23181611014ln1.23t t t dt t t t t t t C C -⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=-+-++=-+-++⎰(21）解:)))222364ln 1614ln1.t dt t t t Ct C ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭=-++⎰（22） 解：()()((22242184ln 11214ln 1.t dt t t t C t C =+-++++=-++(23）解：()()2222211211111ln2arctan .1t dt dt t t t t t t C C t ⎛⎫=+ ⎪-++-⎝⎭-=++=++⎰⎰(24)解:3322.t dt C C =-=-+=⎰(25)()()224445dxx x x x -+-+⎰解：()()()222211444544451arctan 2.2dx dx x x x x x x x x x C x⎛⎫=-⎪-+-+-+-+⎝⎭=--+-⎰⎰（26)2425454x x dx x x ++++⎰ 解：()()2224222551545533ln 1arctan ln 4.541466x x x x dx dx x x x C x x x x ⎛⎫+ ⎪++=-=++-++ ⎪++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ （27）51x dx x +⎰ 解：()()()()()543254321151010511511015151ln 1.543x dxx t t t t t dt x t x x x x x x C ⎛⎫+=-+-+- ⎪+⎝⎭+++=-+-+++-++⎰⎰（28)223dxx -⎰解：2.23dx C x =-⎰（29）()()2223dxx x -+⎰解：()()222211152323.dx dx x x x x C ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭=-+⎰⎰（30）3422x dx x x -+⎰ 解：()()232422422ln 212224ln 2.4t t x dx tdt x t C x x t t x x C -+==-+-+-+=+⎰⎰(31）()()2222dxx x x +++⎰解：()()()()2222112222222ln 212222422ln 211ln 22arctan 1242dx x dx x x x x x x x x dx Cx x x x x x C⎛⎫=- ⎪++++++⎝⎭++-=-++++=-+++++⎰⎰⎰ （32）()()22xdxx a x b ++⎰解:()()()()2222222222222222222ln ln arctan .2a ax b xdx a b a b a b dx x a x b x a x b a a b x x a x b C a b a b b a b ⎛⎫-+ ⎪+++=+ ⎪++++ ⎪⎪⎝⎭=-++++++++⎰⎰ （33）5641x dx x x ++⎰ 解:()25642423ln 1111111arctan .123x x x dx dx x C x x x x x x x +++⎛⎫=+-=+-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰ (34）()31221n nx dx x-+⎰解:()()()3122222221arctan 1111n nn x t dt t dtdxx t n n n x t t -==-+++⎰⎰⎰ 而()()222222221122arctan 211111t t t dt dt t dt t t t t t =+=+-+++++⎰⎰⎰所以()2221arctan 2121dtt tC t t =++++⎰于是()()312222arctan 1arctan .221211n n nn n x t t x dx C x C n n x n t x -⎛⎫=-+=-+ ⎪++⎝⎭+⎰ (35）()()22111x dx x x ++-⎰解：()()()222211ln 111122.1121111x x dx dx C x x x x x x ⎛⎫- ⎪+=+-=++ ⎪+-++-+⎪⎝⎭⎰⎰ (36）332156x dx x x x+-+⎰ 解：32323212891561632565623ln 928ln 2ln 3.623x x x dx x dx x dx x x x x x x x x x x x x x C ⎛⎫ ⎪+-+=+=+-+ ⎪-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭=+--+-+⎰⎰⎰ (37）31xdx x -⎰解:()3221111311ln 1ln 1.36x x dx dx x x x x x x x C -⎛⎫=+ ⎪--++⎝⎭++-=-⎰⎰（38）31dxx +⎰解：()23212ln 1ln 1333.11136x x x x dx dx C x x x x ⎛⎫-+-+ ⎪+=+=-+ ⎪++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ （39）()()()2123dxx x x +++⎰解：()()()()2211122131232111ln .232dx dx x x x x x x x C x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪++++++ ⎪⎝⎭+=++++⎰⎰ （40）()()212xdxx x ++⎰解：()()()222212ln 12ln 2arctan 555.1255512x x x xdx x dx C x x x x ⎛⎫++ ⎪+=-=+-+ ⎪++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ （41）cos cos 23x xdx ⎰解：1535coscos cos cos sin 3sin .23266566x x x x x xdx dx C ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰⎰ （42)sin 2cos 364x x dx ππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰解：15sin 2cos 3sin 5sin 64212125cos cos 51212.210x x dx x x dx x x C ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+⎰⎰ （43)cos cos 2cos3x x xdx ⎰解：()1cos cos 2cos31cos 2cos 4cos 64sin 2sin 4sin 6.481624x x xdx x x x dx x x x x C =+++=++++⎰⎰（44）4cos xdx ⎰解：43322324cos cos sin sin cos 3sin cos sin cos 3cos 3cos xdx xd x x x x xdx x x xdx xdx==+=+-⎰⎰⎰⎰⎰所以334sin cos 31cos 2sin cos 33sin 2cos .4424816x x x x x x xxdx dx C +=+=+++⎰⎰ （45）5cos xdx ⎰解：()()2522435cos 1sin sin 12sin sin sin 2sin sin sin .35xdx x d x x x d x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰（46）25sin cos x xdx ⎰解：()()22522246357sin cos sin 1sin sin sin 2sin sin sin sin 2sin sin .357x xdx x x d x x x x d x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰（47）23sec sin x xdx ⎰解：2232cos 1sec sin cos cos sec .cos x x xdx d x x x C x-==++⎰⎰ （48)24sin cos x xdx ⎰解：()()()242231sin cos sin 21cos 28111cos 4sin 2sin 21616sin 4sin 2.166448x xdx x x dx x dx xd x x x x C =+=-+=-++⎰⎰⎰⎰ （49)sin cos dxx x +⎰解：tan .sin cos 28sin 4dx dx x C x x x ππ⎛⎫==++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰(50)解：.C ⎛⎫==+（51)44sin cos sin cos x xdx x x +⎰解:()()24424sin sin cos 11arctan cos 2.sin cos 212sin 2sin 2d x x x dx x C x x x x ==-++-+⎰⎰ （52)3sec xdx ⎰解：323secsec tan sec tan sec tan sec tan sec sec xdx xd x x x x xdxx x xdx x==-=-+⎰⎰⎰⎰⎰所以3ln sec tan sec tan sec .22x xx x xdx C +=++⎰ （53)3csc xdx ⎰解：33csc sec 2ln sec tan sec tan 222222ln csc cot csc cot .22xdx x dx x x x x C x x x x C πππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--++=--+⎰⎰（54)3cos sin 2x xdx ⎰解：5342cos cos sin 22cos cos .5xx xdx xd x C =-=-+⎰⎰ （55）()11cos dxx εε<+⎰解:令tan ,2xt =则22212cos ,,11t x dx dt t t -==++所以 ()()22.1cos 112dx x dt C x t εεε⎛⎫==+⎪⎪+-++⎭⎰⎰ (56）sin cos sin cos x x dx x x +⎰解：cos2sin cos sin24sin cossin sin442sin csc44csc cot.444xx x xdx dx dx x xx xx x dxx x x Cππππππππ⎛⎫+⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰(57）4cosdxx⎰解:()324tan1tan tan tan.cos3dx xx d x x Cx=+=++⎰⎰（58）44cos2sin cosxdxx x+⎰解：442cos2sin2.sin cos2sin2x d xdx Cx x x==++-⎰⎰（59）2shxsh xdx⎰解：()1323.262sh x shxshxsh xdx ch x chx dx C=-=-+⎰⎰（60）3chxch xdx⎰解：()142342.284sh x sh xchxch xdx ch x ch x dx C=+=++⎰⎰（61）⎰解:arcsin.x C==（62)解：()58643222754322161116632363ln16arctan.752t t tdt t t t t t dtt tt t tt t t t t C--⎛⎫=-++--++⎪++⎝⎭=-++--+++-+⎰⎰（63)解：(22x x dx==-⎰而2==-所以11ln.2222x C =-=-++于是21ln.222xx C=-++（64)解：()6126ln6ln1212.dt t t Ct tC⎛⎫-=-++⎪+⎝⎭=(65)解：.C=(66）解：1111ln.22xx C⎛⎫-+⎪=⎛=-+⎝（67）解：()()()()232117151113116110811834127211175111316ln 1ln 1ln 2.10818164271x dt t t t t t t t t C t t +=⎛⎫-++-- ⎪ ⎪+--++⎝⎭=-+--+---+++⎰ (68)⎰解：(()()23221222212221223x x x x x =-+=-++=-++⎰⎰⎰ 而2212==+=-=所以(11ln +C.22=于是()(32211122ln +C.322x x =-++⎰(69）解：11sin cossin4csc cot.44dt dtt ttt t C Cπππ=+⎛⎫+⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（70）解：()cos1cosarcsin211tan.2222tdttxt tC C=+-=-+=+（71）()1/21/31xdxx+⎰解：()()()()32225210864211975313126163060603066106012106.1137t t tdttt dt t t t t t dtt t tt t t C--=-=-+-+-=-+-+-+⎰⎰。

《微积分》第四章不定积分 复习题四Ex1(1)若不定积分21()()d (1)d .2f x f x x x x x x C '==+=++⎰⎰则函数2222211(1)d (1)d(1)(1).22x f x x f x x x C -=---=--+⎰⎰Ex1(2)设()1,f x x '=+sin Ex1(3)设()f x 的一个原函数为xx，求()xf x dx'⎰解：由于sin xx为()f x 的原函数，故2sin cos sin ()x x x x f x x x '-⎛⎫== ⎪⎝⎭从而()(())()()xf x dx xd f x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰2cos sin sin x x x x x C x x-=⋅-+sin cos 2x x C x =-+2()d ,则f x x x C =+⎰Ex1.填空题:若令t =ln x ,()d (),则f x x F x C =+⎰Ex1(4)不定积分()()d e 1.x f x f x x '==-⎰.2tan 2d 2sec d 1cos 12d cos 1cos 12C x x x x x x x x x x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-⎰⎰⎰()()d e .x f x f x x C '==+⎰则函数Ex1(5)已知(ln ),1<<+,(0)=0,其中且f x x x f '=∞有f ’(t )=e t ,令x=0, 得C =－1,Ex1(6)设a,b 为常数, b ≠0, 不定积分11()d ()d()().f a bx x f a bx a bx F a bx C b b-=---=--+⎰⎰Ex2. 用下列变量替换求不定积分:1(1);(2)(1)sec;(1).t t x t tx====xxxI d112⎰-=.||1arcsin||arcsind11d1122CxCtttxxx+-=+-=--=-⎰⎰2111(1),,d d令则，故t x x tx t t===-解:.||1arcsin||1d)/1(11d)/1(11d112222Cxxxxxxxxx+-=--=-=-⎰⎰⎰注: 用凑微分法解题如下:Ex2. 用下列变量替换求不定积分:xxxI d112⎰-=.1arctanarctand11d11222CxCtttxxx+-=+=+=-⎰⎰解:.1arccosdd112CxCttxxx+=+==-⎰⎰于是则令,d1d,1,1)2(222tttxtxxt+=+=-=解:于是则令,dtansecd,1arccos,sec)3(tttxxttx===于是则令,d)1(4d,11,11)4(2222tttxttxxxt--=-+=-+=.11arctan2arctan2d112d1122CxxCtttxxx+-+-=+-=+-=-⎰⎰解:Ex3(1)⎰-=x x x x d 2tan 2tan x x x x d cos 1sin ⎰++x x xx x d 2cos22cos2sin 22⎰+=⎰=2tan d x x x x d 2tan ⎰+.2tan C x x +=分部积分x x d 2tan ⎰+Ex3(2)xx x x x x x d sin 2cos sin 21d sin 22sin 1⎰⎰+=+Ex3 求下列不定积分:⎰⎰+--=+=)cos 1)(cos 1(cos d 21d )cos 1(sin sin 2122x x x x x x x 1⎛(17).cos 1cos 1ln 81)cos 1(4111ln 81)1(41d 1141d )1(141d 11)1(142222C xxx C t t t t t t t t t t ++-++=+-+-+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝-++-⎰⎰⎰令t =cos xP112公式.1e arctan 41e 41e 21e d e C x x x x x x x x +-+---=-⎰xx x x x x x x x x x x x d 1e 21e 21e d 21e de 1e d e ⎰⎰⎰⎰---=-=-=-,arctan 221d 2d 2d 12d 1e 222C t t tt t t t t x x+-=+-=+=-⎰⎰⎰⎰Ex3(3)Ex3(4)于是则令,d 12d ),1ln(,1e 22t ttx t x t x+=+=-=最后得).11107P ()e 1ln(e1e 1d e 1e 11d )e 1()e d(1)e 1(d e 22例参见书C x x x x x x x x xxxx x x x x x ++-++-=+++-=+-=++=+⎰⎰⎰⎰.)11ln(414)1ln(44d 1222d 122d 211d 11112C x x x C t t t xt t x t t t x t t t x x x +++++-=+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+-=++-+⎰⎰⎰⎰Ex3(5)于是则令,d 2d ,1,122t t x t x x t =-=+=2arcsin 1arcsin 1d arcsin d darcsin (1)111，x x x x x x x x x ==-----⎰⎰⎰Ex3(6)2d 1d cot ,1cos 22sin 2t t tC C C t t --===+=+=+-⎰⎰1-darcsin 1因x x =-⎰⎰sin d (1cos )sin t t t t-⎰x =cost2arcsin arcsin d .(1)1故x x x C x x =-+--⎰222arctan d arctan darctan 111arctan ).22t x t t t tt C C ==+=+=+⎰⎰⎰Ex3(7)于是则令,d 1d ,1,1222tt t x t x x t+=+=-=23/223/2223/2arctan d arctan d (1)d (1)1d(1+)2(1)1.tx t t t t t t t t C tC x==+=-=-+=-=++++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰i)ii)223/2211d ()x a x a =±注: ii) 中第二个等号用到凑微分解法1：令t =2,x t =2d ,dx t t =所以2arcsin I tdt ==⎰⎰2[arcsin]t t dt =⋅-⎰⎰22arcsin t t =⋅+⎰2arcsin t t C =⋅+C=++2arcsin tdt=⎰Ex3 (9)求不定积分I =⎰2=d 11Ex3(8)22111111ln d ln dln ln .11111x x x x x Cx x x x x++++⎛⎫⋅=+⎪-----⎝⎭⎰⎰.ln 2d 22xa xa a x x a -+=-注: 参看书P106例4, 该例可表示为凑微分解法2：因为arcsindx==所以应用分部积分法I=⎰2=⎰2dx =-⎰dx=-⎰C=++⎰x 然后利用凑微分法。

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231.(3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx x x 21; 解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x mn mC x mn dx x dx x mn m m n m nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx x x 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224. (15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx x e e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532;解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解 设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e xch x 都是x x e x sh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x +e x ch x =e x (sh x +ch x )x x x x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x +e x sh x =e x (ch x +sh x )x x x x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332x dx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d x dx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2.(11)⎰-+dx ee x x 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ;解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d xx dx x x x x +--=-+⎰⎰C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx x x 239;解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421.(35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+x dx 21; 解C x x C t t dt t tdt t tx xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .(40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解 因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d x x x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x xx x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解 因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458;解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx x x x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222. 8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17. ⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解 ⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dxx x )122(221111111令C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4x x dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解 令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxx x x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx.解 令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u u dx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662. 4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln . 6. ⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9. ⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e b a ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e e dxx x)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x xdx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12. 16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a ++=tan 1tan 31434C xa x a x a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241x xdx;解tdt t t tx x xdx2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx .24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444. 25.⎰-416x dx; 解⎰⎰⎰++-=+-=-dx xx dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx x xx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x ex23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x e x x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dxx x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x xC t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C e e x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xde d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x x xx de e e e x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ; 解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t tx dx x 2232/321sin cos secsec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx xx xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令 ⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。

微积分习题集带参考答案2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。

解 此时S 是l 的函数 πππ4222l l S =⎪⎭⎫ ⎝⎛=。

于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。

当1=S 时π2=l ，此时ππ12==l dl dS 。

5(2). 设ax y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。

解 设ax x f ||)(=。

当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。

只讨论0>α。

考虑左导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<∞===---+→1,0111,0)0()(lim10ααααa x x xxx f x f ， 考虑右导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=-<∞=--=-=----→1,0111,)()(0)0()(lim10ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0.6. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<≤+<-=1,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。

求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。

解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===-→)0(0)(lim 0，则0=a 。

这样在1=x 处)(x f 也连续。

此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+xxx f x f f x x ，。

1111)1()(lim)1(1=--=--='-→-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1)1sin(lim 1)1()(lim )1(11。

若)1('f 存在，则应有b =1。

此时1)1('=f 。

解法2 同理可得0=a 。

18.设函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,且a,b是方程f(x)=0的两个实根.证明方程f(x)+f'(x)=0在(a,b)内至少有一个实根.证设 g(x)=ef(x),g(a)=g(b)=0,g在 [a,b]连续, 在(a,b)可导),.x根据Rolle定理, 存在 c∈(a,b),使得g'(x)=e(f(x)+f'(x))=0,即f(x)+f'(x)=0.x19.决定常数A的范围,使方程3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.解P(x)=3x-8x-6x+24x,P'(x)=12x-24x-12x+24=12(x-2x-x+2)=12[x(x-2)-(x-2)]=12(x-2)(x-1)=12(x-2)(x-1)(x+1)=0,.x1=-1,x2=1,x3=2.P(x1)=-19,P(1)=13,P(2)=8.根据这些数据画图，由图易知当在区间(-P(1),-P(2))=(-13,-8)时3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.43232224323243220.设f(x)=1-x+x22-x33+ +(-1)nxnn.证明:方程f(x)=0当n为奇数时有一个实根,当n为偶数时无实根.证当x≤0时f(x)>0,故f 只有正根,当n=2k-1为奇数时,limf(x)=+∞,x→-∞limf(x)=-∞,存在a,b,a<b,f(a)>0,f(b)<0.x→+∞根据连续函数的中间值定理,存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0. f'(x)=-1+x-x+ -x实根唯一. 当n=2k为偶数时,f'(x)=-1+x-x+ +x22k-122k-2=x2k-1+1-x-1<0(x>0),当x>0时,f严格单调递减,故=-x2k+1-x-1=0,x=1.0<x<1,f'(x)<0,x>1,f'(x)>0,f(1)是x>0时的最小值,f(1)>0,故当n为偶数时f(x)无实根.21.设函数u(x)与v(x)以及它们的导函数u'(x)与v'(x)在区间[a,b]上都连续,且uv'-u'v 在[a,b]上恒不等于零.证明u(x)在v(x)的相邻根之间必有一根,反之也对.即有u(x)与v(x)的根互相交错地出现.试句举处满足上述条件的u(x)与v(x).证设x1,x2是u(x)的在[a,b]的两个根,x1<x2.由于u'v-uv'≠0,v(x1)≠0,v(x2)≠0.如果v(x)在[x1,x2]上没有根,则w=w'(c)=u'v-uv'vuv在[a,b]连续,w(x1)=w(x2)=0,由Rolle定理,存在c∈[x1,x2],使得(c)=0,即(u'v-uv')(c)=0,此与u'v-uv'恒不等于零的假设矛盾.故v(x)在[x1,x2]上有根.例如u=cos(x),v=sinx,u'v-uv'=-1≠0,sinxcosx的根交错出现.22.证明:当x>0时函数f(x)=arctanxtanhx单调'递增,且arctanx<π(tanhx).tanhxarctanx-2'22sinhxcoshx-(1+x)arctanx⎛arctanx⎫证f'(x)= =⎪=2222 tanhxtanhx(1+x)tanhxcoshx⎝⎭1=sinh2x-(1+x)arctanx(1+x)tanhxcoshx=g(x)(1+x)tanhxcoshx.g(0)=0.g'(x)=cosh2x-1-2xarctanx,g'(0)=0,g''(x)=2sinh2x-2arctanx-g'''(x)=4cosh2x- 41+x2x1+x,g''(0)=0,21+x+22-2⨯(1+x)-2x(1+x)=4cosh2x-21+x-2(1-x)1+x=4cosh2x-4x1+x>0(当x>0时coshx>1),由Taylor公式,对于x>0有g(x)=g(θx)3!3x>0,f'(x)>0,f严格单调递增.<limf(x)=limx→+∞x→+∞arctanxtanhx=π,故对于x>0有arctanxtanhxπ.23.证明:当0<x<π2时有2xsinx<tanxx.证f(x)=sinxtanx-x,22f'(x)=cosxtanx+sinxsecx-2x=sinx+sinxsecx-2x,22f''(x)=cosx+secx+2sinxsecxtanx-2=(cosx+secx-2)+2sinxsecx-2>0(cosx+secx=cosx+1cosx≥2,x∈(0,π/2)).f(0)=f'(0)=0,根据Taylor公式,f(x)=f''(θx)2x>0,sinxtanx-x>0,22xsinx<tanxx(x∈(0,π/2)).24.证明下列不等式:(1)e>1+x,x≠0.(2)x-(3)x-xx2x23<ln(1+x),x>0.<sinx<x,x>0.eθx6x证(1)e=1+x+(2)ln(1+x)=x-x22x>1+x,x≠0.1x<x,x>0.x222(1+θx)+12ln(1+x)=x-23(1+θx)3x>x-32,x>0.(3)f(x)=x-sinx,f(0)=0,f'(x)=1-cosx≥0,仅当x=2nπ时f'(x)=0,故当x>0时f严格单调递增,f(x)>f(0)=0,x>0.⎛x⎫g(x)=sinx- x-⎪,6⎭⎝⎛x⎫g'(x)=cosx- 1-⎪,g''(x)=-sinx+x>0,x>0.g当x>0时2⎝⎭严格单调递增,g(x)>g(0)=0,x>0.25.设xn=(1+q)(1+q) (1+q),其中常数q∈[0,1).证明序列xn有极限.nn2n23证xn单调递增.lnxn=qlnxn∑i=1ln(1+q)<i∑i=1q=iq-qn+11-q<q1-q, .xn有上界.故xn有极限.︒xn=e<e1-q26.求函数f(x)=tanx在x=π/4处的三阶Taylor多项式,并由此估计tan(50)的值.22224解f'(x)=secx,f''(x)=2secxtanx,f'''(x)=4secxtanx+2secx.f(π4)=1,f'(π4)=2,f''(π4)=4,f'''(π4)=16.⎛⎛π⎫π⎫8⎛π⎫π⎫⎫⎛⎛f(x)=1+2 x-⎪+2 x-⎪+ x-⎪+o x-⎪⎪.⎝4⎭4⎭3⎝4⎭4⎭⎪⎝⎝⎝⎭233π⎫π8⎛π⎫⎛π⎛π⎫︒tan(50)=tan +≈1+2⨯+2+⎪⎪⎪≈1.191536480.4363636336⎝⎭⎝⎭⎝⎭27.设0<a<b,证明(1+a)ln(1+a)+(1+b)ln(1+b)<(1+a+b)ln(1+a+b).证f(x)=ln(1+x),f'(x)=f在x>0上凸,(1+a)(1+a+b)ln(1+a)+(1+b)(1+a+b)ln(1+b)11+x,f''(x)=-1(1+x)223<0,⎛(1+a)a(1+b)b⎫<ln 1++⎪(1+a+b)(1+a+b)⎭⎝⎛(1+a+b)a(1+a+b)b⎫<ln 1++⎪=ln(1+a+b).(1+a+b)(1+a+b)⎭⎝28.设有三个常数a,b,c,满足a<b<c,a+b+c=2,ab+bc+ca=1.证明：0<a<32114,<b<1,1<c<.333证考虑多项式f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x-2x+x-abc.2f'(x)=3x-4x+1=(3x-1)(x-1)=0,x1=13,x2=1.13<x<11时f'(x)<0,f严格单调递减.当x<13或x>1时f'(x)>0,f严格单调递增,当如果f(0)=f(1)=-abc≥0,f将至多有两个144实根.如果f()=f()=-abc≤0,f也将至多有两个3327144根(见附图).而f实际有根a,b,c.故f(0)=f(1)=-abc<0,并且f()=f()=-abc>0. 3327考虑到严格单调性,于是f114在(0,),(,1),(1,)各有一实根,正是a,b,c,故结论成立.33329.设函数f(x)的二阶导数f''(x)在[a,b]上连续,且对于每一点x∈[a,b],f''(x)与f(x)同号.证明:若有两点c,d∈[a,b],使f(c)=f(d)=0,则f(x)≡0,x∈[c,d].2证由于f''(x)与f(x)同号,(f(x)f'(x))'=f'(x)+f(x)f''(x)≥0,g(x)=f(x)f'(x)单调, 2g(c)=g(d)=0,故f(x)f'(x)≡0,x∈[c,d].(f(x))'=2f(x)f'(x)≡0,x∈[c,d].f(x)≡C,x∈[c,d].f(c)=0,故f(x)≡0,x∈[c,d],即f(x)≡0,x∈[c,d].30.求多项式P3(x)=2x-7x+13x-9在x=1处的Taylor公式.解P3'(x)=6x-14x+13,P3''(x)=12x-14,P3'''(x)=12. 232222P3(1)=-1,P3'(1)=5,P3''(1)=-2,P3'''(1)=12.P3(x)=-1+5(x-1)-(x-1)+2(x-1).31.设Pn(x)是一个n次多项式.(1)证明:Pn(x)在任一点x0处的Taylor公式为Pn(x)=Pn(x0)+Pn'(x0)+ +1n!Pn(n)23(x0).(a)≥0(k=1,2, n).证明Pn(x)的所有实根都不(2)若存在一个数a,使Pn(a)>0,Pn超过a.证(1)Pn(x)是一个n次多项式.(k)(1)证明:因为Pn(x)是一个n次多项式,Pn根据带Lagrange余项的Taylor公式Pn(x)=Pn(x0)+Pn'(x0)(x-x0)+ +=Pn(x0)+Pn'(x0)(x-x0)+ +1n!Pn1n!(n+1)(x)≡0,x∈(-∞,+∞).故在任一点x0处,Pn(n)(x0)(x-x0)+nn1(n+1)!Pn(n+1)(c)(x-x0)n+1(n)(x0)(x-x0).1n!Pn(n)n(2)Pn(x)=Pn(a)+Pn'(a)(x-a)+ +故Pn(x)的所有实根都小于a.(a)(x-a)≥Pn(a)>0(x≥a),32.设函数f(x)在(0,+∞)上有二阶导数,又知对于一切x>0,有|f(x)|≤A,|f''(x)|≤B其中A,B为常数.证明:|f'(x)|≤证任意取x∈(0,+∞),h>0.f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f'(x)=1h(f(+h)-f(x))-2AhB2+B2h(*).f''(c)2h.x∈(0,+∞).h,2f''(c)2 |f'(x)|≤2Ah当=h时(*)右端取最小值.在(*)中取h=即得|f'(x)|≤。

2 .解
:令
u

xy,得

du u ln u


dx ,ln x
u

cx ,
u e cx , 通 解 为 xy e cx .
§4.5-4.6 可降阶的微分方程(87-88)
p 8 7 .一 .1 . ( 2 )( 3 )( 4 ) , (1 )( 5 )( 6 )( 7 );
2. c1 cos x c2 sin x;

e

1 dx x(x1)
[
e
1 dx
x(x1) dx

c]
x ( x ln x c ). x1
又
y(1) 0, c 1,
特解
y x ( x ln x 1).
1 x
p 8 5 .三 .1 . 通 解 y e sin x ( x c ).
p84.二 .3.解 : 方 程 两 边 对 x求 导 :xy 2 yy, 由此得
(1) y 0;
2 y x
(2)

y
x0

, 0
x2 y .
4
方程特解: y x2 . 4
p84.三 .解 :已 知 F k t
(1)
v
将 v(10) 50, F (10) 4代 入 (1),得 k 20.
3. 是 不 是 通 解 也 不 是 特 解;
4. y c1( y2 y1 ) c2 ( y3 y1 ) y1 .
二 .1.通 解 y

xe x

3e x

c1 2
x2

c2x
c3.

第四章教材习题选解或提示（A ）2.不用求出函数()()()()321---=x x x x x f 的导数，说明()x f '有几个根及所在区间.解：()()()()321---=x x x x x f 的导数为三次多项式，则()0='x f 最多有三个解，因为()()()()3210f f f f ===，根据罗尔定理，可知存在()1,01∈ξ使得()01='ξf ；存在()2,12∈ξ使得()02='ξf ；存在()3,23∈ξ使得()03='ξf .3. 证明方程0535=+++x x x 有且仅有一个实根. 证：设函数()535+++=x x x x f ，则()x f 在R 上连续.由于()372-=-f ，()50=f ，所以存在一点1x ()0,2-∈，使得()01=x f .假设0535=+++x x x 除1x 外还有一根2x 0≠.不妨假设21x x <，则()()21x f x f =.()x f 在闭区间[]21,x x 上连续，在开区间()21,x x 内可导.因此，有()()21,,0x x f ∈='ξξ而()113524≥++='x x x f ，矛盾,得证.4. 设1,0>>>n b a ，证明：()()b a naba b a nbn nn n -<-<---11.证：设函数()n x x f =，在区间[]b a ,上应用拉格朗日定理，得 1-=--n nnn ab a b ξ()b a ,∈ξ因为()b a ,∈ξ，所以111---<<n n n nb n naξ，所以11--<--<n nnn nbab a b na，得()()b a na b a b a nb n n n n -<-<---11.6.设函数()x f 在[]a ,0上连续，在()a ,0内可导，且()0=a f ，证明：至少存在一点()a ,0∈ξ，使得()()0='+ξξξf f .证：设函数()()x xf x F =，因为()()00==a F F ，可知()x F 在区间[]a ,0满足罗尔定理，则有()0='ξF ()a ，0∈ξ，即()()0='+ξξξf f()a ，0∈ξ.7.若方程01110=+++--x a xa x a n n n 有一个正根0x x =，证明： 方程()0112110=++-+---n n n a xn a nxa 必有一个小于0x 的正根.证：设函数()x a x a x a x F n n n 1110--+++= ，()00=F ，则可知()x F 在区间[]0,0x 满足罗尔定理，可知()x F 在区间[]0,0x 满足罗尔定理，则有()0='ξF ()00x ，∈ξ，即()0112110=++-+---n n n a n a n a ξξ，()00x ，∈ξ，方程()0112110=++-+---n n n a xn a nxa 必有一个小于0x 的正根.8.设函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，并且有()()b f a f =0=.试证：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()()0=-'ξξf f .证：设函数()()x e x f x F -=， ()()0==b F a F ，可知()x F 在区间[]b a ,满足罗尔定理，则有()0='ξF ()b a ,∈ξ，即()()[]0=-'-ξξξe f f ，可得，至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()()0=-'ξξf f . 9.求下列极限：()1 ()xx x +→1ln lim0； ()2 xee xx x sin lim-→-；()3 31cos limxxx x +-→； ()4 xba xxx -→0lim()0,>b a ；()5xarc x x cot 11ln lim⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→； ()6 212lim x x e x →；()7 ⎪⎭⎫⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1； ()8 ()xx x sin 0tan lim +→； ()9xx x x x sin sin lim+-∞→； ()10 xxx x x ee e e --+∞→+-lim；()11 xx x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim ； ()12 xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→.解：()1 ()xx x +→1ln lim=1111lim 0=+→x x ；()2 xee xxx sin lim-→-= 2cos lim=+-→xee xx x ；()3 301cos limxxx x +-→=23121sin limxxx x +--→∞=；()4 xba xx x -→0lim=ba bb aa xxx ln1ln ln lim=-→；()5xarc x x cot 11ln lim⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=1111111lim 22=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→xx xx ； ()6 212limx x e x → ==→211lim2xe x x ∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-→33101212lim 2xx e x x ； ()7 ⎪⎭⎫⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1=()x x x x x x ln 11ln lim1-+-→=xx x x 1-1ln ln lim 1+→ =∞=-→211x 11limxx x ；()8()xx x sin 0tan lim +→=()xx x esin tan ln 0lim +→=xx x e tan ln sin lim 0+→=xxx e sin 1tan ln lim+→=xxx e 1tan ln lim+→=221sec tan 1limxxxx e -+→=10=e ；()9xx x x x sin sin lim+-∞→=1sin 1sin 1lim=+-∞→xx xx x ；()10 xxx x x ee e e --+∞→+-lim= 111lim22=+---+∞→xx x ee ；()11 xx x a ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim =xx a x e⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1ln lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x a x x e1ln lim =xx a x e11ln lim⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→=22111limxx a xa x e-⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→=a e ；()12 xx x tan 01lim⎪⎭⎫ ⎝⎛+→= xx x etan 1ln 0lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛→+=xxx e tan 11ln lim+→=xxx e11lnlim+→=101lim22==--+→e exx x x .10．确定下列函数单调区间：()1 29323+--=x x x y ； ()4 xe x y-=.解：()1 29323+--=x x x y ，令09632=--='x x y ， 得 3,121=-=x x ，列表讨论](1,-∞-和[)+∞,3为函数()x f 的单调增加区间，[]3,1-为函数()x f 的单调减少区间；()4 x e x y-=，令01=-='xe y ，得0=x ，当0<x 时，0>'y ；当0>x 时，0<'y ，因此(]0,∞-为单调增加区间，[)+∞,0单调减少区间.11.证明下列不等式:()1 当0>x时，x x +>+121解：设函数()=x f x x +-+121，()xx f +-='12121，当0>x 时，函数单调增加，有()()00=>f x f ，即x x +>+121.13.求下列函数的最值:()1 []4,1,3223-∈-=x x x y解：令x x y 662-='=0，得1,021==x x ，()()()()804,11,00,51=-==-=-f f f f ，函数的最大值为()804=f ，函数最小值为()51-=-f .18.设某厂生产某种产品x 个单位时，其销售收入()x x R 3=，成本函数为()1412+=x x C .求使总利润达到最大的产量x .解：总利润为()14132--=x x x L ，()223x xx L -='，得驻点39=x ，当39=x 时，总利润最大.20.当a 、b 为何值时，点()3,1为曲线23bx ax y +=的拐点？ 解：()31=f ，即3=+b a ，()0261=+=''b a f ，得29,23=-=b a .（B ）2.已知函数()x f 在[]10，上连续，在()10，内可导，且()()11,00==f f ，()x f 是x 的非线性函数.试证：在()10，内至少存在一点ξ，使得()1>'ξf . 证：()x f 是x 的非线性函数，则至少有一点()1,00∈x ，使得()00x x f ≠，不妨设()00x x f >，则在()0,0x 满足拉格朗日中值定理，即 ()()()ξf x f x f '=--00001>，其中()0,0x ∈ξ()1,0⊂.5.设函数()x f 在闭区间[]A ,0上连续，且()00=f .如果()x f '存在且为增函数()()A x ,0∈.试证：函数()()x f xx F 1=也是增函数.证：()()()x f xx f x x F 211-'='，当0>x ， ()x f 在区间()x ,0满足拉格朗日中值定理，则有()()()x f xx f ,0,∈'=ξξ,()()()011>'-'='ξf xx f x x F ,函数()()x f xx F 1=是增函数.9.设()x f 在0=x 处二阶可导，且二阶导数连续，已知 ()31201lim e x x f x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→，求()()()0,0,0f f f '''及 ()x x x x f 101lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→. 解：()()⎪⎭⎫⎝⎛++→→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++201lim 1201lim x x f x x x x ex x f x x 3e =,则()2lim2=→xx f x ，()22lim='→xx f x ，()22lim=''→x f x ，则()()()10,00,00=''='=f f f ，()x x x x f 101lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→=()2lim 20e e x x f x =⎪⎭⎫⎝⎛→.(四)模拟试题一、填空题(本题共5小题，每题6分，共30分)1．函数()x x f sin =在区间()π,0满足罗尔定理的点为 . 2．极限2cos 1limxxx -→为 ．3．函数()x x x f -=32的单调减少区间为 ． 4．曲线223+-=x x y 的拐点为 ．5．曲线x e y 1=的渐近线为 ．二、计算题(本题共4小题，每题10分，共40分)1.求极限()x x x 31ln sin lim+→.2.求函数x x y ln -=的单调区间.3.求函数()232+-=x x x f 在区间[]4,0上的最值. 4．求函数x x y arctan =的凸凹性.三、证明题(本题共3小题，每题10分，共30分)1.设0>>a b ，证明：bb a ba ab a -<<-ln.2.证明：当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+.3.证明：曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一条直线上.模拟试题参考答案一、填空题1．2π2．21 3．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66,66 4．()2,0 5．0=x 及1=y 二、计算题1.31 2.(]1,0单调减少区间，[)+∞,1单调增加区间 3.最小值为0，最大值为6 4.下凸三、证明题 略.。