微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
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高等数学 第四章不定积分课后习题详解.doc
第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
复变函数与积分变换第四章习题解答
2!
3!
2!
3!
3!
5!
2
4
而收敛半径 R=扛'fJ •
而收敛半径 R=+oo;
(7)
z
而收敛半径 R=l 。
cos 土 ==1- 上 (z+z2 + z3 + .. 一上 (z+z2 +z3 + ...r +... =1-2. z2 - z 3 +...' I zI< 1 I 1-z 2 4! 2
＇
In n
1
n
1
4)因 cos in= cbn,
( 1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 ；
4. 下列说法是否正确？为什么？
而lim—-=1=0,
II�")
chn
2"
故
cosm 2 — " 发散。 11=2 2
00
(2)每一个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
解 (1)不对。如Iz"在收敛圆lzl < 1内收敛， 但在收敛圆周日=l上井不收敛； (3)不对。如八 z) 三在全平面上连续， 但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 5幕级数LC11 (z-2)" 能否在z=0收敛而在z=3发散？
=
＝早－（于)2 f （）
11=]
一I
干是收敛半径 R=2 。 (2)因
(-1t z-1 "' "
2
+ ... + ( -1 y,-1
(早厂
lz-11<2
l
及
飞(z�2 一言） = z�2 一士 2 = = 1-'� 厂; J- J [ =』 z�2 4 +(:-2i ± + � 2 �
交大刘迎东微积分习题答案
交⼤刘迎东微积分习题答案8.6 多元函数微分学的⼏何应⽤习题8.61. 求曲线sin ,1cos ,4sin 2t x t t y t z =-=-=在02t π=相应的点处的切线及法平⾯⽅程。
解：点为1,1,2π?-，切向量为{21cos ,sin ,2cos .2t t t t π=??-=所以切线为112x y π??--=-=法平⾯⽅程为1102x y z π??--+-+-=，即4.2x y π+=+2. 求曲线21,,1t tx y z t t t+===+在对应于01t =的点处的切线及法平⾯⽅程。
解：点为1,2,12?? ???，切向量为()22 1111,,2,1,2.41t t t t =-=-+????所以切线为1212.1124--==-法平⾯⽅程为()()11221042x y z ??---+-= ，即2816 1.x y z -+=3. 求曲线222,y mx z m x ==-在点()000,,x y z 处的切线及法平⾯⽅程。
解：22,2,ydy mdx zdz dx =??=-?，在点()000,,x y z 处，0022,2,y dy mdx z dz dx =??=-?所以切向量为0 011,,.2m y z ??-所以切线为00000.112x x y y z z m y z ---==-法平⾯⽅程为()()()00000102m x x y y z z y z -+---=。
4. 求曲线22230,23540x y z x x y z ?++-=?-+-=?在点()1,1,1处的切线及法平⾯⽅程。
解：22230,2350,xdx ydy zdz dx dx dy dz ++-=??-+=?，在点()1,1,1处，22230,2350,dx dy dz dx dx dy dz ++-=??-+=?所以切向量为{}16,9,1.-所以切线为111.1691x y z ---==-法平⾯⽅程为()()()1619110x y z -+---=。
常微分数值方法部分课后习题答案
用一阶中心差商代替一阶偏导数则可定义差分格式代入上式并在两边同除以2用一阶中心差商代替一阶偏导数则可定义差分格式第二章偏微分方程的有限差分法代入上式并在两边同除以2一阶中心差商代替一阶偏导数则可定义差分格式时根据内点差分格式得
第二章 偏微分方程的有限差分法
- 1 -
第二章 椭圆型微分方程的有限差分法
两式做差, 整理变形有
u ( xi ) − u ( xi − h) 1 1 1 = u '( xi − h) + 2 h 2 u '''( xi − h) + O ( h3 ) 2 2 h 2 3!
由此容易验证 2 3 ⎛ [u ]i − [u ]i −1 ⎞ h ⎡ d u ⎤ ⎡ du ⎤ = − p p p + O(h3 ) , 1 ⎢ ⎜ ⎟ 24 3 ⎥ ⎢ dx ⎥ 1 i− h ⎣ ⎦i − ⎠ ⎣ dx ⎦ i 2 ⎝
将上面的数值积分和数值微分公式代入(2.3)式, 得
[u ] − [u ]i −1 ⎛ [u ]i − [u ]i −1 ⎞ ⎛ [u ] − [u ]i ⎞ − p 1 ⎜ i +1 + ri i +1 + qi [u ]i h = f i h + O ( h3 ) ⎜ ⎟ ⎟ i + 2 h h ⎝ ⎠ ⎠ 2 ⎝ 省略掉误差项, 用 ui 代替 [u ]i , 则可定义差分格式为: p
2 2
h1 ⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ ⎢ p ∂y ⎥ 1 − ⎢ p ∂y ⎥ 1 ⎣ ⎦i, j + ⎣ ⎦i, j −
2
+ O(h12 ) =Байду номын сангаас
[u ]i +1, j − [u ]i , j [u ]i , j − [u ]i −1, j ⎤ 1⎡ 2 −p 1 ⎢ pi + 1 , j ⎥ + O(h1 ) i − j , h1 ⎣ 2 h1 h 1 ⎦ 2
第二章 偏微分方程的有限差分法
- 1 -
第二章 椭圆型微分方程的有限差分法
两式做差, 整理变形有
u ( xi ) − u ( xi − h) 1 1 1 = u '( xi − h) + 2 h 2 u '''( xi − h) + O ( h3 ) 2 2 h 2 3!
由此容易验证 2 3 ⎛ [u ]i − [u ]i −1 ⎞ h ⎡ d u ⎤ ⎡ du ⎤ = − p p p + O(h3 ) , 1 ⎢ ⎜ ⎟ 24 3 ⎥ ⎢ dx ⎥ 1 i− h ⎣ ⎦i − ⎠ ⎣ dx ⎦ i 2 ⎝
将上面的数值积分和数值微分公式代入(2.3)式, 得
[u ] − [u ]i −1 ⎛ [u ]i − [u ]i −1 ⎞ ⎛ [u ] − [u ]i ⎞ − p 1 ⎜ i +1 + ri i +1 + qi [u ]i h = f i h + O ( h3 ) ⎜ ⎟ ⎟ i + 2 h h ⎝ ⎠ ⎠ 2 ⎝ 省略掉误差项, 用 ui 代替 [u ]i , 则可定义差分格式为: p
2 2
h1 ⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ ⎢ p ∂y ⎥ 1 − ⎢ p ∂y ⎥ 1 ⎣ ⎦i, j + ⎣ ⎦i, j −
2
+ O(h12 ) =Байду номын сангаас
[u ]i +1, j − [u ]i , j [u ]i , j − [u ]i −1, j ⎤ 1⎡ 2 −p 1 ⎢ pi + 1 , j ⎥ + O(h1 ) i − j , h1 ⎣ 2 h1 h 1 ⎦ 2
数学分析课本-习题及答案第四章
数学分析课本-习题及答案第四章第四章函数的连续性一、填空题1．设>+=<=0 11sin 0 0sin 1)(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则=k ；2．函数??≤>-=0sin 01)(x x x x x f 的间断点是；3．函数x x f =)(的连续区间是； 4．函数321)(2--=x x x f 的连续区间是；5．函数)3(9)(2--=x x x x f 的间断点是；6．函数)4)(1(2)(+++=x x x x f 的间断点是；7．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是；8．设=≠-=-00 )(x k x xe e xf x x 在0=x 点连续，则 =k ；9．函数??≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0101 1)(x x x x x f 的间断点是； 10．函数0b a 0)(0)(2≠+??<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ；11．函数=≠=-0 0 )(21x a x e x f x，则=→)(lim 0x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ；12．如果-=-≠+-=11 11)(2x a x xx x f ，当=a 时，函数)(x f 连续二、选择填空1．设)(x f 和)(x ?在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ?有间断点，则( )A.[])(x f ?必有间断点。
B.[]2)(x ?必有间断点C.[])(x f ?必有间断点D.)()(x f x ?必有间断点 2．设函数bx ea xx f +=)(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a3．设xx e e x f 1111)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则A 有可去间断点。
微积分刘迎东习题答案
解：
（2）连接 的折线段。
解：
6.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
解：
（2）连接 的折线段。
解：
7.计算 其中 为以 为顶点的正方形闭路。
解：
8.计算 其中 为星形线 在第一象限中自点 到 的一段。
解：
9.计算 其中 为依参数 增加方向进行的曲线：
解：
10.计算 其中， 分别为下列两种情形：（1）自 到 的直线段；（2）由 直到 的折线段。
（3）圆
（4）椭圆
（5）双纽线
3.计算曲线积分 其中 为圆周 的方向为逆时针方向。
解： ，所以取 则有
4.计算下列曲线积分：
（1） 其中 为摆线 上对应 从 到 的一段弧。
解：设直线段 ，则
（2） 其中 为上半圆周 沿逆时针方向。
解：设直线段 ，则
5.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值：
解：
（12） 其中 为用平面 截球面 所得的截痕，从 轴的正向看去，沿逆时针方向；
解：
（13） 其中 为曲线 上由 到 的一段弧；
解：
4.计算 其中 为由点 到点 的下列四条不同路径：
（1）直线
解：
（2）抛物线
解：
（3）抛物线
解：
（4）立方抛物线
解：
5.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
10.1第一型曲线积分
习题10.1
1.设在 面内有一分布着质量的曲线弧 ，在点 处它的线密度为 。用第一型曲线积分分别表达
（1）这曲线弧对 轴、对 轴的转动惯量
解：
（2）这曲线弧的质心坐标
解：
2.计算下列第一型曲线积分：
（2）连接 的折线段。
解：
6.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
解：
（2）连接 的折线段。
解：
7.计算 其中 为以 为顶点的正方形闭路。
解：
8.计算 其中 为星形线 在第一象限中自点 到 的一段。
解：
9.计算 其中 为依参数 增加方向进行的曲线：
解：
10.计算 其中， 分别为下列两种情形：（1）自 到 的直线段；（2）由 直到 的折线段。
（3）圆
（4）椭圆
（5）双纽线
3.计算曲线积分 其中 为圆周 的方向为逆时针方向。
解： ，所以取 则有
4.计算下列曲线积分：
（1） 其中 为摆线 上对应 从 到 的一段弧。
解：设直线段 ，则
（2） 其中 为上半圆周 沿逆时针方向。
解：设直线段 ，则
5.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值：
解：
（12） 其中 为用平面 截球面 所得的截痕，从 轴的正向看去，沿逆时针方向；
解：
（13） 其中 为曲线 上由 到 的一段弧；
解：
4.计算 其中 为由点 到点 的下列四条不同路径：
（1）直线
解：
（2）抛物线
解：
（3）抛物线
解：
（4）立方抛物线
解：
5.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
10.1第一型曲线积分
习题10.1
1.设在 面内有一分布着质量的曲线弧 ，在点 处它的线密度为 。用第一型曲线积分分别表达
（1）这曲线弧对 轴、对 轴的转动惯量
解：
（2）这曲线弧的质心坐标
解：
2.计算下列第一型曲线积分：
高等数学课后习题答案--第四章
λ1 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) λ 2 (a21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 ) λ 3 (a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ) 0 【提示】 经过第一次变换后矩阵变为
a11 0 0 a12 a22 a11 − a21 a12 a11 a32 a11 − a31 a12 a11 a23 a11 − a21 a13 , a11 a33 a11 − a31 a13 a11 a13
2 2 2 1 2. 设 A = 1 − 1 ，B = − 1 3 ，计算 2A-3B，5A+2B。 1 − 3 5 − 2 −2 1 12 14 2. 【答案】(1) 5 1 . − 11 ; (2) 3 − 13 0 15 − 19 2 1 2 1 −4 2 3. 设 A = −1 4 − 2 ，B = − 1 3 ，C = 1 5 − 2 1 A(2B-3C)。 4 −1 15 − 14 3 【答案】AB = − 15 14 ; BA = − 4 16 7 − 28 2 − 1 , 计算 AB，BA，AC，CA， − 3
~ ~ = 0 ,则 a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = 0 , 于是, 若a 33 11 22 33 13 21 32 12 23 31 11 23 32 12 21 33 13 22 31
记 L1 , L2 , L3 分别表示第1,2,3个方程的左端, 有
a11 0 0 a12 a22 a11 − a21 a12 a11 a32 a11 − a31 a12 a11 a23 a11 − a21 a13 , a11 a33 a11 − a31 a13 a11 a13
2 2 2 1 2. 设 A = 1 − 1 ，B = − 1 3 ，计算 2A-3B，5A+2B。 1 − 3 5 − 2 −2 1 12 14 2. 【答案】(1) 5 1 . − 11 ; (2) 3 − 13 0 15 − 19 2 1 2 1 −4 2 3. 设 A = −1 4 − 2 ，B = − 1 3 ，C = 1 5 − 2 1 A(2B-3C)。 4 −1 15 − 14 3 【答案】AB = − 15 14 ; BA = − 4 16 7 − 28 2 − 1 , 计算 AB，BA，AC，CA， − 3
~ ~ = 0 ,则 a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = 0 , 于是, 若a 33 11 22 33 13 21 32 12 23 31 11 23 32 12 21 33 13 22 31
记 L1 , L2 , L3 分别表示第1,2,3个方程的左端, 有
微积分 科学出版社 刘迎东 第二章习题2.2答案
2.2 函数的极限习题2.21. 根据函数极限的定义证明： （1）()3lim 318x x →-=证明：0ε∀>，要使()31833x x ε--=-<，只需33x ε-<，所以取3εδ=，则03x δ<-<时，恒有()318x ε--<，所以()3lim 318x x →-=。
（2）224lim42x x x →--=-+证明：0ε∀>，要使2x ≠-时，()()24422x x x ε---=--<+，只需取δε=，则()02x δ<--<时，恒有()2442x x ε---<+，所以224lim42x x x →--=-+。
（3）lim sin sin x ax a →=证明：0ε∀>，不妨设1ε<，要使sin sin 2cossin22x a x a x a ε+--=<，只需s i n22x a ε-<，即2arcsin2x a ε-<，所以取2arcsin2εδ=，则0x a δ<-<时，恒有sin sin x a ε-<，所以lim sin sin x ax a →=。
（4）lim cos cos x ax a →=证明：0ε∀>，不妨设1ε<，要使c o s c o s 2s i ns i n 22x ax ax a ε+--=<，只需s i n22x a ε-<，即2arcsin2x a ε-<，所以取2arcsin2εδ=，则0x a δ<-<时，恒有cos cos x a ε-<，所以lim cos cos x ax a →=。
（5）limx a→=证明：情形1：设0a =，即问题为0lim0x →=。
0ε∀>0ε=<，只需3x ε<，所以取3δε=，则00x δ<-<0ε<，所以0lim0x →=。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
计算方法-刘师少版第四章课后习题完整答案
λ 2 = 0.8 ，故 ρ ( B) = 0.9 < 1 ，所以迭代法收敛。
4.6 设线性方程组
⎧ x1 + αx 2 = 4 ⎨ ⎩2αx1 + x3 = −3
试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的 α 的取值范围。 解 高斯－赛德尔迭代矩阵
⎡1 G s = −( D + L) U = − ⎢ ⎣2α
−1
⎤ ⎡0 α ⎤ ⎢ 1⎥ 0⎥ ⎦ ⎣ ⎦
−1
⎡ 1 = −⎢ ⎣− 2α
⎤ ⎡0 α ⎤ ⎡ − 1 ⎤ ⎡0 α ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣2α − 1⎥ 0⎥ ⎦⎣ ⎦
⎡0 − α ⎤ =⎢ 2⎥ ⎣0 2α ⎦
它的特征多项式为
α ⎤ ⎡λ det(λI − G s ) = ⎢ = λ (λ − 2α 2 ) 2⎥ ⎣ 0 λ − 2α ⎦
26
第 1 次迭代，k=0, X(0)=(1,1,1,1)T
1.46 ⎧ (1) ⎪ x1 = 1 + 2 (1 − 2 × 1 + 1) = 1 ⎪ ⎪ x (1) = 1 + 1.46 (1 − 2 × 1 + 1) = 1 ⎪ 2 2 ⎨ ⎪ x (1) = 1 + 1.46 (1 + 1 − 2 × 1 + 1) = 1.73 ⎪ 3 2 ⎪ 1.46 ( k +1) ⎪ x4 (1.73 − 2 × 1) = 0.8029 = 1+ 2 ⎩
第四章
⎧10 x1 − 2 x 2 − x3 = 3 ⎪ ⎨− 2 x1 + 10 x 2 − x3 = 15 ⎪− x − 2 x + 5 x = 10 2 3 ⎩ 1
要求 x
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微积分刘迎东编第四章习题4.6答案4.6 有理函数的积分 习题4.6求下列不定积分：（1）33x dx x +⎰ 解：()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ⎛⎫+=-+-=-+-+ ⎪+⎝⎭++=-++-++⎰⎰（2）223310x dx x x ++-⎰解：()2222231310ln 310.310310x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-⎰⎰（3）2125x dx x x +-+⎰解：()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++⎰⎰⎰⎰（4）()21dxx x +⎰解：()()()()22222222211111ln .2212111d x dx x d x C xx x x x x x ⎛⎫==-=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ （5）331dx x +⎰ 解：()()322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭-+=+-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+++⎰⎰⎰⎰⎰（6）()()22111x dx x x ++-⎰解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ⎛⎫⎪+=+-=-++ ⎪-+++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ （7）()()()123xdxx x x +++⎰解：()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22xdx dx x x x x x x x x x C ⎛⎫-- ⎪=++ ⎪++++++ ⎪⎝⎭=+-+-++⎰⎰ （8）5438x x dx x x+--⎰解：()()5422332328811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dxx x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ⎛⎫+-+-=+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎛⎫=+++-- ⎪+-⎝⎭=+++-+--+⎰⎰⎰（9）()()221dxx x x ++⎰解：()()()2222211112221111122111ln ln 1ln ln 1ln 1arctan .241242x dx dxx x x x x x x x x dx x x x x C x ⎛⎫--- ⎪=++ ⎪++++ ⎪⎝⎭+=-+-=-+-+-++⎰⎰⎰ （10）411dx x -⎰ 解：()()422221111121111111ln arctan .412dx dx dx x x x x x x x C x ⎛⎫==- ⎪--++-⎝⎭-=-++⎰⎰⎰（11）()()2211dxx x x +++⎰ 解：()()()()()22222222221111111211ln 122121211ln 1ln 1.22dx xx dx x x x x x x x dxx dx x x x x x x C -+⎛⎫=+ ⎪++++++⎝⎭+=-+++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+++++⎰⎰⎰⎰ （12）()()22211x dx x++⎰解：()()()()()2222222222211211arctan .11111d x x x x dx dx dx x C x x x x x ++++==+=-++++++⎰⎰⎰⎰ （13）()22221x dx xx --++⎰解：()()()()()()()222222222222222222221112131211111322111221132121x x x x dx x dx dx dxx x x x x x x x d x x dxdxx x x x x dx x x x x --++-++-=-=-+++++++++++=-+-⎛++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而()()()()222222222222222222211122221112132112111312112121dx x x xdxx x x x x x x x x x dx x x x x x dx x dxx x x x x x x dx dx x x x x x x x x +=+++++++++--=+++++++=+-++++++=++-++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以()()()222222213131121.31dxdx x x x x x xx x C x x +=++++++++=++++⎰⎰于是()()2222211.1x dxxx x C x x --+++=-+++⎰(14)23sin dxx+⎰解：22222sec tan .3sin 3sec tan 34tan dx xdx d x C x x x x ===++++⎰⎰⎰（15）3cos dxx+⎰解：令tan 2xt =，则22212cos ,11t x dx dt t t -==++，2tan .3cos 2x dx dt C C x t ⎛⎫ ⎪==+=+++⎝⎭⎰⎰（16）2sin dxx +⎰解：令tan 2x t =，则2222sin ,11t x dx dt t t==++，22tan 1.2sin 1x dx dt C C x t t ⎛⎫+ ⎪===++++⎰⎰ （17）1sin cos dxx x++⎰解：令tan 2xt =，则2222212sin ,cos ,111t t x x dx dt t t t -===+++， ln 1ln 1tan .1sin cos 12dx dt xt C C x x t ==++=+++++⎰⎰ （18）2sin cos 5dxx x -+⎰解：令tan 2xt =，则2222212sin ,cos ,111t t x x dx dt t t t -===+++，23tan 1.2sin cos 5322x dx dt C C x x t t ⎛⎫+ ⎪==+=+-+++⎰⎰（19） 解：((2213263ln 231613ln 1.2t t dt t t C t C ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭+=-++⎰（20）31-解：)))))3324324321246586104ln 23181611014ln1.23t t t dt t t t t t t C C -⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=-+-++=-+-++⎰（21）解：)))222364ln 1614ln1.t dt t t t Ct C ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭=-++⎰（22） 解：()()((22242184ln 11214ln 1.t dt t t t C t C =+-++++=-++（23）解：()()2222211211111ln2arctan .1t dt dt t t t t t t C C t ⎛⎫=+ ⎪-++-⎝⎭-=++=++⎰⎰（24）解：3322.tdt CC=-=-+=⎰（25）()()224445dxx x x x-+-+⎰解：()()()222211444544451arctan2.2dxdxx x x xx x x xx Cx⎛⎫=-⎪-+-+-+-+⎝⎭=--+-⎰⎰（26）2425454x xdxx x++++⎰解：()() 222 4222551545533ln1arctan ln4.541466xxx xdx dx x x x C x x x x⎛⎫+⎪++=-=++-++⎪++++⎪⎪⎝⎭⎰⎰（27）51xdxx+⎰解：()()()()()543254321151010511511015151ln1.543xdxx t t t t t dtx tx x xx x x C⎛⎫+=-+-+-⎪+⎝⎭+++=-+-+++-++⎰⎰（28）223dxx-⎰解：2.23dxCx=+-⎰（29）()()2223dxx x-+⎰解：()()222211152323.dxdxx xx xC⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭=-+⎰⎰（30）3422x dxx x-+⎰解：()()232422422ln212224ln2.4t tx dx tdtx t C x x t tx xC-+==-+-+-+=+⎰⎰（31）()()2222dxx x x+++⎰解：()()()()2222112222222ln212222422ln211ln22arctan1242dx xdxx x xx x xx xdx Cx xxx x x C⎛⎫=-⎪++++++⎝⎭++-=-++++=-+++++⎰⎰⎰（32）()()22xdxx a x b++⎰解：()()()()2222222222222222222ln ln arctan .2a ax b xdx a b a b a b dx x a x b x a x b a a b x x a x b C a b a b b a b ⎛⎫-+ ⎪+++=+ ⎪++++ ⎪⎪⎝⎭=-++++++++⎰⎰ （33）5641x dx x x ++⎰ 解：()25642423ln 1111111arctan .123x x x dx dx x C x x x x x x x +++⎛⎫=+-=+-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰ （34）()31221n nx dx x-+⎰解：()()()3122222221arctan 1111n nn x t dt t dtdxx t n n n x t t -==-+++⎰⎰⎰ 而()()222222221122arctan 211111t t t dt dt t dt t t t t t =+=+-+++++⎰⎰⎰ 所以()2221arctan 2121dtt tC t t =++++⎰于是()()312222arctan 1arctan .221211n n nn n x t t x dx C x C n n x n t x -⎛⎫=-+=-+ ⎪++⎝⎭+⎰ （35）()()22111x dx x x ++-⎰解：()()()222211ln 111122.1121111x x dx dx C x x x x x x ⎛⎫- ⎪+=+-=++ ⎪+-++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ （36）332156x dx x x x+-+⎰ 解：32323212891561632565623ln 928ln 2ln 3.623x x x dx x dx x dxx x x x x x x x x x x x x C ⎛⎫ ⎪+-+=+=+-+ ⎪-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭=+--+-+⎰⎰⎰ （37）31xdx x -⎰ 解：()3221111311ln 1ln 1.36x x dx dx x x x x x x x C -⎛⎫=+⎪--++⎝⎭++-=-⎰⎰（38）31dxx +⎰ 解：()23212ln 1ln 1333.11136x x x x dx dx C x x x x ⎛⎫-+-+ ⎪+=+=-+ ⎪++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ （39）()()()2123dxx x x +++⎰解：()()()()2211122131232111ln .232dx dx x x x x x x x C x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪++++++ ⎪⎝⎭+=++++⎰⎰ （40）()()212xdxx x ++⎰解：()()()222212ln 12ln 2arctan 555.1255512x x x xdx x dx C x x x x ⎛⎫++ ⎪+=-=+-+ ⎪++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰（41）cos cos 23x xdx ⎰解：1535cos cos cos cos sin 3sin .23266566x x x x x xdx dx C ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰⎰（42）sin 2cos 364x x dx ππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰解：15sin 2cos 3sin 5sin 64212125cos cos 51212.210x x dx x x dx x x C ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+⎰⎰ （43）cos cos 2cos3x x xdx ⎰ 解：()1cos cos 2cos31cos 2cos 4cos 64sin 2sin 4sin 6.481624x x xdx x x x dx x x x x C =+++=++++⎰⎰（44）4cos xdx ⎰ 解：43322324coscos sin sin cos 3sin cos sin cos 3cos 3cos xdx xd x x x x xdxx x xdx xdx==+=+-⎰⎰⎰⎰⎰所以334sin cos 31cos 2sin cos 33sin 2cos .4424816x x x x x x xxdx dx C +=+=+++⎰⎰ （45）5cos xdx ⎰ 解：()()2522435cos1sin sin 12sin sin sin 2sin sin sin .35xdx x d x x x d xx xx C =-=-+=-++⎰⎰⎰（46）25sin cos x xdx ⎰解：()()22522246357sin cos sin 1sin sin sin 2sin sin sin sin 2sin sin .357x xdx x x d x x x x d x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰（47）23sec sin x xdx ⎰解：2232cos 1sec sin cos cos sec .cos x x xdx d x x x C x-==++⎰⎰（48）24sin cos x xdx ⎰ 解：()()()242231sin cos sin 21cos 28111cos 4sin 2sin 21616sin 4sin 2.166448x xdx x x dx x dx xd x x x x C =+=-+=-++⎰⎰⎰⎰ （49）sin cos dxx x+⎰解：tan .sin cos 28sin 4dx dx x C x x x ππ⎛⎫==++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰（50）解：.C ⎛⎫==+⎰ (51)44sin cos sin cos x xdx x x+⎰解：()()24424sin sin cos 11arctan cos 2.sin cos 212sin 2sin 2d x x x dx x C x x x x ==-++-+⎰⎰ （52）3sec xdx ⎰ 解：323sec sec tan sec tan sec tan sec tan sec sec xdx xd x x x x xdx x x xdx x==-=-+⎰⎰⎰⎰⎰所以3ln sec tan sec tan sec .22x xx x xdx C +=++⎰ （53）3csc xdx ⎰ 解：33csc sec 2ln sec tan sec tan 222222ln csc cot csc cot .22xdx x dx x x x x C x x x x C πππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--++=--+⎰⎰（54）3cos sin 2x xdx ⎰解：5342cos cos sin 22cos cos .5xx xdx xd x C =-=-+⎰⎰ （55）()11cos dxxεε<+⎰解：令tan ,2xt =则22212cos ,,11t x dx dt t t -==++所以 ()()22.1cos 112dx x dt C x t εεε⎛⎫==+⎪⎪+-++⎭⎰⎰ （56）sin cos sin cos x xdx x x+⎰解：cos 2sin cos sin 24sin cos sin sin 442sin csc 44csc cot .444x x x x dx dx dx x x x x x x dx x x x C ππππππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰（57）4cos dxx⎰解：()324tan 1tan tan tan .cos 3dx x x d x x C x =+=++⎰⎰ （58）44cos 2sin cos xdx x x+⎰解：442cos 2sin 2.sin cos 2sin 2x d x dx C x x x ==++-⎰⎰ （59）2shxsh xdx ⎰ 解：()1323.262sh x shx shxsh xdx ch x chx dx C =-=-+⎰⎰ （60）3chxch xdx ⎰ 解：()142342.284sh x sh xchxch xdx ch x ch x dx C =+=++⎰⎰ （61）解：arcsin .x C == （62） 解：()58643222754322161116632363ln 16arctan .752t t t dt t t t t t dt t t t t t t t t t t C --⎛⎫=-++--++ ⎪++⎝⎭=-++--+++-+⎰⎰（63）解：(22x x dx ==-⎰而2==-所以11ln.22x C =-=-+于是21ln.222xx C=-++（64）解：()6126ln6ln1212.dt t t Ct tC⎛⎫-=-++⎪+⎝⎭=（65）解：.C=（66）解：1111ln.22xx C⎛⎫-+⎪=⎛=-+⎝（67）解：()()()()232117151113116110811834127211175111316ln 1ln 1ln 2.10818164271x dt t t t t t t t t C t t +=⎛⎫-++-- ⎪ ⎪+--++⎝⎭=-+--+---+++⎰（68）⎰ 解：(()()23221222212221223x x x x x =-+=-++=-++⎰⎰⎰ 而2212==+=-=所以(11ln +C.22=于是()(32211122ln +C.322x x =-++⎰（69）解：11sin cossin4csc cot.44dt dtt ttt t C Cπππ=+⎛⎫+⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（70）解：()cos1cosarcsin211tan.2222tdttxt tC C=+-=-+=+（71）()1/21/31xdxx+⎰解：()()()()32225210864211975313126163060603066106012106.1137t t tdttt dt t t t t t dtt t tt t t C--=-=-+-+-=-+-+-+⎰⎰。